МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ
Державна освітня установа вищої НАУКИ
Вятський державний гуманітарний університет
Фізико-математичний факультет
Кафедра дидактики фізики і математики
Курсова робота
Профілактика труднощів школярів під час навчання математики на прикладі теми «Рівняння зі змінною в знаменнику»
Студента 4 курсу
Маркова Романа Володимировича
Науковий керівник:
к.п.н., доцент кафедри дидактики
фізики і математики
Шилова Зоя Вениаминовна
Кіров 2009
Зміст
Введення
Глава 1. Огляд підручників і методів вивчення теми
1. Огляд підручників
2. Огляд методів вивчення теми
Глава 2. Методичні рекомендації щодо вивчення теми
Висновок
Список літератури
Введення
З проблемою поділу на нуль учні знайомляться ще в початковій школі, вивчаючи операцію ділення. Це пов'язано з тим, що при розподілі на деяке число використовується множення на число, протилежне дільнику, а число нуль, як відомо з теорії чисел, зворотного елементу на безлічі раціональних чисел не має. Але введення суворої аксіоматичної теорії в шкільному курсі математики неможливо, тому проблема вимагає інших, більш зрозумілих для школяра підходів.
Головним принципом при вирішенні рівнянь із змінною в знаменнику є облік саме цього факту, тому дана тема потребує пропедевтику. Аналіз підручників математики (см далі.) Показав, що у всіх підручниках проблеми поділу на 0 не віддається належної уваги. Як наслідок - тема «рівняння зі змінною в знаменнику» стає складною і не доступною розумінню учням. Для зменшення формалізму при вирішенні таких рівнянь і труднощів при їх вирішенні у даній роботі наводяться методичні рекомендації для проведення пропедевтики теми, її вивчення і подальшого закріплення.
Об'єктом роботи є викладання математики та алгебри в 5 - 9 класах основної школи.
Предметом - труднощі школярів під час навчання математики, а саме: проблеми, пов'язані з вивченням теми «Рівняння зі змінною в знаменнику».
Мета: розробити методичні рекомендації, спрямовані на підвищення якості знань учнів з теми «Рівняння зі змінною в знаменнику», проведення пропедевтичної роботи з учнями на тему, повторення вивченого матеріалу теми в ході вивчення інших розділів алгебри.
Структура роботи:
1. Огляд і аналіз матеріалу, пропонованого до вивчення по цій темі в основних шкільних підручниках, методи вивчення теми.
2. Методичні рекомендації щодо вивчення, пропедевтики і повторення матеріалу теми.
Глава 1. Огляд підручників і методів вивчення теми
1. Огляд підручників
Для аналізу були обрані наступні підручники:
1. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Шаригін І.Ф. та ін «Математика 5»
2. Істоміна Н.Б. «Математика 5 клас»
3. Волович М. Б. «Математика 5»
4. Віленкін Н.Я., Жохів В.І., Чесноков О.С., Шварцбурд С.І. «Математика 6»
5. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Шаригін І.Ф. та ін «Математика 6»
6. Істоміна Н.Б. «Математика 6 клас»
7. Нурк Е.Р., Тельгмаа А.Е. «Математика 6»
8. Теляковський С.А. «Алгебра 7»
9. Алімов Ш.А., Ю.М. Колягін, Ю.В. Сидоров та ін «Алгебра: Учеб. Для 7 кл.
10. Макаричєв Ю.М. «Алгебра 7 клас»
11. Теляковський С.А. «Алгебра 8»
12. Мордкович А.Г. та ін "Алгебра 8 клас»
13. Алімов Ш.А., Ю.М. Колягін, Ю.В. Сидоров та ін «Алгебра: Учеб. Для 9 кл.
14. Мордкович А.Г. та ін «Алгебра 9 клас»
У кожному з підручників обрані теми, будь-яким чином зачіпають досліджуваний розділ.
Дорофєєв Г.В. та ін «Математика 5»
1. Введення операції ділення:
2. Вивчення операцій з дробами. Випадок поділу на 0 не розглядається.
Істоміна Н.Б. «Математика 5 клас»
1. Операція поділу. Випадок поділу на 0 не розглядається, дана тільки коротка пам'ятка:
2. Вивчення операцій з дробами. Випадок поділу на 0 не розглядається.
Волович М. Б. «Математика 5»
1. Вивчення операцій з дробами. Випадок поділу на 0 не згадується.
Віленкін Н.Я та ін «Математика 6»
1. Розподіл дробів. Випадок поділу на 0 не розглядається.
2. Дробові вирази:
Поділ на 0 не згадується.
Дорофєєв Г.В. та ін «Математика 6»
1. Основні відомості про дробах - основна властивість дробу:
2. Розподіл цілих чисел. «На нуль, як зазвичай ділити не можна».
Істоміна Н.Б. «Математика 6 клас»
1. Дроби і дробові вирази.
Поділ на 0 не згадується.
Нурк Е.Р., Тельгмаа А.Е. «Математика 6»
1. Розподіл звичайних дробів: «На нуль ділити не можна».
2. Ділення раціональних чисел: «Обгрунтуйте, що ділити на 0 не можна».
Теляковський С.А. «Алгебра 7»
1. Рівняння з 1 змінної і його коріння: «Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне і те ж відмінне від 0 число, то вийде рівняння, рівносильне даному».
2. Знаходження коренів лінійного рівняння з 1 змінної: використовується розподіл на не нульовий коефіцієнт.
3. Функція, графік функції: знаходження області визначення функції.
Приклад: QUOTE
Алімов Ш.А. «Алгебра 7»
1. Алгебраїчні рівності, формули. Використання буквених виразів:
2. Рішення рівнянь з одним невідомим, що зводяться до лінійних.
3. Алгебраїчна дріб. Основна властивість дробу.
4. Функція, графік функції. Тема не згадується, поняття області визначення не вводиться.
5. Визначення функції зворотної пропорційності для позитивних Х. Неявно вказівку області визначення.
Макаричєв Ю. М. «Аалгебра 7»
1. Вирази зі змінними.
Далі наводяться завдання для визначення області допустимих значень змінної і знаходження значень змінних, при яких вираз не має сенсу.
2. Рівняння з однією змінною: завдання виду «вкажіть область визначення рівняння":
3. Функції та їх графіки. Область визначення функції:
Приклад завдання:
Теляковський С. А. «Алгебра 8»
1. Раціональні дроби та їх властивості.
