Реферат на т ем в: "Рішення систем диференціальних рівнянь"
1. Диференціальна лінійна алгебра З власними значеннями і векторами
матриці доводиться
мати справу в задачах, пов'язаних з рішенням систем лінійних диференціальних рівнянь і дослідженням стійкості цих рішень.
Диференціальна векторно-матрична
алгебра включає в себе операції інтегрування і диференціювання, які в безлічі випадків у своїй нотації нагадують
відповідні операції звичайного диференціального числення. Похідна за скалярної змінної та інтеграл від вектора і матриці в заданих межах зміни скалярної змінної визначені так:
Похідні від векторних і векторно-матричних виразів визначаються наступними правилами:
,
,
,
,
.
2. Векторне рішення однорідного рівняння Нехай система лінійних однорідних диференціальних рівнянь задана у векторній формі:
Якщо рівняння записано у формі однорідного диференціального рівняння
n-го порядку і його характеристичний многочлен має різні коріння, то загальне рішення представляється сумою
n приватних рішень з експоненціальними базовими
функціями:
,
де
- Константи, які визначаються початковими умовами.
Можна припустити, що
векторне рівняння, що представляє спільне рішення, має аналогічну форму
.
Для з'ясування питання, що є в такому поданні
і
,
Підставимо приватне рішення
в рівняння:
Звідси видно, що
буде приватним рішенням, якщо
будуть власним значенням і власним
вектором матриці
A. Таким чином, якщо матриця
A має
власні значення та вектори
,
K = 1,2, ..., n, то загальне рішення однорідного векторного рівняння після ряду еквівалентних перетворень постане в наступному вигляді:
.
Використовуючи значення рішення при
t = 0, знаходимо
. Таким чином, загальне рішення однорідного векторного рівняння має наступний вигляд:
.
Матрична експонента виражається через проектори і
власні значення матриці за формулами спектрального розкладання:
.
Після підстановки
X у вирішення замість експоненти отримаємо:
.
У випадках, коли власні значення та вектори знайти не вдається, матричну функцію можна розкласти в ряд за ступенями матриці:
,
що дозволяє чисельно отримувати багатовимірний перехідний
процес, якщо ряд сходиться.
Матричний ряд сходиться, якщо існує границя
послідовності часткових сум. Достатньою умовою є збіжність ряду з норм членів степеневого матричного ряду. Використовуючи, наприклад, ознака збіжності Даламбера ряд, що представляє матричну експоненту, сходиться, якщо існує і менше одиниці межа відносини
,
де
R - радіус збіжності.
Обсяг обчислювальної
роботи при оцифрування багатовимірного перехідного
процесу істотно залежить від числа членів у матричному ряді. Для підвищення швидкості збіжності застосовують різні апроксимації цього ряду. Зокрема, для експоненти широко використовуються апроксимації відрізків ряду дробово-раціональними функціями
Паде види:
.
Так, матрична експонента для трьох і чотирьох членів має вигляд:
У світлі наведених
розкладів матричної експоненти спільне рішення лінійного векторно-матричного диференціального рівняння наближено можна обчислити за формулою:
.
3. Рішення неоднорідних диференціальних рівнянь Познайомившись із загальним підходом до побудови розв'язків лінійних векторних диференціальних рівнянь, покажемо тепер, як виходять рішення неоднорідних рівнянь.
Уявімо вихідне рівняння з неоднорідністю, локалізованої в правій частині рівняння, і помножимо обидві частини рівняння на матричну експоненту
:
.
Звертаючись до правил диференціювання векторно-матричних виразів, наведених вище, нескладно помітити, що зліва від знаку рівності знаходиться похідна від твору матричної експоненти
на вектор
y: .
Зробимо
відповідну заміну і проінтегруємо ліву і праву частини з незалежної змінної
t: .
Множачи зліва обидві частини рівності на матрицю
, Одержимо загальний розв'язок неоднорідного диференціального рівняння:
.
Формула загального рішення у своїй нотації точно
відповідає випадку скалярного рівняння. При неможливості аналітичного рішення перехідний процес можна обчислити по точках, замінивши безперервний час дискретним
з кроком
, Де
R - радіус збіжності степеневого матричного ряду з матрицею
:
.
