1. Теорія многочленів

1. Теорія многочленів

Означення: лівим ідеалом кільця S називається довільна підмножина I множини S, що задовольняє таким умовам:

1)

Якщо умову 2 замінити на 2

, то маємо означення правого ідеалу. Ідеал, який є одночасно і лівим і правим називають двостороннім ідеалом кільця або просто ідеал кільця.

У випадку комутативного кільця лівий і правий ідеали співпадають.

Приклади: 1)

2) Якщо кільце є полем, то в ньому ідеали лише тривіальні, тобто ідеал який є нульовим і ідеал, який співпадає з полем.

Нехай F – поле, I – ідеал поля F.

I) I={0} – нульовий ідеал.

II) I≠{0}, тоді ідеал I містить a≠0, оскільки F – поле, то a^-1є F, за умовою 2) a^-1a=e є I, тоді

, звідки

, так як I підмножина F, то I=F.

III) розглянемо кільце квадратних матриць порядку n над полем F, M(n, F). Підмножина I, яку складають матриці I=

– утворює правосторонній ідеал кільця M(n, F).

IV) Множина матриць I=

утворює лівосторонній ідеал кільця M(n, F).

Конгруенції за ідеалом

Нехай S – комутативне кільце, I – ідеал кільця S.

Означення: елементи a, b кільця s називаються конгруентними за ідеалом I, якщо a-b є I. Запис a b(mod I) – a конгруентно b за ідеалом i.

Покажемо, що відношення конгруентності за ідеалом I є відношенням еквівалентності на множині S. Дійсно: 1) a-a=0 є I, звідки a a (modI);

2) нехай a b (mod I), тоді a-b є I, звідси 0-(a-b)=b-a є I, звідси b a (mod I);

3) a b (mod I) і b c (mod I), звідси a-b, b-c є I, тоді (a-b)+(b-c)=a-c є I, отже, a c (mod I).

Оскільки, маємо, що відношення рефлексивності, симетричності і транзетивності, то це відношення еквівалентності. Будь-яке відношення еквівалентності задане на множині проводить розбиття на класи еквівалентності.

Класи еквівалентності кільця S за ідеалом I називають класами лишків за ідеалом I, amodI клас лишків з представником a, до якого входять всі ті і тільки ті елементи кільця S, які конгруентні a за ідеалом I.

Як будь-які класи еквівалентності класи лишків за ідеалом I мають такі властивості:

1) будь-які два класи лишків або співпадають, або не перетинаються;

2) об’єднання всіх класів лишків за ідеалом I є множина S;

3) amodI = bmodI тоді і тільки тоді, коли a-b є I. Оскільки ідеал I комутативна підгрупа адитивної групи S, то I – нормальний дільник S.

Маючи групу і її підгрупу, яка є нормальним дільником утворюємо фактор групу. Раніше ми довели, що класи еквівалентності за підгрупою обов’язково спвіпадають за суіжніми класами a modI = a+I. На множині суміжніх класів фактор множини S по I вводимо операцію додавання, то (a+I)+(b+I)=(a+b)+I. І можемо перевірити справедливість такої m.

Теорема: фактор множина з S по I з визначеною на ній операцією додавання утворюють абелеву групу.

Задамо на множині S по I операцію множення за такими правилами (a+I)(b+I)=ab+I. Виникає питання: чи коректно задана дана операція, тобто чи залежить добуток від представників класів. Нехай a+I=a₁+I, b+I=b₁+I, покажемо, що ab+I=a₁b₁+I. Оскільки a-a₁=x є I, b-b₁=y є I, то ab-a₁b₁=(a₁+x)(b₁+y)-a₁b₁=xb₁+ya₁+xy є I, звідки ab a₁b₁(mod I), → ab+I=a₁b₁+I.

Теорема: введена операція множення перетворює фактор групу S по I у фактор кільце. Для доведення потрібно показати виконання для суміжних класів аксіоми асоціативності множення і дистрибутивності множення відносно додавання.

Оскільки (a+I)((b+I)(c+I))=(a+I)(bc+I)=a(bc)+I=(ab)c+I=(ab+I)(c+I)=((a+I)(b+I))(c+I). (a+I)[(b+I)(c+I)]=(a+I)((b+c)+I)=a(b+c)+I=(ab+ac)+I=(ab+I)+(ac+I)=(a+I)(b+I)+(a+I)(c+I).

Аналогічно виконується і правий закон.

Отже, S по I – кільце. Надалі ми його називатимемо фактор кільцем кільця S за ідеалом I.

3. Кільце головних ідеалів.

