Проекції і діаграми Азимутально-полярна проекція SHAPE \ * MERGEFORMAT
Азимутально-полярна проекція - це проекція сфери на площину, причому, центром проекційних променів є один з полюсів сфери.
Підготовча частина SHAPE \ * MERGEFORMAT
Розділимо аркуш паперу, орієнтований як "Ландшафт", приблизно навпіл.
Проведемо горизонтальну лінію.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Виберемо цього горизонтальної лінії будь-яку точку (т.А) так, щоб ця точка розташовувалася ближче до правого кінця проведеної раніше лінії.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Відновимо з цієї точки
перпендикуляр до горизонтальної лінії.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Зазначимо на вертикальній лінії точку В.
Довжина відрізка АВ визначає радіус екваторіальній окружності
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Розчином циркуля, рівним довжині відрізка АВ, з точки А, як центру кола, робимо зарубку на горизонтальній лінії і позначимо цю точку, як С.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Одержаний відрізок АС, розділимо навпіл, в результаті чого отримаємо точку D.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
З точки D, що з центру, проводимо коло радіусом, рівним довжині відрізка CD.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Вибираємо крок через який будуть розташовуватися паралелі.
З точки D під кутами , 2 , ... проводимо прямі до перетину з колом. Позначимо ці точки як 1, 2, ...
SHAPE \ * MERGEFORMAT
З точки З проводимо прямі, що проходять через точки 1, 2, ... до перетину з відрізком АВ.
Точки перетину позначимо як a, b ...
Побудова кіл паралелей SHAPE \ * MERGEFORMAT
Візьмемо новий лист і в центрі нього накреслимо дві взаємно-перпендикулярні лінії.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Точку перетину позначимо як О.
Це буде полюс проекції.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Розчином циркуля, рівним довжині відрізка
Aa з точки О, як з центру, накреслимо коло.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Це буде проекція паралелі, віддалений від полюса О на кут, рівний обраному нами кроку
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Тепер розчином циркуля, рівним довжині відрізка
Ab з точки О, як з центру, накреслимо ще одне коло.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Такі маніпуляції ми будемо повторювати до тих пір, поки не накреслимо окружність, радіус якої буде дорівнює довжині відрізка АВ.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Ця окружність носить назву Екватор.
Отримана сукупність кіл, буде проекціями паралелей, віддалених один від одного на обраний нами крок .
Побудова ліній меридіанів SHAPE \ * MERGEFORMAT
Через точку О проведемо лінії так, щоб кути між ними були однаковими і рівними обраному нами кроку
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Отримана сукупність прямих, буде проекціями меридіанів, віддалених один від одного на обраний нами крок
Полярна діаграма SHAPE \ * MERGEFORMAT
Відобразимо сферу в дещо іншому ракурсі - площина малюнка є площину головного меридіана. При цьому ми збережемо, прийняті нами раніше, позначення.
Точки перетину лінії головного меридіана з
поверхнею сфери позначимо, як М1 та М2
Полярна вісь перетне поверхню сфери в двох точках, які
називаються полюсами
СФЕРИ. Позначимо ці точки, як Р1 і Р2.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
1. Відобразимо на аркуші точку. Ця точка буде відображати один з полюсів сфера, наприклад Р1
SHAPE \ * MERGEFORMAT
2. Креслимо коло, центром якої буде точка Р1. Ця окружність буде відображати ЕКВАТОР сфери.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
3. ВІДОБРАЖЕННЯ паралелі.
ПАРАЛЕЛЬ - це мале коло, отриманий від перетину сфери площиною, паралельній площині екватора. За НУЛЬОВУ паралель приймається лінія екватора. Відстань паралелі від екватора називається широтах (позначається як ). Очевидно, що полюс сфери віддалений від екватора на
SHAPE \ * MERGEFORMAT
На діаграмі лінія паралелі відобразиться у вигляді концентричної кола, радіус якої обчислюється як:
Я думаю Вам зрозуміло, що змінюється в межах (
).
4. ВІДОБРАЖЕННЯ меридіанів.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
МЕРИДІАН - це велике коло, отриманий від перетину сфери центральної площиною, що проходить через полярну вісь P1 P2. Один з меридіанів вважається ГОЛОВНИМ (або НУЛЬОВИМ) меридіаном. Який з меридіанів вважати головним, залежить від конкретного завдання. Відстань меридіана від головного меридіана називається довгота (позначається як ).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
На діаграмі лінія меридіана відобразиться прямий, що виходить із центру кола.