Приклад завдання:
2. Скорочення дробів, основна властивість дробу:
3. Розподіл дробів.
4. Функція QUOTE
.
5. Рішення дробових раціональних рівнянь
Приклад завдання:
Мордкович А. Г. «Алгебра 8»
1. Алгебраїчні дроби. Основна властивість алгебраїчних дробів.
Випадок поділу на 0 не розглядається.
2. Рішення раціональних рівнянь.
3. Гіпербола, графік гіперболи.
Випадок 0 в знаменнику не розглядається.
Алімов Ш. А. «Алгебра 9»
1. Функція, область визначення функції.
2. Елементи тригонометрії. Приклад застосування теми:
3. Повторення - рішення рівнянь. Приклади:
Мордкович А. Г. «Алгебра 9»
1. Раціональні нерівності
2. Системи рівнянь
3. Функція, область визначення
4. Функція QUOTE
та її графік.
5. Тригонометричні функції.
Аналіз наведеного матеріалу
Проаналізувавши основні підручники, можна зробити висновок, що у всіх підручниках 8 класу тема «раціональні рівняння» викладається досить повно, проте, пропедевтика цієї теми не наводиться на достатньому рівні ні в одному підручнику. Звідси в учнів нерозуміння логіки рішення рівнянь даного виду, формальний підхід до їх вирішення. Крім того, у зв'язку з частим використанням подібних рівнянь у наступних темах, також необхідно повторення теми в 9 класі, яке в підручниках також мало представлено.
Теми, в яких порушується досліджуваний розділ:
· Введення операції ділення
· Вивчення операцій з дробами, основна властивість дробу.
· Розподіл цілих чисел
· Розподіл раціональних чисел
· Рівняння з 1 змінної і його коріння
· Функція, графік функції: знаходження області визначення функції
· Вирази зі змінними
· Раціональні дроби та їх властивості, розподіл дробів
· Функція «зворотна пропорційність»
· Рішення дробових раціональних рівнянь
· Елементи тригонометрії
· Раціональні нерівності
· Системи рівнянь
2. Огляд методів вивчення теми
Метод - множення дробів на їх загальний знаменник.
Для прикладу вирішимо дробове раціональне рівняння
(1)
Помножимо обидві частини рівняння на спільний знаменник дробів, т е на вираження QUOTE
. Отримаємо ціле рівняння
QUOTE
. (2)
Зрозуміло, що кожен корінь рівняння (1) є коренем рівняння (2). Але рівняння (2) може бути не рівносильно вихідного, так як ми помножили обидві його частини не на число, відмінне від нуля, а на вираз, що містить змінну, що може звертатися до 0. Тому кожен корінь рівняння (2) обов'язково виявиться коренем рівняння (1).
Спростивши рівняння (2), одержимо квадратне рівняння
Його коріння - числа -2 і 5.
Перевіримо, чи є вони корінням рівняння (1). При QUOTE
загальний знаменник QUOTE не звертається до 0. Значить, число -2 - корінь рівняння (1).
Отже, коренем рівняння (1) служить тільки число -2.
Взагалі, при вирішенні дробових рівнянь доцільно поступати таким чином:
1. Знайти спільний знаменник дробів, що входять в рівняння;
2. Помножити обидві частини рівняння на спільний знаменник;
3. Вирішити вийшло ціле рівняння;
4. Виключити з його коріння ті, які звертають в 0 спільний знаменник.
Метод, який використовує рівність дробу 0.
Почнемо з прикладу. Нехай потрібно розв'язати рівняння
QUOTE
(1)
Перенесемо вираз QUOTE
в ліву частину рівняння з протилежним знаком, тобто додамо до обох частин рівняння за QUOTE 
і різниця QUOTE 
в правій частині рівняння замінимо нулем. Отримаємо рівняння
Державна освітня установа вищої НАУКИ
Вятський державний гуманітарний університет
Фізико-математичний факультет
Кафедра дидактики фізики і математики
Курсова робота
Профілактика труднощів школярів під час навчання математики на прикладі теми «Рівняння зі змінною в знаменнику»
Студента 4 курсу
Маркова Романа Володимировича
Науковий керівник:
к.п.н., доцент кафедри дидактики
фізики і математики
Шилова Зоя Вениаминовна
Кіров 2009
Зміст
Введення
Глава 1. Огляд підручників і методів вивчення теми
1. Огляд підручників
2. Огляд методів вивчення теми
Глава 2. Методичні рекомендації щодо вивчення теми
Висновок
Список літератури
Введення
З проблемою поділу на нуль учні знайомляться ще в початковій школі, вивчаючи операцію ділення. Це пов'язано з тим, що при розподілі на деяке число використовується множення на число, протилежне дільнику, а число нуль, як відомо з теорії чисел, зворотного елементу на безлічі раціональних чисел не має. Але введення суворої аксіоматичної теорії в шкільному курсі математики неможливо, тому проблема вимагає інших, більш зрозумілих для школяра підходів.
Головним принципом при вирішенні рівнянь із змінною в знаменнику є облік саме цього факту, тому дана тема потребує пропедевтику. Аналіз підручників математики (см далі.) Показав, що у всіх підручниках проблеми поділу на 0 не віддається належної уваги. Як наслідок - тема «рівняння зі змінною в знаменнику» стає складною і не доступною розумінню учням. Для зменшення формалізму при вирішенні таких рівнянь і труднощів при їх вирішенні у даній роботі наводяться методичні рекомендації для проведення пропедевтики теми, її вивчення і подальшого закріплення.
Об'єктом роботи є викладання математики та алгебри в 5 - 9 класах основної школи.
Предметом - труднощі школярів під час навчання математики, а саме: проблеми, пов'язані з вивченням теми «Рівняння зі змінною в знаменнику».
Мета: розробити методичні рекомендації, спрямовані на підвищення якості знань учнів з теми «Рівняння зі змінною в знаменнику», проведення пропедевтичної роботи з учнями на тему, повторення вивченого матеріалу теми в ході вивчення інших розділів алгебри.
Структура роботи:
1. Огляд і аналіз матеріалу, пропонованого до вивчення по цій темі в основних шкільних підручниках, методи вивчення теми.
2. Методичні рекомендації щодо вивчення, пропедевтики і повторення матеріалу теми.
