Реферати, курсові, дисертації, дипломи

[ Профілактика труднощів школярів під час навчання математики на прикладі теми Рівняння зі змінною ]

<div style="font-size:16px;text-align:justify;">
	<div> МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ <a href="Держава" title="Держава"> Державна</a> освітня установа вищої НАУКИ Вятський державний гуманітарний університет Фізико-математичний факультет Кафедра дидактики фізики і математики <a href="Курсова" title="Курсова"> Курсова</a> робота Профілактика труднощів <a href="Школяр" title="Школяр">школярів</a> під час <a href="Навчання" title="Навчання">навчання</a> математики на прикладі теми «Рівняння зі змінною в знаменнику» <a href="Студент" title="Студент"> Студента</a> 4 курсу Маркова Романа Володимировича Науковий керівник: к.п.н., доцент кафедри дидактики фізики і математики Шилова Зоя Вениаминовна <a href="Кіров" title="Кіров"> Кіров</a> 2009 Зміст Введення Глава 1. Огляд <a href="Підручник" title="Підручник">підручників</a> і методів вивчення теми 1. Огляд підручників 2. Огляд методів вивчення теми Глава 2. <a href="Методичка" title="Методичка"> Методичні</a> рекомендації щодо вивчення теми Висновок Список літератури Введення З проблемою поділу на нуль учні знайомляться ще в початковій школі, вивчаючи операцію ділення. Це пов'язано з тим, що при розподілі на деяке число використовується множення на число, протилежне дільнику, а число нуль, як відомо з теорії чисел, зворотного елементу на безлічі раціональних чисел не має. Але введення суворої аксіоматичної теорії в шкільному курсі математики неможливо, тому проблема вимагає інших, більш зрозумілих для <a href="Школяр" title="Школяр">школяра</a> підходів. Головним принципом при вирішенні рівнянь із змінною в знаменнику є облік <a href="Саме" title="Саме">саме</a> цього факту, тому дана тема потребує пропедевтику. Аналіз підручників <a href="Математика" title="Математика">математики </a>(см далі.) Показав, що у всіх <a href="Підручник" title="Підручник">підручниках</a> проблеми поділу на 0 не віддається належної уваги.<a href="Як" title="Як"> Як</a> наслідок - тема «рівняння зі змінною в знаменнику» стає складною і не доступною розумінню учням. Для зменшення формалізму при вирішенні таких рівнянь і труднощів при їх вирішенні у даній роботі наводяться методичні рекомендації для проведення пропедевтики теми, її вивчення і подальшого закріплення. Об'єктом <a href="Роботи" title="Роботи">роботи</a> є викладання математики та алгебри в 5 - 9 класах основної школи. Предметом - труднощі школярів під час навчання математики, а саме: проблеми, пов'язані з вивченням теми «Рівняння зі змінною в знаменнику». Мета: розробити методичні рекомендації, спрямовані на підвищення якості знань учнів з теми «Рівняння зі змінною в знаменнику», проведення <a href="Пропедевтика" title="Пропедевтика">пропедевтичної</a> роботи з учнями на тему, повторення вивченого матеріалу теми в ході вивчення інших розділів алгебри. Структура роботи: 1. Огляд і аналіз матеріалу, пропонованого до вивчення по цій темі в основних шкільних підручниках, методи вивчення теми. 2. Методичні рекомендації щодо вивчення, пропедевтики і повторення матеріалу теми. Глава 1. Огляд підручників і методів вивчення теми 1. Огляд підручників Для аналізу були обрані наступні <a href="Підручник" title="Підручник">підручники</a>: 1. Дорофєєв Г.В., <a href="Суворов" title="Суворов">Суворова</a> С.Б., Шаригін І.Ф. та ін «Математика 5» 2. Істоміна Н.Б. «Математика 5 клас» 3. Волович М. Б. «Математика 5» 4. Віленкін Н.Я., Жохів В.І., Чесноков О.С., Шварцбурд С.І. «Математика 6» 5. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Шаригін І.Ф. та ін «Математика 6» 6. Істоміна Н.Б. «Математика 6 клас» 7. Нурк Е.Р., Тельгмаа А.Е. «Математика 6» 8. Теляковський С.А. «Алгебра 7» 9. Алімов Ш.А., Ю.М. Колягін, Ю.В. Сидоров та ін «Алгебра: Учеб. Для 7 кл. 10. Макаричєв Ю.М. «Алгебра 7 клас» 11. Теляковський С.А. «Алгебра 8» 12. Мордкович А.Г. та ін "<a href="Алгебра" title="Алгебра">Алгебра</a> 8 клас» 13. Алімов Ш.А., Ю.М. Колягін, Ю.В. Сидоров та ін «Алгебра: Учеб. Для 9 кл. 14. Мордкович А.Г. та ін «Алгебра 9 клас» У кожному з підручників обрані теми, будь-яким чином зачіпають досліджуваний розділ. Дорофєєв Г.В. та ін «Математика 5» 1. Введення операції ділення: <o:lock v:ext=edit aspectratio=t /><img width=304 height=209 src=dopb446007.zip v:shapes="Рисунок_x0020_138"> 2. Вивчення операцій з дробами. <a href="Випадок" title="Випадок"> Випадок</a> поділу на 0 не розглядається. Істоміна Н.Б. «Математика 5 клас» 1. <a href="Операція" title="Операція"> Операція</a> поділу. <a href="Випадок" title="Випадок">Випадок</a> поділу на 0 не розглядається, дана тільки коротка пам'ятка: <img width=253 height=33 src=dopb446008.zip v:shapes="Рисунок_x0020_141"> 2. Вивчення операцій з дробами.<a href="Випадок" title="Випадок"> Випадок</a> поділу на 0 не розглядається. Волович М. Б. «Математика 5» 1. Вивчення операцій з дробами. <a href="Випадок" title="Випадок">Випадок</a> поділу на 0 не згадується. Віленкін Н.Я та ін «Математика 6» 1. Розподіл дробів. Випадок поділу на 0 не розглядається. 2. Дробові вирази: <img width=445 height=40 src=dopb446009.zip v:shapes="Рисунок_x0020_144"> Поділ на 0 не згадується. Дорофєєв Г.В. та ін «Математика 6» 1. Основні відомості про дробах - основна властивість дробу: <img width=448 height=68 src=dopb446010.zip v:shapes="Рисунок_x0020_147"> 2. Розподіл цілих чисел. «На нуль, як зазвичай ділити не можна». Істоміна Н.Б. «Математика 6 клас» 1. <a href="Дроби" title="Дроби"> Дроби</a> і дробові вирази. Поділ на 0 не згадується. Нурк Е.Р., Тельгмаа А.Е. «Математика 6» 1. Розподіл звичайних дробів: «На нуль ділити не можна». 2. Ділення раціональних чисел: «Обгрунтуйте, що ділити на 0 не можна». Теляковський С.