Вибираємо БУДЬ напрямок на нашій діаграмі і будемо вважати цей напрямок - направленням Головна Меридіан. Проведемо вздовж нього діаметр.
Точки перетину діаметра окружності з лінією кола дає нам положення полюсів лінії головного меридіана М1 і М2
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Меридіан, що має довготу , відобразиться на діаграмі у вигляді відрізка прямої, що виходить з центру кола і повернений на кут
, Щодо головного меридіана. Довгота змінюється в межах (
).
Проекції і діаграми SHAPE \ * MERGEFORMAT
Тепер, коли ми навчилися визначати положення точок на
поверхні сфери, було б дуже добре навчитися ще й відображати на чому-небудь ці точки. Самим природним місцем відображення була б модель сфери з нанесеною на ній градусну сітку. Така модель називається Глобус.
Розглянемо спочатку, що ж таке градусна сітка? На глобусі градусна сітка утворюється меридіанів і паралелей.
На поверхні глобуса є дві особливі точки, які називаються полюсами глобуса. Ці точки виходять від перетину поверхні сфери одним з її діаметрів, сам же діаметр носить назву полярної осі. Центральна площину,
перпендикулярна полярної осі носить найменування площині екватора, а коло на поверхні сфери, отримуваний від перетину сфери площиною екватора, називається Екватор.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
МЕРИДІАН - це велике коло, отриманий від перетину сфери центральної площиною, що проходить через полярну вісь P1 P2 глобуса.
Кожен меридіан перетинається зі всіма іншими меридіанами в двох точках - полюсах глобуса. Довжини всіх меридіанів на глобусі рівні між собою. Один з меридіанів вважається ГОЛОВНИМ (або НУЛЬОВИМ) меридіаном. Який з меридіанів вважати головним, залежить від конкретного завдання. Відстань меридіана від головного меридіана визначається двогранний кутом, утвореним площинами головного меридіана і меридіана. Цей кут називається довгота (позначається як ).
Домовилися, що меридіани градусної сітки глобуса відстоять один від одного на однаковій відстані.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
ПАРАЛЕЛЬ - це мале коло, отриманий від перетину сфери площиною, паралельній площині екватора. За НУЛЬОВУ паралель приймається лінія екватора.
Як не важко помітити, довжини паралелей - різні, чим далі паралель від екватора, тим довжина її менше. Відстань паралелі від екватора називається широтах (позначається як ).
Як для меридіанів, так і для паралелей домовилися, що паралелі градусної сітки глобуса відстоять один від одного на однаковій відстані.
Чим же цікавий глобус? Очевидно, що на глобусі у всіх напрямках зберігається один і той же масштаб і, тому виходить найбільш правильне зображення. Звідси виходить, що за допомогою глобуса легко, а головне - наочно, вирішуються багато завдань сферичної геометрії.
Але у глобуса є великий недолік - глобус завжди робиться в дрібному масштабі, що не дає можливості зобразити дрібні подробиці будь - якої ділянки сфери, іншими словами - глобус має низьку роздільну здатність. На додаток до всього - глобус досить
дорогий прилад, щоб їм користуватися в повсякденному житті.
Щоб позбавити від недоліків, властивих глобусу, спробували зображати поверхню сфери на плоскому аркуші паперу. Таке зображення назвали КАРТКОЮ. Однак, сферичну поверхню НЕ МОЖНА розгорнути, тобто її не можна розстелити на площині без розривів або складок. Але було розроблено багато різних способів наближеного зображення сферичної поверхні. Кожен з таких способів називається
Картографічні проекції.
В основі будь-картографічної проекції лежить той чи інший спосіб зображення градусної сітки. Це зображення називається картографічну сітку. Залежно від обраної проекції, меридіани та паралелі на картах зображуються у вигляді то прямих, то кривих ліній.
Надалі, ми виберемо наступні види проекцій:
· Для кращого візуального сприйняття якого-небудь динамічного
процесу, ми скористаємося
1. Циліндричної проекцією,
2. Азимутальній полярної проекцією,
3. Циліндричної діаграмою,
4. Полярної діаграмою.
