слухняні кульки або ще раз про розвиток логічного мислення
Математична логіка (теоретична логіка, символічна логіка) - розділ математики, присвячений вивченню математичних доказів і питань основ математики ("Математична енциклопедія").
Будь-яка математична теорія являє собою безліч пропозицій, з яких виробляються дії (операції), в результаті яких знову виходять пропозиції.
Якщо немає логічних операцій - немає математичної логіки, та й взагалі математики; якщо учень не робить цих операцій, то навряд чи доводиться говорити про розвиток логічного мислення.
У початковій школі в першу чергу саме через рішення задач дитина навчається міркувати, тобто будувати речення за допомогою слів і словосполучень: невірно, що - логічна операція, яка називається запереченням; і - кон'юнкція, або - диз'юнкція; якщо ..., то ... - імплікація; тоді і тільки тоді, коли - еквіваленція. Ми не будемо давати визначення, оскільки вчителі знайомі з цими операціями з курсів математики педагогічних університетів (інститутів) та педколеджі (училищ).
1. Дві класичні задачі
1. У трьох однакових коробках лежать по дві кульки: в одній - два чорних, в іншій - два білих, в третій - білий і чорний. На кожній коробці є табличка: на одній зображені два білих кульки, на іншій - два чорних, на третій - білий і чорний. Але відомо, що вміст кожної коробки не відповідає табличці. Як вийнявши тільки одна кулька тільки з однієї коробки, переставити таблички на коробках у відповідності з їх вмістом?
Рішення
Пронумеруємо коробки як на рис. 1.
У коробці 3 знаходяться або два білих кульки, або два чорних. Дістанемо з неї кульку. Припустимо, він виявився білим (рис. 2).
Отже, в коробці 3 - два білих кульки (рис. 3).
Оскільки в коробці 1 не може бути ані двох чорних кульок (за умовою напис не відповідає дійсності), ані двох білих (вони в коробці 3), то там - чорний і білий (рис. 4):
Відповідь зображений на рис. 5.
Якби з коробки 3 при першій спробі ми витягли чорний кульку, то відповідь була б такою (рис. 6):
Підкреслимо, що при міркуваннях ми користувалися словами "невірно, що в коробці такі-то кулі" (заперечення), "якщо дістанемо біла куля, то ..." (імплікація) і т. д. Таким чином, дитина, сам того не підозрюючи, здійснює логічні операції над висловлюваннями.
2. У мене в трьох коробках лежали цвяхи, гвинти і гайки. На кожній коробці було написано, що в ній лежить. Одного разу мій молодший брат пересипав вміст коробок так, що напис на кожній коробці перестала відповідати її вмісту. Добре ще, що він не переплутав їх між собою: цвяхи залишилися лежати окремо від гайок і гвинтів і т. д. Чи можна, відкривши одну з коробок, визначити, що лежить в кожній з коробок?
Рішення
По-перше, для простоти обговорення, цвяхи, гвинти і гайки позначимо кружечками різних кольорів (рис. 7). По-друге, зауважимо, що починати міркування можна з будь-якої коробки. Наведемо один з варіантів, а інші - надамо учням.
Відкриємо коробку 1. Припустимо, там виявилися гайки (рис. 8, а могли бути і гвинти: міркування проводилися б аналогічно).
У коробці 2 гвинтів бути не може за умовою, отже, гвинти - в коробці 3 (рис. 9).
Ну, а в другій коробці - цвяхи.
2. Кульковий серіал
Є два непрозорих скриньки. У них знаходяться один чорний і один білий кульку:
"Або по одному в кожному ящику,
"Або в одному ящику дві кульки.
На ящиках є написи, по яких треба визначити (якщо можливо), де який кулька перебуває.
Вказується також, чи є написи істинними або помилковими.
Умови задач і відповіді представимо у вигляді таблиці. І - істинно, Л - помилково. Запис "Обидві І" означає, що написи на кожному ящику правдиві.
Рішення
1. Оскільки написи правдиві, то в ящику 2 кульок немає. Отже, вони обидва в ящику 1.
Увага. Напис на ящику 1 "тут чорний" не означає, що там не може бути білого кульки. Адже твердження "директор моєї школи живе в Білорусі" не означає, що в країні не живу я ...
2. Так як напис на ящику 2 невірна, то можливі варіанти:
а) у ящику 2 немає кульок взагалі, отже, в ящику 1 - і білий, і чорний кульки;
б) якщо невірно твердження "тут обидві кульки", то вірним може бути твердження "тут біла кулька" або "тут чорний кулька" (тобто один з кульок знаходиться в ящику 2), значить в ящику 1 теж одна кулька.
Інформація для вчителя. У цьому завданні ми маємо справу з одним із законів де Моргана:
Рішення інших завдань надаємо вчителю.
Таким чином, учень "проходить" через логічні операції, хоча, природно, і не знає їх строгих визначень (на інтуїтивному рівні), отже, його логічне мислення розвивається. Вчитель же знає закони логіки і може коригувати міркування дитини, якщо вони помилкові.
А. Щан - старший викладач кафедри математики та методики її викладання БДПУ
Математична логіка (теоретична логіка, символічна логіка) - розділ математики, присвячений вивченню математичних доказів і питань основ математики ("Математична енциклопедія").
Будь-яка математична теорія являє собою безліч пропозицій, з яких виробляються дії (операції), в результаті яких знову виходять пропозиції.
Якщо немає логічних операцій - немає математичної логіки, та й взагалі математики; якщо учень не робить цих операцій, то навряд чи доводиться говорити про розвиток логічного мислення.
