Контрольна робота
з економіко-математичних методів
Завдання № 1
Умова задачі:
Адміністрація штату оголосила торги на n будівельних
підрядів для n фірм. Ні з однією фірмою не полягає більше одного контракту. З політичних міркувань чиновники адміністрації прагнуть не укладати вже N великих контрактів з фірмами, розташованими за межами штату. Позначимо через 1,2, ..., s великі контракти, а через 1,2, ..., t -
фірми, розташовані за межами штату. Метою є мінімізація загальних витрат при зазначеному умови. Побудуйте
відповідну даними умовами модель.
Рішення:
Нехай х -
витрати на
будівництво, тоді мета завдання "мінімізація загальних витрат" буде виражена через функцію
F = x → min
Нехай х
1 -
витрати на будівництво при
підряді місцевих будівельних фірм, х
2-витрати на будівництво при підряді будівельних фірм, розташованих за межами штату.
F = n * х
1 + n * х
2 → min
S * t ≤ N
n n ≤ 1
х
1, х
2 ≥ 0
Завдання мінімізації загальних витрат на будівництво можна записати як задачу математичного програмування
nnts
F = Σ
Σ Cij * хij + Σ
Σ Cij * Yij → min
i = 1 j = 1 i = 1 j = 1
При обмеженнях
Хij ≤ 1; I, j = 1, n
Yij ≤ 1; I, j = 1, n
Σij ≤ N; i = 1, t; j = 1s
Хij, Yij ≥ 0
Через хij позначений факт укладання адміністрацією штату з i - тією фірмою, розташованої на території штату, j -
того контракту (підряду)
1, i - а
фірма уклала - контракт
Хij = 0, i - а фірма не уклала - котракт
Через Yij позначений факт укладання адміністрацією штату i - oй фірмою, розташованої за межами штату, j - того контракту.
Через Cij позначені витрати на будівництво по j - того контрактом з i - ої фірми.
Цільова
функція являє собою сумарні витрати. Перші дві умови обмежують кількість укладених з одного будівельною фірмою контрактів у кількості ≤ 1, третя умова обмежує кількість укладених контрактів з фірмами розташованими за межами штату, у кількості не більше N,
четверте умова очевидно виходячи з умови даної задачі.
Завдання № 2
Умова задачі:
На звірофермі можуть вирощуватися чорно-бурі лисиці і песці. Для забезпечення нормальних умов їх вирощування використовується три види кормів.
Кількість корму кожного виду, які повинні щоденно отримувати лисиці і песці, наведено в таблиці.
У ній же зазначені загальна кількість корму кожного виду, яке може бути використане звіроферми, і
прибуток від реалізації однієї шкурки лисиці і песця.
Вид корму
| Кількість одиниць корму, які щодня мають отримувати лисиці
| Кількість одиниць корму, які щодня мають отримувати песці
| Загальне к-ть корми
|
1
| 2
| 3
| 180
|
2
| 4
| 1
| 240
|
3
| 6
| 7
| 426
|
Прибуток від реалізації 1 шкурки
| 16
| 12
| |
Визначити, скільки лисиць і песців слід вирощувати на звірофермі, щоб
прибуток від реалізації був максимальним.
Рішення:
Введемо змінні.
Нехай х - це кількість лисиць і песців, яке слід вирощувати на фермі.
Х
1 - це кількість лисиць, яке слід вирощувати на фермі.
Х
2 - це кількість песців, яке слід вирощувати на фермі.
Мета завдання: максимізація прибутку від реалізації шкурок песців і лисиць. Цільова функція:
F = 16х
1 + 12х
2 → max
Подивимося як будуть виглядати дані в задачі обмеження:
2х
1 +3 х2 ≤ 180 - обмеження корму 1
4х
1 + х
2 ≤ 240 - обмеження корму 2
6х
1 +7 х
2 ≤ 426 - обмеження корму 3
х
1, х
2 ≥ 0, € Z
Після виконання завдання в програмі XL отримані результати:
57 лисиць та 12 песців слід вирощувати на звірофермі, щоб прибуток був максимальним.
Завдання № 3
Умова задачі:
Знайти оптимальне поєднання посівів трьох продовольчих культур: озимого жита, пшениці, картоплі під посіви відведено 1000га ріллі, яка повинна використовуватися повністю. При цьому загальні
ресурси праці становлять 30000 чоловік.
Виробництво культур характеризується показниками таблиці:
показники
| Озиме жито
| Озима пшениця
| картопля
|
Урожайність з 1 га, ц
| 32
| 40
| 250
|
Витрати праці на 1га, людина
| 16
| 20
| 80
|
Матеріально-грошові витрати на 1га, руб
| 214
| 226
| 782
|
За планом потрібно зробити 32000ц зерна, 40000ц картоплі. Критерій оптимізації - мінімізація грошово-матеріальних витрат на
виробництво продукції. Вирішити пряму і двоїсту завдання. Провести послеоптімізаціонний аналіз.
Пряма задача:
Нехай х - це кількість га зайнятих під продовольчі культури, тоді Х
1 - к-ть га, зайнятих під озимою житом, Х
2 - у га, зайнятих під озимою
пшеницею, Х
3 - у га, зайнятих під картоплею.
Метою завдання є - мінімізація грошово-матеріальних витрат на
виробництво продукції, тобто
F = 214x
січня +226 x
2 +782 x
3 → min
Виділимо обмеження, визначені умовами задачі:
x
1 + x
2 + x
3 = 1000,16 x
1 +20 x
два +80 x
3 ≤ 30000,32 x
1 +40 x
2 ≥ 32000,250 x
3 ≥ 40000, x
1, x
2, x
3 ≥ 0.
Вирішуємо задачу в програмі XL і отримуємо результат:
Х
1, тобто кількість га, зайнятих під озимою житом = 125га.
Х
2, т. е кількість зайнятих га під озиму пшеницю = 700га.
Х
3, т. е кількість зайнятих га під картоплю = 175га.
Це буде оптимальне поєднання посівів трьох продовольчих культур.
Витрати на виробництво продукції склали 825руб.
Двоїста задача:
На першому етапі наведемо пряму задачу до двоїстої задачі.
х
1 + x
2 + x
3 ≥ 1000
х
1 + x
2 + x
3 ≤ 1000
16x
1 +20 x
2 +80 x
3 ≤ 30000
32x
1 +40 x
2 ≥ 32000
250x
3 ≥ 40000
x
1 x
2 x
3 ≥ 0
матриця обмежень. Множимо на - 1.
x
1-x 2-x 3 ≤ -1000
x
1 + x
2 + x
3 ≤ 1000
16x
1 +20 x
2 +80 x
3 ≤ 30000
32x
1-40x 2 ≤ - 32000
250x
3 ≤ - 40000
x
1, x
2, x
3 ≥ 0
транспонована матриця коефіцієнтів обмеження
х
1 х
2 х
3 у
1 - 1 - 1 - 1 - 1000
у
1 лютого 1 січня 1000
у
16 березня 1920 80 30 000
у
4 - 32
- 40 0 - 32000
у
5 0 0 - 250 - 40000
Цільова функція двоїстої задачі буде виглядати наступним чином:
Z = - 1000y
один +1000 y
2 + 30000y
3 - 32000y
4 - 40000y
5 → max
y
1 + y
два +16 y
3-32y 4 ≤ 214
y
1 + y
2 +20 y
3-40y 4 ≤ 226
y
1 + y
два +80 y
3-250y 5 ≤ 782
вирішуємо обмеження у програмі XL