· Для вирішення завдань по сферичній геометрії, ми скористаємося:
1. Стереографической проекцією або сіткою Вульфа.
Циліндрична діаграма SHAPE \ * MERGEFORMAT
Відобразимо сферу в дещо іншому ракурсі - площина малюнка є площину головного меридіана. При цьому ми збережемо, прийняті нами раніше, позначення.
· Точки перетину лінії головного меридіана з поверхнею сфери позначимо, як М1 та М2
· Полярна вісь перетне поверхню сфери в двох точках, які
називаються полюсами
СФЕРИ. Позначимо ці точки, як Р1 і Р2.
На відміну від циліндричної проекції, де, ми бачили,
щільність розподілу паралелей підпорядковується КОТАНГЕСЦІАЛЬНОМУ законом, а, отже, при значеннях широт близьких до
, Відстань від лінії екватора до відображуваної паралелі буде прагнути до БЕЗКІНЕЧНОСТІ, тобто верхня і нижня
межі циліндричної проекції не визначено, на циліндричній діаграмі ми заздалегідь ставимо умову рівномірного розподілу щільності паралелей. Це означає, що циліндрична діаграма має кінцеві розміри.
Розглянемо, як же відобразити градусну сітку на циліндричній діаграмі. Почнемо з лінії екватора. Довжина екватора, як нам відомо, становить один оборот (
) Або
, Якщо розглядати довжину в градусній системі числення, або
, Якщо розглядати довжину в годинній системі числення.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Відобразимо на аркуші паперу відрізок прямої і будемо вважати довжину цього відрізка дорівнює довжині екватора, тобто
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Розділимо відрізок навпіл. Отримана точка відображає точку перетину екватора з головним меридіаном. Але ми знаємо, що екватор і головний меридіан перетинаються у двох точках. Питається, яку ж точку ми відобразили? Напрошується очевидний
відповідь: - це повинна бути точка, від якої починається відлік довгот . Тобто - це буде точка
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Якщо ми вчинили, як було сказано вище, то точки, що обмежують лінію екватора, являють собою точку
Відображення Головного меридіана і полюсів сфери SHAPE \ * MERGEFORMAT
Окружність Головного меридіана
розщепиться на ТРИ лінії наступним чином:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
· Дуга півкола
відобразиться відрізком прямої, що проходить через точку
на діаграмі, причому точки, що обмежують цей відрізок, відобразять точки
Повна довжина відрізка
складає
, А точка
ділить відрізок
- Навпіл.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
· Дуга півкола
відобразиться на діаграмі у вигляді ДВОХ відрізків, що проходять через крайні точки лінії екватора (тобто, через точки
)
· Точки, що обмежують ці відрізки,
так само відображають точки
· Повна довжина відрізків
так само дорівнює
, А точка
знаходиться на середині
відповідного відрізка.
Таким чином у нас виходить, що:
· Головний меридіан сфери на циліндричній діаграмі відобразиться ТРЬОМА ЛІНІЯМИ.
· Кожен полюс сфери
, Через які проходить головний меридіан, на діаграмі відобразиться ТРЬОМА точками.
А тепер узагальнимо. Так як на сфері ми можемо провести нескінченну кількість меридіанів і кожен з них проходить через точки полюсів, то виходить, що точки полюсів сфери на діаграмі відобразяться у вигляді відрізків прямих, що з'єднують однойменні точки.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Як ми бачимо, на відміну від циліндричної ПРОЕКЦІЇ, на якій ми не можемо відобразити полюса сфери, на циліндричній ДІАГРАМИ полюса сфери відображаються відрізками прямих ліній, довжина яких дорівнює
, Хоча в дійсності, як ми знаємо, ТОЧКА не має розмірів.
Є ще одна особливість циліндричної діаграми. Ця особливість полягає в тому, що МАСШТАБ циліндричної діаграми - рівномірний, тобто область циліндричної діаграми можна представити у вигляді картатого листа зі шкільного зошита.
5. ВІДОБРАЖЕННЯ паралелі.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
ПАРАЛЕЛЬ - це мале коло, отриманий від перетину сфери площиною, паралельній площині екватора. За НУЛЬОВУ паралель приймається лінія екватора. Відстань паралелі від екватора називається широтах (позначається як ).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
На діаграмі лінія паралелі відобразиться прямою, паралельною лінії екватора і віддалений від лінії екватора на відстані
Я думаю Вам зрозуміло, що змінюється в межах (
) Або (
).
