Ім'я файлу: курсач.docx
Розширення: docx
Розмір: 2058кб.
Дата: 08.06.2022
скачати
Пов'язані файли:
Міністерство освіти і науки України.pptx

Міністерство освіти і науки України

Харківський національний педагогічний університет імені Г.С. Сковороди
Фізико-математичний факультет
Кафедра математики


КУРСОВА РОБОТА

з Алгебри та геометрії

на тему: «ФУНКЦІЯ МЕБІУСА»
Здобувача вищої освіти першого (бакалаврського) рівня навчання

у галузі знань 01 Освіта / Педагогіка

зі спеціальності

014 Середня освіта (математика)

денна форма навчання

Гученко Вікторії Володимирівни
Науковий керівник: кандидат педагогічних наук, доцент,

Сіра І. Т.


Кількість балів: ____________

Члени комісії Проскурня О. І.

Штонда О. Г.

Сіра І. Т.

Харків – 2022

ПЛАН

КУРСОВА РОБОТА 1

РОЗДІЛ 1. ІСТОРИКО-ТЕОРЕТИЧНА ОСНОВА ФУНКЦІЇ ТА СТРІЧКИ МЕБІУСА 5

1.1Історичний аспект вивчення стрічки Мебіуса 5

1.2. Функція Мебіуса 6

1.3Стрічка Мебіуса 9

ВИСНОВОК ДО РОЗДІЛУ 1 15

РОЗДІЛ 2. ПРИКЛАДНА ТА ПРАКТИЧНА ЗНАЧУЩІСТЬ ДОСЛІДЖУВАНИХ ПИТАНЬ 16

2.1. Прикладне застосування стрічки Мебіуса 16

2.2. Приклади задач на використання функції Мебіуса 19

ВИСНОВОК ДО РОЗДІЛУ 2 21

ВИСНОВОК 21

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ 22

ВСТУП 3

РОЗДІЛ 1. ІСТОРИКО-ТЕОРЕТИЧНА ОСНОВА ФУНКЦІЇ ТА СТРІЧКИ МЕБІУСА 4

1. 1 Історичний аспект вивчення стрічки Мебіуса. 4

1.2. Функція Мебіуса 6

1.3. Стрічка Мебіуса 10

ВИСНОВКИ ДО РОЗДІЛУ 1. 13

РОЗДІЛ 2 ПРИКЛАДНА ТА ПРАКТИЧНА ЗНАЧУЩІСТЬ ДОСЛІДЖУВАНИХ ПИТАНЬ. 15

2.1. Прикладне застосування стрічки Мебіуса 15

2.2. Приклади задач на використання функції Мебіуса. 16

ВИСНОВКИ ДО РОЗДІЛУ 2 23

ЗАГАЛЬНІ ВИСНОВКИ 24

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 25
ВСТУП

Сучасна математика досягла значних висот, але деякі запитання все ж залишаються відкритими, а самі об’єкти цих питань залишаються недокінця вивченими. Одним з них є стрічка Мебіуса, яка є важливим об’єктом такої науки як топологія.

Ми знаємо, що математика – це комплекс наук, до яких входять математичний аналіз, алгебра, аналітична геометрія і т.д. Одним із розділів математики, який близький до геометрії, є топологія – це доволі сучасна наука, засновником якої є Леонард Ейлер, вона вивчає в узагальненому вигляді явище неперервності, тобто тіла та їх властивості, які залишаються незмінними при деформаціях (так ніби дані тіла створені з гуми) і не допускають розривів чи склеювань. Цікавим є те що для неї не є суттєвими, наприклад такі звичні поняття, як кути і відстані. Базове поняття топології – неперервність.

Метою роботи є вивчення поняття функції Мебіуса та особливостей розв’язування задач з використанням даної функції; розглянути такий топологічний об’єкт як стрічка Мебіуса, дослідити її властивості та прикладне значення

Досягнення мети дослідження передбачало розв’язання таких завдань:

    1. Розглянути науковий вклад Августа Фірдинанта Мебіуса.

    2. Вивчити поняття функції та стрічки Мебіуса, розглянути їх особливості та властивості.

    3. Встановити звязок цих математичних понять з культурою та реальним життям.

