Міністерство охорони здоров’я України
Житомирський фармацевтичний коледж
ім. Г.С. Протасевича
Реферат
на тему:
“ Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя” Роботу виконала
Студентка 211 групи
Піщук Олеся
Викладач:
Виговська В.Г.
Отриманий бал:
_____________
м. Житомир – 2006 План І. Розкриття невизначеностей з використанням правила Лопіталя.
1) Правило Лопіталя.
а) Наслідок.
б) Приклад 1.
2) Розкриття невизначеностей виду: ∞-∞; 0∙∞; 1
∞; 0
0; ∞
0.
а) Приклад 2.
б) Приклад 3.
в) Приклад 4.
Список використаної літератури.
І. Розкриття невизначеностей з використанням правила Лопіталя. Лопіталь де Гійом Франсуа (1661-2.02.1704 рр.). Французький математик, член Парижської АН, народився в Парижі, вивчав математику під керівництвом У. Бернуллі. Видав перший друкований
підручник по диференціальному обчисленню – “Аналіз нескінченно малих” (1696р.). В
підручнику є правило Лопіталя – правило знаходження
межі дробу, чисельник і знаменник якого прямує до 0. Крім
того, він створив курс аналітичної геометрії конічних перетинів. Йому також належить дослідження і
розвиток за допомогою математичного аналізу декількох важких задач по геометрії і механіці, а також одне із рівнянь знаменитої задачі о браністохроні.
1. Правило Лопіталя. Нехай виконані умови:
1.
функції f(х) та
g(х) визначені і диференційовані в колі точки
х0;
2. частка цих функцій
в точці
х0 має невизначеність вигляду
або
;
3. існує
.
Тоді існує
і виконує рівність:
(1)
а) Наслідок. Нехай: 1. Визначені в колі точки
х0 функції
f(х), g(х) та їх похідні до
n-го порядку включно;
2. Частки
,
, …,
мають невизначеність вигляду
або
;
3. Існує
, тоді
(2)
б) Приклад 1. Знайти:
.
Розв’язання: Функції
та
визначені з усіма своїми похідними в околі точки
х=0.
Маємо:
.
2) Розкриття невизначеностей виду: ∞-∞; 0∙∞; 1∞; 00; ∞0. Існують прийоми, що дозволяють зводити вказані невизначеності до невизначеностей вигляду
або
, які можна розкривати з використанням правила Лопіталя.
1. Нехай
і
, тоді
(3)
За умовою
при
, тому
при
.
Якщо
не прямує до 0 при
, то границя в правій частині (3) не існує, а тому і границя лівої частини (3) не існує.
Якщо
при
, то вираз
має невизначеність
.
2. Нехай
,
, тоді
має невизначеність вигляду
при
.
В цьому випадку поступають так:
Під знаком останньої границі маємо невизначеність
.
3. Нехай
,
при
. Тоді
має невизначеність вигляду
.
Позначимо
. Шляхом логарифмування цієї рівності одержимо:
Отже, обчислення натурального логарифма границі
зводиться до розкриття невизначеності вигляду
.
4. Невизначеності вигляду
та
зводять до невизначеностей
або
шляхом логарифмування аналогічно до невизначеності вигляду
.
а) Приклад 2. Знайти границю
.
Розв’язання: Функції
та
диференційовані, а їх частка
має невизначеність вигляду
при
.
Використовуючи правило Лопіталя, одержимо:
.
б) Приклад 3. Знайти границю
.
Розв’язання: В цьому випадку маємо невизначеність вигляду
. Позначимо
і про логарифмуємо цю рівність. Одержимо:
, тобто невизначеність вигляду
. Використовуючи правило Лопіталя, одержимо:
.
Отже,
.
в) Приклад 4. Знайти границю
.
В цьому випадку маємо невизначеність вигляду
. Нехай
. Логарифмуючи цю рівність, одержимо:
.
Чотири рази застосували правило Лопіталя.
Отже, маємо:
Список використаної літератури: 1. Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. К.82.
Вища математика. Практикум. Навчальний посібник.–Київ: Центр навчальної літератури, 2005.–536с.
2.
Бородин А.И., Бугай А.С., Биографический словарь деятелей в области математики. Радянська
школа 1979.
3.
Алгебра и начала анализа: В 2-х ч./ Под. ред. Г.Н. Яковлева.–2-е изд. –К.: Вища шк., Головное изд-во, 1984.–Ч.2. 293с.