У початковій школі в першу чергу саме через рішення задач дитина навчається міркувати, тобто будувати речення за допомогою слів і словосполучень: невірно, що - логічна операція, яка називається запереченням; і - кон'юнкція, або - диз'юнкція; якщо ..., то ... - імплікація; тоді і тільки тоді, коли - еквіваленція. Ми не будемо давати визначення, оскільки вчителі знайомі з цими операціями з курсів математики педагогічних університетів (інститутів) та педколеджі (училищ).
1. Дві класичні задачі
1. У трьох однакових коробках лежать по дві кульки: в одній - два чорних, в іншій - два білих, в третій - білий і чорний. На кожній коробці є табличка: на одній зображені два білих кульки, на іншій - два чорних, на третій - білий і чорний. Але відомо, що вміст кожної коробки не відповідає табличці. Як вийнявши тільки одна кулька тільки з однієї коробки, переставити таблички на коробках у відповідності з їх вмістом?
Рішення
Пронумеруємо коробки як на рис. 1.
У коробці 3 знаходяться або два білих кульки, або два чорних. Дістанемо з неї кульку. Припустимо, він виявився білим (рис. 2).
Отже, в коробці 3 - два білих кульки (рис. 3).
Оскільки в коробці 1 не може бути ані двох чорних кульок (за умовою напис не відповідає дійсності), ані двох білих (вони в коробці 3), то там - чорний і білий (рис. 4):
Відповідь зображений на рис. 5.
Якби з коробки 3 при першій спробі ми витягли чорний кульку, то відповідь була б такою (рис. 6):
Підкреслимо, що при міркуваннях ми користувалися словами "невірно, що в коробці такі-то кулі" (заперечення), "якщо дістанемо біла куля, то ..." (імплікація) і т. д. Таким чином, дитина, сам того не підозрюючи, здійснює логічні операції над висловлюваннями.
2. У мене в трьох коробках лежали цвяхи, гвинти і гайки. На кожній коробці було написано, що в ній лежить. Одного разу мій молодший брат пересипав вміст коробок так, що напис на кожній коробці перестала відповідати її вмісту. Добре ще, що він не переплутав їх між собою: цвяхи залишилися лежати окремо від гайок і гвинтів і т. д. Чи можна, відкривши одну з коробок, визначити, що лежить в кожній з коробок?
Рішення
По-перше, для простоти обговорення, цвяхи, гвинти і гайки позначимо кружечками різних кольорів (рис. 7). По-друге, зауважимо, що починати міркування можна з будь-якої коробки. Наведемо один з варіантів, а інші - надамо учням.
Відкриємо коробку 1. Припустимо, там виявилися гайки (рис. 8, а могли бути і гвинти: міркування проводилися б аналогічно).
У коробці 2 гвинтів бути не може за умовою, отже, гвинти - в коробці 3 (рис. 9).
Ну, а в другій коробці - цвяхи.
2. Кульковий серіал
Є два непрозорих скриньки. У них знаходяться один чорний і один білий кульку:
"Або по одному в кожному ящику,
"Або в одному ящику дві кульки.
На ящиках є написи, по яких треба визначити (якщо можливо), де який кулька перебуває.
Вказується також, чи є написи істинними або помилковими.
Умови задач і відповіді представимо у вигляді таблиці. І - істинно, Л - помилково. Запис "Обидві І" означає, що написи на кожному ящику правдиві.
| № | Ящик 1 | Ящик 2 | Істинність написів | Відповідь |
| Тут | Тут немає кульок | Обидві І | У ящику 1 і чорний, і білий кульки | |
| 2 | Тут немає кульок | Тут обидві кульки | Обидві Л | Можливі варіанти (рішення після табл.) |
| 3 | Тут | Тут | Обидві Л | У ящику 1 - білий кульку, в ящику 2 - чорний |
| 4 | Тут не | Тут не | Обидві І | У ящику 1 - чорний кулю, в ящику 2 - білий |
| 5 | Тут не | Тут не | Обидві Л | У ящику 1 - білий кульку, в ящику 2 - чорний |
| 6 | Тут або тут | Тут | Обидві І | У ящику 1 - білий кульку, в ящику 2 - чорний |
| 7 | Тут або тут | Тут | Обидві Л | У ящику 1 - чорний кулю, в ящику 2 - білий |
| 8 | Тут і тут | Тут | Перша - І, Друга - Л | У ящику 1 - обидві кульки, в ящику 2 - порожньо |
1. Оскільки написи правдиві, то в ящику 2 кульок немає. Отже, вони обидва в ящику 1.
Увага. Напис на ящику 1 "тут чорний" не означає, що там не може бути білого кульки. Адже твердження "директор моєї школи живе в Білорусі" не означає, що в країні не живу я ...
2. Так як напис на ящику 2 невірна, то можливі варіанти:
а) у ящику 2 немає кульок взагалі, отже, в ящику 1 - і білий, і чорний кульки;
б) якщо невірно твердження "тут обидві кульки", то вірним може бути твердження "тут біла кулька" або "тут чорний кулька" (тобто один з кульок знаходиться в ящику 2), значить в ящику 1 теж одна кулька.
Інформація для вчителя. У цьому завданні ми маємо справу з одним із законів де Моргана:
Рішення інших завдань надаємо вчителю.
Таким чином, учень "проходить" через логічні операції, хоча, природно, і не знає їх строгих визначень (на інтуїтивному рівні), отже, його логічне мислення розвивається. Вчитель же знає закони логіки і може коригувати міркування дитини, якщо вони помилкові.
А. Щан - старший викладач кафедри математики та методики її викладання БДПУ