    4. Дослідити задачі з використанням функції Мебіуса.

Структура й обсяг курсової роботи: вступ, два розділи, висновки до кожного розділу, загальні висновки, список використаних джерел. Загальний обсяг роботи – 26 сторінок, основний текст відображено на 4-23 сторінках.

РОЗДІЛ 1. ІСТОРИКО-ТЕОРЕТИЧНА ОСНОВА ФУНКЦІЇ ТА СТРІЧКИ МЕБІУСА

1.1Історичний аспект вивчення стрічки Мебіуса


Аналітичний підхід до геометрії, був заснований на дослідженнях німецького геометра Авуста Фердинанда Мебіуса (1790-1868). У той час розвиток науки був міжнародний і Мебіус визнавав вклад таких фрацузьких науковців як Понеселе і Жергон. Усі напрацювання Мебіуса, включаючи його дві об’ємні книги Брарецентричне числення (1827) та Підрручник статики (1837) відрізняються не лише інноваційним мисленням та глибокими проникненнями, а й чіткістю стилю, ясністю розповіді та досконалістю структури. Його, мабуть, найбільш вражаюче відкриття — відкриття односторонніх поверхонь, таких як знаменита «смужка Мебіуса», — було зроблено, коли йому було майже сімдесят, і всі роботи, знайдені серед його паперів після його смерті, демонструють таку ж досконалість форми та глибини думки.

Ключовою ідеєю в поглядах Мебіуса на проективну геометрію була, перш за все, ідея проективних координат, які приписують кожній точці проективної площини систему чисел — координати цієї точки. У сучасних викладах ці координати зазвичай вводяться як звичайні («афінні») координати в тривимірному просторі , в якому пучки прямих і площин (з центром у початку координат 0 системи координат) утворюють модель проективної площини. З цього опису зрозуміло, що кожна точка проективної площини (тобто кожна з прямих тривимірного простору, що проходить через 0) описується трьома координатами x, y, z або принаймні однією з яких не звертається в нуль, тоді як пропорційні трійки координат або описують ту саму точку проективної площини (бо якщо і ), то і позначають той самий жмуток).

Праця Мебіуса про односторонні поверхні мав назву «Про об’єм багатогранників». Обговорюючи проблему об’єму, Мебіус зробив висновок, що деякі багатогранники, наприклад, той, який тепер відомий як семиедр Мебіуса (отриманий з правильного октаедра EABCDF з протилежними вершинами E і F шляхом видалення двох «верхніх» граней EAB і ECD і двох «нижніх» граней FAD і FBC, але потім додавши три діагональні грані EAFC, EBFD і ABCD) взагалі не можна призначити жодного обсягу, і ретельно проаналізовано причини цього явища. Зауважимо, що смуга Мебіуса була незалежно виявлена в Геттінгені Йоганном Бенедиктом Лістінгом (1808-1882) у тому ж році (1858). Це чітко вказує на об’єктивний характер розвитку математики, в якій відкриття робляться «коли настане час» і дуже часто самостійно кількома вченими одночасно.

1.2. Функція Мебіуса


Теорія чисел, як і багато інших напрямів математики, зазвичай спрямована на послідовності дійсних та комплексних чисел. У теорії чисел подібні послідовності мають назву арифметичні функції.

Означення 1. Дійна або комплексна функція, що є визначена в множині натуральних чисел називають арифметичною функцією.

Також важливим поняттям при вивченні даної теми є мультиплікативні функції, до яких відносять і функцію Мебіуса. Мультиплікативною називають функцію , що визначена на множині всіх натуральних чисел і набуває дійсних значень за умовами:

  • Функція не є тотожно рівною нулю;

  • Для довільних взаємно простих натуральних чисел m i n виконується рівність .

Зазначимо деякі влативості мультиплікативних функцій:

    1. .

Справді, нехай число таке, що . У такому випадку , отже .

  1. За умови якщо – мультиплікативні функції, то їх добуток також є мультиплікативною функцією.

Справді, , тому функція не є тотожно рівною нулю. Крім цього, для взаємно простих чисел m i n отримуємо: .

