слухняні кульки або ще раз про
розвиток логічного мислення Математична логіка (теоретична логіка,
символічна логіка) - розділ математики, присвячений вивченню
математичних доказів і питань основ математики ("
Математична енциклопедія").
Будь-яка математична
теорія являє собою безліч пропозицій, з яких виробляються дії (операції), в результаті яких знову виходять пропозиції.
Якщо немає логічних операцій - немає
математичної логіки, та й взагалі математики; якщо учень не робить цих операцій, то навряд чи доводиться говорити про
розвиток логічного
мислення.
У початковій школі в першу чергу
саме через рішення задач дитина навчається міркувати, тобто будувати речення за допомогою слів і словосполучень:
невірно, що - логічна
операція, яка називається запереченням;
і - кон'юнкція,
або - диз'юнкція;
якщо ..., то ... - імплікація;
тоді і тільки тоді, коли - еквіваленція. Ми не будемо давати визначення, оскільки вчителі знайомі з цими
операціями з курсів математики
педагогічних університетів (інститутів) та педколеджі (училищ).
1. Дві класичні задачі
1.
У трьох однакових коробках лежать по дві кульки: в одній - два чорних, в іншій - два білих, в третій - білий і чорний. На кожній коробці є табличка: на одній зображені два білих кульки, на іншій - два чорних, на третій - білий і чорний. Але відомо, що вміст кожної коробки не відповідає табличці. Як вийнявши тільки одна кулька тільки з однієї коробки, переставити таблички на коробках у відповідності з їх вмістом? Рішення
Пронумеруємо коробки як на
рис. 1. У коробці 3 знаходяться або два білих кульки, або два чорних. Дістанемо з неї кульку. Припустимо, він виявився білим (рис. 2).
Отже, в коробці 3 - два білих кульки (рис. 3).
Оскільки в коробці 1 не може бути ані двох чорних кульок (за умовою напис не відповідає дійсності), ані двох білих (вони в коробці 3), то там - чорний і білий (рис. 4):
Відповідь зображений на рис. 5.
Якби з коробки 3 при першій спробі ми витягли чорний кульку, то
відповідь була б такою (рис. 6):
Підкреслимо, що при міркуваннях ми користувалися словами
"невірно, що в коробці такі-то кулі"
(заперечення), "якщо дістанемо біла куля,
то ..."
(імплікація) і т. д. Таким чином, дитина, сам
того не підозрюючи, здійснює
логічні операції над висловлюваннями.
2.
У мене в трьох коробках лежали цвяхи, гвинти і гайки. На кожній коробці було написано, що в ній лежить. Одного разу мій молодший брат пересипав вміст коробок так, що напис на кожній коробці перестала відповідати її вмісту. Добре ще, що він не переплутав їх між собою: цвяхи залишилися лежати окремо від гайок і гвинтів і т. д. Чи можна, відкривши одну з коробок, визначити, що лежить в кожній з коробок? Рішення
По-перше, для простоти обговорення, цвяхи, гвинти і гайки позначимо кружечками різних кольорів (рис. 7). По-друге, зауважимо, що починати міркування можна з будь-якої коробки. Наведемо один з варіантів, а інші - надамо учням.
Відкриємо коробку 1. Припустимо, там виявилися гайки (рис. 8, а могли бути і гвинти: міркування проводилися б аналогічно).
У коробці 2 гвинтів бути не може за умовою, отже, гвинти - в коробці 3 (рис. 9).
Ну, а в другій коробці - цвяхи.
2. Кульковий серіал
Є два непрозорих скриньки. У них знаходяться один чорний і один білий кульку:
"Або по одному в кожному ящику,
"Або в одному ящику дві кульки.
На ящиках є написи, по яких треба визначити (якщо можливо), де який кулька перебуває.
Вказується також, чи є написи істинними або помилковими.
Умови задач і відповіді представимо у вигляді
таблиці.
І - істинно,
Л - помилково. Запис "Обидві
І" означає, що написи на кожному ящику правдиві.
№
| Ящик 1
| Ящик 2
| Істинність написів
| Відповідь
|
1
| Тут
| Тут немає кульок
| Обидві І
| У ящику 1 і чорний, і білий кульки
|
2
| Тут немає кульок
| Тут обидві кульки
| Обидві Л
| Можливі варіанти (рішення після табл.)
|
3
| Тут
| Тут
| Обидві Л
| У ящику 1 - білий кульку, в ящику 2 - чорний
|
4
| Тут не
| Тут не
| Обидві І
| У ящику 1 - чорний кулю, в ящику 2 - білий
|
5
| Тут не
| Тут не
| Обидві Л
| У ящику 1 - білий кульку, в ящику 2 - чорний
|
6
| Тут або тут
| Тут
| Обидві І
| У ящику 1 - білий кульку, в ящику 2 - чорний
|
7
| Тут або тут
| Тут
| Обидві Л
| У ящику 1 - чорний кулю, в ящику 2 - білий
|
8
| Тут і тут
| Тут
| Перша - І, Друга - Л
| У ящику 1 - обидві кульки, в ящику 2 - порожньо
|
Рішення
1. Оскільки написи правдиві, то в ящику 2 кульок немає. Отже, вони обидва в ящику 1.
Увага. Напис на ящику 1 "тут чорний" не означає, що там не може бути білого кульки. Адже твердження "директор моєї школи живе в Білорусі" не означає, що в країні не живу я ...
2. Так як напис на ящику 2 невірна, то можливі варіанти:
а) у ящику 2 немає кульок взагалі, отже, в ящику 1 - і білий, і чорний кульки;
б) якщо невірно твердження "тут обидві кульки", то вірним може бути твердження "тут біла кулька" або "тут чорний кулька" (тобто один з кульок знаходиться в ящику 2), значить в ящику 1 теж одна кулька.
Інформація для вчителя. У цьому завданні ми маємо справу з одним із законів де Моргана:
, Який звучить так:
заперечення кон'юнкції двох висловлювань еквівалентно диз'юнкції заперечень кожного з даних висловлювань. Нагадаємо також, що диз'юнкція істинна, якщо істинно хоча б одне з висловлювань. Стосовно нашого завдання: утвердження
"невірно, що в шухляді 2 лежать обидві кульки" рівносильно утвердженню
"невірно, що в шухляді лежить чорний кульку, чи не так, що в шухляді лежить білий кулька". Звідси і виходять вищеописані варіанти а) і б).
Рішення інших завдань надаємо вчителю.
Таким чином, учень "проходить" через логічні операції, хоча,
природно, і не знає їх строгих визначень (на
інтуїтивному рівні), отже, його логічне мислення розвивається. Вчитель же знає закони логіки і може коригувати міркування дитини, якщо вони помилкові.
А. Щан - старший викладач кафедри математики та методики її викладання БДПУ