Нехай S – кільце цілісності, a – елемент кільця S.

Означення: головним ідеалом кільця S породженим елементом a називається ідеал <a>={ma|m є Z}.

В кільці цілих чисел Z числа кратні 5 утворюють головний ідеал.

Означення: кільцем головних ідеалів називається будь-яке кільце цілісності у якоу кожний ідеал є головним.

Теорема: кільце цілих чисел Z є кільцем головних ідеалів.

Доведення: нехай U – ідеал кільця Z.

1. U=<0>.

Очевидно u є головним ідеалом, оскільки всі його елементи кратні 0.

2. U≠<0>.

Оскільки ідеал є адитивною групою то поряд з ненульовим елементом a є U; -a є U це означає, що будь-який ненульовий ідеал кільця Z містить натуральні числа.

Нехай m – найменше натуральне число, яке належить U. Покажемо, що U=<m>, тобто, що m – твірний елемент U.

Нехай с є U – довільний елемент з U. Розділивши с на m з остачею дістанемо c=mq+r, 0≤r<m. Так як c є U і mq є U, то r=c-mq є U. Наслідок мінімального вибору m, r=0, отже, с=mq. U=<m>. Теорема доведена.

5. Просте трансцендентне розширення кільця. Означення многочлена.

Нехай K і L – комутативні кільця K

L.

Означення: простим розширенням кільця K за допомогою елемента x є L називається мінімальне кільце K[x] для якого мають місце умови:

1) K

K[x]

2) Довільний елемент простого розширення завжди можна представити у вигляді a=α₀+α₁x+…+α_nxⁿ, α₀, α₁…α_n є K, n є N.

Означення: просте розширення K[x] називається простим трансцендентним розширенням кільця K[x], якщо для довільного a є K[x] з умови a=0 слідує α₀=α₁=…=α_n=0.

Розширення раціональних чисел числами e, π, ln 2 тобто множини Q[e], Q[π], Q[ln 2] є простим трансцендентними розширеннями раціональних чисел.

Означення: елементи простого трансцендентного розширення K[x] називаються многочленами від змінної x з коефіцієнтом з кільця K (заданими над кільцем K), а саме кільце K[x] називається кільце многочленів.

Синонімом до слова многочлен є поліном, тому часто вивчають кільця поліномів.

Теорема: якщо K[x] кільце многочленів від змінної x, і a=α₀+α₁x+…+α_nxⁿ, а також a=

+…+

то α₀=

; α₁=

… α_n=

.

Оскільки (α₀-

)+(α₁-

)x+…+(α_n-

)xⁿ=0, то з умови трансцендентності x дістанемо α₀-

=α₁-

=…=α_n-

=0, звідки α₀=

; α₁=

… α_n=

, що і треба було довести.

7. Ділення многочлена на двочлен. Теорема Безу.

Нехай f(х)= α₀+α₁x+…+α_nxⁿє K[x]- многочлен над кільцем К, с є К значення многочлена f(x) при х=с називатимемо скаляр f(c)= α₀+α₁c+…+α_ncⁿ є К

Означення: елемент с₀ є К наз коренем многочлена F(x) якщоf(x)=0

Теорема Безу Для довільного многочлена F(x) єК [x] і довільною с єК

такий многочлен g(x) є К[x] що має місце умова f(x)=(x-c)g(x)+f(c) (1). Теорему Безу модна сформулювати таким чином: остача від ділення многочлена F(x) єК [x] на многочлен х-с, сєК рівна значенню многочлена f(x) при х=с.

Дов нехай f(х)= α₀+α₁x+…+α_nxⁿ тоді f(c)= α₀+α₁c+…+α_ncⁿ і f(х)-f(с)= α₀+α₁(х-c)+…+α_n(xⁿ-cⁿ). Скориставшись формулою скороченого множення х^к-с^к=(х-с)(х^к-1+х^к-2с+…+с^к-1) можемо(х-с) винести за дужки, тоді f(x) -f(c)= (х-c)(α₁-α₂(х+с)+…+α_n(хⁿ^-1+…+cⁿ^-1) . позначивши другий множник правої частини g(x) одержимо f(x) -f(c)= (х-c)g(x) або f(x)= (х-c)g(x)+f(c)

Наслідок : Многочлен f(x) поділяється в кільці К[x] на многочлен (х-а) тоді і тільки тоді, коли f(a)=0, тобто a корінь многочлена f(x).

Доведення: нехай a – корінь f(x) згідно теореми Безу f(x)=(x-a)g(x)+f(a), тобто f(x)=(x-a)g(x), оскільки f(a)=0. За означенням f(x)

(x-a).