А. «Алгебра 7» 1. Рівняння з 1 змінної і його коріння: «Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне і те ж відмінне від 0 число, то вийде рівняння, рівносильне даному». 2. Знаходження коренів лінійного рівняння з 1 змінної: використовується розподіл на не нульовий коефіцієнт. 3. <a href="Функції" title="Функції"> Функція</a>, графік <a href="Функції" title="Функції">функції</a>: знаходження області визначення <a href="Функції" title="Функції">функції</a>. Приклад: QUOTE <img width=61 height=35 src=dopb446011.zip v:shapes=_x0000_i1029><img width=61 height=35 src=dopb446011.zip v:shapes=_x0000_i1030> Алімов Ш.А. «Алгебра 7» 1. Алгебраїчні рівності, формули. Використання буквених виразів: <img width=381 height=151 src=dopb446012.zip v:shapes="Рисунок_x0020_16"> 2. Рішення рівнянь з одним невідомим, що зводяться до лінійних. <img width=402 height=89 src=dopb446013.zip v:shapes="Рисунок_x0020_19"> 3. Алгебраїчна дріб. Основна властивість дробу. <img width=402 height=133 src=dopb446014.zip v:shapes="Рисунок_x0020_22"> 4. <a href="функція" title="функція">Функція</a>, графік функції. Тема не згадується, <a href="Поняття" title="Поняття">поняття</a> області визначення не вводиться. 5. Визначення функції зворотної пропорційності для позитивних Х. Неявно вказівку області визначення. <img width=317 height=136 src=dopb446015.zip v:shapes="Рисунок_x0020_25"><img width=122 height=132 src=dopb446016.zip v:shapes="Рисунок_x0020_28"> Макаричєв Ю. М. «Аалгебра 7» 1. Вирази зі змінними. <img width=377 height=144 src=dopb446017.zip v:shapes="Рисунок_x0020_13"> Далі наводяться завдання для визначення області допустимих значень змінної і знаходження значень змінних, при яких вираз не має сенсу. 2. Рівняння з однією змінною: завдання виду «вкажіть область визначення рівняння": <img width=301 height=117 src=dopb446018.zip v:shapes=_x0000_i1037> 3. <a href="Функції" title="Функції"> Функції</a> та їх графіки. <a href="Область_визначення_функції" title="Область визначення функції">Область визначення функції</a>: <img width=384 height=134 src=dopb446019.zip v:shapes=_x0000_i1038> Приклад завдання: <img width=472 height=85 src=dopb446020.zip v:shapes=_x0000_i1039> Теляковський С. А. «Алгебра 8» 1. Раціональні <a href="Дроби" title="Дроби">дроби</a> та їх властивості. <img width=395 height=57 src=dopb446021.zip v:shapes=_x0000_i1040> <img width=395 height=200 src=dopb446022.zip v:shapes="Рисунок_x0020_31"> Приклад завдання: <img width=402 height=74 src=dopb446023.zip v:shapes="Рисунок_x0020_34"> 2. Скорочення дробів, основна властивість дробу: <img width=449 height=66 src=dopb446024.zip v:shapes="Рисунок_x0020_37"> 3. Розподіл дробів. <img width=418 height=129 src=dopb446025.zip v:shapes="Рисунок_x0020_40"> <img width=431 height=246 src=dopb446026.zip v:shapes=_x0000_i1045> 4.<a href="Функції" title="Функції"> Функція</a> QUOTE <img width=44 height=35 src=dopb446027.zip v:shapes=_x0000_i1046><img width=44 height=35 src=dopb446027.zip v:shapes=_x0000_i1047> . <img width=434 height=138 src=dopb446028.zip v:shapes="Рисунок_x0020_43"> 5. Рішення дробових раціональних рівнянь <img width=353 height=183 src=dopb446029.zip v:shapes="Рисунок_x0020_46"> <img width=357 height=181 src=dopb446030.zip v:shapes="Рисунок_x0020_49"> <img width=357 height=261 src=dopb446031.zip v:shapes="Рисунок_x0020_52"> Приклад завдання: <img width=367 height=133 src=dopb446032.zip v:shapes="Рисунок_x0020_55"> Мордкович А. Г. «Алгебра 8» 1. Алгебраїчні <a href="Дроби" title="Дроби">дроби</a>. Основна властивість алгебраїчних дробів. Випадок поділу на 0 не розглядається. 2. Рішення раціональних рівнянь. <img width=270 height=196 src=dopb446033.zip v:shapes=_x0000_i1053> <img width=401 height=81 src=dopb446034.zip v:shapes=_x0000_i1054> <img width=411 height=143 src=dopb446035.zip v:shapes=_x0000_i1055> <img width=350 height=310 src=dopb446036.zip v:shapes=_x0000_i1056> <img width=427 height=226 src=dopb446037.zip v:shapes=_x0000_i1057> 3. <a href="Гіпербола" title="Гіпербола"> Гіпербола</a>, графік гіперболи. <img width=360 height=150 src=dopb446038.zip v:shapes=_x0000_i1058> Випадок 0 в знаменнику не розглядається. Алімов Ш. А. «Алгебра 9» 1. <a href="функція" title="функція">Функція</a>, <a href="Область_визначення_функції" title="Область визначення функції">область визначення функції</a>. <img width=386 height=236 src=dopb446039.zip v:shapes=_x0000_i1059> 2. Елементи тригонометрії. Приклад застосування теми: <img width=410 height=150 src=dopb446040.zip v:shapes=_x0000_i1060> 3. Повторення - рішення рівнянь. Приклади: <img width=359 height=102 src=dopb446041.zip v:shapes=_x0000_i1061> <img width=320 height=72 src=dopb446042.zip v:shapes=_x0000_i1062> <img width=396 height=103 src=dopb446043.zip v:shapes=_x0000_i1063> Мордкович А. Г. «Алгебра 9» 1. Раціональні <a href="Нерівності" title="Нерівності">нерівності</a> <img width=313 height=75 src=dopb446044.zip v:shapes=_x0000_i1064> 2. Системи рівнянь <img width=291 height=102 src=dopb446045.zip v:shapes=_x0000_i1065> 3. Функція, область визначення <img width=338 height=57 src=dopb446046.zip v:shapes=_x0000_i1066> 4. Функція QUOTE <img width=52 height=35 src=dopb446047.zip v:shapes=_x0000_i1067><img width=52 height=35 src=dopb446047.zip v:shapes=_x0000_i1068> та її графік. 