Проекції і діаграми

Як для меридіанів, так і для паралелей домовилися, що паралелі градусної сітки глобуса відстоять один від одного на однаковій відстані.
Чим же цікавий глобус? Очевидно, що на глобусі у всіх напрямках зберігається один і той же масштаб і, тому виходить найбільш правильне зображення. Звідси виходить, що за допомогою глобуса легко, а головне - наочно, вирішуються багато завдань сферичної геометрії.
Але у глобуса є великий недолік - глобус завжди робиться в дрібному масштабі, що не дає можливості зобразити дрібні подробиці будь - якої ділянки сфери, іншими словами - глобус має низьку роздільну здатність. На додаток до всього - глобус досить дорогий прилад, щоб їм користуватися в повсякденному житті.
Щоб позбавити від недоліків, властивих глобусу, спробували зображати поверхню сфери на плоскому аркуші паперу. Таке зображення назвали КАРТКОЮ. Однак, сферичну поверхню НЕ МОЖНА розгорнути, тобто її не можна розстелити на площині без розривів або складок. Але було розроблено багато різних способів наближеного зображення сферичної поверхні. Кожен з таких способів називається Картографічні проекції.
В основі будь-картографічної проекції лежить той чи інший спосіб зображення градусної сітки. Це зображення називається картографічну сітку. Залежно від обраної проекції, меридіани та паралелі на картах зображуються у вигляді то прямих, то кривих ліній.
Надалі, ми виберемо наступні види проекцій:
· Для кращого візуального сприйняття якого-небудь динамічного процесу, ми скористаємося
1. Циліндричної проекцією,
2. Азимутальній полярної проекцією,
3. Циліндричної діаграмою,
4. Полярної діаграмою.
· Для вирішення завдань по сферичній геометрії, ми скористаємося:
1. Стереографической проекцією або сіткою Вульфа.
Циліндрична діаграма
SHAPE \ * MERGEFORMAT

М1

М2

Головний Меридіан

Екватор

Лінія головного меридіан

Полярна Вісь

Р1

Р2

про

Відобразимо сферу в дещо іншому ракурсі - площина малюнка є площину головного меридіана. При цьому ми збережемо, прийняті нами раніше, позначення.
· Точки перетину лінії головного меридіана з поверхнею сфери позначимо, як М1 та М2
· Полярна вісь перетне поверхню сфери в двох точках, які називаються полюсами СФЕРИ. Позначимо ці точки, як Р1 і Р2.
На відміну від циліндричної проекції, де, ми бачили, щільність розподілу паралелей підпорядковується КОТАНГЕСЦІАЛЬНОМУ законом, а, отже, при значеннях широт   близьких до , Відстань від лінії екватора до відображуваної паралелі буде прагнути до БЕЗКІНЕЧНОСТІ, тобто верхня і нижня межі циліндричної проекції не визначено, на циліндричній діаграмі ми заздалегідь ставимо умову рівномірного розподілу щільності паралелей. Це означає, що циліндрична діаграма має кінцеві розміри.
Розглянемо, як же відобразити градусну сітку на циліндричній діаграмі. Почнемо з лінії екватора. Довжина екватора, як нам відомо, становить один оборот ( ) Або , Якщо розглядати довжину в градусній системі числення, або , Якщо розглядати довжину в годинній системі числення.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

М1

Р1

Р2

про

М2

Екватор

Відобразимо на аркуші паперу відрізок прямої і будемо вважати довжину цього відрізка дорівнює довжині екватора, тобто

SHAPE \ * MERGEFORMAT

М1

Р1

Р2

про

М2

М1

Розділимо відрізок навпіл. Отримана точка відображає точку перетину екватора з головним меридіаном. Але ми знаємо, що екватор і головний меридіан перетинаються у двох точках. Питається, яку ж точку ми відобразили? Напрошується очевидний відповідь: - це повинна бути точка, від якої починається відлік довгот . Тобто - це буде точка
SHAPE \ * MERGEFORMAT

М1

Р1

Р2

про

М2

М1

М2

М2

Якщо ми вчинили, як було сказано вище, то точки, що обмежують лінію екватора, являють собою точку