Глава 1. Огляд підручників і методів вивчення теми
1. Огляд підручників
Для аналізу були обрані наступні підручники:
1. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Шаригін І.Ф. та ін «Математика 5»
2. Істоміна Н.Б. «Математика 5 клас»
3. Волович М. Б. «Математика 5»
4. Віленкін Н.Я., Жохів В.І., Чесноков О.С., Шварцбурд С.І. «Математика 6»
5. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Шаригін І.Ф. та ін «Математика 6»
6. Істоміна Н.Б. «Математика 6 клас»
7. Нурк Е.Р., Тельгмаа А.Е. «Математика 6»
8. Теляковський С.А. «Алгебра 7»
9. Алімов Ш.А., Ю.М. Колягін, Ю.В. Сидоров та ін «Алгебра: Учеб. Для 7 кл.
10. Макаричєв Ю.М. «Алгебра 7 клас»
11. Теляковський С.А. «Алгебра 8»
12. Мордкович А.Г. та ін "Алгебра 8 клас»
13. Алімов Ш.А., Ю.М. Колягін, Ю.В. Сидоров та ін «Алгебра: Учеб. Для 9 кл.
14. Мордкович А.Г. та ін «Алгебра 9 клас»
У кожному з підручників обрані теми, будь-яким чином зачіпають досліджуваний розділ.
Дорофєєв Г.В. та ін «Математика 5»
1. Введення операції ділення:
2. Вивчення операцій з дробами. Випадок поділу на 0 не розглядається.
Істоміна Н.Б. «Математика 5 клас»
1. Операція поділу. Випадок поділу на 0 не розглядається, дана тільки коротка пам'ятка:
2. Вивчення операцій з дробами. Випадок поділу на 0 не розглядається.
Волович М. Б. «Математика 5»
1. Вивчення операцій з дробами. Випадок поділу на 0 не згадується.
Віленкін Н.Я та ін «Математика 6»
1. Розподіл дробів. Випадок поділу на 0 не розглядається.
2. Дробові вирази:
Поділ на 0 не згадується.
Дорофєєв Г.В. та ін «Математика 6»
1. Основні відомості про дробах - основна властивість дробу:
2. Розподіл цілих чисел. «На нуль, як зазвичай ділити не можна».
Істоміна Н.Б. «Математика 6 клас»
1. Дроби і дробові вирази.
Поділ на 0 не згадується.
Нурк Е.Р., Тельгмаа А.Е. «Математика 6»
1. Розподіл звичайних дробів: «На нуль ділити не можна».
2. Ділення раціональних чисел: «Обгрунтуйте, що ділити на 0 не можна».
Теляковський С.А. «Алгебра 7»
1. Рівняння з 1 змінної і його коріння: «Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне і те ж відмінне від 0 число, то вийде рівняння, рівносильне даному».
2. Знаходження коренів лінійного рівняння з 1 змінної: використовується розподіл на не нульовий коефіцієнт.
3. Функція, графік функції: знаходження області визначення функції.
Приклад: QUOTE
Алімов Ш.А. «Алгебра 7»
1. Алгебраїчні рівності, формули. Використання буквених виразів:
2. Рішення рівнянь з одним невідомим, що зводяться до лінійних.
3. Алгебраїчна дріб. Основна властивість дробу.
4. Функція, графік функції. Тема не згадується, поняття області визначення не вводиться.
5. Визначення функції зворотної пропорційності для позитивних Х. Неявно вказівку області визначення.
Макаричєв Ю. М. «Аалгебра 7»
1. Вирази зі змінними.
Далі наводяться завдання для визначення області допустимих значень змінної і знаходження значень змінних, при яких вираз не має сенсу.
2. Рівняння з однією змінною: завдання виду «вкажіть область визначення рівняння":
3. Функції та їх графіки. Область визначення функції:
Приклад завдання:
Теляковський С. А. «Алгебра 8»
1. Раціональні дроби та їх властивості.
Приклад завдання:
2. Скорочення дробів, основна властивість дробу:
3. Розподіл дробів.
4. Функція QUOTE
5. Рішення дробових раціональних рівнянь
Приклад завдання:
Мордкович А. Г. «Алгебра 8»
1. Алгебраїчні дроби. Основна властивість алгебраїчних дробів.
Випадок поділу на 0 не розглядається.
2. Рішення раціональних рівнянь.
3. Гіпербола, графік гіперболи.
Випадок 0 в знаменнику не розглядається.
Алімов Ш. А. «Алгебра 9»
1. Функція, область визначення функції.
2. Елементи тригонометрії. Приклад застосування теми:
3. Повторення - рішення рівнянь. Приклади:
Мордкович А. Г. «Алгебра 9»
1. Раціональні нерівності
2. Системи рівнянь
3. Функція, область визначення
4. Функція QUOTE
5. Тригонометричні функції.
Аналіз наведеного матеріалу
Проаналізувавши основні підручники, можна зробити висновок, що у всіх підручниках 8 класу тема «раціональні рівняння» викладається досить повно, проте, пропедевтика цієї теми не наводиться на достатньому рівні ні в одному підручнику. Звідси в учнів нерозуміння логіки рішення рівнянь даного виду, формальний підхід до їх вирішення. Крім того, у зв'язку з частим використанням подібних рівнянь у наступних темах, також необхідно повторення теми в 9 класі, яке в підручниках також мало представлено.
Теми, в яких порушується досліджуваний розділ:
· Введення операції ділення
· Вивчення операцій з дробами, основна властивість дробу.
· Розподіл цілих чисел
· Розподіл раціональних чисел
· Рівняння з 1 змінної і його коріння
· Функція, графік функції: знаходження області визначення функції
· Вирази зі змінними
· Раціональні дроби та їх властивості, розподіл дробів
· Функція «зворотна пропорційність»
· Рішення дробових раціональних рівнянь
· Елементи тригонометрії
· Раціональні нерівності
· Системи рівнянь
2. Огляд методів вивчення теми
Метод - множення дробів на їх загальний знаменник.
Для прикладу вирішимо дробове раціональне рівняння
Помножимо обидві частини рівняння на спільний знаменник дробів, т е на вираження QUOTE
QUOTE
Зрозуміло, що кожен корінь рівняння (1) є коренем рівняння (2). Але рівняння (2) може бути не рівносильно вихідного, так як ми помножили обидві його частини не на число, відмінне від нуля, а на вираз, що містить змінну, що може звертатися до 0. Тому кожен корінь рівняння (2) обов'язково виявиться коренем рівняння (1).