5. Тригонометричні функції. Аналіз наведеного матеріалу Проаналізувавши основні підручники, можна зробити висновок, що у всіх підручниках 8 класу тема «раціональні рівняння» викладається досить повно, проте, <a href="Пропедевтика" title="Пропедевтика">пропедевтика</a> цієї теми не наводиться на достатньому рівні ні в одному підручнику. Звідси в учнів нерозуміння логіки рішення рівнянь даного виду, формальний підхід до їх вирішення. Крім <a href="Того" title="Того">того</a>, у зв'язку з частим використанням подібних рівнянь у наступних темах, також необхідно повторення теми в 9 класі, яке в підручниках також мало представлено. Теми, в яких порушується досліджуваний розділ: · Введення операції ділення · Вивчення операцій з дробами, основна властивість дробу. · Розподіл цілих чисел · Розподіл раціональних чисел · Рівняння з 1 змінної і його коріння · Функція, графік функції: знаходження області визначення функції · Вирази зі змінними · Раціональні дроби та їх властивості, розподіл дробів · Функція «зворотна пропорційність» · Рішення дробових раціональних рівнянь · Елементи тригонометрії · Раціональні <a href="Нерівності" title="Нерівності">нерівності</a> · Системи рівнянь 2. Огляд методів вивчення теми Метод - множення дробів на їх загальний знаменник. Для прикладу вирішимо дробове раціональне рівняння <img width=176 height=46 src=dopb446048.zip v:shapes=_x0000_i1069> (1) Помножимо обидві частини рівняння на спільний знаменник дробів, т е на вираження QUOTE <img width=69 height=51 src=dopb446049.zip v:shapes=_x0000_i1070><img width=69 height=51 src=dopb446049.zip v:shapes=_x0000_i1071> . Отримаємо ціле рівняння QUOTE <img width=202 height=51 src=dopb446050.zip v:shapes=_x0000_i1072><img width=202 height=51 src=dopb446050.zip v:shapes=_x0000_i1073> . (2) Зрозуміло, що кожен корінь рівняння (1) є коренем рівняння (2). Але рівняння (2) може бути не рівносильно вихідного, так як ми помножили обидві його частини не на число, відмінне від нуля, а на вираз, що містить змінну, що може звертатися до 0. Тому кожен корінь рівняння (2) обов'язково виявиться коренем рівняння (1). Спростивши рівняння (2), одержимо квадратне рівняння <img width=182 height=35 src=dopb446051.zip v:shapes=_x0000_i1074> Його коріння - числа -2 і 5. Перевіримо, чи є вони корінням рівняння (1). При QUOTE <img width=59 height=51 src=dopb446052.zip v:shapes=_x0000_i1075><img width=59 height=51 src=dopb446052.zip v:shapes=_x0000_i1076> загальний знаменник QUOTE <img width=69 height=51 src=dopb446049.zip v:shapes=_x0000_i1077><img width=69 height=51 src=dopb446049.zip v:shapes=_x0000_i1078> не звертається до 0. Значить, число -2 - корінь рівняння (1). Отже, коренем рівняння (1) служить тільки число -2. Взагалі, при вирішенні дробових рівнянь доцільно поступати таким чином: 1. Знайти спільний знаменник дробів, що входять в рівняння; 2. Помножити обидві частини рівняння на спільний знаменник; 3. Вирішити вийшло ціле рівняння; 4. Виключити з його коріння ті, які звертають в 0 спільний знаменник. Метод, який використовує рівність дробу 0. Почнемо з прикладу. Нехай потрібно розв'язати рівняння QUOTE <img width=163 height=67 src=dopb446053.zip v:shapes=_x0000_i1079><img width=163 height=67 src=dopb446053.zip v:shapes=_x0000_i1080> (1) Перенесемо вираз QUOTE <img width=53 height=67 src=dopb446054.zip v:shapes=_x0000_i1081><img width=53 height=67 src=dopb446054.zip v:shapes=_x0000_i1082> в ліву частину рівняння з протилежним знаком, тобто додамо до обох частин рівняння за QUOTE <img width=70 height=67 src=dopb446055.zip v:shapes=_x0000_i1083><img width=70 height=67 src=dopb446055.zip v:shapes=_x0000_i1084> і різниця QUOTE <img width=120 height=67 src=dopb446056.zip v:shapes=_x0000_i1085><img width=120 height=67 src=dopb446056.zip v:shapes=_x0000_i1086> в правій частині рівняння замінимо нулем. Отримаємо рівняння </div><div> QUOTE <img width=196 height=67 src=dopb446057.zip v:shapes=_x0000_i1087><img width=196 height=67 src=dopb446057.zip v:shapes=_x0000_i1088> (2) Чи може при переході від рівняння (1) до рівняння (2) відбутися втрата або придбання коренів? Очевидно, що так як різниця QUOTE <img width=120 height=67 src=dopb446056.zip v:shapes=_x0000_i1089><img width=120 height=67 src=dopb446056.zip v:shapes=_x0000_i1090> тотожно дорівнює 0 на безлічі тих значень у, при яких QUOTE <img width=100 height=52 src=dopb446058.zip v:shapes=_x0000_i1091><img width=100 height=52 src=dopb446058.zip v:shapes=_x0000_i1092> то ми могли б придбати нові коріння за рахунок значень у, звертають в нуль вираз QUOTE <img width=74 height=52 src=dopb446059.zip v:shapes=_x0000_i1093><img width=74 height=52 src=dopb446059.zip v:shapes=_x0000_i1094> Але вони не можуть служити корінням рівняння (2), тому що при цих значеннях вираз QUOTE <img width=66 height=67 src=dopb446060.zip v:shapes=_x0000_i1095><img width=66 height=67 src=dopb446060.zip v:shapes=_x0000_i1096> , Що входить в якості доданка в ліву частину рівняння (2), втрачає сенс. Розмірковуючи аналогічно, ми можемо показати, що взагалі рівняння r (х) = р (х), де r (х) і р (х) - раціональні вирази, причому хоча б одне з них дробове, рівносильне рівнянню r (х)-p (x) = 0 Повернемося до розглянутого прикладу. Представивши тепер cумму дробів QUOTE <img width=163 height=67 src=dopb446053.zip v:shapes=_x0000_i1097><img width=163 height=67 src=dopb446053.zip v:shapes=_x0000_i1098> у вигляді відношення двох многочленів, отримаємо рівняння QUOTE <img width=100 height=67 src=dopb446061.zip v:shapes=_x0000_i1099><img width=100 height=67 src=dopb446061.zip v:shapes=_x0000_i1100> (3) Так як в результаті <a href="Перетворення" title="Перетворення">перетворення</a> суми дробів в дріб ми отримали вираз з тією ж областю визначення та тотожно дорівнює вихідному висловом на цій області, то рівняння (3) рівносильне рівнянню (2), а отже, і рівняння (1). Будь-яке чи перетворення дробового вираження r (х) - p (х) в дріб, чисельник і знаменник якого многочлени, дозволяємо від рівняння r (х) - р (х) = 0 перейти до рівносильне рівнянню виду QUOTE <img width=63 height=65 src=dopb446062.zip v:shapes=_x0000_i1101><img width=63 height=65 src=dopb446062.zip v:shapes=_x0000_i1102> , Де f (х) і g (х) - многочлени? Розглянемо приклади. Приклад 1. Замінивши в рівнянні <img width=138 height=56 