Для довільної визначеної на множині натуральних чисел функції розглянемо функцію , у цьому випадку сума береться по всім натуральним дільникам d числа n), яка називається суматорною функцією для функції .

Теорема 2.2. Нехай – канонiчний розклад числа n. Тодi для мультиплiкативної функцiї f(n) її суматорна функцiя F(n) дорiвнює
.

Доведення. Пiсля розкриття дужок у правiй частинi рiвностi отримаємо суму доданкiв вигляду , де , причому для кожного можливого набору буде зустрiчатись рiвно один доданок. Але коли набiр пробiгає всi можливi значення, то добуток пробiгає всi можливi дiльники числа n, тому права частина рiвностi дорiвнює F(n).

Наслідок. Для функції рівність набуває вигляду .

Функція Мебіуса визначається наступним чином: ;

Якщо n>1, то . Тоді , при , в інших випадках . Звернемо увагу, що , тоді і тільки тоді, колиnв квадраті набуває значення, більше ніж 1.

У таблиці наведено приклади значень функції Мебіуса у деяких значеннях n:



Таблиця 1.1

Функція Мебіуса виникає в різних частинах теорії чисел.  Однією з його фундаментальних властивостей є формула для дільника сума , розширений на додатні дільники для  n.

Теорема. Якщо маємо (1.1)

Доведення: Формула однозначно справедлива для n=1. Припустимо, що  n>1 і запишемо . В сумі єдине ненульове значення при d=1 та тих дільників n, які є добутками різних простих чисел. Таким чином 



Теорему доведено.

Доведена властивiсть функцiї Мебiуса використовується для обгрунтування так званої формули обертання Мебіуса:

Теорема: Нехай f(n) — довiльна функцiя, визначена на множинi натуральних чисел, аg(n) = — її суматорна функцiя. Тодi

Доведення: справді .

Але з рівності (1.1) випливає, що коли t≠n, то . Тому в правій частині рівності(дов)  лишається лише один доданок , що і треба було довести. 

Зауважимо, що справедливе i зворотне твердження: якщо для кожного натурального числа n виконується рiвнiсть (2.16), то функцiя g(n) є суматорною для функцiї f(n). Справдi, рiвнiсть (2.16) можна записати у вигляді ,  і тоді


Знову маємо, що для t≠n , i тому . Наведемо кiлька прикладiв застосування формули обертання. Функцiя τ (n) — кiлькiсть дiльникiв числа n — є суматорною для функцiї f(n) = 1, тому 

    1. Стрічка Мебіуса


Як вже було сказано в попередньому пункті, стрічка Мебіуа була відкрита в 1858 році німецькими математиками А.Ф. Мебіусом і І. Б. Лістінгом, прцюючи нежалежно одне від одного. Проте він був відомий задовго до того як фізичний об’єкт, так і в художніх зображеннях; зокрема, це можна побачити на кількох римських мозаїках третього століття нашої ери. У багатьох випадках вони просто зображують згорнуті стрічки як межі. Коли кількість котушок непарна, ці стрічки є смужками Мебіуса, але для парної кількості котушок вони топологічно еквівалентні розкрученим кільцям. Тому те, чи є стрічка стрічкою Мебіуса, може бути випадковим, а не свідомим вибором. Принаймні в одному випадку стрічка з різними кольорами на різних сторонах була намальована непарною кількістю витків, що змусило її художника зробити незграбне виправлення в тому місці, де кольори не збігаються. Інша мозаїка з міста Сентінум (на зображенні) показує зодіак, який тримає бог Айон, як смугу лише з одним поворотом. Немає чітких доказів того, що однобічність цього візуального зображення небесного часу була навмисною; його можна було вибрати лише як спосіб зробити так, щоб усі знаки зодіаку з’явилися на видимій стороні смужки. Деякі інші стародавні зображення уробурос або прикрас у формі вісімки також, як стверджують, зображують смуги Мебіуса, але чи були вони призначені для зображення плоских смуг будь-якого типу, неясно.