Відображення Головного меридіана і полюсів сфери
SHAPE \ * MERGEFORMAT

М1

М2

Головний Меридіан

Р1

Р2

про

Окружність Головного меридіана розщепиться на ТРИ лінії наступним чином:
SHAPE \ * MERGEFORMAT

М1

Р1

Р2

про

М2

М1

М2

М2

Р1

Р2

· Дуга півкола відобразиться відрізком прямої, що проходить через точку на діаграмі, причому точки, що обмежують цей відрізок, відобразять точки Повна довжина відрізка складає , А точка ділить відрізок - Навпіл.

SHAPE \ * MERGEFORMAT

М1

Р1

Р2

про

М2

М1

М2

М2

Р1

Р2

Р1

Р1

Р2

Р2

· Дуга півкола відобразиться на діаграмі у вигляді ДВОХ відрізків, що проходять через крайні точки лінії екватора (тобто, через точки )
· Точки, що обмежують ці відрізки, так само відображають точки
· Повна довжина відрізків так само дорівнює , А точка знаходиться на середині відповідного відрізка.
Таким чином у нас виходить, що:
· Головний меридіан сфери на циліндричній діаграмі відобразиться ТРЬОМА ЛІНІЯМИ.
· Кожен полюс сфери , Через які проходить головний меридіан, на діаграмі відобразиться ТРЬОМА точками.
А тепер узагальнимо. Так як на сфері ми можемо провести нескінченну кількість меридіанів і кожен з них проходить через точки полюсів, то виходить, що точки полюсів сфери на діаграмі відобразяться у вигляді відрізків прямих, що з'єднують однойменні точки.

SHAPE \ * MERGEFORMAT

М1

Р1

Р2

про

М2

М1

М2

М2

Р1

Р2

Р1

Р1

Р2

Р2

Як ми бачимо, на відміну від циліндричної ПРОЕКЦІЇ, на якій ми не можемо відобразити полюса сфери, на циліндричній ДІАГРАМИ полюса сфери відображаються відрізками прямих ліній, довжина яких дорівнює , Хоча в дійсності, як ми знаємо, ТОЧКА не має розмірів.
Є ще одна особливість циліндричної діаграми. Ця особливість полягає в тому, що МАСШТАБ циліндричної діаграми - рівномірний, тобто область циліндричної діаграми можна представити у вигляді картатого листа зі шкільного зошита.
5. ВІДОБРАЖЕННЯ паралелі.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

М1

М2

Р1

Р2

про

j

ПАРАЛЕЛЬ - це мале коло, отриманий від перетину сфери площиною, паралельній площині екватора. За НУЛЬОВУ паралель приймається лінія екватора. Відстань паралелі від екватора називається широтах (позначається як ).

SHAPE \ * MERGEFORMAT

М1

М2

М2

Р1

Р2

Р1

Р1

Р2

Р2

j

На діаграмі лінія паралелі відобразиться прямою, паралельною лінії екватора і віддалений від лінії екватора на відстані 
Я думаю Вам зрозуміло, що  змінюється в межах ( ) Або ( ).
6. ВІДОБРАЖЕННЯ меридіанів.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

М1

М2

Р1

Р2

про

l

МЕРИДІАН - це велике коло, отриманий від перетину сфери центральної площиною, що проходить через полярну вісь P1 P2. Один з меридіанів вважається ГОЛОВНИМ (або НУЛЬОВИМ) меридіаном. Який з меридіанів вважати головним, залежить від конкретного завдання. Відстань меридіана від головного меридіана називається довгота (позначається як ).

SHAPE \ * MERGEFORMAT

М1

М2

М2

Р1

Р2

Р1

Р1

Р2

Р2

l

На діаграмі лінія меридіана відобразиться прямою, паралельною лінії головного меридіана.
Довгота  змінюється в межах ( ).
Циліндрична проекція

Циліндрична проекція - це проекція вписаною в циліндр сфери, на бічну поверхню циліндра.
Центром проекційних променів є центр сфери.
Розгорнувши циліндр з спроецированное картинкою, ми і отримаємо циліндричну проекцію.
При такій проекції приполярні області будуть найбільш спотворені.