src=dopb446063.zip v:shapes=_x0000_i1103><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Mathcad ShapeID=_x0000_i1103 DrawAspect=Content ObjectID=_1352592266></o:OLEObject></xml> (4) вираз <img width=116 height=56 src=dopb446064.zip v:shapes=_x0000_i1104><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Mathcad ShapeID=_x0000_i1104 DrawAspect=Content ObjectID=_1352592267></o:OLEObject></xml> дробом <img width=108 height=57 src=dopb446065.zip v:shapes=_x0000_i1105><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Mathcad ShapeID=_x0000_i1105 DrawAspect=Content ObjectID=_1352592268></o:OLEObject></xml> і скоротивши цей дріб, ми отримаємо рівняння х (х - 2) = 0, (5) не равносильное рівнянню (4). Дійсно, число 2 задовольняє рівнянню (5), але не задовольняє рівнянню (4). Порушення равносильности відбулося за рахунок того, що ми виконали тотожне перетворення, що приводить до виразу з більш широкою сферою визначення: вираз <img width=108 height=57 src=dopb446065.zip v:shapes=_x0000_i1106><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Mathcad ShapeID=_x0000_i1106 DrawAspect=Content ObjectID=_1352592269></o:OLEObject></xml> визначено при х QUOTE <img width=14 height=51 src=dopb446066.zip v:shapes=_x0000_i1107><img width=14 height=51 src=dopb446066.zip v:shapes=_x0000_i1108> 2, а вираження х (х - 2) - при будь-якому значенні х. Приклад 2. У рівнянні <img width=192 height=57 src=dopb446067.zip v:shapes=_x0000_i1109><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Mathcad ShapeID=_x0000_i1109 DrawAspect=Content ObjectID=_1352592270></o:OLEObject></xml> (6) замінимо різниця <img width=111 height=51 src=dopb446068.zip v:shapes=_x0000_i1110><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Mathcad ShapeID=_x0000_i1110 DrawAspect=Content ObjectID=_1352592271></o:OLEObject></xml> числом 0. Отримаємо рівняння <img width=83 height=63 src=dopb446069.zip v:shapes=_x0000_i1111><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Mathcad ShapeID=_x0000_i1111 DrawAspect=Content ObjectID=_1352592272></o:OLEObject></xml> (7) Рівняння (7) не рівносильне рівнянню (6), так як існує таке значення змінної х (число 3), яке задовольняє рівнянню (7), але не задовольняє рівнянню (6). Равносильность порушено у зв'язку з тим, що область визначення вираження <img width=56 height=66 src=dopb446070.zip v:shapes=_x0000_i1112><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Mathcad ShapeID=_x0000_i1112 DrawAspect=Content ObjectID=_1352592273></o:OLEObject></xml> ширше, ніж область визначення вираження <img width=192 height=57 src=dopb446071.zip v:shapes=_x0000_i1113><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Mathcad ShapeID=_x0000_i1113 DrawAspect=Content ObjectID=_1352592274></o:OLEObject></xml> Якщо ж при заміні різниці r (х) - р (х) раціональних виразів, хоча б одне з яких дробове, дробом <img width=39 height=53 src=dopb446072.zip v:shapes=_x0000_i1114><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Mathcad ShapeID=_x0000_i1114 DrawAspect=Content ObjectID=_1352592275></o:OLEObject></xml> , Де f (х) і g (х) - многочлени, були виконані тільки ті тотожні перетворення, які не змінюють області визначення вираження, то вийде рівняння <img width=69 height=51 src=dopb446073.zip v:shapes=_x0000_i1115><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Mathcad ShapeID=_x0000_i1115 DrawAspect=Content ObjectID=_1352592276></o:OLEObject></xml> равносильное рівнянню r (х) - p (х) = О, а значить, і рівнянню r (х) = р (х). Так для рівняння (4) рівносильним є рівняння <img width=134 height=57 src=dopb446074.zip v:shapes=_x0000_i1116> <xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Mathcad ShapeID=_x0000_i1116 DrawAspect=Content ObjectID=_1352592277></o:OLEObject></xml> . Для рівняння (6) рівносильним є рівняння <img width=259 height=52 src=dopb446075.zip v:shapes="Рисунок_x0020_69"> тобто рівняння <img width=209 height=50 src=dopb446076.zip v:shapes="Рисунок_x0020_72"> Зауважимо, що в тому випадку, коли під час виконання тотожних перетворень область визначення вираження розширилася, <a href="Пропозиція" title="Пропозиція">пропозицією</a>, рівносильним рівнянню r (х) - р (х) = 0, буде система, складена з рівняння <img width=98 height=49 src=dopb446077.zip v:shapes="Рисунок_x0020_75"> і обмежень, накладених на х у зв'язку зі зміною області визначення. Наприклад, для рівняння (4) рівносильним пропозицією є система <img width=170 height=55 src=dopb446078.zip v:shapes="Рисунок_x0020_78"> для рівняння (6) - система <img width=144 height=50 src=dopb446079.zip v:shapes="Рисунок_x0020_81"> Для рішення рівняння виду <img width=87 height=53 src=dopb446080.zip v:shapes="Рисунок_x0020_84"> де f (х) і g (х) - деякі многочлени, використовується умова рівності дробу нулю: дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли її чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля. Тому рівняння зазначеного виду рівносильно системі <img width=104 height=46 src=dopb446081.zip v:shapes="Рисунок_x0020_87"> Необхідно підкреслити, що тут для нас істотним є той факт, що вираз g (х) має сенс при будь-якому х. У загальному випадку рівняння <img width=84 height=45 src=dopb446082.zip v:shapes="Рисунок_x0020_90"> виду рівносильно системі <img width=218 height=67 src=dopb446083.zip v:shapes="Рисунок_x0020_93"> Наприклад, рівняння <img width=201 height=55 src=dopb446084.zip v:shapes="Рисунок_x0020_96"> рівносильно системі <img width=257 height=70 src=dopb446085.zip v:shapes="Рисунок_x0020_99"> тобто cистема <img width=247 height=105 src=dopb446086.zip v:shapes="Рисунок_x0020_102"> Слід зауважити, що при вирішенні системи <img width=116 height=51 src=dopb446087.zip v:shapes="Рисунок_x0020_105"> де f (х) і g (х) - деякі многочлени, зовсім не обов'язково знаходити безліч значень