Рис. 1.1. Ланцюговий насос з приводним ланцюгом Мебіуса, Ісмаїл аль-Джазарі (1206)



Рис. 1.2 Мозаїка стародавнього Сентінума, що зображує Айона, що тримає смужку Мебіуса

Перейдемо безпосередньо до стрчки Мебіуса як топологічного об'єкта. Оскільки це просторова фігура, то вона повинна задаватися деяким рівнянням. Рівняння данної фігури задається параметрично в просторі :



Також рівняння стрічки Мебіуса можна представити у циліндричних координатах наступним чином: , у якій функція логарифма має довільну основу.



Рис. 1. 3. Стрічка Мебіуса

Стрічка Мебіуса має наступні властивості:

  • Одностородність- дана фігура має лише одну сторону і один край.

Властивості стрічки Мебіуса добре відомі: 1) вона має одну поверхню, 2) однак у кожному поперечному перерізі ця поверхня має "зовнішню" та "внутрішню" сторони, які по ходу руху вздовж стрічки переходять один в одного.

  • Неперервність.

Тополог може, як завгодно деформувати фігуру, аби лише точки, що раніше були сусідами, залишалися одна біля іншої і далі. А значить, з топологічного погляду коло не відрізняється від квадрата або трикутника, тому що їх легко перетворити один на інший, не порушуючи безперервності. На аркуші Мебіуса будь-яка точка може бути з'єднана з будь-якою іншою точкою і при цьому жодного разу не доведеться переповзати через край стрічки.

Розривів немає – безперервність повна. Уявіть собі, що зовнішньою поверхнею звичайного кільця подорожує мурашка. Якщо мураха не перетинає ребра, а йде вздовж листа, вона повернеться у вихідну точку, обійшовши зовнішню поверхню. На стрічці Мебіуса подорож мурахи триватиме вдвічі довше: мураха, не перетинаючи ребер, обійде обидві поверхні – зовнішню та внутрішню.

  • Зв’язаність .

Якщо квадрат розрізати від боку до сторони, то він, природно, розпадеться на два окремі шматки. Так само будь-який удар ножем розділить яблуко на дві частини. Але щоб розділити кільце на дві частини, потрібно вже два розрізи. І двічі доведеться різати бублик, якщо ви хочете пригостити їм двох друзів. Тому будь-який тополог скаже вам, що квадрат – однозв'язний, кільце та оправа від окулярів – двозв'язні, а всілякі ґрати та подібні складні постаті – багатозв'язні. А лист Мёбиуса двозв'язний, оскільки якщо розрізати його вздовж, він перетвориться над два окремих кільця, а одну цілу стрічку

  • Відсутність орієнтованості.

Орієнтованість – властивість, яка відсутня у стрічки Мебіуса. Так, якби людина змогла подорожувати всіма вигинами стрічки Мебіуса, то коли вона повернулася б у вихідну точку, вона перетворилася б на своє дзеркальне відображення.

  • Хроматичний номер.

Хроматичний номер дорівнює максимальній кількості областей, які можна намалювати на поверхні так, щоб кожна з них мала спільний кордон із усіма іншими. Якщо кожну таку область пофарбувати по-різному, будь-який колір повинен сусідити з будь-яким іншим.

Так ось, на аркуші паперу, навіть якщо його склеїти в кільце, ще нікому не вдалося розташувати п'ять кольорових плям будь-якої форми, які б мали загальний кордон. І на сфері, і на циліндрі їх може бути не більше, ніж чотири. то й означає, що хроматичний номер цих поверхонь – чотири. А на бублику кількість відповідних кольорів дорівнює семи. Який хроматичний номер стрічки Мебіуса? Він, як не дивно, дорівнює шести.

Таким чином можемо сказати, що стрічка Мебіуса є цікавим об’єктом, який вивчає топологія, нажаль деякі питання й досі залищаються без відповіді. Ось деякі з них:

    1. Яке мінімальне k таке, що з прямокутника з меншою стороною 1 і більшою стороною k можна згорнути стрічку Мебіуса, що не самоперетинається ( за умови, що папір м'яти не дозволяється)? Доведена оцінка знизу , а зверху .

    2. Чи існує формула, що описує аркуш Мебіуса, який виходить шляхом складання плоского аркуша паперу? Вищевказані формули описують поверхню, яку не можна скласти з аркуша паперу, оскільки вона має негативну кривизну; питається, чи можна аналогічним чином описати поверхню нульової кривизни?

