Дисципліна: "Вища математика"
Тема: "Рішення матричних рівнянь: Базисний мінор. Ранг. Дії над матрицями"
Визначення 2. Сумою двох матриць ( ) І ( ) Однакових порядків називається матриця ( ) Того ж порядку, елементи якої дорівнюють .
На листі ця дія може бути записано так: . Операція складання володіє, очевидно, звичайними властивостями: переставних ; Сполучним .
Визначення 3. Твором матриці на число називається матриця , Елементи якої дорівнюють .
Множення матриці на число може бути записано: або .
Ця операція має такі властивості: сполучним щодо числового множника ; Розподільчим щодо суми матриць ; Розподільчим щодо суми чисел .
Після перших двох дій необхідно відзначити, що віднімання матриць проводиться аналогічно складанню, а розподіл матриці на число може бути визначене як множення на зворотне число.
Визначення 4. Твором матриці ( ), Що має порядок , На матрицю ( ), Що має порядок , Називається матриця ( ), Що має порядок , Елементи якої дорівнюють , Де .
Записується цю дію так . Зі сказаного вище випливає, що для знаходження елемента , У творі необхідно попарно перемножити всі відповідні елементи -Го рядка матриці на елементи -Го стовпця матриці , А потім все це скласти. З визначення також випливає, що для множення двох матриць необхідно, щоб число стовпців матриці було рівне числу рядків матриці . Звідси випливає, що одночасно твір і існує лише в тому випадку, коли число стовпців дорівнює числу рядків , А число стовпців дорівнює числу рядків . У цьому випадку і будуть квадратними матрицями, але різних порядків. Щоб обидва твори були однакового порядку, необхідно, щоб і були квадратними матрицями однакового порядку.
Твір матриць має властивості: сочетательное ; Розподільне . Переставних властивістю в загальному випадку твір матриць не володіє. Воно виконується лише в деяких випадках.
Серед квадратних матриць необхідно виділити важливий клас діагональних матриць.
Визначення 5. Діагональної називається квадратна матриця, всі елементи якої, розташовані поза головної діагоналі, дорівнюють 0:
.
У тому випадку, якщо , То для будь-квадратної матриці порядку справедливо . Дійсно, для отримуємо . Для - . Звідси, .
Серед діагональних матриць з рівними один одному елементами особливе місце займають дві матриці: одинична і нульова. У одиничної матриці , Позначається вона - , Біля нульової , Позначається вона - .
Як було показано , . Перемноживши ці матриці, можна переконатися, що ; . Таким чином, матриці і виконують ту ж роль, що й 1 і 0 серед чисел. Взагалі нульової називають будь-яку матрицю, елементи якої дорівнюють нулю.
Визначення 1. Матриця , Що задовольняє разом з матрицею равенствам , Де - Одинична матриця, називається оберненою до і позначається .
Оскільки і мають у творі переставних властивістю, то обидві матриці повинні бути квадратними і одного порядку.
Перш ніж розглядати питання про існування оберненої матриці, введемо деякі поняття.
Визначення 2. Якщо визначник квадратної матриці відмінний від нуля, то матриця називається невиродженої. В іншому випадку вона називається виродженою.
Визначення 3. Нехай дана квадратна матриця
.
Матрицею союзної чи приєднаної до матриці називається матриця
,
де алгебраїчні доповнення елементів даної матриці.
Необхідно звернути увагу на те, що в матриці алгебраїчні доповнення до елементів -Го рядка розташовані в -Му стовпці.
Теорема 1. Визначник твори матриць дорівнює добутку визначників цих матриць, тобто .
Теорема 2. Матриця має зворотну тільки в тому випадку, якщо вона невироджена.
Доказ. Нехай для матриці існує зворотна , Тоді . Звідси випливає, що
,
інакше одиниці праворуч бути не може.
Теорема 3. У кожної невиродженої матриці існує єдина зворотна .
Доказ. Нехай має дві зворотні матриці і . Тоді
і .
Теорема 4. У кожної невиродженої квадратної матриці існує зворотна, рівна .
Доведемо цю теорему, обчислюючи . Очевидно, що ми повинні отримати при цьому матрицю , Елементи якої знаходяться за формулою
.
В отриманому виразі, якщо , То . Дійсно, схоже на вираз для обчислення величини визначника. При цьому елементи -Го рядка множаться на алгебраїчні доповнення -Го стовпця. Але так як ці доповнення містять в собі -Й рядок, то виходить, що ми обчислюємо визначник з двома однаковими рядками. Значить, він дорівнює нулю.
Отже, якщо , То . Якщо ж , То отримане вираження в точності відповідає формулі для обчислення визначника. Значить,
Але визначає діагональні елементи. Значить, в отриманій матриці по головній діагоналі стоять одиниці, а інші елементи - нулі. Це одинична матриця . Отже, і .
Звідси випливає правило обчислення оберненої матриці:
1. знаходимо (Він повинен бути не дорівнює нулю);
2. Транспонуємо матрицю ;
3. замінюємо кожен елемент транспонованої матриці його алгебраїчним доповненням;
4. ділимо кожен отриманий елемент на .
, Де , , , - Деякі матриці, причому - Невідома. Для знаходження , Перш за все, необхідно перенести вправо: . Потім, користуючись тим, що , Помножимо рівність на :
.
При вирішенні подібних рівнянь необхідно враховувати, з якого боку стоїть множник при . Якщо рівняння має вигляд , То
.
Якщо ж рівняння має множники при з обох сторін
( ), То .
Визначення 1. Рядки , ,..., називаються лінійно залежними, якщо існують числа , Не всі рівні нулю, такі що справедливо рівність .
Тут 0 - нульова рядок.
Визначення 2. Рядки називаються лінійно незалежними, якщо їх лінійна комбінація звертається в нуль лише за умови, що .
У цьому випадку лінійна комбінація називається тривіальною.
Так само як і в векторів є відповідна теорема.
Теорема 1. Для того щоб рядки були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб одна з них була лінійною комбінацією інших.
Доведення проводиться так само, як і в 4 (там це розбито на дві теореми).
Теорема 2. Якщо в систему рядків матриці входить нульова рядок, то ці рядки лінійно залежні.
Доказ. Дійсно, нульова рядок являє собою тривіальну лінійну комбінацію будь-яких рядків. Але тоді ми відразу переходимо до теореми 1.
Розглянемо тепер поняття базисного мінору. Нехай є довільна матриця порядку :
.
Визначення 3. Мінором -Го порядку матриці називається визначник -Го порядку з елементами, що лежать на перетині будь-яких рядків і стовпців матриці .
Визначення 4. У матриці , Порядку , Мінор порядку називається базисним, якщо він не дорівнює нулю, а всі інші мінори порядку дорівнюють нулю або мінорів порядку взагалі немає, тобто збігається з меншим з чисел або .
Очевидно, що в матриці може бути кілька базисних мінорів, але всі вони повинні бути одного порядку.
Визначення 5. Рангом матриці називається порядок базисного мінору. Позначається ранг матриці - . Рядки і стовпці, на перетині яких стоїть базисний мінор, називаються базисними.
Теорема 3. (Теорема про базисний мінорі). Базисні рядки і стовпці лінійно незалежні. Будь-яка інша рядок або стовпець матриці є лінійною комбінацією базисних рядків або стовпців.
Доказ проведемо для рядків. Покажемо спочатку, що базисні рядки лінійно незалежні. Якщо б вони були лінійно залежні, то одна з цих рядків була б лінійної комбінацією інших. Тоді на підставі властивостей визначника цю комбінацію можна відняти з зазначеного рядка і отримати на її місці нулі. Але якщо вся рядок складається з нулів, то мінор дорівнює нулю, що суперечить теоремі.
Доведемо другу частину цієї теореми. Розглянемо будь-мінор -Го порядку, що включає в себе базисний. Розташуємо базисний мінор у лівому верхньому кутку:
.
За визначенням даний мінор дорівнює нулю. Розкриємо його за останнім стовпцем:
.
Тут , Розділимо на нього все рівність:
З отриманого виразу випливає, що -Ий рядок є лінійною комбінацією базисних рядків.
Звідси можна зробити висновок, що число лінійно незалежних рядків чи стовпців одно рангом матриці. Ця властивість використовується для практичного обчислення .
2. Тоом А., Гельфанд І., Львівський С. Тригонометрія. МЦМНО, 2003. - 200с.
3. Баврін І.І. Вища математика - 1980 р.
4. Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун Матричні обчислення. - М.: Світ, 1999.
5. Беллмана Р. Введення в теорію матриць. - М.: Світ, 1969.
6. Гантмахер Ф.Р. Теорія матриць (2-е видання). - М.: Наука, 1966.
7. Ланкастер П. Теорія матриць. - М.: Наука, 1973.
Тема: "Рішення матричних рівнянь: Базисний мінор. Ранг. Дії над матрицями"
1. Базові дії над матрицями
Визначення 1. Дві матриця називаються рівними, якщо вони мають однакові порядки і всі їх відповідні елементи збігаються.Визначення 2. Сумою двох матриць
На листі ця дія може бути записано так:
Визначення 3. Твором матриці
Множення матриці на число може бути записано:
Ця операція має такі властивості: сполучним щодо числового множника
Після перших двох дій необхідно відзначити, що віднімання матриць проводиться аналогічно складанню, а розподіл матриці на число може бути визначене як множення на зворотне число.
Визначення 4. Твором матриці
Записується цю дію так
Твір матриць
Серед квадратних матриць необхідно виділити важливий клас діагональних матриць.