х, при яких <img width=101 height=27 src=dopb446088.zip v:shapes="Рисунок_x0020_108"> Досить, знайшовши корені рівняння <img width=96 height=29 src=dopb446089.zip v:shapes="Рисунок_x0020_111"> , Перевірити, чи задовольняють вони умові <img width=101 height=29 src=dopb446090.zip v:shapes="Рисунок_x0020_114"> У підручниках метод розв'язання рівнянь виду <img width=90 height=45 src=dopb446091.zip v:shapes="Рисунок_x0020_117"> , Де f (х) і g (х) - цілі вирази, роз'яснюється на прикладі рівняння <img width=146 height=45 src=dopb446092.zip v:shapes="Рисунок_x0020_120"> , рівносильно системі <img width=164 height=44 src=dopb446093.zip v:shapes="Рисунок_x0020_123"> . Учні не можуть знайти безліч значень х при яких х 3 - х - 120 QUOTE <img width=14 height=51 src=dopb446066.zip v:shapes=_x0000_i1136><img width=14 height=51 src=dopb446066.zip v:shapes=_x0000_i1137> 0, але цього і не потрібно для рішення системи. Безпосередня підстановка переконує їх, що з двох коренів рівняння х 2 - 5х = 0, рівних 0 і 5, тільки перший задовольняє умові <img width=166 height=22 src=dopb446094.zip v:shapes="Рисунок_x0020_126"> Значить, розглянута система, а отже і рівняння <img width=154 height=48 src=dopb446095.zip v:shapes="Рисунок_x0020_129"> , має єдине рішення - число 0. При вирішенні рівняння виду r (х) = р (х), де r (х) і р (х) - раціональні вирази, можна не зводити його до рівняння r (х) - р (х) = 0, а представити вирази r (х) і р (х) у вигляді дробів з однаковими знаменниками. Якщо при цьому не виконувалися тотожні перетворення, які можуть призвести до порушення равносильности, то вийде рівняння виду <img width=124 height=49 src=dopb446096.zip v:shapes="Рисунок_x0020_132"> , де т (х), п (х), q (х) - цілі вирази, рівносильні рівняння r (х) = р (х). Рівняння зазначеного виду рівносильно системі <img width=167 height=55 src=dopb446097.zip v:shapes="Рисунок_x0020_135"> Равносильность цих пропозицій можна довести, спираючись на властивість числових дробів: дробу з однаковими знаменниками рівні тоді і тільки тоді, коли їх чисельники рівні, а загальний знаменник відмінний від 0 (вираз q (х) має сенс при будь-якому значенні х). З зазначеними способами вирішення рівнянь виду r (х) = р (х), де r (x) чи р (х) - раціональні вирази, хоча б одне з яких дробове (так званих рівнянь із змінною в знаменнику дробу), учні знайомляться в курсі алгебри VII класу. Глава 2. Методичні рекомендації щодо вивчення теми У цьому розділі дані короткі методичні рекомендації щодо вивчення кожної з обраних тем з метою забезпечення найкращого засвоєння даного поняття. Введення операції ділення Поглиблювати питання про нулі, як про число в 5 класі передчасно, але вже тут треба з усією визначеністю роз'яснити неможливість розподілу на 0, підходячи до цього питання двояко. По-перше, розділити деяке натуральне число QUOTE <img width=11 height=51 src=dopb446098.zip v:shapes=_x0000_i1142><img width=11 height=51 src=dopb446098.zip v:shapes=_x0000_i1143> на 0 означає дізнатися, скільки раз 0 міститься в QUOTE <img width=11 height=51 src=dopb446098.zip v:shapes=_x0000_i1144><img width=11 height=51 src=dopb446098.zip v:shapes=_x0000_i1145> , Скільки разів треба взяти доданком 0, щоб отримати QUOTE <img width=11 height=51 src=dopb446098.zip v:shapes=_x0000_i1146><img width=11 height=51 src=dopb446098.zip v:shapes=_x0000_i1147> ; Ясно, що скільки б нулів ми не брали, складання їх не дасть нічого, крім 0; не можна зібрати QUOTE <img width=11 height=51 src=dopb446098.zip v:shapes=_x0000_i1148><img width=11 height=51 src=dopb446098.zip v:shapes=_x0000_i1149> рублів, якщо з кожного <a href="Брати" title="Брати">брати</a> по 0 рублів. По-друге, розділити QUOTE <img width=15 height=51 src=dopb446099.zip v:shapes=_x0000_i1150><img width=15 height=51 src=dopb446099.zip v:shapes=_x0000_i1151> на 0 означає, знайти таке число, яке при множенні на 0 дасть QUOTE <img width=11 height=51 src=dopb446098.zip v:shapes=_x0000_i1152><img width=11 height=51 src=dopb446098.zip v:shapes=_x0000_i1153> , Але будь-яке число QUOTE <img width=11 height=51 src=dopb446100.zip v:shapes=_x0000_i1154><img width=11 height=51 src=dopb446100.zip v:shapes=_x0000_i1155> при множенні на 0 дає 0, а тому частки від розподілу QUOTE <img width=11 height=51 src=dopb446098.zip v:shapes=_x0000_i1156><img width=11 height=51 src=dopb446098.zip v:shapes=_x0000_i1157> на 0 не існує. Приклад обгрунтування цього факту з <a href="Підручник" title="Підручник">підручника</a> Дорофєєва: «Якщо б захотіли, наприклад, знайти приватне 7:0, то це означало б, що потрібно знайти таке число, яке при множенні на 0 надасть 7. Але при множенні на 0 завжди виходить 0. Тому приватне 7:0 не існує. Кажуть: «вираз 7:0 не має сенсу». В якості додаткових вправ для закріплення цього факту можна використовувати завдання з формулюванням «Знайти приватне, або обгрунтувати, чому його знайти неможливо». Приклад: <table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 width=100% style="width:100.0%;border-collapse:collapse;border:none; mso-border-alt:solid black .5pt;mso-yfti-tbllook:1472;mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-border-insideh:.5pt solid black;mso-border-insidev:.5pt solid black"><tr style=mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes><td width=33% valign=top style="width:33.44%;border:solid black 1.0pt; mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 6:2 </td><td width=33% valign=top style="width:33.44%;border:solid black 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 0:8 </td><td width=33% valign=top style="width:33.12%;border:solid black 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 4:4 </td></tr><tr style=mso-yfti-irow:1;mso-yfti-lastrow:yes><td width=33% valign=top style="width:33.44%;border:solid black 