Спростивши рівняння (2), одержимо квадратне рівняння
Його коріння - числа -2 і 5.
Перевіримо, чи є вони корінням рівняння (1). При QUOTE
Отже, коренем рівняння (1) служить тільки число -2.
Взагалі, при вирішенні дробових рівнянь доцільно поступати таким чином:
1. Знайти спільний знаменник дробів, що входять в рівняння;
2. Помножити обидві частини рівняння на спільний знаменник;
3. Вирішити вийшло ціле рівняння;
4. Виключити з його коріння ті, які звертають в 0 спільний знаменник.
Метод, який використовує рівність дробу 0.
Почнемо з прикладу. Нехай потрібно розв'язати рівняння
QUOTE
Перенесемо вираз QUOTE
QUOTE 
(2)
Чи може при переході від рівняння (1) до рівняння (2) відбутися втрата або придбання коренів?
Очевидно, що так як різниця QUOTE тотожно дорівнює 0 на безлічі тих значень у, при яких QUOTE 
то ми могли б придбати нові коріння за рахунок значень у, звертають в нуль вираз QUOTE 
Але вони не можуть служити корінням рівняння (2), тому що при цих значеннях вираз QUOTE 
, Що входить в якості доданка в ліву частину рівняння (2), втрачає сенс.
Розмірковуючи аналогічно, ми можемо показати, що взагалі рівняння r (х) = р (х), де r (х) і р (х) - раціональні вирази, причому хоча б одне з них дробове, рівносильне рівнянню r (х)-p (x) = 0
Повернемося до розглянутого прикладу. Представивши тепер cумму дробів QUOTE у вигляді відношення двох многочленів, отримаємо рівняння
QUOTE
(3)
Так як в результаті перетворення суми дробів в дріб ми отримали вираз з тією ж областю визначення та тотожно дорівнює вихідному висловом на цій області, то рівняння (3) рівносильне рівнянню (2), а отже, і рівняння (1).
Будь-яке чи перетворення дробового вираження r (х) - p (х) в дріб, чисельник і знаменник якого многочлени, дозволяємо від рівняння r (х) - р (х) = 0 перейти до рівносильне рівнянню виду QUOTE
, Де f (х) і g (х) - многочлени?
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Замінивши в рівнянні
вираз
Порушення равносильности відбулося за рахунок того, що ми виконали тотожне перетворення, що приводить до виразу з більш широкою сферою визначення: вираз
2, а вираження х (х - 2) - при будь-якому значенні х.
Приклад 2. У рівнянні
замінимо різниця
Рівняння (7) не рівносильне рівнянню (6), так як існує таке значення змінної х (число 3), яке задовольняє рівнянню (7), але не задовольняє рівнянню (6).
Равносильность порушено у зв'язку з тим, що область визначення вираження
Якщо ж при заміні різниці r (х) - р (х) раціональних виразів, хоча б одне з яких дробове, дробом
Так для рівняння (4) рівносильним є рівняння
Для рівняння (6) рівносильним є рівняння
тобто рівняння
Зауважимо, що в тому випадку, коли під час виконання тотожних перетворень область визначення вираження розширилася, пропозицією, рівносильним рівнянню r (х) - р (х) = 0, буде система, складена з рівняння
і обмежень, накладених на х у зв'язку зі зміною області визначення. Наприклад, для рівняння (4) рівносильним пропозицією є система
для рівняння (6) - система
Для рішення рівняння виду
де f (х) і g (х) - деякі многочлени, використовується умова рівності дробу нулю: дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли її чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля. Тому рівняння зазначеного виду рівносильно системі
Необхідно підкреслити, що тут для нас істотним є той факт, що вираз g (х) має сенс при будь-якому х. У загальному випадку рівняння
виду рівносильно системі
Наприклад, рівняння
рівносильно системі
тобто cистема
Слід зауважити, що при вирішенні системи
де
f (х) і g (х) - деякі многочлени, зовсім не обов'язково знаходити безліч значень х, при яких
Досить, знайшовши
корені рівняння
, Перевірити, чи задовольняють вони умові 
У підручниках метод розв'язання рівнянь виду
, Де
f (х) і g (х) - цілі вирази, роз'яснюється на прикладі рівняння
,
рівносильно системі
. Учні
не можуть знайти безліч значень х при яких х 3 - х - 120 QUOTE 0, але цього і не потрібно для рішення системи. Безпосередня підстановка переконує їх, що з двох коренів рівняння х 2 - 5х = 0, рівних 0 і 5, тільки перший задовольняє умові 
Значить, розглянута система, а отже і рівняння
,
має єдине рішення - число 0.
При вирішенні рівняння виду r (х) = р (х), де r (х) і р (х) - раціональні вирази, можна не зводити його до рівняння r (х) - р (х) = 0, а представити вирази r (х) і р (х) у вигляді дробів з однаковими знаменниками. Якщо при цьому не виконувалися тотожні перетворення, які можуть призвести до порушення равносильности, то вийде рівняння виду
,
де т (х), п (х), q (х) - цілі вирази, рівносильні рівняння r (х) = р (х). Рівняння зазначеного виду рівносильно системі
Равносильность цих пропозицій можна довести, спираючись на властивість числових дробів: дробу з однаковими знаменниками рівні тоді і тільки тоді, коли їх чисельники рівні, а загальний знаменник відмінний від 0 (вираз q (х) має сенс при будь-якому значенні х).
З зазначеними способами вирішення рівнянь виду r (х) = р (х), де r (x) чи р (х) - раціональні вирази, хоча б одне з яких дробове (так званих рівнянь із змінною в знаменнику дробу), учні знайомляться в курсі алгебри VII класу.
Глава 2. Методичні рекомендації щодо вивчення теми
У цьому розділі дані короткі методичні рекомендації щодо вивчення кожної з обраних тем з метою забезпечення найкращого засвоєння даного поняття.
Введення операції ділення
Поглиблювати питання про нулі, як про число в 5 класі передчасно, але вже тут треба з усією визначеністю роз'яснити неможливість розподілу на 0, підходячи до цього питання двояко. По-перше, розділити деяке натуральне число QUOTE
на 0 означає дізнатися, скільки раз 0 міститься в QUOTE , Скільки разів треба взяти доданком 0, щоб отримати QUOTE ; Ясно, що скільки б нулів ми не брали, складання їх не дасть нічого, крім 0; не можна зібрати QUOTE рублів, якщо з кожного брати по 0 рублів. По-друге, розділити QUOTE 
на 0 означає, знайти таке число, яке при множенні на 0 дасть QUOTE , Але будь-яке число QUOTE 
при множенні на 0 дає 0, а тому частки від розподілу QUOTE на 0 не існує.