У інтегралі можна замінити незалежну змінну на дискретну з тим же кроком, що і при розкладанні експоненти:
, Тоді, застосовуючи метод інтегрування за правилом прямокутників і позначаючи матричну експоненту на
k-тому кроці через
, Отримаємо
.
Зручно з формули обчислення дискретних значень векторного перехідного процесу отримати рекуррентную формулу. Цього можна домогтися, якщо знайти в виразі для
частина, яку можна замінити значенням
:
Підвищення точності обчислення перехідного процесу досягають за рахунок заміни інтеграла квадратурами більш високого порядку, наприклад, першого - формула трапецій, або другого - формула парабол (Сімпсона).
Використання формули трапецій приводить після
відповідних перетворень до наступної рекуррентной формулою:
Якщо використовувати формулу Сімпсона, то рекурентна формула для розрахунку перехідного процесу від точки до точки буде такою:
У наведених рекурентних формулах матричні експоненти мають
такий вигляд:
.
4. Приклади чисельного рішення векторно-матричних рівнянь Як приклад побудуємо перехідний процес для системи рівнянь:
.
Ця система може бути представлена диференційним рівнянням другого порядку щодо змінної
:
,
або щодо змінної
:
.
Характеристичне рівняння
має два комплексні кореня:
. Загальне рішення цих рівнянь буде:
,
де
- Постійні, які обчислюються за заданим початковим умовам шляхом рішення системи рівнянь:
Нескладні
перетворення приводять до наступних точним рішенням цього рівняння для двох різних наборів початкових умов:
Отримаємо таке ж аналітичне рішення векторного перехідного процесу у формі експоненційної
функції, використовуючи спектральне розкладання матриці за власним значенням.
Характеристичний поліном заданої матриці має вигляд:
.
Власні значення матриці (коріння характеристичного рівняння) і власні вектори рівні:
Проектори знаходимо матричним твором лівих і правих власних
векторів. Для цього звернемо матрицю
і як лівих власних векторів візьмемо її рядки:
Векторне аналітичне рішення має вигляд:
Рішення збігається з точним розв'язком рівнянь другого порядку.
Для чисельного побудови векторного перехідного процесу по заданому векторно-матричному рівнянню з використанням Паде-апроксимації матричної експоненти дробово-раціональними виразами першого, другого і третього порядків, обчислимо спочатку ці апроксимуючі матриці:
Вектор наближеного рішення обчислимо за рекуррентной формулою, в яку, для демонстрації впливу на точність результату, по черзі
підставимо кожне з трьох наведених вище наближень до матричної експоненті:
:
...
У
таблиці поміщені чисельні значення перехідних
процесів, отримані для трьох названих випадків апроксимації матричної експоненти разом з точним аналітичним рішенням.
t
| Аналітичне рішення
| Апроксимація Паде порядку 1
| Апроксимація Паде порядку 2
| Апроксимація Паде близько 3
|
0
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
|
0.1
| 1.066
| 0.3475
| 1.0670
| 0.3483
| 1.0660
| 0.3475
| 1.066
| 0.3475
|
0.2
| 1.072
| -0.2023
| 1.0740
| -0.2018
| 1.0720
| -0.2023
| 1.072
| -0.2023
|
0.3
| 1.029
| -0.6434
| 1.0320
| -0.6440
| 1.0290
| -0.6434
| 1.029
| -0.6434
|
0.4
| 0.9478
| -0.9755
| 0.9513
| -0.9778
| 0.9478
| -0.9755
| 0.9478
| -0.9755
|
0.5
| 0.8380
| -1.203
| 0.8420
| -1.207
| 0.8380
| -1.203
| 0.8380
| -1.203
|
0.6
| 0.7103
| -1.335
| 0.7145
| -1.341
| 0.7102
| -1.335
| 0.7102
| -1.335
|
0.7
| 0.5737
| -1.383
| 0.5779
| -1.391
| 0.5737
| -1.383
| 0.5737
| -1.383
|
0.8
| 0.4360
| -1.360
| 0.4398
| -1.369
| 0.4360
| -1.360
| 0.4360
| -1.360
|
0.9
| 0.3035
| -1.280
| 0.3068
| -1.290
| 0.3035
| -1.280
| 0.3035
| -1.280
|
1.0
| 0.1814
| -1.156
| 0.1839
| -1.167
| 0.1814
| -1.156
| 0.1814
| -1.156
|
З зіставлення результатів можна зробити висновок, що апроксимація експоненти дробово-раціональної матричної
функцією другого порядку дозволяє при інших рівних умовах отримувати рішення з 5-6-ю достовірними десятковими знаками.
