Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя

Міністерство охорони здоров’я України
Житомирський фармацевтичний коледж
ім. Г.С. Протасевича
Реферат
на тему:
“ Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя”
                                                                           Роботу виконала
                                                               Студентка 211 групи
                                                               Піщук Олеся
                                                               Викладач:
                                                               Виговська В.Г.
                                                               Отриманий бал:
                                                               _____________
м. Житомир – 2006
План
І. Розкриття невизначеностей з використанням правила Лопіталя.
1) Правило Лопіталя.
     а) Наслідок.
     б) Приклад 1.
2) Розкриття невизначеностей виду: ∞-∞; 0∙∞; 1^∞; 0⁰; ∞⁰.
     а) Приклад 2.
     б) Приклад 3.
     в) Приклад 4.
Список використаної літератури.
І. Розкриття невизначеностей з використанням правила Лопіталя.
Лопіталь де Гійом Франсуа (1661-2.02.1704 рр.). Французький математик, член Парижської АН, народився в Парижі, вивчав математику під керівництвом У. Бернуллі. Видав перший друкований підручник по диференціальному обчисленню – “Аналіз нескінченно малих” (1696р.). В підручнику є правило Лопіталя – правило знаходження межі дробу, чисельник і знаменник якого прямує до 0. Крім того, він створив курс аналітичної геометрії конічних перетинів. Йому також належить дослідження і розвиток за допомогою математичного аналізу декількох важких задач по геометрії і механіці, а також одне із рівнянь знаменитої задачі о браністохроні.
 
1.   Правило Лопіталя.
Нехай виконані умови:
1.  функції f(х) та g(х) визначені і диференційовані в колі точки х₀;
2.  частка цих функцій  в точці х₀ має невизначеність вигляду  або ;
3.  існує .
Тоді існує  і виконує рівність:
            (1)
а) Наслідок.
Нехай:
1. Визначені в колі точки х₀ функції f(х),  g(х) та їх похідні до n-го порядку включно;
2. Частки , , …,  мають невизначеність вигляду  або ;
3. Існує , тоді
               (2)
б) Приклад 1.
Знайти: .
Розв’язання:
Функції  та  визначені з усіма своїми похідними в околі точки х=0.
Маємо:
.
2) Розкриття невизначеностей виду: ∞-∞; 0∙∞; 1^∞; 0⁰; ∞⁰.
Існують прийоми, що дозволяють зводити вказані невизначеності до невизначеностей вигляду  або , які можна розкривати з використанням правила Лопіталя.
1.     Нехай  і ,  тоді
             (3)
За умовою  при , тому  при .
Якщо  не прямує до 0 при , то границя в правій частині (3) не існує, а тому і границя лівої частини (3) не існує.
Якщо  при , то вираз  має невизначеність .
2. Нехай , , тоді  має невизначеність вигляду  при .
В цьому випадку поступають так:

Під знаком останньої границі маємо невизначеність .
3.  Нехай ,  при . Тоді  має невизначеність вигляду .
Позначимо . Шляхом логарифмування цієї рівності одержимо:

Отже, обчислення натурального логарифма границі  зводиться до розкриття невизначеності вигляду .
4. Невизначеності вигляду  та  зводять до невизначеностей   або  шляхом логарифмування аналогічно до невизначеності вигляду .
а) Приклад 2.
Знайти границю .
Розв’язання:
Функції  та  диференційовані, а їх частка  має невизначеність вигляду  при .
Використовуючи правило Лопіталя, одержимо:
.
б) Приклад 3.
Знайти границю .
Розв’язання:
В цьому випадку маємо невизначеність вигляду . Позначимо  і про логарифмуємо цю рівність. Одержимо:
, тобто невизначеність вигляду . Використовуючи правило Лопіталя, одержимо:
.
Отже, .
в) Приклад 4.
Знайти границю .
В цьому випадку маємо невизначеність вигляду . Нехай . Логарифмуючи цю рівність, одержимо:
  .
Чотири рази застосували правило Лопіталя.
Отже, маємо:

Список використаної літератури:
1.                              Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. К.82. Вища математика. Практикум. Навчальний посібник.–Київ: Центр навчальної літератури, 2005.–536с.
2.                              Бородин А.И., Бугай А.С., Биографический словарь деятелей в области математики. Радянська школа 1979.
3.                              Алгебра и начала анализа: В 2-х ч./ Под. ред. Г.Н. Яковлева.–2-е изд. –К.: Вища шк., Головное изд-во, 1984.–Ч.2. 293с.