Методи оптимізації при вирішенні рівнянь

Контрольна робота
«Методи оптимізації при вирішенні рівнянь»

Завдання № 1
Визначити, чи існує крива , Що доставляє функціоналу екстремум і, якщо існує, то знайти її рівняння.

Рішення: Складемо рівняння Ейлера і знайдемо його спільне рішення:


Використовуємо крайові умови:

Вирішуємо систему рівнянь і отримуємо:

Таким чином, екстремали має рівняння виду

Так як


то функціонал на прямий досягає мінімуму.
Завдання № 2
Знайти, використовуючи рівняння Ейлера-Лагранжа, оптимальне управління , Що мінімізує функціонал для системи, що описується рівняннями
,
при початкових і кінцевих умовах відповідно:

A	B	t 0	t f	x 0	x f	a	b
0 1 0 0	0 1	0	1	1 0	0 0	0	1

Рішення
Формуємо завдання з вихідними даними:
(1)

(2)

Складемо функцію Лагранжа і гамільтоніан:

і відповідно рівняння Ейлера-Лагранжа (тут для Н):
(3)
(4)
Використовуючи заміну (3), підставимо вирази (4) в друге рівняння динаміки в (1):

і знаходимо спільне рішення
(5)
Підставимо його в перше рівняння (1):


і знаходимо спільне рішення:
(6)
Для з (6) і   з (5) використовуємо початкові і кінцеві умови і отримуємо систему рівнянь для констант С _1, С _2, С _3, С _4,:

Таким чином, рішення має вигляд:

яке задовольняє початковим і кінцевим умов.

Завдання № 3
Для системи, що описується рівняннями

з заданими умовами на початкове і кінцеве значення координат, знайти оптимальне управління , Що мінімізує функціонал

A	B	t 0	t f	x 0	x f	g 0	a	b
0 1 0 0	0 1	0	t	1 0	x 1 (t f) =-t f 2	0	0	1

Рішення. Формулюємо завдання по вихідним даним
(1)
(2)
тобто , рухома на правому кінці, координата - Вільна на правому кінці,


Складемо функцію Гамільтона Н (або функцію Лагранжа L)
(3)
і відповідні рівняння Ейлера-Лагранжа:
(4)
(5)
(6)
Складемо допоміжну функцію
,
де . Таким чином:
. (7)
Оскільки і рухливі, то використовуємо умови трансверсально:


(8)
(9)
Так як не фіксований момент часу , То використовуємо умова трансверсально

Знайдемо значення при з (3), але врахуємо, що , А з (9). Тоді, враховуючи (4):

і використовуючи (10) отримаємо:
(11)
Підставляючи (4), (5) і (6) в (2), а потім в (1) і інтегруючи отримаємо:
(12),

(13)
Використовуючи початкові умови, можемо записати:

Запишемо умова з урахуванням (13). Тоді:
(14)
Рівняння (9), (11) і (14) складають систему рівнянь з трьома невідомими З _1, С ₂ і :

Підставляючи 1-е рівняння в 2-е, отримаємо:
,
а підставляючи 1-е у третє, отримаємо:


Таким чином, рішення має вигляд:

Завдання № 4
Використовуючи метод динамічного програмування знайти оптимальне рівняння для системи

A	B	t 0	t f	F	a	b
0 1 0 0	0 1	0	∞	0	1 0 0 2	1

Рішення:
Формуємо завдання з вихідними даними.
(1)

- Не обмежена, тобто .

