Контрольна робота
«Методи оптимізації при вирішенні рівнянь»
Завдання № 1 Визначити, чи існує крива
, Що доставляє функціоналу екстремум і, якщо існує, то знайти її рівняння.
Рішення: Складемо рівняння Ейлера і знайдемо його спільне рішення:
Використовуємо крайові умови:
Вирішуємо систему рівнянь і отримуємо:
Таким чином, екстремали має рівняння виду
Так як
то функціонал на прямий
досягає мінімуму.
Завдання № 2 Знайти, використовуючи рівняння Ейлера-Лагранжа, оптимальне управління
, Що мінімізує функціонал
для системи, що описується рівняннями
,
при початкових і кінцевих умовах
відповідно:
A
| B
| t 0
| t f
| x 0
| x f
| a
| b
|
0 1 0 0
| 0 1
| 0
| 1
| 1 0
| 0 0
| 0
| 1
|
Рішення Формуємо завдання з вихідними даними:
(1)
(2)
Складемо функцію Лагранжа і гамільтоніан:
і відповідно рівняння Ейлера-Лагранжа (тут для Н):
(3)
(4)
Використовуючи заміну (3),
підставимо вирази (4) в друге рівняння динаміки в (1):
і знаходимо спільне рішення
(5)
Підставимо його в перше рівняння (1):
і знаходимо спільне рішення:
(6)
Для
з (6) і
з (5) використовуємо початкові і кінцеві умови і отримуємо систему рівнянь для констант С
1, С
2, С
3, С
4,: Таким чином, рішення має вигляд:
яке задовольняє початковим і кінцевим умов.
Завдання № 3 Для системи, що описується рівняннями
з заданими умовами на початкове
і кінцеве
значення координат, знайти оптимальне управління
, Що мінімізує функціонал
A
| B
| t 0
| t f
| x 0
| x f
| g 0
| a
| b
|
0 1 0 0
| 0 1
| 0
| t
| 1 0
| x 1 (t f) =-t f 2
| 0
| 0
| 1
|
Рішення. Формулюємо завдання по вихідним даним
(1)
(2)
тобто
,
рухома на правому кінці, координата
- Вільна на правому кінці,
Складемо функцію Гамільтона Н (або функцію Лагранжа L)
(3)
і
відповідні рівняння Ейлера-Лагранжа:
(4)
(5)
(6)
Складемо допоміжну функцію
,
де
.
Таким чином:
. (7)
Оскільки
і
рухливі, то використовуємо умови трансверсально:
(8)
(9)
Так як не фіксований момент часу
, То використовуємо умова трансверсально
Знайдемо значення
при
з (3), але врахуємо, що
, А
з (9). Тоді, враховуючи (4):
і використовуючи (10) отримаємо:
(11)
Підставляючи (4), (5) і (6) в (2), а потім в (1) і інтегруючи отримаємо:
(12),
(13)
Використовуючи початкові умови, можемо записати:
Запишемо умова
з урахуванням (13). Тоді:
(14)
Рівняння (9), (11) і (14) складають систему рівнянь з трьома невідомими З
1, С
2 і
:
Підставляючи 1-е рівняння в 2-е, отримаємо:
,
а підставляючи 1-е у третє, отримаємо:
Таким чином, рішення має вигляд:
Завдання № 4 Використовуючи метод динамічного
програмування знайти оптимальне рівняння для системи
A
| B
| t 0
| t f
| F
| a
| b
|
0 1 0 0
| 0 1
| 0
| ∞
| 0
| 1 0 0 2
| 1
|
Рішення: Формуємо завдання з вихідними даними.
(1)
- Не обмежена, тобто
.
Складемо рівняння Беллмана з урахуванням
того, що
(S-функція Беллмана)
(2)
(3)
(4)
З (3) знаходимо:
(5)
Підставимо (5) в (4)
(6)
Уявімо функцію Беллмана у вигляді квадратичної форми
(7)
причому це має бути позитивно певна квадратична форма, а значить
(8)
тобто
матриця повинна бути позитивно визначеною.