Якщо f(x)

(x-a) то f(x)=(x-a)g(x), де g(x) є K[x].

Поклавши f(x)=a дістанемо f(a)=(a-a)g(a)=0, отже, a – корінь f(x).

8. Кількість коренів многочлена над областю цілісності.

Теорема: якщо K – область цілісності, то довільний многочлен степеня n з кільця K[x] має в цьому кільці не більше, ніж n коренів.

Так от, доведення. Скористаємося методом математичної індукції, якщо f(x) належний K[x] є многочленом нульового степеня, то f(x)=α₀, де α₀≠0, і такий многочлен коренів не має і в цьому випадку теорема виконується. Якщо deg f(x)=1, то f(x)=α₁x+α₀ і очевидно такий многочлен матиме єдиний корінь x=

α₀, якщо

α₀ є K, і не матиме кореня, якщо

α₀

K. Отже, у випадку n=1 маємо не більше 1 кореня.

Припускаємо, що теорема має місце для всіх многочленів степеня n, і доведемо її справедливість для многочлена f(x) степеня n+1. Нехай f(x) многочлен степеня n+1 над кільцем K, якщо даний многочлен кореня не має, то теорема виконується. Нехай x₀ – корінь f(x), тоді за теоремою Безу f(x)=(x-x₀)g(x), g(x) є K[x]. Так як K – область цілісності ї, то за властивістю степеня deg g(x)=n. Якщо x₁ – корінь f(x), x₁≠x₀, то з умови f(x₁)=(x₁-x₀)g(x₁)=0 слідує g(x₁)=0, тобто x₁ є коренем многочлена g(x) степеня n. За індуктивним припущенням g(x) має не більше m коренів, а тому враховуючи корінь x₀ поб. визн. f(x) має не більше ніж n+1 коренів.

Тому теоерема виконується

і 0.

Наслідок: якщо многочлен f(x)=α₀+α₁x+…+α_nxⁿ є K[x] має в області цілісності K більше ніж n коренів, то f(x) – нуль многочлен.

6. Степінь многочлена і його властивості.

Ми довели, що будь-який многочлен з кільця K[x] можна однозначно записати у вигляді α₀+α₁x+…+α_nxⁿ

Означення: степенем многочлена f= α₀+α₁x+…+α_nxⁿє K[x] наз невід'ємне ціле число n , якщо α_n≠0

Многочлен нульового степеня є многочлен виду f= α_0,де α₀≠0, тобто це не нульовий елемент кільця коєфіцієнтів К

Зауважимо, що в многочлені f= α₀+α₁x+…+α_nxⁿ, α₀ називається вільним членом, а α_n- старши коефіцієнтом. У випадку, якщо α_n=1 то многочлен f назив нормованим.

Многочлен у якому всі коефіцієнти =0 назив нуль-многочленом. Нуль-многочлен степеня не має.

Властивості степеня

1 степень суми двох многочленів не перевищує максимального із степенів доданків deg(f+g)≤max

2 степень добутку двох многочленів не перевищує суми степенів співмножників

Дов. Нехай f: а=α₀+α₁x+…+α_nxⁿ многочлен степеня n ,

₀+

₁x+…+

_nxⁿ,многочлен степеня m тоді f

_{0 1}+

_{1 0})x+ α_n_mxⁿ⁺^m , так як α_nі К область цілісності то і добуток α_n_n≠0, а тому α_n_m є старши коефіцієнтом добутку

g звідки deg f

g=m

n=degf+deg g.

4. Евклідові кільця

Нехай K – комутативне кільце.

Означення: евклідовим кільцем називається кільце цілісності K в якому задано відображення φ:K/{0}→N₀ його ненульових елементів у ножину невід’ємних цілих чисел, яке задовольняє умовам:

1)

Теорема:

Будь-яке кільце цілісності є кільцем головних ідеалів, якщо воно є евклідовим кільцем.

Доведення: Нехай K – евклідове кільце U – ненульовий ідеал кільця K. Позначимо a такий елемент ідеала U, для якого φ(a) найменше значення для всіх значень функції φ на ідеалі U.

Покажемо, що будь-який елемент кільця K кратний a. Поділимо довільний елемент b є U на a з остачею. Згідно аксіоми 2) таке ділення завжди можливе b=aq+r, де r=0 або φ(r)<φ(a). Так як b є U, a є U то aq є U і r=b-aq є U.

З припущення r≠0 отримуємо φ(r)<φ(a), що суперечить вибору a, отже, r=0, b=a