1.0pt; border-top:none;mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 15:3 </td><td width=33% valign=top style="width:33.44%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid black 1.0pt;border-right:solid black 1.0pt; mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-left-alt:solid black .5pt; mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 16:0 </td><td width=33% valign=top style="width:33.12%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid black 1.0pt;border-right:solid black 1.0pt; mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-left-alt:solid black .5pt; mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 9:3 </td></tr></table> Як додатковий <a href="Матерія" title="Матерія">матеріал</a>, можна розглянути результат ділення 0:0, який, <a href="за_логікою" title="за логікою">за логікою</a> наведеного <a href="Докази" title="Докази">докази</a>, може бути будь-яким числом. Вивчення операцій з дробами, основна властивість дробу. У цій темі також слід приділити увагу проблемі розподілу на 0, а саме, поділу виду: QUOTE <img width=28 height=61 src=dopb446101.zip v:shapes=_x0000_i1158><img width=28 height=61 src=dopb446101.zip v:shapes=_x0000_i1159> , Яке не згадується ні в одному підручнику. Проблема вирішується введенням у систему вправ подібних завдань з вимогою обгрунтування отриманого результату: <table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 width=100% style="width:100.0%;border-collapse:collapse;border:none; mso-border-alt:solid black .5pt;mso-yfti-tbllook:1472;mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-border-insideh:.5pt solid black;mso-border-insidev:.5pt solid black"><tr style=mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes;height:1.15pt><td width=33% valign=top style="width:33.32%;border:solid black 1.0pt; mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:1.15pt"><img width=32 height=72 src=dopb446102.zip v:shapes=_x0000_i1160> </td><td width=33% valign=top style="width:33.32%;border:solid black 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:1.15pt"><img width=32 height=72 src=dopb446103.zip v:shapes=_x0000_i1161> </td><td width=33% valign=top style="width:33.34%;border:solid black 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:1.15pt"><img width=32 height=72 src=dopb446104.zip v:shapes=_x0000_i1162> </td></tr><tr style=mso-yfti-irow:1;mso-yfti-lastrow:yes;height:1.15pt><td width=33% valign=top style="width:33.32%;border:solid black 1.0pt; border-top:none;mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:1.15pt"><img width=42 height=72 src=dopb446105.zip v:shapes=_x0000_i1163> </td><td width=33% valign=top style="width:33.32%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid black 1.0pt;border-right:solid black 1.0pt; mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-left-alt:solid black .5pt; mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:1.15pt"><img width=32 height=72 src=dopb446106.zip v:shapes=_x0000_i1164> </td><td width=33% valign=top style="width:33.34%;border-top:none;border-left: none;border-bottom:solid black 1.0pt;border-right:solid black 1.0pt; mso-border-top-alt:solid black .5pt;mso-border-left-alt:solid black .5pt; mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:1.15pt"><img width=32 height=72 src=dopb446107.zip v:shapes=_x0000_i1165> </td></tr></table> Це завдання вимагає <a href="Знання" title="Знання">знання</a> визначення дробу, в якому закладено відміну знаменника від 0, правила розподілу дробів, а також факту неможливості поділу на 0, доведеного в попередньому пункті. В якості додаткових завдань, а також для повторення теми «Дроби» можна використовувати вирази виду: QUOTE <img width=149 height=77 src=dopb446108.zip v:shapes=_x0000_i1166><img width=149 height=77 src=dopb446108.zip v:shapes=_x0000_i1167> з формулюванням «Знайти такі <a href="Цифри" title="Цифри">цифри</a> x, y, z, що ...». Розподіл цілих чисел Тема вивчається в 6 класі, з цього, вимагає повторення визначення операції ділення. Рекомендації ті ж, що для попередньої теми - розглянути всілякі випадки, в яких зустрічається 0, їх, звичайно, менше, ніж при розподілі дробів. Приклади: 0:2, 4:0, 0:0, обгрунтувати результат, показати, чому на 0 ділити не можна. Ділення раціональних чисел Тема схожа з розподілом дробів, з тією різницею, що вивчається вона в 6 класі. Рекомендації ті ж, що в темі «Поділ дробів». Рівняння з 1 змінної і його коріння Не дивлячись на те, що випадок змінної в знаменнику тут ще не використовується, слід звернути увагу учнів на дії з рівняннями, а саме: «Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне і те ж відмінне від 0 число, то вийде рівняння, рівносильне даному ». Для закріплення можна використовувати вправи види: «рівносильний чи рівняння" <table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 width=100% style="width:100.0%;border-collapse:collapse;border:none; mso-border-alt:solid black .5pt;mso-yfti-tbllook:1472;mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-border-insideh:.5pt solid black;mso-border-insidev:.5pt solid black"><tr style=mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes;mso-yfti-lastrow:yes><td width=49% valign=top style="width:49.64%;border:solid black 1.0pt; mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 5x = 7 і (15-10) x = 7 +5 x </td><td width=50% valign=top style="width:50.36%;border:solid black 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt"> 17x-2 = 10x +4 і 0 +7 x = 6 </td></tr></table> Також слід приділити увагу попередженню основних помилок, що зустрічаються при роботі з рівняннями, а саме: 1. При розкладанні на множники способом винесення спільного множника за дужки один з отриманих співмножників завжди буде многочленом, що складається з того ж числа членів, що і даний. Приклад помилки: QUOTE <img width=279 height=25 src=dopb446109.zip v:shapes=_x0000_i1168><img width=279 height=25 src=dopb446109.zip v:shapes=_x0000_i1169> . Рішення проблеми - докладний проходження алгоритму розкладання на множники. 