  • Складніше знайти форму, яка мінімізує при цьому пружну енергію вигину. Вирішення цієї задачі, вперше поставленої Садовським (M. Sadowsky) в 1930, було опубліковано в 2007 Однак рішення не описується формулою алгебри, і малоймовірно, що така формула взагалі існує. Щоб знайти просторову рівноважну форму паперової стрічки Мебіуса, необхідно вирішити крайове завдання системи диференціально-алгебраїчних рівнянь .

Стрічка Мебіуса також слугує натхненням у митців, досить багато пам’яток архітектури і мистецва є її відображенням, про це більш детально описано у наступному розділі.

ВИСНОВОК ДО РОЗДІЛУ 1


Тематика досліджень Мебіуса має важливе значення для сучасної математичної науки. Розуміння спільності математики, як єдиної науки, розуміння її місця в сприйнятті цілісної картини світу, підвищує мотивацію до вивчення математики. Вивчаючи історичний контексті, можна відмітити, що математика може виникнути і в мистецтві.

Матеріал з даної теми є досиь різноанітним, за рахунок того, що охоплює такі напрями як топологія та теорія чисел, вивчення яких є важливим для формування матемачної уяви та свідомості.










РОЗДІЛ 2. ПРИКЛАДНА ТА ПРАКТИЧНА ЗНАЧУЩІСТЬ ДОСЛІДЖУВАНИХ ПИТАНЬ

2.1. Прикладне застосування стрічки Мебіуса


Двовимірні твори мистецтва із смугою Мебіуса включають картину Коррадо Каллі 1947 року без назви (згадана у вірші Чарльза Олсона) та дві гравюри М. К. Ешера: група Мебіуса I (1961), із зображенням трьох складених камбал, які кусають один одного хвости; і Möbius Band II (1963), що зображують мурашок, що повзають навколо смуги Мебіуса у формі лемніскату. Це також популярний предмет математичної скульптури, включаючи роботи Макса Білла (Безкінченна стрічка, 1953), Хосе де Рівери (Нескінченність, 1967) і Себастьяна. Смужка Мебіуса з трилистником була використана в «Безсмерті» Джона Робінсона (1982). «Континуум» Чарльза О. Перрі (1976) є одним із кількох творів Перрі, які досліджують варіації смуги Мебіуса.



Рис. 2.1. Безкінечна стрічка, Макс Білл, 1953

Завдяки своїй легко впізнаваній формі стрічки Мебіуса є поширеним елементом графічного дизайну. Знайомий логотип із трьома стрілками для переробки, розроблений у 1970 році, заснований на гладкій трикутній формі смуги Мебіуса, як і логотип на екологічній тематиці Expo '74. Деякі варіації символу переробки використовують інше вбудовування з трьома половинними поворотами замість одного, а в оригінальній версії логотипу Google Drive використовувалася плоска складена смужка Мебіуса в три повороти, як і інші подібні конструкції. Бразильський Національний Інститут Математики Pura e Aplicada (IMPA) використовує стилізовану гладку смужку Мебіуса як свій логотип і має відповідну велику скульптуру смуги Мебіуса, виставлену в їхній будівлі. Смужка Мебіуса також зображена на ілюстраціях для поштових марок. з таких країн, як Бразилія, Бельгія, Нідерланди та Швейцарія. Смуги Мебіуса були частим натхненням для архітектурного дизайну будівель і мостів.



Рис. 2.2. Символ переробки

Рис. 2.3 Гугл диск



Рис. 2.4.Марка Бразилії


Однак багато з них є проектами чи концептуальними проектами, а не побудованими об’єктами, або розширюють свою інтерпретацію смуги Мебіуса за межі її впізнаваності як математичної форми чи функціональної частини архітектури. Прикладом є Національна бібліотека Казахстану, для якої було заплановано будівництво у формі потовщеної смуги Мебіуса, але відремонтовано з іншим дизайном після того, як оригінальні архітектори вийшли з проекту. Однією з помітних будівель, що включає смугу Мебіуса, є NASCAR Hall. of Fame, який оточений великою скрученою стрічкою з нержавіючої сталі, яка виконує роль фасаду та навісу та нагадує вигнуті форми гоночних трас. У меншому масштабі крісло Мебіуса (2006) від Педро Рейеса являє собою лавку для засідань, основа та боки якої мають форму смуги Мебіуса. Як форма математики та мистецтва волокна, шарфи в’яжуться в смужки Мебіуса з часу роботи Елізабет Ціммерман на початку 1980-х років. У фуд-стайлінгу смужки Мебіуса використовували для нарізання бубликів, виготовлення петель з бекону та створення нових форм для макаронних виробів.