Чисельне рішення неоднорідного диференціального рівняння у векторно-матричному представленні проведемо з колишньою однорідної частиною в рівнянні, але застосуємо рекурентні формули з інтегруванням за методом прямокутників, трапецій і парабол:
.
Матрична експонента для рекурентних формул в даному прикладі бралася в абсолютно точній аналітичному поданні, отриманому для цієї матриці вище (числове подання для
h = 0.1):
.
Аналітичне рішення у векторно-матричній формі запису має наступний вигляд:
.
У таблиці наведено результати обчислення перехідних процесів для векторно-матричного неоднорідного диференціального рівняння за формулою аналітичного рішення і трьом рекурентним виразами, які використовують різні квадратурні формули інтегрування. Для заповнення таблиці з кроком 0.1 по третій рекуррентной формулою друге значення (для
t = 0.1) було отримано обчисленням з кроком 0.05. Ці перші два значення використовувалися в якості початкових значень двох рекурентних процесів, що обчислюються чергові значення з кроком 0.2.
t
| Точне рішення
| Інтегрування за формулою прямокутників
| Інтегрування за формулою трапецій
| Інтегрування за формулою парабол
|
0
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
| 1
|
0.1
| 1.16576
| 0.328872
| 1.16422
| 0.302569
| 1.16514
| 0.330031
| 1.16576
| 0.328872
|
0.2
| 1.26681
| -0.271328
| 1.26234
| -0.318851
| 1.26567
| -0.269062
| 1.26680
| -0.271346
|
0.3
| 1.31004
| -0.785828
| 1.30176
| -0.849621
| 1.30849
| -0.782554
| 1.31125
| -0.802579
|
0.4
| 1.30354
| -1.20604
| 1.29100
| -1.28147
| 1.30167
| -1.20189
| 1.30354
| -1.20605
|
0.5
| 1.25599
| -1.52886
| 1.23917
| -1.61178
| 1.25389
| -1.52399
| 1.25944
| -1.55740
|
0.6
| 1.17619
| -1.75579
| 1.15542
| -1.84257
| 1.17395
| -1.75039
| 1.17618
| -1.75580
|
0.7
| 1.07265
| -1.89209
| 1.04854
| -1.97973
| 1.07033
| -1.88633
| 1.07991
| -1.92961
|
0.8
| 0.953246
| -1.94585
| 0.926640
| -2.03193
| 0.950907
| -1.93991
| 0.953243
| -1.94586
|
0.9
| 0.825009
| -1.92713
| 0.796891
| -2.00986
| 0.822699
| -1.92120
| 0.837584
| -1.97248
|
1.0
| 0.693974
| -1.84722
| 0.665412
| -1.92534
| 0.691726
| -1.84145
| 0.693977
| -1.84722
|
Аналогічні формули побудови обчислювальних процедур можуть бути виведені для рівнянь зі змінними коефіцієнтами та нелінійних рівнянь. Однак забезпечення стійкості і точності побудови перехідних процесів у таких випадках вирішується для кожної конкретної задачі окремо.
Література 1. Бахвалов І.В.
Чисельні методи. БІНОМ, 2008. - 636c.
2. Ізмаїлів А.Ф., Солодов М.В. Чисельні методи оптимізації. Видавництво: Фізматліт, 2003. - 304c.
3. Куликівський А.Г., Погорєлов М.В., Семенов А.Ю.
Математичні питання чисельного рішення гіперболічних систем рівнянь. - М.: Фізматліт, 2001. - 608 с.
4. Мудров А.Є. Чисельні методи для
ПЕОМ на мовах
Паскаль, Фортран та Бейсік. МП «Раско»,
Томськ, 1991.
5. Пантелєєв А.В., Кірєєв В.І., Пантелєєв В.І., Кірєєв А.В. Чисельні методи в прикладах і задачах. М: Вища
школа, 2004. - 480c.
6. Шевцов Г.С., Крюкова О.Г., Мизникова Б.І. Чисельні методи лінійної алгебри. Навчальний посібник. Видавництво: ИНФРА-М, 2008.