Підготовча частина
SHAPE \ * MERGEFORMAT

o

Накреслимо дві взаємно перпендикулярні лінії так, щоб точка їх перетину (Т.О.) перебувала ближче до лівого нижнього кута креслення.
Горизонтальна лінія називається Екватор.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

o

A

З точки О, радіусом, рівним довжині вертикальної лінії, проводимо дугу до перетину з лінією екватора.
Тепер вибираємо ШАГ (), через який будуть проходити лінії координатної сітки. Чим точніше ми хочемо відобразити координатну сітку, тим менше повинен бути крок, але необхідно пам'ятати, що крок НЕ МОЖЕ перевищувати

SHAPE \ * MERGEFORMAT

o

A

B

Через т.про, під кутом    до лінії екватора, проведемо лінію до перетину з дугою кола. Позначимо цю точку, як Т.В.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

o

A

B

З

Розчином циркуля, рівним довжині відрізка АВ, з точки В, що з центру кола, робимо зарубку на раніше побудованої дузі. Отримуємо точку С.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

o

A

B

З

D

Не змінюючи розчину циркуля, вже з т.с, що з центру кола, робимо зарубку на раніше побудованої дузі. Отримуємо точку D.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

o

A

B

З

D

E

F

Такі маніпуляції ми проробимо стільки разів, скільки буде потрібно, щоб повністю поділити дугу кола.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

o

A

B

З

D

E

F

З'єднаємо отримані точки з т.про прямими лініями.
Визначимо розмір креслення (масштабування)
З т.про, що з центру кола, проводимо дугу довільного радіуса r, Але свавілля наш не безмежний. Якщо ми хочемо побудувати повну циліндричну проекцію, то слід пам'ятати, що величина r повинна бути рівною 1 / 8 довжини екваторіальній лінії.

SHAPE \ * MERGEFORMAT

o

A

B

З

D

E

F

Побудова ліній проекцій меридіанів
SHAPE \ * MERGEFORMAT

o

A

B

З

D

E

F

a

b

Перетин дугою радіуса r лінії екватора позначимо як точка а.
Перетин прямої ОВ дуги радіуса r позначимо як точка b.
Відстань ab - і буде КРОКОМ для побудови ліній проекцій меридіанів.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

o

На новому листі креслимо дві взаємно перпендикулярні лінії, дотримуючись ті ж умови, яких ми дотримувалися раніше, тобто точка перетину повинна знаходитися в лівому нижньому кутку креслення.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

o

A

B

З

D

E

F

a

b

Розчином циркуля, рівним відстані ab, визначеному на допоміжному кресленні, робимо засічки на лінії екватора основного креслення.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

o

З одержані точок відновлюємо перпендикуляри до лінії екватора - це і будуть лінії проекцій меридіанів.
Побудова ліній проекцій паралелей
На допоміжному кресленні з точки а відновимо перпендикуляр до лінії екватора.
Позначимо точки перетину лінії перпендикуляра з променями, що виходять з точки О, як 1, 2 і т.д.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

o

A

a

1

2

3

4

5

Перенесемо за допомогою циркуля довжини відрізків а-1, а-2 ... з допоміжного креслення на крайню ліву вертикальну лінію основного креслення, причому відлік вести будемо від точки О.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

o

A

a

1

2

3

4

5

o

SHAPE \ * MERGEFORMAT

o

A

a

1

2

3

4

5

o

SHAPE \ * MERGEFORMAT

o

o

A

a

1

2

3

4

5

SHAPE \ * MERGEFORMAT

o

A

a

1

2

3

4

5

o

SHAPE \ * MERGEFORMAT

o

j. 2 j. 3 j. 4 j.

j

2j

3j

4j

Через отримані точки проводимо лінії, паралельні лінії екватора. Це і будуть лінії проекцій паралелей.
Відстань між кожною лінією на кресленні дорівнюватиме обраному нами кроку .