6. ВІДОБРАЖЕННЯ меридіанів.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
МЕРИДІАН - це велике коло, отриманий від перетину сфери центральної площиною, що проходить через полярну вісь P1 P2. Один з меридіанів вважається ГОЛОВНИМ (або НУЛЬОВИМ) меридіаном. Який з меридіанів вважати головним, залежить від конкретного завдання. Відстань меридіана від головного меридіана називається довгота (позначається як ).
SHAPE \ * MERGEFORMAT
На діаграмі лінія меридіана відобразиться прямою, паралельною лінії головного меридіана.
Довгота змінюється в межах (
).
Циліндрична проекція Циліндрична проекція - це проекція вписаною в циліндр сфери, на бічну поверхню циліндра.
Центром проекційних променів є центр сфери.
Розгорнувши циліндр з спроецированное картинкою, ми і отримаємо циліндричну проекцію.
При такій проекції приполярні області будуть найбільш спотворені.
Підготовча частина SHAPE \ * MERGEFORMAT
Накреслимо дві взаємно
перпендикулярні лінії так, щоб точка їх перетину (Т.О.) перебувала ближче до лівого нижнього кута креслення.
Горизонтальна лінія називається Екватор.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
З точки О, радіусом, рівним довжині вертикальної лінії, проводимо дугу до перетину з лінією екватора.
Тепер вибираємо ШАГ (), через який будуть проходити лінії координатної сітки. Чим точніше ми хочемо відобразити координатну сітку, тим менше повинен бути крок, але необхідно пам'ятати, що крок НЕ МОЖЕ перевищувати
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Через т.про, під кутом до лінії екватора, проведемо лінію до перетину з дугою кола. Позначимо цю точку, як Т.В.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Розчином циркуля, рівним довжині відрізка АВ, з точки В, що з центру кола, робимо зарубку на раніше побудованої дузі. Отримуємо точку С.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Не змінюючи розчину циркуля, вже з т.с, що з центру кола, робимо зарубку на раніше побудованої дузі. Отримуємо точку D.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Такі маніпуляції ми проробимо стільки разів, скільки буде потрібно, щоб повністю поділити дугу кола.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
З'єднаємо отримані точки з т.про прямими лініями.
Визначимо розмір креслення (масштабування) З т.про, що з центру кола, проводимо дугу довільного радіуса
r, Але свавілля наш не безмежний. Якщо ми хочемо побудувати повну циліндричну проекцію, то слід пам'ятати, що величина
r повинна бути рівною 1 / 8 довжини екваторіальній лінії.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Побудова ліній проекцій меридіанів SHAPE \ * MERGEFORMAT
Перетин дугою радіуса
r лінії екватора позначимо як точка
а. Перетин прямої
ОВ дуги радіуса
r позначимо як точка
b. Відстань
ab - і буде КРОКОМ для побудови ліній проекцій меридіанів.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
На новому листі креслимо дві взаємно перпендикулярні лінії, дотримуючись ті ж умови, яких ми дотримувалися раніше, тобто точка перетину повинна знаходитися в лівому нижньому кутку креслення.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Розчином циркуля, рівним відстані
ab, визначеному на допоміжному кресленні, робимо засічки на лінії екватора основного креслення.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
З одержані точок відновлюємо
перпендикуляри до лінії екватора - це і будуть лінії проекцій меридіанів.
Побудова ліній проекцій паралелей На допоміжному кресленні з точки
а відновимо перпендикуляр до лінії екватора.
Позначимо точки перетину лінії
перпендикуляра з променями, що виходять з точки О, як 1, 2 і т.д.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Перенесемо за допомогою циркуля довжини відрізків
а-1, а-2 ... з допоміжного креслення на крайню ліву вертикальну лінію основного креслення, причому відлік вести будемо від точки
О. SHAPE \ * MERGEFORMAT
SHAPE \ * MERGEFORMAT
SHAPE \ * MERGEFORMAT
SHAPE \ * MERGEFORMAT
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Через отримані точки проводимо лінії, паралельні лінії екватора. Це і будуть лінії проекцій паралелей.
Відстань між кожною лінією на кресленні дорівнюватиме обраному нами кроку
.