Контрольна робота
з економіко-математичних методів
Адміністрація штату оголосила торги на n будівельних підрядів для n фірм. Ні з однією фірмою не полягає більше одного контракту. З політичних міркувань чиновники адміністрації прагнуть не укладати вже N великих контрактів з фірмами, розташованими за межами штату. Позначимо через 1,2, ..., s великі контракти, а через 1,2, ..., t - фірми, розташовані за межами штату. Метою є мінімізація загальних витрат при зазначеному умови. Побудуйте відповідну даними умовами модель.
Рішення:
Нехай х - витрати на будівництво, тоді мета завдання "мінімізація загальних витрат" буде виражена через функцію
F = x → min
Нехай х 1 - витрати на будівництво при підряді місцевих будівельних фірм, х 2-витрати на будівництво при підряді будівельних фірм, розташованих за межами штату.
F = n * х 1 + n * х 2 → min
S * t ≤ N
n n ≤ 1
х 1, х 2 ≥ 0
Завдання мінімізації загальних витрат на будівництво можна записати як задачу математичного програмування
nnts
F = Σ Σ Cij * хij + Σ Σ Cij * Yij → min
i = 1 j = 1 i = 1 j = 1
При обмеженнях
Хij ≤ 1; I, j = 1, n
Yij ≤ 1; I, j = 1, n
Σij ≤ N; i = 1, t; j = 1s
Хij, Yij ≥ 0
Через хij позначений факт укладання адміністрацією штату з i - тією фірмою, розташованої на території штату, j - того контракту (підряду)
1, i - а фірма уклала - контракт
Хij = 0, i - а фірма не уклала - котракт
Через Yij позначений факт укладання адміністрацією штату i - oй фірмою, розташованої за межами штату, j - того контракту.
Через Cij позначені витрати на будівництво по j - того контрактом з i - ої фірми.
Цільова функція являє собою сумарні витрати. Перші дві умови обмежують кількість укладених з одного будівельною фірмою контрактів у кількості ≤ 1, третя умова обмежує кількість укладених контрактів з фірмами розташованими за межами штату, у кількості не більше N, четверте умова очевидно виходячи з умови даної задачі.
На звірофермі можуть вирощуватися чорно-бурі лисиці і песці. Для забезпечення нормальних умов їх вирощування використовується три види кормів.
Кількість корму кожного виду, які повинні щоденно отримувати лисиці і песці, наведено в таблиці.
У ній же зазначені загальна кількість корму кожного виду, яке може бути використане звіроферми, і прибуток від реалізації однієї шкурки лисиці і песця.
Визначити, скільки лисиць і песців слід вирощувати на звірофермі, щоб прибуток від реалізації був максимальним.
Рішення:
Введемо змінні.
Нехай х - це кількість лисиць і песців, яке слід вирощувати на фермі.
Х 1 - це кількість лисиць, яке слід вирощувати на фермі.
Х 2 - це кількість песців, яке слід вирощувати на фермі.
Мета завдання: максимізація прибутку від реалізації шкурок песців і лисиць. Цільова функція:
F = 16х 1 + 12х 2 → max
Подивимося як будуть виглядати дані в задачі обмеження:
2х 1 +3 х2 ≤ 180 - обмеження корму 1
4х 1 + х 2 ≤ 240 - обмеження корму 2
6х 1 +7 х 2 ≤ 426 - обмеження корму 3
х 1, х 2 ≥ 0, € Z
Після виконання завдання в програмі XL отримані результати:
57 лисиць та 12 песців слід вирощувати на звірофермі, щоб прибуток був максимальним.
Знайти оптимальне поєднання посівів трьох продовольчих культур: озимого жита, пшениці, картоплі під посіви відведено 1000га ріллі, яка повинна використовуватися повністю. При цьому загальні ресурси праці становлять 30000 чоловік. Виробництво культур характеризується показниками таблиці:
За планом потрібно зробити 32000ц зерна, 40000ц картоплі. Критерій оптимізації - мінімізація грошово-матеріальних витрат на виробництво продукції. Вирішити пряму і двоїсту завдання. Провести послеоптімізаціонний аналіз.
Пряма задача:
Нехай х - це кількість га зайнятих під продовольчі культури, тоді Х 1 - к-ть га, зайнятих під озимою житом, Х 2 - у га, зайнятих під озимою пшеницею, Х 3 - у га, зайнятих під картоплею.