Складемо рівняння Беллмана з урахуванням того, що (S-функція Беллмана)
(2)
(3)
(4)
З (3) знаходимо:
(5)
Підставимо (5) в (4)
(6)

Уявімо функцію Беллмана у вигляді квадратичної форми
(7)
причому це має бути позитивно певна квадратична форма, а значить
(8)
тобто матриця повинна бути позитивно визначеною.
Обчислюючи вирази:
(9)
підставимо їх у (6) і звернемо коефіцієнти при , і в нуль, тому що праворуч у нас нуль:

Звідси:
(10)

(11)
(12)
Якщо , То Þ S <0, що не можна допустити. Тоді:

а отже а ₁₂ і а ₂₂ повинні бути одного знака, так як а _11> 0.
Тоді а ₁₂ = 1 / 2, а ₂₂ = 1, а ₁₁ = 1. Таким чином, рішення має вигляд (з (5) і (9)):

Задача 5
Використовуючи принцип максимуму Понтрягіна знайти оптимальне керування для лінійної системи

в задачі:

А	У	t 0	t f	х 0	x f	| U |
0 1 0 0 0 1 0 0 0	0 0 1	0	1	0 0 0	x 1 ® max 0 0	£ 1

Рішення:
Формуємо завдання з вихідними даними:


(4)
Складемо функцію Гамільтона

Рівняння Ейлера-Лагранжа має вигляд:
(5)
(6)
(7)

Оскільки - Рухома, то використовуємо умова трансверсально:

Але з (5) видно, що y ₁ = З ₁ Þ З ₁ = _1. Тоді з (7) видно, що y ₃ = t ² / 2-C ₂ t + C _3, - тобто це квадратична парабола гілками вгору, яка може двічі перетнути рівень y ₃ = 0 і можливих порядок проходження інтервалів знакопостоянства наступний: + , -, +.
З принципу максимуму слід:
,
а отже:

Тоді, оскільки y ₃ змінює знак двічі, (хай у моменти t ₁ і t ₂₎ можемо записати
(8)
Підставимо в (3) і отримаємо, проінтегрувати рівняння (3)

(9)
Використовуючи початкові і кінцеві умови для х ₃ та умови безперервності в t ₁ і t ₂ отримаємо:
(10)
Підставимо (9) та константи з (10) в (2) і проінтегруємо. Отримаємо:
(11)
Використовуючи початкові і кінцеві умови для х ₂ і умови безперервності в t ₁ і t _2, отримаємо:

Використовуємо безперервність при і :



Зібравши рівняння (10) і отримане рівняння складемо систему рівнянь:
(12-14)

Підставивши (12) в (13), одержимо рівняння

.
Підставимо (13) в отримане рівняння (замість ):

Тоді t ₁ з (12) одно


і, нарешті,

Підставимо (11), з урахуванням знайдених констант в (1):
(15)
Виходячи з початкової умови та умови безперервності отримаємо:

Таким чином: моменти перемикання: t ₁ = ₁ / 4, t ₂ = 3 / 4, а задані рівняннями (15), (11), (9) і (8) з відомими константами.
Завдання № 6
Встановити керованість і наблюдаемость лінійної системи:


де
.
Рішення:
Для оцінки керованості складемо матрицю керованості (врахуємо, що n = 3);
Y = (B, AB, A ² B):

Таким чином

Взявши мінор з 1,2 і 3 стовпців можна бачити, що
.

Отже, rang (Y) = 3 = n і система цілком керована.
Для оцінки спостережливості системи складемо матрицю наблюдаемості (n = 3):
H = (C ^T, A ^T C ^T, (A ^{T) 2} C ^T);

.
Таким чином

Взявши мінор з 1, 2 і 3 стовпців можна бачити, що

Таким чином rang (H) = 3 = n, а отже система цілком наблюдаема.

Завдання № 7
Для лінійної системи і квадратичного критерію

виконати синтез оптимального керування зі зворотним зв'язком

A	B	Q	R
0 1 1 0	1 0	1 0 0 0	1

Рішення: Потрібно виконати синтез стаціонарного регулятора. Для цього скористатися алгебраїчним матричним рівнянням Риккати:

де
,
причому матриця l> 0 (позитивно визначена).


Порівнюючи коефіцієнти матриці зліва і справа, що стоять на однакових місцях отримаємо систему рівнянь:

Вирішуючи систему рівнянь з урахуванням позитивної визначеності матриці l, отримаємо:

Тоді для рівняння, яке має вигляд

отримаємо: