Зміст
Вступ
1. Виникнення перших математичних понять і методів
2. Математика стародавнього Єгипту
Висновки
1. ВИНИКНЕННЯ ПЕРШИХ математичних понять І МЕТОДІВ
Процес формування математичних понять і регулярних прийомів вирішення певних класів елементарних задач охоплює величезний проміжок часу. Його початок, ймовірно, відноситься до далекого часу, коли людина перейшла до використання знарядь для добування засобів існування, а потім і до обміну продуктів праці. Завершується цей період з появою якісно нових форм математичного мислення, тобто тоді, коли сукупність цих понять і методів та їх зміст робляться досить багатими, щоб утворити логічно пов'язані системи - початкові форми математичних теорій. Останні виникають в математиці близько VI-V ст. до н. е..
Матеріальні свідчення, за якими можна вивчати цей самий ранній період в історії математики, нечисленні і неповні. Досліднику доводиться залучати факти обший історії культури людства, по перевазі археологічні матеріали і історію мови. Історія математики періоду її зародження практично невіддільна від загальної історії людства.
Форми та шляхи розвитку математичних знань у різних народів вельми різноманітні. Однак при всій своєрідності шляхів розвитку загальним для всіх пародов є те, що всі основні поняття математики: поняття числа, фігури, площі, нескінченно триваючого натурального ряду і т. д. - виникли з практики і пройшли довгий шлях вдосконалення.
Наприклад, поняття числа виникло внаслідок практичної необхідності перерахунку предметів. Спочатку вважали за допомогою підручних засобів: пальців, каменів, ялинових шишок і т. д. Сліди цього збереглися у назві математичних числень: наприклад, calculus в перекладі з латинської означає рахунок камінчиками. Запас чисел на ранніх ступенях досить обмежений. Ряд відомих і використовуваних натуральних чисел був кінцевий і подовжувався лише поступово. Свідомість необмеженої продолжімості натурального ряду є ознакою високого рівня знань і культури.
Поряд з вживанням все більших і більших чисел виникали і розвивалися їхні символи, а самі числа утворювали системи. Для ранніх періодів історії матеріальної культури характерна різноманітність числових систем. Поступово вдосконалювалися і унифицировались системи числення. Вживана нині у всіх країнах десяткова позиційна система нумерації - підсумок тривалого історичного розвитку. Їй передували:
Різні ієрогліфічні непозиційної системи. У кожній з них будується система так званих вузлових чисел (частіше
всього 1, 10, 100, 1000, ...). Кожне таке число має індивідуальний символ - ієрогліф. Решта числа (їх називають алгоритмічними) утворюються приписуванням з тієї чи іншої сторони
вузлового числа інших вузлових чисел і повторенням їх. Примера
мі таких систем є єгипетська, фінікійська, Пальмірський,
критська, сирійська, аттична (або Геродіанова), старокітайская, староіндусская (карошті), ацтекська, римська. Остання
має систему вузлових чисел: I, V, X, L, С, D, М, побудовану за
десятковій ознаці з помітним впливом пятірічной системи.
Алфавітні системи числення. У цих системах букви алфавіту, взяті по 9, використовуються відповідно для позначення
одиниць, десятків, сотень. Кожній букві при цьому дається відрізни
вальний знак, який вказує, що вона використовується як число.
У разі, якщо букв алфавіту недостатньо, залучаються додаткові літери та знаки. Типовий приклад алфавітній системи - грецька іонічна (найдавніша збережена запис,
зроблена за цією системою, відноситься до V в. до н. е..):
(Дігамма)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 і т.д.
Алфавітні системи зручніше через стислості запису, проте вони малопридатні для оперування з великими числами і вимагають великих зусиль для запам'ятовування. Прикладами алфавітній системи крім наведеної є давньослов'янське (кирилиця і глаголиця), єврейська, арабська, грузинська, вірменська і ін
3. Позиційні недесяткових, а потім десяткова система. До позиційним недесяткових систем відносяться вавилонська, індіанська (племені майя на півострові Юкатан), індійська, сучасна двійкова.
Записи в позиційній десятковій системі з нулем вперше з'явилися близько 500 р. до н. е.. в Індії.
У результаті тривалого історичного розвитку з повсякденної практичної діяльності людей сформувалися інші математичні поняття: площі, обсяги та інші абстракції просторових властивостей предметів.
Накопичення знань як чисельно-арифметичного, так і геометричного характеру створило такі передумови для формування математичних теорій:
а) можливість випереджати безпосередню оперування з
речами оперуванням з їх спрощеними, схематичними зображеннями і найменуваннями (символами). На більш пізній ступені це призвело до розвитку числових систем і геометричних побудов;
б) вміння заміняти конкретну задачу канонічної завданням
більш загального вигляду, розв'язуваної за певними правилами, що охоплював цілу сукупність окремих випадків. Мова йде про первинних формах створення загальних алгоритмів і пов'язаних з ними
математичних числень.
Коли зазначені передумови виявляються дійовими і помітних масштабах, а в суспільстві утворюється прошарок людей, які вміють користуватися певною сукупністю математичних прийомів, тоді з'являються підстави говорити про початок існування математики як науки, про наявність її елементів.
Розглянемо конкретно ранні стадії формування математики на прикладі збережених пам'яток математичної культури древніх єгиптян, вавилонян, китайців та індійців.
2. МАТЕМАТИКА СТАРОДАВНЬОГО ЄГИПТУ
Наші пізнання про давньоєгипетської математики засновані головним чином на двох великих папірусах математичного характеру і на декількох невеликих уривках. Один з великих папірусів називається математичним папірусом Ринда (по імені виявив його вченого) і знаходиться в Лондоні. Він приблизно 5,5 м довжини і 0,32 м ширини. Інший великий папіpyc, майже такої ж довжини і 8 см ширини, знаходиться в Москві. Містяться в них математичні відомості відносяться приблизно до 2000 р. до н. е..
Папірус Ринда являє собою зібрання 84 завдань прикладного характеру. При вирішенні цих завдань проводяться дії з дробами, обчислюються площі прямокутника, трикутника, трапеції і
кола (остання дорівнює (8/9 d) 2, що грубому наближенню? = 3,1605 ...), обсяги паралелепіпеда, циліндра, розміри пірамід. Є також завдання на пропорційне ділення, а при вирішенні однієї задачі знаходиться сума геометричній прогресії.
У московському папірусі зібрані рішення 25 завдань. Більшість їх такого ж типу, як і в папірусі Ринда. Крім того, в одній з завдань (№ 14) правильно обчислюється обсяг усіченої піраміди з квадратною основою. В іншому завданні (№ 10) міститься найбільш ранній в математиці приклад визначення площі кривої поверхні: обчислюється бічна поверхня корзини, тобто напівциліндра, висота якого дорівнює діаметру підстави.
При вивченні змісті математичних папірусів виявляється наступний рівень математичних знань стародавніх єгиптян.
До часу написання цих документів вже склалася певна система числення: десяткова ієрогліфічна. Для вузлових чисел виду 10 до (k = 0, 1, 2, ..., 7) встановлені індивідуальні ієрогліфи. Алгоритмічні числа записувалися комбінаціями вузлових чисел. За допомогою цієї системи єгиптяни справлялися з усіма обчисленнями, в яких вживаються цілі числа. Що стосується дробів, то єгиптяни створили спеціальний апарат, що спирався на розуміння дробу тільки як частки одиниці. У силу цього подання вживалися лише дробу аліквотних (виду 1 / n) і деякі індивідуальні, як, наприклад, 2/3 і 3/4. Всі результати, які повинні були виражатися дробами виду m / n, виражалися сумою аліквотних дробів.
Для полегшення цих операцій були складені спеціальні таблиці, наприклад таблиця чисел виду 2 / n (п = 3, ..., 101). Інте ресно відзначити, що в цій таблиці підбір доданків неоднозначний. Таблиці, мабуть, складалися протягом довгого часу, складалися поступово і в дійшов до нас вигляді являють просто зведення досягнутих результатів.
Склалися також певні прийоми виробництва математичних операцій з цілими числами і дробами. Загальною для всієї обчислювальної техніки єгиптян є її адитивний характер, при якому всі процедури по можливості зводяться до додавання. Спільно з примітивним розумінням дробу тільки як частини одиниці ця особливість зумовила своєрідний характер обчислень.
При множенні, наприклад, переважно використовується спосіб поступового подвоєння одного із співмножників і складання відповідних приватних творів.
При розподілі також використовується процедура подвоєння і послідовного розподілу навпіл. Поділ, по-видимому, було найважчою математичної операцією для єгиптян. Тут спостерігається найбільша різноманітність прийомів. Так, іноді в якості проміжного дії застосовувалося знаходження двох третин або однієї десятої частки числа і т. п.
Часто зустрічається операція, звана хау («купа»), відповідна рішенням лінійного рівняння виду:
ax + bx + ... + cx =?
При додаванні дробів, що мають різні знаменники, єгиптяни використовували множення їх на допоміжні числа. Способи підбору цих допоміжних чисел не дають, однак, права судити про це прийомі як про уніфікованого процесі, адекватному способом приведення дробів до спільного знаменника. Історичні реконструкції в чому ще спірні і не підтверджені достатньою кількістю фактів.
Матеріали, що містяться в папірусах, дозволяють стверджувати, що за 20 століть до нашої ери в Єгипті почали складатися елементи математики як науки. Ці елементи ще тільки починають виділятися з практичних завдань, цілком підпорядковані їх змістом. Техніка обчислень ще примітивна, методи вирішення задач не одноманітно. Однак матеріалів, які дозволяли б взагалі судити про розвиток математики в Єгипті, ще недостатньо. Ми використовували їх тож лише як один з прикладів того, в який час і в якій формі починає складатися математична наука.
ВИСНОВОК
Історія вчить, що розвиток всіх форм діяльності людського суспільства відбувається під впливом єдиних мотивів економічного розвитку. Це вплив позначається, зокрема, в галузі математики у множинності джерел її виникнення. Математика виникла і формувалася як наука в багатьох місцях, нерідко вельми віддалених одна від одної і між собою, здавалося б, не пов'язаних.
При цьому завжди діяли і проявлялися загальні закономірності: походження математики з практичної діяльності людей, виділення числових і геометричних абстракцій в якості окремої галузі людських знань, освіта логічно послідовної системи цих абстракцій, застосування останніх до практичних завдань і т. п. Однак форма здійснення загальних закономірностей , характер математичної науки, співвідношення її елементів мали багато відмінностей та особливостей, які необхідно брати до уваги, щоб скласти правильне уявлення про шляхи та перспективи розвитку математичних наук.
Список літератури
Рибніков К. А. Історія математики: підручник. - М.: МГУ, 1994. - 496с.
Будівництво Д. Я. Короткий нарис історії математики. - М.: Наука, 1990. - 251с.