2. З розподільчим законом множення відносно додавання пов'язана помилка такого роду: QUOTE <img width=180 height=25 src=dopb446110.zip v:shapes=_x0000_i1170><img width=180 height=25 src=dopb446110.zip v:shapes=_x0000_i1171> .<a href="Причинна" title="Причинна"> Причина</a> - перенесення розподільного закону, що зв'язує множення зі складанням на зв'язок розподілу зі складанням. 3. Ще одна помилка пов'язана із застосуванням асоціативного закону до неассоціатівние <a href="Операція" title="Операція">операціями</a>: QUOTE <img width=205 height=25 src=dopb446111.zip v:shapes=_x0000_i1172><img width=205 height=25 src=dopb446111.zip v:shapes=_x0000_i1173> . Можливість появи цих помилок слід враховувати при роботі з усіма видами рівнянь, <a href="Нерівності" title="Нерівності">нерівностей</a>, а також з многочленами. Функція, графік функції: знаходження області визначення функції У цій темі необхідно пояснити знаходження області визначення і вигляд графіка функції при наявності змінної в знаменнику. Незважаючи на те, що зворотна пропорційність і парабола ще не вивчаються, їх графік <a href="Школяр" title="Школяр">школярі</a> побудувати вже можуть - за допомогою <a href="Таблиці" title="Таблиці">таблиці</a>. Приклад для розгляду: знайти область визначення функції і побудувати її графік. QUOTE <img width=68 height=64 src=dopb446112.zip v:shapes=_x0000_i1174><img width=68 height=64 src=dopb446112.zip v:shapes=_x0000_i1175> Область визначення школярі знайдуть без праці, якщо перед цим актуалізувати знання про розподіл і дробах, а з побудовою графіка функції у них виникнуть складності. Вирішення проблеми: спочатку сказати, що функція визначена лише на своїй області визначення, а значить, в 0 не існує. При побудові графіка <a href="Функції" title="Функції">функції </a>(табличному) крок таблиці в околиці точки 0 брати менше. З урахуванням цих зауважень можна виконати завдання виду: <table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 width=100% style="width:100.0%;border-collapse:collapse;border:none; mso-border-alt:solid black .5pt;mso-yfti-tbllook:1472;mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-border-insideh:.5pt solid black;mso-border-insidev:.5pt solid black"><tr style="mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes;mso-yfti-lastrow:yes; height:1.15pt"><td width=33% valign=top style="width:33.32%;border:solid black 1.0pt; mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:1.15pt"><img width=107 height=75 src=dopb446113.zip v:shapes=_x0000_i1176> </td><td width=33% valign=top style="width:33.32%;border:solid black 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:1.15pt"><img width=96 height=74 src=dopb446114.zip v:shapes=_x0000_i1177> </td><td width=33% valign=top style="width:33.34%;border:solid black 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:1.15pt"><img width=96 height=74 src=dopb446115.zip v:shapes=_x0000_i1178> </td></tr></table> Вирази зі змінними Завдань на знаходження області визначення в цій темі досить, однак варто звернути увагу на обгрунтування заборони поділу на 0, а також на завдання виду: Порівняйте безлічі значень виразів <table border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 width=100% style="width:100.0%;border-collapse:collapse;border:none; mso-border-alt:solid black .5pt;mso-yfti-tbllook:1472;mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-border-insideh:.5pt solid black;mso-border-insidev:.5pt solid black"><tr style="mso-yfti-irow:0;mso-yfti-firstrow:yes;mso-yfti-lastrow:yes; height:1.15pt"><td width=50% valign=top style="width:50.0%;border:solid black 1.0pt; mso-border-alt:solid black .5pt;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:1.15pt"><img width=97 height=59 src=dopb446116.zip v:shapes=_x0000_i1179> <img width=152 height=59 src=dopb446117.zip v:shapes=_x0000_i1180> </td><td width=50% valign=top style="width:50.0%;border:solid black 1.0pt; border-left:none;mso-border-left-alt:solid black .5pt;mso-border-alt:solid black .5pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:1.15pt"><img width=152 height=59 src=dopb446117.zip v:shapes=_x0000_i1181> <img width=43 height=58 src=dopb446118.zip v:shapes=_x0000_i1182> </td></tr></table> Функція «зворотна пропорційність» До моменту вивчення цієї функції учні повинні знати про особливість її області визначення (при необхідності можна повторити, вирішуючи завдання на визначення <a href="Множини" title="Множини">множини</a> значень функції зі змінною в знаменнику), що дозволяє правильно накреслити графік (ЗУ - асимптота). Вивчення її поведінки в околиці точки 0, побудова графіка дозволяють отримати наочне уявлення про проблему поділу на 0. <img width=278 height=214 src=dopb446119.zip v:shapes=_x0000_i1183> Рішення дробових раціональних рівнянь Ця тема є основною в вивченні даного питання, при дотриманні вищезгаданих рекомендацій, її вивчення не повинно викликати труднощів, однак, перед початком вивчення необхідно повторити наступні факти: Обидві частини рівняння можна помножити або розділити на одне і те ж не <a href="Рівне" title="Рівне">рівне</a> 0 число. До обох частин рівняння можна додати одне і те ж число. Умова рівності дробу 0: дріб дорівнює 0, коли її чисельник дорівнює 0, а знаменник не дорівнює 0. Далі слід розглянути алгоритм розв'язання раціонального рівняння з перевіркою зміни безлічі допустимих значень на кожному кроці. Є 2 способи вирішення таких рівнянь: традиційний і спосіб, що використовує рівність дробу 0. (Див. Глава 1) Традиційний спосіб простий і алгорітмічен, але рішення