Обчислюючи вирази:
(9)
підставимо їх у (6) і звернемо коефіцієнти при
,
і
в нуль, тому що праворуч у нас нуль:
Звідси:
(10)
(11)
(12)
Якщо
, То
Þ S <0, що не можна допустити. Тоді:
а отже а
12 і а
22 повинні бути одного знака, так як а
11> 0.
Тоді а
12 = 1 / 2, а
22 = 1, а
11 = 1. Таким чином, рішення має вигляд (з (5) і (9)):
Задача 5 Використовуючи
принцип максимуму Понтрягіна знайти оптимальне керування для лінійної системи
в задачі:
А
| У
| t 0
| t f
| х 0
| x f
| | U |
|
0 1 0 0 0 1 0 0 0
| 0 0 1
| 0
| 1
| 0 0 0
| x 1 ® max 0 0
| £ 1
|
Рішення: Формуємо завдання з вихідними даними:
(4)
Складемо функцію Гамільтона
Рівняння Ейлера-Лагранжа має вигляд:
(5)
(6)
(7)
Оскільки
- Рухома, то використовуємо умова трансверсально:
Але з (5) видно, що y
1 = З
1 Þ З
1 =
1. Тоді з (7) видно, що y
3 = t
2 / 2-C
2 t + C
3, - тобто це квадратична парабола гілками вгору, яка може двічі перетнути рівень y
3 = 0 і можливих порядок проходження інтервалів знакопостоянства наступний: + , -, +.
З принципу максимуму слід:
,
а отже:
Тоді, оскільки y
3 змінює
знак двічі, (хай у моменти t
1 і t
2) можемо записати
(8)
Підставимо
в (3) і отримаємо, проінтегрувати рівняння (3)
(9)
Використовуючи початкові і кінцеві умови для х
3 та умови безперервності
в t
1 і t
2 отримаємо:
(10)
Підставимо (9) та константи з (10) в (2) і проінтегруємо. Отримаємо:
(11)
Використовуючи початкові і кінцеві умови для х
2 і умови безперервності в t
1 і t
2, отримаємо:
Використовуємо безперервність
при
і
:
Зібравши рівняння (10) і отримане рівняння складемо систему рівнянь:
(12-14)
Підставивши (12) в (13), одержимо рівняння
.
Підставимо (13) в отримане рівняння (замість
):
Тоді t
1 з (12) одно
і, нарешті,
Підставимо (11), з урахуванням знайдених констант в (1):
(15)
Виходячи з початкової умови та умови безперервності отримаємо:
Таким чином: моменти перемикання: t
1 =
1 / 4, t
2 = 3 / 4, а
задані рівняннями (15), (11), (9) і (8) з відомими константами.
Завдання № 6 Встановити керованість і наблюдаемость лінійної системи:
де
.
Рішення: Для оцінки керованості складемо матрицю керованості (врахуємо, що n = 3);
Y = (B, AB, A
2 B):
Таким чином
Взявши мінор з 1,2 і 3 стовпців можна бачити, що .
Отже, rang (Y) = 3 = n і система цілком керована.
Для оцінки спостережливості системи складемо матрицю наблюдаемості (n = 3):
H = (C
T, A
T C
T, (A
T) 2 C
T); .
Таким чином
Взявши мінор з 1, 2 і 3 стовпців можна бачити, що
Таким чином rang (H) = 3 = n, а отже система цілком наблюдаема.
Завдання № 7 Для лінійної системи
і квадратичного критерію
виконати синтез оптимального керування зі зворотним зв'язком
A
| B
| Q
| R
|
0 1 1 0
| 1 0
| 1 0 0 0
| 1
|
Рішення: Потрібно виконати синтез стаціонарного регулятора. Для цього скористатися алгебраїчним матричним рівнянням Риккати:
де
,
причому матриця l> 0 (позитивно визначена).
Порівнюючи коефіцієнти
матриці зліва і справа, що стоять на однакових місцях отримаємо систему рівнянь:
Вирішуючи систему рівнянь з урахуванням позитивної визначеності матриці l, отримаємо:
Тоді для рівняння, яке має вигляд
отримаємо: