Дисципліна: "Вища математика"
Тема: "Рішення матричних рівнянь: Базисний мінор. Ранг. Дії над матрицями"
1. Базові дії над матрицями
Визначення 1.
Дві матриця називаються рівними, якщо вони мають однакові порядки і всі їх відповідні елементи збігаються. Визначення 2.
Сумою двох матриць ( ) І ( ) Однакових порядків називається матриця ( ) Того ж порядку, елементи якої дорівнюють .
На листі ця дія може бути записано так:
.
Операція складання володіє, очевидно, звичайними властивостями: переставних
; Сполучним
.
Визначення 3.
Твором матриці на число називається матриця , Елементи якої дорівнюють .
Множення
матриці на число може бути записано:
або
.
Ця
операція має такі властивості: сполучним щодо числового множника
; Розподільчим щодо суми матриць
; Розподільчим щодо суми чисел
.
Після перших двох дій необхідно відзначити, що віднімання матриць проводиться аналогічно складанню, а розподіл матриці на число може бути визначене як множення на зворотне число.
Визначення 4.
Твором матриці ( ), Що має порядок , На матрицю ( ), Що має порядок , Називається матриця ( ), Що має порядок , Елементи якої дорівнюють , Де .
Записується цю дію так
. Зі сказаного вище випливає, що для знаходження елемента
, У творі
необхідно попарно перемножити всі відповідні елементи
-Го рядка матриці
на елементи
-Го стовпця матриці
, А потім все це скласти. З визначення також випливає, що для множення двох матриць необхідно, щоб число стовпців матриці
було
рівне числу рядків матриці
. Звідси випливає, що одночасно твір
і
існує лише в тому випадку, коли число стовпців
дорівнює числу рядків
, А число стовпців
дорівнює числу рядків
. У цьому випадку
і
будуть квадратними матрицями, але різних порядків. Щоб обидва
твори були однакового порядку, необхідно, щоб
і
були квадратними матрицями однакового порядку.
Твір матриць
має властивості: сочетательное
; Розподільне
. Переставних властивістю в загальному випадку твір матриць не володіє. Воно виконується лише в деяких випадках.
Серед квадратних матриць необхідно виділити важливий клас діагональних матриць.
Визначення 5.
Діагональної називається квадратна матриця, всі елементи якої, розташовані поза головної діагоналі, дорівнюють 0: .
У тому випадку, якщо
, То для будь-квадратної матриці
порядку
справедливо
. Дійсно, для
отримуємо
. Для
-
. Звідси,
.
Серед діагональних матриць з рівними один одному елементами особливе місце займають дві матриці: одинична і нульова. У одиничної матриці
, Позначається вона -
, Біля нульової
, Позначається вона -
.
Як було показано
,
. Перемноживши ці матриці, можна переконатися, що
;
. Таким чином, матриці
і
виконують ту ж роль, що й 1 і 0 серед чисел. Взагалі нульової називають будь-яку матрицю, елементи якої дорівнюють нулю.
2. Зворотній матриця
Крім дій над матрицями як додавання, віднімання, множення матриці на число, множення матриці на матрицю є також
операція ділення на матрицю. Вона еквівалентна множенню на зворотну матрицю. Розглянемо, що ж це таке.
Визначення 1.
Матриця , Що задовольняє разом з матрицею равенствам , Де - Одинична матриця, називається оберненою до і позначається .
Оскільки
і
мають у творі переставних властивістю, то обидві матриці повинні бути квадратними і одного порядку.
Перш ніж розглядати питання про
існування оберненої матриці, введемо деякі
поняття.
Визначення 2.
Якщо визначник квадратної матриці відмінний від нуля, то матриця називається невиродженої. В іншому випадку вона називається виродженою. Визначення 3.
Нехай дана квадратна матриця
. Матрицею союзної чи приєднаної до матриці називається матриця , де алгебраїчні доповнення елементів даної матриці. Необхідно звернути увагу на те, що в матриці
алгебраїчні доповнення до елементів
-Го рядка розташовані в
-Му стовпці.
Теорема 1.
Визначник твори матриць дорівнює добутку визначників цих матриць, тобто .
Теорема 2.
Матриця має зворотну тільки в тому випадку, якщо вона невироджена. Доказ. Нехай для матриці
існує зворотна
, Тоді
. Звідси випливає, що
,
інакше одиниці праворуч бути не може.
Теорема
3. У кожної невиродженої матриці існує єдина зворотна .
Доказ. Нехай
має дві зворотні матриці
і
. Тоді
і
.
Теорема 4.
У кожної невиродженої квадратної матриці існує зворотна, рівна .
Доведемо цю теорему, обчислюючи
. Очевидно, що ми повинні отримати при цьому матрицю
, Елементи якої знаходяться за формулою
.
В отриманому виразі, якщо
, То
. Дійсно,
схоже на вираз для обчислення величини визначника. При цьому елементи
-Го рядка множаться на алгебраїчні доповнення
-Го стовпця. Але так як ці доповнення містять в собі
-Й рядок, то виходить, що ми обчислюємо визначник з двома однаковими рядками. Значить,
він дорівнює нулю.
Отже, якщо
, То
. Якщо ж
, То отримане вираження в точності
відповідає формулі для обчислення визначника. Значить,
Але
визначає діагональні елементи. Значить, в отриманій матриці по головній діагоналі стоять одиниці, а інші елементи - нулі. Це одинична матриця
. Отже,
і
.
Звідси випливає правило обчислення оберненої матриці:
1. знаходимо
(Він повинен бути не дорівнює нулю);
2. Транспонуємо матрицю
;
3. замінюємо кожен елемент транспонованої матриці його алгебраїчним доповненням;
4. ділимо кожен отриманий елемент на
.
3. Рішення матричних рівнянь
Поняття оберненої матриці дає можливість вирішувати матричні рівняння. Нехай є рівняння виду
, Де
,
,
,
- Деякі матриці, причому
- Невідома. Для знаходження
, Перш за все, необхідно
перенести вправо:
. Потім, користуючись тим, що
, Помножимо рівність на
:
.
При вирішенні подібних рівнянь необхідно враховувати, з якого боку стоїть множник при
. Якщо рівняння має вигляд
, То
.
Якщо ж рівняння має множники при
з обох сторін
(
), То
.
4. Базисний мінор і ранг матриці
Ввівши
поняття лінійної комбінації рядків і стовпців матриці, як це було зроблено у
векторів, можна ввести поняття їх лінійної залежності і незалежності.
Визначення 1.
Рядки , ,..., називаються лінійно залежними, якщо існують числа , Не всі рівні нулю, такі що справедливо рівність .
Тут 0 - нульова рядок.
Визначення 2.
Рядки називаються лінійно незалежними, якщо їх лінійна комбінація звертається в нуль лише за умови, що .
У цьому випадку лінійна комбінація називається тривіальною.
Так само як і в векторів є
відповідна теорема.
Теорема 1.
Для того щоб рядки були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб одна з них була лінійною комбінацією інших. Доведення проводиться так само, як і в 4 (там це розбито на дві теореми).
Теорема 2.
Якщо в систему рядків матриці входить нульова рядок, то ці рядки лінійно залежні. Доказ. Дійсно, нульова рядок являє собою тривіальну лінійну комбінацію будь-яких рядків. Але тоді ми відразу переходимо до теореми 1.
Розглянемо тепер поняття базисного мінору. Нехай є довільна матриця порядку
:
.
Визначення 3.
Мінором -Го порядку матриці називається визначник -Го порядку з елементами, що лежать на перетині будь-яких рядків і стовпців матриці .
Визначення 4.
У матриці , Порядку , Мінор порядку називається базисним, якщо він не дорівнює нулю, а всі інші мінори порядку дорівнюють нулю або мінорів порядку взагалі немає, тобто збігається з меншим з чисел або .
Очевидно, що в матриці може бути кілька базисних мінорів, але всі вони повинні бути одного порядку.
Визначення 5.
Рангом матриці називається порядок базисного мінору. Позначається ранг матриці -
. Рядки і стовпці, на перетині яких стоїть базисний мінор, називаються базисними.
Теорема 3. (Теорема про базисний мінорі).
Базисні рядки і стовпці лінійно незалежні. Будь-яка інша рядок або стовпець матриці є лінійною комбінацією базисних рядків або стовпців. Доказ проведемо для рядків. Покажемо спочатку, що базисні рядки лінійно незалежні. Якщо б вони були лінійно залежні, то одна з цих рядків була б лінійної комбінацією інших. Тоді на підставі властивостей визначника цю комбінацію можна відняти з зазначеного рядка і отримати на її місці нулі. Але якщо вся рядок складається з нулів, то мінор дорівнює нулю, що
суперечить теоремі.
Доведемо другу частину цієї теореми. Розглянемо будь-мінор
-Го порядку, що включає в себе базисний. Розташуємо базисний мінор у лівому верхньому кутку:
.
За визначенням даний мінор дорівнює нулю. Розкриємо його за останнім стовпцем:
.
Тут
, Розділимо на нього все рівність:
З отриманого виразу випливає, що
-Ий рядок є лінійною комбінацією базисних рядків.
Звідси можна зробити висновок, що число лінійно незалежних рядків чи стовпців одно рангом матриці. Ця властивість використовується для практичного обчислення
.
Література
1.
Александров В.В., Потапов М.К., Пасіченко П.І., Потапов М.К.
Александров В.В., Потапов М. К та ін
Алгебра, тригонометрія та елементарні функції. Підручник. М: Вища
школа, 2001. - 736с.
2. Тоом А., Гельфанд І., Львівський С. Тригонометрія. МЦМНО, 2003. - 200с.
3. Баврін І.І.
Вища математика - 1980 р.
4. Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун Матричні обчислення. - М.: Світ, 1999.
5. Беллмана Р. Введення в теорію матриць. - М.: Світ, 1969.
6. Гантмахер Ф.Р.
Теорія матриць (2-е видання). - М.:
Наука, 1966.
7. Ланкастер П.
Теорія матриць. - М.: Наука, 1973.