Рис 2.5. NASCAR Hall. of Fame

Хоча математично смуга Мебіуса і четвертий вимір є суто просторовими поняттями, вони часто використовувалися в спекулятивній літературі як основа для петлі часу, в яку можуть потрапити необережні жертви. Приклади цього тропу включають «Безсторонній професор» Мартіна Гарднера (1946), «Метро на ім’я Мебіус» (1950) Арміна Джозефа Дойча та знятий на його основі фільм Мебіус (1996). Цілий світ у формі стрічки Мебіуса є місцем дії Артура К. Кларка «Стіна темряви» (1946), тоді як звичайні стрічки Мебіуса використовуються як розумні винаходи в багатьох історіях Вільяма Хазлетта Апсона 1940-х років. Інші художні твори були проаналізовані як такі, що мають смужкову структуру Мебіуса, в якій елементи сюжету повторюються з поворотом; до них належать «У пошуках втраченого часу» Марселя Пруста (1913–1927), «Шість персонажів у пошуках автора» Луїджі Піранделло (1921), «Це прекрасне життя» Френка Капра (1946), «Загублені в будинку розваг» Джона Барта (1968), Семюел Р. Далгрен Делані (1975) і фільм Донні Дарко (2001).

Один із музичних канонів Й. С. Баха, п'ятий із 14 канонів (BWV 1087), виявлених у 1974 році в копії Баха «Варіації Гольдберга», має симетрію ковзання, в якій кожен голос у каноні повторює з перевернутими нотами те саме. мотив із двох попередніх тактів. Через цю симетрію цей канон можна вважати так, що його партитура написана на смузі Мебіуса. У теорії музики тони, що відрізняються на октаву, зазвичай вважаються еквівалентними нотами, а простір можливих нот утворює коло, хроматичне коло. Оскільки смуга Мебіуса є конфігураційним простором двох невпорядкованих точок на колі, простір усіх двонотних акордів набуває форми смуги Мебіуса. Ця концепція та узагальнення на більшу кількість точок є значним застосуванням орбіфолдов до теорії музики. Сучасні музичні групи, що отримали назву від стрічки Мебіуса, включають американське електронне рок-тріо Mobius Band і норвезьку прогресив-рок-групу Ring Van Möbius.

Смужки Мебіуса та їх властивості були використані в оформленні сценічної магії. Один з таких прийомів, відомий як афганські смуги, використовує той факт, що смужка Мебіуса залишається єдиною смужкою, якщо розрізати її вздовж. Він виник у 1880-х роках і був дуже популярним у першій половині двадцятого століття. Існує багато версій цього трюку, які були виконані відомими ілюзіоністами, такими як Гаррі Блекстоун-старший і Томас Нельсон Даунс.

2.2. Приклади задач на використання функції Мебіуса


Приклад 1. Довести, що для всіх дійсних чисел виконується рівність .

Розв’язання: Піднесемо абсолютно збіжний ряд до квадрату:

.

У останній сумі виступає стільки ж разів, скількома способами число можна подати у вигляді добутку двох натуральних множників ( з урахуванням їх порядку), тобто разів. Але тоді , що і треба було довести.

Приклад 2. Довести ,що для всіх дійсних чисел виконується рівність

Розв’язання. Із абсолютної збіжності ряду випливає абсолютна збіжність ряду . Розглянемо добуток цього ряду і ряду:

.

Отже , що і треба було довети. ,

Приклад 3. Встановити взаємозв’язок між функцією Ейлера і функцією Мебіуса .