Метою завдання є - мінімізація грошово-матеріальних витрат на виробництво продукції, тобто
F = 214x січня +226 x 2 +782 x 3 → min
Виділимо обмеження, визначені умовами задачі:
x 1 + x 2 + x 3 = 1000,16 x 1 +20 x два +80 x 3 ≤ 30000,32 x 1 +40 x 2 ≥ 32000,250 x 3 ≥ 40000, x 1, x 2, x 3 ≥ 0.
Вирішуємо задачу в програмі XL і отримуємо результат:
Х 1, тобто кількість га, зайнятих під озимою житом = 125га.
Х 2, т. е кількість зайнятих га під озиму пшеницю = 700га.
Х 3, т. е кількість зайнятих га під картоплю = 175га.
Це буде оптимальне поєднання посівів трьох продовольчих культур. Витрати на виробництво продукції склали 825руб.
Двоїста задача:
На першому етапі наведемо пряму задачу до двоїстої задачі.
х 1 + x 2 + x 3 ≥ 1000
х 1 + x 2 + x 3 ≤ 1000
16x 1 +20 x 2 +80 x 3 ≤ 30000
32x 1 +40 x 2 ≥ 32000
250x 3 ≥ 40000
x 1 x 2 x 3 ≥ 0
матриця обмежень. Множимо на - 1.
x 1-x 2-x 3 ≤ -1000
x 1 + x 2 + x 3 ≤ 1000
16x 1 +20 x 2 +80 x 3 ≤ 30000
32x 1-40x 2 ≤ - 32000
250x 3 ≤ - 40000
x 1, x 2, x 3 ≥ 0
транспонована матриця коефіцієнтів обмеження
х 1 х 2 х 3
у 1 - 1 - 1 - 1 - 1000
у 1 лютого 1 січня 1000
у 16 березня 1920 80 30 000
у 4 - 32 - 40 0 - 32000
у 5 0 0 - 250 - 40000
Цільова функція двоїстої задачі буде виглядати наступним чином:
Z = - 1000y один +1000 y 2 + 30000y 3 - 32000y 4 - 40000y 5 → max
y 1 + y два +16 y 3-32y 4 ≤ 214
y 1 + y 2 +20 y 3-40y 4 ≤ 226
y 1 + y два +80 y 3-250y 5 ≤ 782
вирішуємо обмеження у програмі XL
з економіко-математичних методів
Завдання № 1
Умова задачі:Адміністрація штату оголосила торги на n будівельних підрядів для n фірм. Ні з однією фірмою не полягає більше одного контракту. З політичних міркувань чиновники адміністрації прагнуть не укладати вже N великих контрактів з фірмами, розташованими за межами штату. Позначимо через 1,2, ..., s великі контракти, а через 1,2, ..., t - фірми, розташовані за межами штату. Метою є мінімізація загальних витрат при зазначеному умови. Побудуйте відповідну даними умовами модель.
Рішення:
Нехай х - витрати на будівництво, тоді мета завдання "мінімізація загальних витрат" буде виражена через функцію
F = x → min
Нехай х 1 - витрати на будівництво при підряді місцевих будівельних фірм, х 2-витрати на будівництво при підряді будівельних фірм, розташованих за межами штату.
F = n * х 1 + n * х 2 → min
S * t ≤ N
n n ≤ 1
х 1, х 2 ≥ 0
Завдання мінімізації загальних витрат на будівництво можна записати як задачу математичного програмування
nnts
F = Σ Σ Cij * хij + Σ Σ Cij * Yij → min
i = 1 j = 1 i = 1 j = 1
При обмеженнях
Хij ≤ 1; I, j = 1, n
Yij ≤ 1; I, j = 1, n
Σij ≤ N; i = 1, t; j = 1s
Хij, Yij ≥ 0
Через хij позначений факт укладання адміністрацією штату з i - тією фірмою, розташованої на території штату, j - того контракту (підряду)
1, i - а фірма уклала - контракт
Хij = 0, i - а фірма не уклала - котракт
Через Yij позначений факт укладання адміністрацією штату i - oй фірмою, розташованої за межами штату, j - того контракту.
Через Cij позначені витрати на будівництво по j - того контрактом з i - ої фірми.
Цільова функція являє собою сумарні витрати. Перші дві умови обмежують кількість укладених з одного будівельною фірмою контрактів у кількості ≤ 1, третя умова обмежує кількість укладених контрактів з фірмами розташованими за межами штату, у кількості не більше N, четверте умова очевидно виходячи з умови даної задачі.
Завдання № 2
Умова задачі:На звірофермі можуть вирощуватися чорно-бурі лисиці і песці. Для забезпечення нормальних умов їх вирощування використовується три види кормів.
Кількість корму кожного виду, які повинні щоденно отримувати лисиці і песці, наведено в таблиці.