Приклад обгрунтування цього факту з підручника Дорофєєва: «Якщо б захотіли, наприклад, знайти приватне 7:0, то це означало б, що потрібно знайти таке число, яке при множенні на 0 надасть 7. Але при множенні на 0 завжди виходить 0. Тому приватне 7:0 не існує. Кажуть: «вираз 7:0 не має сенсу».
В якості додаткових вправ для закріплення цього факту можна використовувати завдання з формулюванням «Знайти приватне, або обгрунтувати, чому його знайти неможливо».
Приклад:
Як додатковий матеріал, можна розглянути результат ділення 0:0, який, за логікою наведеного докази, може бути будь-яким числом.
Вивчення операцій з дробами, основна властивість дробу.
У цій темі також слід приділити увагу проблемі розподілу на 0, а саме, поділу виду: QUOTE
, Яке не згадується ні в одному підручнику.
Проблема вирішується введенням у систему вправ подібних завдань з вимогою обгрунтування отриманого результату:
Це завдання вимагає знання визначення дробу, в якому закладено відміну знаменника від 0, правила розподілу дробів, а також факту неможливості поділу на 0, доведеного в попередньому пункті.
В якості додаткових завдань, а також для повторення теми «Дроби» можна використовувати вирази виду:
QUOTE
з формулюванням «Знайти такі цифри x, y, z, що ...».
Розподіл цілих чисел
Тема вивчається в 6 класі, з цього, вимагає повторення визначення операції ділення. Рекомендації ті ж, що для попередньої теми - розглянути всілякі випадки, в яких зустрічається 0, їх, звичайно, менше, ніж при розподілі дробів. Приклади: 0:2, 4:0, 0:0, обгрунтувати результат, показати, чому на 0 ділити не можна.
Ділення раціональних чисел
Тема схожа з розподілом дробів, з тією різницею, що вивчається вона в 6 класі. Рекомендації ті ж, що в темі «Поділ дробів».
Рівняння з 1 змінної і його коріння
Не дивлячись на те, що випадок змінної в знаменнику тут ще не використовується, слід звернути увагу учнів на дії з рівняннями, а саме: «Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне і те ж відмінне від 0 число, то вийде рівняння, рівносильне даному ».
Для закріплення можна використовувати вправи види: «рівносильний чи рівняння"
Також слід приділити увагу попередженню основних помилок, що зустрічаються при роботі з рівняннями, а саме:
1. При розкладанні на множники способом винесення спільного множника за дужки один з отриманих співмножників завжди буде многочленом, що складається з того ж числа членів, що і даний. Приклад помилки: QUOTE
. Рішення проблеми - докладний проходження алгоритму розкладання на множники.
2. З розподільчим законом множення відносно додавання пов'язана помилка такого роду: QUOTE
. Причина - перенесення розподільного закону, що зв'язує множення зі складанням на зв'язок розподілу зі складанням.
3. Ще одна помилка пов'язана із застосуванням асоціативного закону до неассоціатівние операціями: QUOTE
.
Можливість появи цих помилок слід враховувати при роботі з усіма видами рівнянь, нерівностей, а також з многочленами.
Функція, графік функції: знаходження області визначення функції
У цій темі необхідно пояснити знаходження області визначення і вигляд графіка функції при наявності змінної в знаменнику. Незважаючи на те, що зворотна пропорційність і парабола ще не вивчаються, їх графік школярі побудувати вже можуть - за допомогою таблиці.
Приклад для розгляду: знайти область визначення функції і побудувати її графік.
QUOTE
Область визначення школярі знайдуть без праці, якщо перед цим актуалізувати знання про розподіл і дробах, а з побудовою графіка функції у них виникнуть складності. Вирішення проблеми:
спочатку сказати, що функція визначена лише на своїй області визначення, а значить, в 0 не існує.
При побудові графіка функції (табличному) крок таблиці в околиці точки 0 брати менше.
З урахуванням цих зауважень можна виконати завдання виду:
Вирази зі змінними
Завдань на знаходження області визначення в цій темі досить, однак варто звернути увагу на обгрунтування заборони поділу на 0, а також на завдання виду: Порівняйте безлічі значень виразів
Функція «зворотна пропорційність»
До моменту вивчення цієї функції учні повинні знати про особливість її області визначення (при необхідності можна повторити, вирішуючи завдання на визначення множини значень функції зі змінною в знаменнику), що дозволяє правильно накреслити графік (ЗУ - асимптота). Вивчення її поведінки в околиці точки 0, побудова графіка дозволяють отримати наочне уявлення про проблему поділу на 0.
Рішення дробових раціональних рівнянь
Ця тема є основною в вивченні даного питання, при дотриманні вищезгаданих рекомендацій, її вивчення не повинно викликати труднощів, однак, перед початком вивчення необхідно повторити наступні факти:
Обидві частини рівняння можна помножити або розділити на одне і те ж не рівне 0 число.
До обох частин рівняння можна додати одне і те ж число.
Умова рівності дробу 0: дріб дорівнює 0, коли її чисельник дорівнює 0, а знаменник не дорівнює 0.
Далі слід розглянути алгоритм розв'язання раціонального рівняння з перевіркою зміни безлічі допустимих значень на кожному кроці.
Є 2 способи вирішення таких рівнянь: традиційний і спосіб, що використовує рівність дробу 0. (Див. Глава 1)
Традиційний спосіб простий і алгорітмічен, але рішення рівнянь такого виду традиційним способом «відкидання знаменника», який полягає в тому, що ліва і права частини рівняння представляються у вигляді дробів, а потім множаться на загальний знаменник дробів невдало. Учні погано розуміють, на чому грунтується «відкидання знаменника», а придбане уміння переносять на тотожні перетворення дробових виразів, що тягне за собою грубі помилки.
Використання умови рівності дробу нулю або умови рівності двох дробів дозволяє домогтися більш глибокого розуміння суті справи і значно знизити число помилок, що допускаються учнями при вирішенні рівнянь зазначеного виду.
Однак, незважаючи на простоту обгрунтування, другий спосіб більш складний, тому що при ньому необхідно перевіряти зміни області визначення рівняння при кожному перетворенні.
Отже, для вирішення таких рівнянь використовується 2 альтернативні методи, один - більш алгорітмічен, але його обгрунтування не є учням, другий простий в обгрунтуванні, щодо складний у реалізації, але дуже корисний при вирішенні більш складних рівнянь, коли враховуються не лише нулі знаменника, але і область визначення більш складних (тригонометричних, логарифмічних, степеневих, показових) функцій.
В якості додаткових вправ, особливо для другого методу, необхідно включити в систему завдань наступні:
Подібні рівняння показують, що необдумане приведення подібних доданків або скорочення дробу призводить до розширення області визначення.
Елементи тригонометрії, Раціональні нерівності, Системи рівнянь
У цих темах широко використовуються методи вирішення раціональних рівнянь, з цього, закріплення даної теми в основній школі відбувається саме в цих розділах.
Висновок
Рівняння зі змінною в знаменнику - складна для засвоєння тема, вона вимагає великих знань, умінь і навичок у вирішенні лінійних рівнянь, перетворення многочленів і алгебраїчних дробів. Для її розуміння необхідні навички у виконанні таких завдань, як: знайти безліч допустимих значень змінної, спростити дробове вираження. Необхідним також є чітке розуміння неможливості поділу на 0.
Все це досягається шляхом пропедевтики на етапі вивчення відповідних тем у 5-8 класах, періодичним повторенням перелічених питань, відпрацюванням потрібних навичок. Перераховані рекомендації покликані допомогти в організації цієї роботи.
Під час вивчення даної теми існує кілька підходів до вирішення і теоретичного обгрунтування алгоритму рішення, вибір правильного підходу впливає як на розуміння цієї теми, так і на сприйняття наступних тем і алгоритмів.
Застосування навичок вирішення рівнянь із змінною в знаменнику не обмежується розглянутими темами, вони застосовуються в багатьох розділах у процесі подальшого вивчення предмета. Тому, в подальшому також необхідно періодично звертатися до цього питання з метою повторення.
Список літератури
Приватна методика:
1. Методика викладання математики в середній школі. / Под ред. Мішина В.І. - М.: Просвещение 1987. Талочкін П.Б. Нерівності й рівняння. - М.: Просвещение, 1970.
2. Колягін Ю.М., Луканкін Г.Л. «Основні поняття шкільного курсу математики» / Посібник для вчителів. Під ред. А. І. Макушевіча. М., «Просвещение» 1974.
3. Мікракова Т.М. «Розвиваючі завдання на уроках математики в 5 - 8 класах» / посібник для вчителя, Журнал «Квантор», 1991
4. Черкасов Р.С. І ін «Методичні розробки з методики викладання математики в середній школі (4-8 класи)» / МГПИ ім. Леніна, Москва 1980.
5. Брадиса В.М. «Методика викладання математики в середній школі» під ред. Маркушева А. І. / Москва, Учпедгиз, 1954.
Підручники:
6. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Шаригін І.Ф. та ін «Математика 5» / Дрофа, 1996.
7. Істоміна Н.Б. «Математика 5 клас» / вид. XXI-століття, 2005.
8. Волович М.Б. «Математика 5» / Вентана-Граф; 2003.
9. Віленкін Н.Я., Жохів В.І., Чесноков О.С., Шварцбурд С.І. «Математика 6». / Мнемозина, 1997
10. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Шаригін І.Ф. та ін «Математика 6» / Дрофа, 1996.
11. Істоміна Н.Б. «Математика 6 клас» / вид. XXI-століття, 2005.
12. Нурк Е.Р., Тельгмаа А.Е. «Математика 6» / Дрофа, 1996
13. «Алгебра»: Учеб. Для 7 кл. загальноосвітніх установ / За редакцією С.А. Теляковського - М: Освіта, 2002.
14. Алімов Ш.А., Ю.М. Колягін, Ю.В. Сидоров та ін «Алгебра: Учеб. Для 7 кл. »/ М: Освіта, 1999.
15. Макаричєв Ю.М. «Алгебра 7 клас» / Просвещение, 2003.
16. «Алгебра»: Учеб. Для 8 кл. загальноосвітніх установ / За редакцією С.А. Теляковського - М: Освіта, 2002.
17. Мордкович А.Г. та ін "Алгебра 8 клас» / Підручник для загальноосвітніх установ - М: Мнемозина, 2002.
18. Алімов Ш.А., Ю.М. Колягін, Ю.В. Сидоров та ін «Алгебра: Учеб. Для 9 кл. »/ М: Освіта, 1999.
19. Мордкович А.Г. та ін «Алгебра 9 клас» / Підручник для загальноосвітніх установ - М: Мнемозина, 2002.
Чи може при переході від рівняння (1) до рівняння (2) відбутися втрата або придбання коренів?
Очевидно, що так як різниця QUOTE
Розмірковуючи аналогічно, ми можемо показати, що взагалі рівняння r (х) = р (х), де r (х) і р (х) - раціональні вирази, причому хоча б одне з них дробове, рівносильне рівнянню r (х)-p (x) = 0
Повернемося до розглянутого прикладу. Представивши тепер cумму дробів QUOTE
QUOTE
Так як в результаті перетворення суми дробів в дріб ми отримали вираз з тією ж областю визначення та тотожно дорівнює вихідному висловом на цій області, то рівняння (3) рівносильне рівнянню (2), а отже, і рівняння (1).
Будь-яке чи перетворення дробового вираження r (х) - p (х) в дріб, чисельник і знаменник якого многочлени, дозволяємо від рівняння r (х) - р (х) = 0 перейти до рівносильне рівнянню виду QUOTE
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Замінивши в рівнянні
вираз
Порушення равносильности відбулося за рахунок того, що ми виконали тотожне перетворення, що приводить до виразу з більш широкою сферою визначення: вираз
Приклад 2. У рівнянні
замінимо різниця
Рівняння (7) не рівносильне рівнянню (6), так як існує таке значення змінної х (число 3), яке задовольняє рівнянню (7), але не задовольняє рівнянню (6).
Равносильность порушено у зв'язку з тим, що область визначення вираження
Якщо ж при заміні різниці r (х) - р (х) раціональних виразів, хоча б одне з яких дробове, дробом
Так для рівняння (4) рівносильним є рівняння
Для рівняння (6) рівносильним є рівняння
тобто рівняння
Зауважимо, що в тому випадку, коли під час виконання тотожних перетворень область визначення вираження розширилася, пропозицією, рівносильним рівнянню r (х) - р (х) = 0, буде система, складена з рівняння
для рівняння (6) - система
Для рішення рівняння виду
Необхідно підкреслити, що тут для нас істотним є той факт, що вираз g (х) має сенс при будь-якому х. У загальному випадку рівняння
Наприклад, рівняння
рівносильно системі
Слід зауважити, що при вирішенні системи
f (х) і g (х) - деякі многочлени, зовсім не обов'язково знаходити безліч значень х, при яких
корені рівняння
У підручниках метод розв'язання рівнянь виду
f (х) і g (х) - цілі вирази, роз'яснюється на прикладі рівняння
рівносильно системі
не можуть знайти безліч значень х при яких х 3 - х - 120 QUOTE
має єдине рішення - число 0.
При вирішенні рівняння виду r (х) = р (х), де r (х) і р (х) - раціональні вирази, можна не зводити його до рівняння r (х) - р (х) = 0, а представити вирази r (х) і р (х) у вигляді дробів з однаковими знаменниками. Якщо при цьому не виконувалися тотожні перетворення, які можуть призвести до порушення равносильности, то вийде рівняння виду
де т (х), п (х), q (х) - цілі вирази, рівносильні рівняння r (х) = р (х). Рівняння зазначеного виду рівносильно системі
Равносильность цих пропозицій можна довести, спираючись на властивість числових дробів: дробу з однаковими знаменниками рівні тоді і тільки тоді, коли їх чисельники рівні, а загальний знаменник відмінний від 0 (вираз q (х) має сенс при будь-якому значенні х).
З зазначеними способами вирішення рівнянь виду r (х) = р (х), де r (x) чи р (х) - раціональні вирази, хоча б одне з яких дробове (так званих рівнянь із змінною в знаменнику дробу), учні знайомляться в курсі алгебри VII класу.
Глава 2. Методичні рекомендації щодо вивчення теми
У цьому розділі дані короткі методичні рекомендації щодо вивчення кожної з обраних тем з метою забезпечення найкращого засвоєння даного поняття.
Введення операції ділення
Поглиблювати питання про нулі, як про число в 5 класі передчасно, але вже тут треба з усією визначеністю роз'яснити неможливість розподілу на 0, підходячи до цього питання двояко. По-перше, розділити деяке натуральне число QUOTE
Приклад обгрунтування цього факту з підручника Дорофєєва: «Якщо б захотіли, наприклад, знайти приватне 7:0, то це означало б, що потрібно знайти таке число, яке при множенні на 0 надасть 7. Але при множенні на 0 завжди виходить 0. Тому приватне 7:0 не існує. Кажуть: «вираз 7:0 не має сенсу».
В якості додаткових вправ для закріплення цього факту можна використовувати завдання з формулюванням «Знайти приватне, або обгрунтувати, чому його знайти неможливо».
Приклад:
| 6:2 | 0:8 | 4:4 |
| 15:3 | 16:0 | 9:3 |
Вивчення операцій з дробами, основна властивість дробу.
У цій темі також слід приділити увагу проблемі розподілу на 0, а саме, поділу виду: QUOTE
Проблема вирішується введенням у систему вправ подібних завдань з вимогою обгрунтування отриманого результату:
В якості додаткових завдань, а також для повторення теми «Дроби» можна використовувати вирази виду:
QUOTE
з формулюванням «Знайти такі цифри x, y, z, що ...».
Розподіл цілих чисел
Тема вивчається в 6 класі, з цього, вимагає повторення визначення операції ділення. Рекомендації ті ж, що для попередньої теми - розглянути всілякі випадки, в яких зустрічається 0, їх, звичайно, менше, ніж при розподілі дробів. Приклади: 0:2, 4:0, 0:0, обгрунтувати результат, показати, чому на 0 ділити не можна.
Ділення раціональних чисел
Тема схожа з розподілом дробів, з тією різницею, що вивчається вона в 6 класі. Рекомендації ті ж, що в темі «Поділ дробів».
Рівняння з 1 змінної і його коріння
Не дивлячись на те, що випадок змінної в знаменнику тут ще не використовується, слід звернути увагу учнів на дії з рівняннями, а саме: «Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне і те ж відмінне від 0 число, то вийде рівняння, рівносильне даному ».
Для закріплення можна використовувати вправи види: «рівносильний чи рівняння"
| 5x = 7 і (15-10) x = 7 +5 x | 17x-2 = 10x +4 і 0 +7 x = 6 |
1. При розкладанні на множники способом винесення спільного множника за дужки один з отриманих співмножників завжди буде многочленом, що складається з того ж числа членів, що і даний. Приклад помилки: QUOTE
2. З розподільчим законом множення відносно додавання пов'язана помилка такого роду: QUOTE
3. Ще одна помилка пов'язана із застосуванням асоціативного закону до неассоціатівние операціями: QUOTE
Можливість появи цих помилок слід враховувати при роботі з усіма видами рівнянь, нерівностей, а також з многочленами.
Функція, графік функції: знаходження області визначення функції
У цій темі необхідно пояснити знаходження області визначення і вигляд графіка функції при наявності змінної в знаменнику. Незважаючи на те, що зворотна пропорційність і парабола ще не вивчаються, їх графік школярі побудувати вже можуть - за допомогою таблиці.
Приклад для розгляду: знайти область визначення функції і побудувати її графік.
QUOTE
Область визначення школярі знайдуть без праці, якщо перед цим актуалізувати знання про розподіл і дробах, а з побудовою графіка функції у них виникнуть складності. Вирішення проблеми:
спочатку сказати, що функція визначена лише на своїй області визначення, а значить, в 0 не існує.
При побудові графіка функції (табличному) крок таблиці в околиці точки 0 брати менше.
З урахуванням цих зауважень можна виконати завдання виду:
Вирази зі змінними
Завдань на знаходження області визначення в цій темі досить, однак варто звернути увагу на обгрунтування заборони поділу на 0, а також на завдання виду: Порівняйте безлічі значень виразів
До моменту вивчення цієї функції учні повинні знати про особливість її області визначення (при необхідності можна повторити, вирішуючи завдання на визначення множини значень функції зі змінною в знаменнику), що дозволяє правильно накреслити графік (ЗУ - асимптота). Вивчення її поведінки в околиці точки 0, побудова графіка дозволяють отримати наочне уявлення про проблему поділу на 0.