рівнянь такого виду традиційним способом «відкидання знаменника», який полягає в тому, що ліва і права частини рівняння представляються у вигляді дробів, а потім множаться на загальний знаменник дробів невдало. Учні погано розуміють, на чому грунтується «відкидання знаменника», а придбане уміння переносять на тотожні перетворення дробових виразів, що тягне за собою грубі помилки. Використання умови рівності дробу нулю або умови рівності двох дробів дозволяє домогтися більш глибокого <a href="Розуміння" title="Розуміння">розуміння</a> суті справи і значно знизити число помилок, що допускаються учнями при вирішенні рівнянь зазначеного виду. Однак, незважаючи на простоту обгрунтування, другий спосіб більш складний, тому що при ньому необхідно перевіряти зміни області визначення рівняння при кожному перетворенні. Отже, для вирішення таких рівнянь використовується 2 альтернативні методи, один - більш алгорітмічен, але його обгрунтування не є учням, другий простий в обгрунтуванні, щодо складний у реалізації, але дуже корисний при вирішенні більш складних рівнянь, коли враховуються не лише нулі знаменника, але і область визначення більш складних (тригонометричних, логарифмічних, степеневих, показових) функцій. В якості додаткових вправ, особливо для другого методу, необхідно включити в систему завдань наступні: <img width=192 height=57 src=dopb446067.zip v:shapes=_x0000_i1184><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Mathcad ShapeID=_x0000_i1184 DrawAspect=Content ObjectID=_1352592279></o:OLEObject></xml><img width=138 height=56 src=dopb446063.zip v:shapes=_x0000_i1185><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Mathcad ShapeID=_x0000_i1185 DrawAspect=Content ObjectID=_1352592281></o:OLEObject></xml> Подібні рівняння показують, що необдумане приведення подібних доданків або скорочення дробу призводить до розширення області визначення. Елементи тригонометрії, Раціональні нерівності, Системи рівнянь У цих темах широко використовуються методи вирішення раціональних рівнянь, з цього, закріплення даної теми в основній школі відбувається саме в цих розділах. Висновок Рівняння зі змінною в знаменнику - складна для засвоєння тема, вона вимагає великих знань, умінь і навичок у вирішенні лінійних рівнянь, перетворення многочленів і алгебраїчних дробів. Для її розуміння необхідні навички у виконанні таких завдань, як: знайти безліч допустимих значень змінної, спростити дробове вираження. Необхідним також є чітке розуміння неможливості поділу на 0. Все це досягається шляхом пропедевтики на етапі вивчення <a href="Відповідь" title="Відповідь">відповідних</a> тем у 5-8 класах, періодичним повторенням перелічених питань, відпрацюванням потрібних навичок. Перераховані рекомендації покликані допомогти в організації цієї роботи. Під час вивчення даної теми існує кілька підходів до вирішення і теоретичного обгрунтування алгоритму рішення, <a href="Вибір" title="Вибір">вибір</a> правильного підходу впливає як на розуміння цієї теми, так і на сприйняття наступних тем і алгоритмів. Застосування навичок вирішення рівнянь із змінною в знаменнику не обмежується розглянутими темами, вони застосовуються в багатьох розділах у <a href="Процес" title="Процес">процесі</a> подальшого вивчення предмета. Тому, в подальшому також необхідно періодично звертатися до цього питання з метою повторення. Список літератури Приватна методика: 1. <a href="Методика_викладання_математики" title="Методика викладання математики">Методика викладання математики</a> в середній школі. / Под ред. Мішина В.І. - М.: Просвещение 1987. Талочкін П.Б. <a href="Нерівності" title="Нерівності"> Нерівності</a> й рівняння. - М.: Просвещение, 1970. 2. Колягін Ю.М., Луканкін Г.Л. «Основні поняття шкільного курсу математики» / Посібник для вчителів. Під ред. А. І. Макушевіча. М., «Просвещение» 1974. 3. Мікракова Т.М. «Розвиваючі завдання на уроках математики в 5 - 8 класах» / посібник для вчителя, Журнал «Квантор», 1991 4. <a href="Черкаси" title="Черкаси"> Черкасов</a> Р.С. І ін «Методичні розробки з методики викладання математики в середній школі (4-8 класи)» / МГПИ ім. Леніна, <a href="Москва" title="Москва">Москва</a> 1980. 5. Брадиса В.М. «Методика викладання математики в середній школі» під ред. Маркушева А. І. / Москва, Учпедгиз, 1954. Підручники: 6. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Шаригін І.Ф. та ін «Математика 5» / Дрофа, 1996. 7. Істоміна Н.Б. «Математика 5 клас» / вид. XXI-століття, 2005. 8. Волович М.Б. «Математика 5» / Вентана-Граф; 2003. 9. Віленкін Н.Я., Жохів В.І., Чесноков О.С., Шварцбурд С.І. «Математика 6». / Мнемозина, 1997 10. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Шаригін І.Ф. та ін «Математика 6» / Дрофа, 1996. 11. Істоміна Н.Б. «Математика 6 клас» / вид. XXI-століття, 2005. 12. Нурк Е.Р., Тельгмаа А.Е. «Математика 6» / Дрофа, 1996 13. «Алгебра»: Учеб. Для 7 кл. загальноосвітніх установ / За <a href="Редакція" title="Редакція">редакцією</a> С.А. Теляковського - М: <a href="Освіта" title="Освіта">Освіта</a>, 2002. 14. Алімов Ш.А., Ю.М. Колягін, Ю.В. Сидоров та ін «Алгебра: Учеб. Для 7 кл. »/ М: Освіта, 1999. 15. Макаричєв Ю.М. «Алгебра 7 клас» / Просвещение, 2003. 16. «Алгебра»: Учеб. Для 8 кл. загальноосвітніх установ / За редакцією С.А. Теляковського - М: Освіта, 2002. 17. Мордкович А.Г. та ін "Алгебра 8 клас» / <a href="Підручник" title="Підручник">Підручник</a> для загальноосвітніх установ - М: Мнемозина, 2002. 18. Алімов Ш.А., Ю.М. Колягін, Ю.В. Сидоров та ін «Алгебра: Учеб. Для 9 кл. »/ М: Освіта, 1999. 19. Мордкович А.Г. та ін «Алгебра 9 клас» / Підручник для загальноосвітніх установ - М: Мнемозина, 2002. </div>
	</div>

Будь ласка, не зберігайте тестовий текст.
Ваш ip: 18.220.64.128 буде збережений.

категорії
за типом
за алфавітом
завантажені