У ній же зазначені загальна кількість корму кожного виду, яке може бути використане звіроферми, і прибуток від реалізації однієї шкурки лисиці і песця.
| Вид корму | Кількість одиниць корму, які щодня мають отримувати лисиці | Кількість одиниць корму, які щодня мають отримувати песці | Загальне к-ть корми |
| 1 | 2 | 3 | 180 |
| 2 | 4 | 1 | 240 |
| 3 | 6 | 7 | 426 |
| Прибуток від реалізації 1 шкурки | 16 | 12 |
Рішення:
Введемо змінні.
Нехай х - це кількість лисиць і песців, яке слід вирощувати на фермі.
Х 1 - це кількість лисиць, яке слід вирощувати на фермі.
Х 2 - це кількість песців, яке слід вирощувати на фермі.
Мета завдання: максимізація прибутку від реалізації шкурок песців і лисиць. Цільова функція:
F = 16х 1 + 12х 2 → max
Подивимося як будуть виглядати дані в задачі обмеження:
2х 1 +3 х2 ≤ 180 - обмеження корму 1
4х 1 + х 2 ≤ 240 - обмеження корму 2
6х 1 +7 х 2 ≤ 426 - обмеження корму 3
х 1, х 2 ≥ 0, € Z
Після виконання завдання в програмі XL отримані результати:
57 лисиць та 12 песців слід вирощувати на звірофермі, щоб прибуток був максимальним.
Завдання № 3
Умова задачі:Знайти оптимальне поєднання посівів трьох продовольчих культур: озимого жита, пшениці, картоплі під посіви відведено 1000га ріллі, яка повинна використовуватися повністю. При цьому загальні ресурси праці становлять 30000 чоловік. Виробництво культур характеризується показниками таблиці:
| показники | Озиме жито | Озима пшениця | картопля |
| Урожайність з 1 га, ц | 32 | 40 | 250 |
| Витрати праці на 1га, людина | 16 | 20 | 80 |
| Матеріально-грошові витрати на 1га, руб | 214 | 226 | 782 |
Пряма задача:
Нехай х - це кількість га зайнятих під продовольчі культури, тоді Х 1 - к-ть га, зайнятих під озимою житом, Х 2 - у га, зайнятих під озимою пшеницею, Х 3 - у га, зайнятих під картоплею.
Метою завдання є - мінімізація грошово-матеріальних витрат на виробництво продукції, тобто
F = 214x січня +226 x 2 +782 x 3 → min
Виділимо обмеження, визначені умовами задачі:
x 1 + x 2 + x 3 = 1000,16 x 1 +20 x два +80 x 3 ≤ 30000,32 x 1 +40 x 2 ≥ 32000,250 x 3 ≥ 40000, x 1, x 2, x 3 ≥ 0.
Вирішуємо задачу в програмі XL і отримуємо результат:
Х 1, тобто кількість га, зайнятих під озимою житом = 125га.
Х 2, т. е кількість зайнятих га під озиму пшеницю = 700га.
Х 3, т. е кількість зайнятих га під картоплю = 175га.
Це буде оптимальне поєднання посівів трьох продовольчих культур. Витрати на виробництво продукції склали 825руб.
Двоїста задача:
На першому етапі наведемо пряму задачу до двоїстої задачі.
х 1 + x 2 + x 3 ≥ 1000
х 1 + x 2 + x 3 ≤ 1000
16x 1 +20 x 2 +80 x 3 ≤ 30000
32x 1 +40 x 2 ≥ 32000
250x 3 ≥ 40000
x 1 x 2 x 3 ≥ 0
матриця обмежень. Множимо на - 1.
x 1-x 2-x 3 ≤ -1000
x 1 + x 2 + x 3 ≤ 1000
16x 1 +20 x 2 +80 x 3 ≤ 30000
32x 1-40x 2 ≤ - 32000
250x 3 ≤ - 40000
x 1, x 2, x 3 ≥ 0
транспонована матриця коефіцієнтів обмеження
х 1 х 2 х 3
у 1 - 1 - 1 - 1 - 1000
у 1 лютого 1 січня 1000
у 16 березня 1920 80 30 000
у 4 - 32 - 40 0 - 32000
у 5 0 0 - 250 - 40000
Цільова функція двоїстої задачі буде виглядати наступним чином:
Z = - 1000y один +1000 y 2 + 30000y 3 - 32000y 4 - 40000y 5 → max
y 1 + y два +16 y 3-32y 4 ≤ 214
y 1 + y 2 +20 y 3-40y 4 ≤ 226
y 1 + y два +80 y 3-250y 5 ≤ 782
вирішуємо обмеження у програмі XL