Визначення 5. Діагональної називається квадратна матриця, всі елементи якої, розташовані поза головної діагоналі, дорівнюють 0:
У тому випадку, якщо
Серед діагональних матриць з рівними один одному елементами особливе місце займають дві матриці: одинична і нульова. У одиничної матриці
Як було показано
2. Зворотній матриця
Крім дій над матрицями як додавання, віднімання, множення матриці на число, множення матриці на матрицю є також операція ділення на матрицю. Вона еквівалентна множенню на зворотну матрицю. Розглянемо, що ж це таке.Визначення 1. Матриця
Оскільки
Перш ніж розглядати питання про існування оберненої матриці, введемо деякі поняття.
Визначення 2. Якщо визначник квадратної матриці відмінний від нуля, то матриця називається невиродженої. В іншому випадку вона називається виродженою.
Визначення 3. Нехай дана квадратна матриця
Матрицею союзної чи приєднаної до матриці
де
Необхідно звернути увагу на те, що в матриці
Теорема 1. Визначник твори матриць дорівнює добутку визначників цих матриць, тобто
Теорема 2. Матриця
Доказ. Нехай для матриці
інакше одиниці праворуч бути не може.
Теорема 3. У кожної невиродженої матриці існує єдина зворотна
Доказ. Нехай
Теорема 4. У кожної невиродженої квадратної матриці існує зворотна, рівна
Доведемо цю теорему, обчислюючи
В отриманому виразі, якщо
Отже, якщо
Але
Звідси випливає правило обчислення оберненої матриці:
1. знаходимо
2. Транспонуємо матрицю
3. замінюємо кожен елемент транспонованої матриці його алгебраїчним доповненням;
4. ділимо кожен отриманий елемент на
3. Рішення матричних рівнянь
Поняття оберненої матриці дає можливість вирішувати матричні рівняння. Нехай є рівняння видуПри вирішенні подібних рівнянь необхідно враховувати, з якого боку стоїть множник при
Якщо ж рівняння має множники при
(
4. Базисний мінор і ранг матриці
Ввівши поняття лінійної комбінації рядків і стовпців матриці, як це було зроблено у векторів, можна ввести поняття їх лінійної залежності і незалежності.Визначення 1. Рядки
Тут 0 - нульова рядок.
Визначення 2. Рядки
У цьому випадку лінійна комбінація називається тривіальною.
Так само як і в векторів є відповідна теорема.
Теорема 1. Для того щоб рядки
Доведення проводиться так само, як і в 4 (там це розбито на дві теореми).
Теорема 2. Якщо в систему рядків матриці входить нульова рядок, то ці рядки лінійно залежні.
Доказ. Дійсно, нульова рядок являє собою тривіальну лінійну комбінацію будь-яких рядків. Але тоді ми відразу переходимо до теореми 1.
Розглянемо тепер поняття базисного мінору. Нехай є довільна матриця порядку
Визначення 3. Мінором
Визначення 4. У матриці
Очевидно, що в матриці може бути кілька базисних мінорів, але всі вони повинні бути одного порядку.
Визначення 5. Рангом матриці називається порядок базисного мінору. Позначається ранг матриці -
Теорема 3. (Теорема про базисний мінорі). Базисні рядки і стовпці лінійно незалежні. Будь-яка інша рядок або стовпець матриці
Доказ проведемо для рядків. Покажемо спочатку, що базисні рядки лінійно незалежні. Якщо б вони були лінійно залежні, то одна з цих рядків була б лінійної комбінацією інших. Тоді на підставі властивостей визначника цю комбінацію можна відняти з зазначеного рядка і отримати на її місці нулі. Але якщо вся рядок складається з нулів, то мінор дорівнює нулю, що суперечить теоремі.
Доведемо другу частину цієї теореми. Розглянемо будь-мінор
За визначенням даний мінор дорівнює нулю. Розкриємо його за останнім стовпцем:
Тут
З отриманого виразу випливає, що
Звідси можна зробити висновок, що число лінійно незалежних рядків чи стовпців одно рангом матриці. Ця властивість використовується для практичного обчислення
Література
1. Александров В.В., Потапов М.К., Пасіченко П.І., Потапов М.К. Александров В.В., Потапов М. К та ін Алгебра, тригонометрія та елементарні функції. Підручник. М: Вища школа, 2001. - 736с.2. Тоом А., Гельфанд І., Львівський С. Тригонометрія. МЦМНО, 2003. - 200с.
3. Баврін І.І. Вища математика - 1980 р.
4. Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун Матричні обчислення. - М.: Світ, 1999.
5. Беллмана Р. Введення в теорію матриць. - М.: Світ, 1969.
6. Гантмахер Ф.Р. Теорія матриць (2-е видання). - М.: Наука, 1966.
7. Ланкастер П. Теорія матриць. - М.: Наука, 1973.