Контрольна робота
Тема:
«Реалізація та аналіз цифрового фільтра з кінцевою імпульсною характеристикою» «Цифрова обробка сигналів» Варіант № 8
Завдання: 1. Розробити алгоритм, який
реалізує заданий тип фільтра в частотній області (з використанням алгоритму БПФ).
2. Скласти програму, що дозволяє отримати:
- Спектр вхідного
сигналу;
- Спектральну (амплітудно-частотну) характеристику вікна;
- Відгук фільтру на заданий
сигнал;
- Спектр вихідного сигналу.
3. Проаналізувати отримані результати.
Рішення: Математичний запис сигналу у часі:
Знайдемо спектр заданого сигналу, для цього скористаємося прямим
перетворенням Фур'є:
Потім знайдемо
енергетичний спектр сигналу, для цього зведемо в квадрат модуль спектру сигналу:
Енергетичний спектр сигналу має форму дзвону, симетричного відносно початку координат, що розходиться по осі частот до нескінченності в обидві сторони. Але так як фільтр з нескінченною смугою пропускання реалізувати фізично неможливо, визначимо верхню частоту з урахуванням
того, що в завданні смуга ФНЧ задається за рівнем -3 дБ, тобто за рівнем половинної потужності:
Висловивши
, Отримуємо:
.
Дискретний сигнал,
відповідний заданим аналогового сигналу буде виглядати наступним чином:
Визначимо значення твору
, Виходячи з вимоги забезпечення рівня невизначеності (або накладення спектрів) не гірше -13 дБ.
Саме ж накладення спектрів має місце внаслідок дискретизації
сигналу (при невиконанні теореми В. А. Котельникова), яка призводить до періодизації спектру сигналу з частотою
.
Виходячи з вищесказаного, для визначення
, Спочатку, знайдемо енергію сигналу, розподілену на ділянці від нуля до половини частоти дискретизації.
Далі, визначимо енергію, розподілену в діапазоні від половини частоти дискретизації до нескінченності:
Співвідношення енергій буде задавати необхідний рівень невизначеності, а
саме:
Вирішивши це рівняння, отримуємо що, твір
= 0,238.
Тепер слід визначити число відліків N, яке вкладається в періоді повторення Тп при частоті дискретизації рівної 1 /
. Для цього знайдемо ефективну тривалість імпульсу:
Отримуємо, що число відліків, вкладається в періоді повторення одно:
.
Знайдемо порядок ФНЧ:
Так як смуга фільтра дорівнює одиниці, то частота зрізу ФНЧ буде дорівнює:
При зіставленні частоти зрізу Ωср ФНЧ і верхньої частоти Ωв спектру сигналу отримуємо орієнтовний порядок L однорідного фільтра. Виходячи з того, що однорідний фільтр є ФНЧ із смугою пропускання на рівні половинної потужності приблизно рівною p / L.
Отримане значення округляємо до цілого числа, у результаті отримуємо L = 13.
Тепер можна приступити до синтезу фільтра. Алгоритм, що дозволяє отримати спектр вхідного сигналу. АЧХ «вікна», АЧХ і ЇХ фільтра, відгук фільтру на заданий сигнал, а також спектр вихідного сигналу реалізований в пакеті MathCAD.
Висновки: У даній роботі був розрахований цифровий фільтр ФНЧ з кінцевою імпульсною характеристикою. Такі фільтри мають ряд позитивних властивостей: вони завжди стійкі, дозволяють забезпечити абсолютно лінійну фазочастотную характеристику (постійний час запізнювання).
Синтез фільтра проводився методом вікна. За завданням було задано параболічний тип вікна.
Спочатку були знайдені параметри сигналу: а, w
Д, w
0. З умов, що рівень накладення спектрів не гірше-13дБ. А також через ефективну тривалість імпульсу, яка визначає
енергетичні характеристики сигналу. Далі сигнал був продіскретізірован і знайдений його спектр.
Далі через нормовану частоту фільтра було знайдено число відліків фільтру.