Рішення дробових раціональних рівнянь
Ця тема є основною в вивченні даного питання, при дотриманні вищезгаданих рекомендацій, її вивчення не повинно викликати труднощів, однак, перед початком вивчення необхідно повторити наступні факти:
Обидві частини рівняння можна помножити або розділити на одне і те ж не рівне 0 число.
До обох частин рівняння можна додати одне і те ж число.
Умова рівності дробу 0: дріб дорівнює 0, коли її чисельник дорівнює 0, а знаменник не дорівнює 0.
Далі слід розглянути алгоритм розв'язання раціонального рівняння з перевіркою зміни безлічі допустимих значень на кожному кроці.
Є 2 способи вирішення таких рівнянь: традиційний і спосіб, що використовує рівність дробу 0. (Див. Глава 1)
Традиційний спосіб простий і алгорітмічен, але рішення рівнянь такого виду традиційним способом «відкидання знаменника», який полягає в тому, що ліва і права частини рівняння представляються у вигляді дробів, а потім множаться на загальний знаменник дробів невдало. Учні погано розуміють, на чому грунтується «відкидання знаменника», а придбане уміння переносять на тотожні перетворення дробових виразів, що тягне за собою грубі помилки.
Використання умови рівності дробу нулю або умови рівності двох дробів дозволяє домогтися більш глибокого розуміння суті справи і значно знизити число помилок, що допускаються учнями при вирішенні рівнянь зазначеного виду.
Однак, незважаючи на простоту обгрунтування, другий спосіб більш складний, тому що при ньому необхідно перевіряти зміни області визначення рівняння при кожному перетворенні.
Отже, для вирішення таких рівнянь використовується 2 альтернативні методи, один - більш алгорітмічен, але його обгрунтування не є учням, другий простий в обгрунтуванні, щодо складний у реалізації, але дуже корисний при вирішенні більш складних рівнянь, коли враховуються не лише нулі знаменника, але і область визначення більш складних (тригонометричних, логарифмічних, степеневих, показових) функцій.
В якості додаткових вправ, особливо для другого методу, необхідно включити в систему завдань наступні:
Подібні рівняння показують, що необдумане приведення подібних доданків або скорочення дробу призводить до розширення області визначення.
Елементи тригонометрії, Раціональні нерівності, Системи рівнянь
У цих темах широко використовуються методи вирішення раціональних рівнянь, з цього, закріплення даної теми в основній школі відбувається саме в цих розділах.
Висновок
Рівняння зі змінною в знаменнику - складна для засвоєння тема, вона вимагає великих знань, умінь і навичок у вирішенні лінійних рівнянь, перетворення многочленів і алгебраїчних дробів. Для її розуміння необхідні навички у виконанні таких завдань, як: знайти безліч допустимих значень змінної, спростити дробове вираження. Необхідним також є чітке розуміння неможливості поділу на 0.
Все це досягається шляхом пропедевтики на етапі вивчення відповідних тем у 5-8 класах, періодичним повторенням перелічених питань, відпрацюванням потрібних навичок. Перераховані рекомендації покликані допомогти в організації цієї роботи.
Під час вивчення даної теми існує кілька підходів до вирішення і теоретичного обгрунтування алгоритму рішення, вибір правильного підходу впливає як на розуміння цієї теми, так і на сприйняття наступних тем і алгоритмів.
Застосування навичок вирішення рівнянь із змінною в знаменнику не обмежується розглянутими темами, вони застосовуються в багатьох розділах у процесі подальшого вивчення предмета. Тому, в подальшому також необхідно періодично звертатися до цього питання з метою повторення.
Список літератури
Приватна методика:
1. Методика викладання математики в середній школі. / Под ред. Мішина В.І. - М.: Просвещение 1987. Талочкін П.Б. Нерівності й рівняння. - М.: Просвещение, 1970.
2. Колягін Ю.М., Луканкін Г.Л. «Основні поняття шкільного курсу математики» / Посібник для вчителів. Під ред. А. І. Макушевіча. М., «Просвещение» 1974.
3. Мікракова Т.М. «Розвиваючі завдання на уроках математики в 5 - 8 класах» / посібник для вчителя, Журнал «Квантор», 1991
4. Черкасов Р.С. І ін «Методичні розробки з методики викладання математики в середній школі (4-8 класи)» / МГПИ ім. Леніна, Москва 1980.
5. Брадиса В.М. «Методика викладання математики в середній школі» під ред. Маркушева А. І. / Москва, Учпедгиз, 1954.
Підручники:
6. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Шаригін І.Ф. та ін «Математика 5» / Дрофа, 1996.
7. Істоміна Н.Б. «Математика 5 клас» / вид. XXI-століття, 2005.
8. Волович М.Б. «Математика 5» / Вентана-Граф; 2003.
9. Віленкін Н.Я., Жохів В.І., Чесноков О.С., Шварцбурд С.І. «Математика 6». / Мнемозина, 1997
10. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Шаригін І.Ф. та ін «Математика 6» / Дрофа, 1996.
11. Істоміна Н.Б. «Математика 6 клас» / вид. XXI-століття, 2005.
12. Нурк Е.Р., Тельгмаа А.Е. «Математика 6» / Дрофа, 1996
13. «Алгебра»: Учеб. Для 7 кл. загальноосвітніх установ / За редакцією С.А. Теляковського - М: Освіта, 2002.
14. Алімов Ш.А., Ю.М. Колягін, Ю.В. Сидоров та ін «Алгебра: Учеб. Для 7 кл. »/ М: Освіта, 1999.
15. Макаричєв Ю.М. «Алгебра 7 клас» / Просвещение, 2003.
16. «Алгебра»: Учеб. Для 8 кл. загальноосвітніх установ / За редакцією С.А. Теляковського - М: Освіта, 2002.
17. Мордкович А.Г. та ін "Алгебра 8 клас» / Підручник для загальноосвітніх установ - М: Мнемозина, 2002.
18. Алімов Ш.А., Ю.М. Колягін, Ю.В. Сидоров та ін «Алгебра: Учеб. Для 9 кл. »/ М: Освіта, 1999.
19. Мордкович А.Г. та ін «Алгебра 9 клас» / Підручник для загальноосвітніх установ - М: Мнемозина, 2002.