Занятие 10. Определение и свойства многочленов от нескольких переменных
Основные теоретические положения, необходимые для успешного выполнения практических заданий изложены в пособии Алгебра многочленов (глава 2, параграфы 1 и 2).
Примеры решения типовых задач
Уровень А
Какие из выражений являются многочленами от нескольких переменных? Есть ли в тех выражениях, которые являются многочленами подобные члены?
-
-
-
-Решение
Многочленами являются выражения 1.2 и 1.4, так как в них в каждом члене переменные стоят в целых неотрицательных степенях
– не многочлен, так как в последнем члене
стоит в отрицательной степени, а 1.3 – не многочлен, т.к. в третьем члене стоит в дробной степениМногочлен 1.4 содержит подобные члены
и 
. Обычно записывают такой многочлен с приведенными членами, то есть записываю его один раз с коэффициентов, равном алгебраической сумме их коэффициентов, то есть пишут так: 
-Чему равны степени многочленов 1.2. и 1.4 по совокупности переменных, а также их степени по переменной
?Решение
Складывая показатели степеней переменных, входящих в запись каждого члена, найдем степени этих членов, а затем выберем из них наибольшую – это и будет степень многочлена.
Поэтому степень 1.2 по совокупности переменных равна 8, а степень 1.4 по совокупности переменных равна 9.
Степень многочлена по конкретной переменной равна наибольшему из показателей, с которым эта переменная входит в запись многочлена
По
степень 1.2 равна 3, а степень 1.4 равна 4.Определите, какие из многочленов являются симметрическими:
. Решение
Симметрическими многочленами являются
и 
так как они не меняются при любых возможных перестановках неизвестных. Например, для возможна всего одна перестановка неизвестных (
и 
Для возможны три перестановки неизвестных (
Легко проверить, что 
Так как
, то 
симметрическим не является.Также легко проверить, что многочлен
изменится при перестановке 
поэтому симметрическим он не является.Какие из симметрических многочленов являются однородными, а какие – суммой нескольких однородных симметрических и выделите слагаемые такой суммы:
4.1.
;4.2.
;4.3.
;4.4.
;4.5.
?Решение
Многочлен 1.2. – симметрический однородный степени 1 по совокупности неизвестных.
Многочлен 2.2. – симметрический однородный степени 7 по совокупности неизвестных.
Многочлен 3.2. – симметрический неоднородный равен сумме двух однородных симметрических многочленов (первые три члена образуют многочлен 5 степени, а последние три – второй степени)
Уровень В
Найдите сумму многочленов
и 
и найдите ее степень по совокупности переменныхРешение
При сложении многочленов складываются коэффициенты подобных членов. Поэтому суммой будет многочлен
. Его степень по совокупности переменных равна 4.Найдите произведение многочленов
и 
и найдите его степень по совокупности переменныхРешение
При умножении многочленов перемножаются их члены, а затем происходит приведение подобных. Произведение членов определяется так:
Произведением будет многочлен
Уровень С
Какой из членов от 4-х переменных лексикографически выше другого: 
?
Решение
Если
(1) и 
(2) - неподобные члены и
>
, то говорят, что член (1) выше (старше), чем член (2) в лексикографическом смысле. Сравниваем показатели каждой переменной:
Поэтому второй член выше первого в лексикографическом смысле.
Запишите многочлен
в лексикографическом порядке
Решение
– это лексикографическая запись многочлена.Найдите высший член (в лексикографическом смысле) произведения многочленов
; и 
Решение
Высший член произведения многочленов равен произведению их высших членов. Поэтому у каждого сомножителя найдем высший член:
У первого многочлена это
а у второго – 
Их произведением будет член
Задачи для самостоятельного решения в аудитории
Уровень А
Определите степень по совокупности переменных и по переменной
многочлена от n переменных
;Определите, является ли симметрическим многочлен:
Уровень В
1. Вычислите сумму и произведение многочленов:
1.1.
; 
; Уровень С
Запишите многочлен в лексикографическом порядке:
;Задачи для домашнего задания
Уровень А
1. Определите степень многочлена от n переменных по совокупности переменных и по переменной
;
;
; 
;5.
2. Определите, является ли симметрическим многочлен:1.2
2.2.
3.2.
5.2.
Определите, является ли однородным симметрическим многочленом многочлен или он равен сумме двух однородных - укажите каких):
1.2.
3.2.
4.2.
Уровень В
3. Вычислите сумму, произведение многочленов и найдите их степени по совокупности переменных:
1.3.
; 2.3.
; 
3.3.
; ; 
5.3.
; Уровень С
4. Запишите многочлен в лексикографическом порядке:
1.4.
;2.4.
; 3.4.
;4.4.
;5.4.
Домашнее задание к занятию 10 присоединяется к заданиям к следующим занятиям и прикрепляется в УМК единым файлом.