Перед розв’язуванням даної зачі пригадаємо основні властивості функції Ейлера , які є важливими для даної задачі:

    1. , де р- просте число ;

    2. , якщо m i n взаємнопрості. У такому випадку функція Ейлера мультиплікативна;

    3. , якщо a і m взаємно прості числа





Розв’язання. властивість функції Ейлера.

Для заданої суми використовуємо формулу обертання Мебіуса:

, і, нарешті,

Наприклад, для маємо , ві дільники , , , , , тоді вираз У такому випадку приймає вигляд .

Нехай – розклад на прості множники. Оскільки – властивість фунукції Ейлера, то .

ВИСНОВОК ДО РОЗДІЛУ 2


У даному розділі ми навели приклади того, у яких об’єктах культури зустрічається стрічка Мебіуса, спираючись на це можемо зробити висновок, що математичні об’єкти можуть надихати. Завдяки ним можуть з’явитися нові творіння архітектури, образотворчого та навіть літературного мистецтва. Навіть, можуть винукнути теорії про будову Всесвіту.

У даному розділі було також наведено задачі на використання функції Мебіуса, а також встановлено взаємозв’язок між функцією Мебіуса і функцією Ейлера.

ВИСНОВОК


  1. Нами була виявлена та опрацьована література з теми «Історичний аспект вивчення стрічки Мебіуса». Ознайомившись з історико-математичним аспектом розвитку поняття «Стрічки Мебіуса» ми прийшли до висновку, що математика ХІХ ст. розвивалася одночасно, тому багато відкриттів було зроблено в один і той же час навіть різними вченими.

  2. Опрацювання літератури дало можливість визначити сутність поняття функції Мебіуса та стрічки Мебіуса. Функція Мебіуса одне з основних понять теорії чисел, зміст якого з розвитком математики змінювався і узагальнювався;

  3. Нами було розглянуто прикладне значення стрічки Мебіуса, встановлені зв'язки між культурою та математичними об'ектами.

  4. Задачі служать сполучною ланкою між теорією і практикою. Тож нами було розглянуто задачі на використання функції Мебіуса. Було встановлено зв'язок функції Мебіуса і функції Ейлера.

  5. У ході наших досліджень виявили відкриті питання, тому можна сказати, що данна тема й досі є актуальною і досконало не вивченою

Таким чином, мета роботи досягнута, а поставлені завдання виконані.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ


  1. Apostol, Tom M. Introduction to analytic number theory. (Undergraduate texts in mathematics) ” Evolved from a course (Mathematics 160) offered at the California Institute of Technology during the last 25 years.” Bibliography: p. 329

  2. CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Yaglom, Isaak M.: Felix Klein and Sophus Lie/I.M. Yaglom.­ Boston; Basel: Birkhiiuser, 1988. р.251

  3. Kyle, R. H. (1955). "Embeddings of Möbius bands in 3-dimensional space". Proceedings of the Royal Irish Academy, Section A. 57: 131–136.

  4. Larison, Lorraine L. (1973). "The Möbius band in Roman mosaics". American Scientist. 61 (5): 544–547.

  5. Pickover, Clifford A. (2005). The Möbius Strip: Dr. August Möbius's Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology. Thunder's Mouth Press. pp. 28–29.

  6. Researches in Mathematics and Mechanics. – 2018. – V. 23, Is. 1(31). – P. 138–148

  7. Z. Wahrseheinlichkeitstheorie 2, 340--368 (1964) On the Foundations of Combinatorial Theory I. Theory of Miibius Functions By GIAN-CARLO ROTA

  8. Безущак О.О., Ганюшкiн О.Г. Елементи теорiї чисел: Навчальний посiбник. – К.: Видавничо–полiграфiчний центр “Київський унiверситет”, 2003. – 203 с.

  9. Виноградов И.М. Основы теории чисел. — 9-е изд. — М., 1981.

  10. СТРІЧКА МЕБІУСА Виноградов М.О., студент; СумДУ, гр. ІН-41

  11. Холл М. Комбинаторика = Combinatorial Theory. — М.: Мир, 1970. — 424 с.

  12. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — 703 с.

  13. Нестеренко Ю. В. Теория чисел: учебник для студ. высш. учеб. заведений. — М.: Издательский центр «Академия», 2008. — 272 с.




скачати

© Усі права захищені
написати до нас