Академія Росії
Кафедра Фізики
Реферат Операторні методи АНАЛІЗУ перехідних КОЛИВАНЬ в електричних ланцюгах
Орел 2009
Зміст
Вступ
Операторні схеми заміщення
Література
ВСТУП Дії над багатозначними числами, як відомо, істотно спрощуються при використанні логарифмів. Так
операція множення зводиться до складання логарифмів, розподіл - до вирахуванню логарифмів і т. д. Кожному числу
відповідає свій логарифм і тому логарифм можна розглядати як свого роду зображення числа.
Так, наприклад,
, Отже, в цій системі 2 є зображення числа 100.
В основі операторного методу також лежить
поняття про зображення. Проте якщо у випадку логарифмів
мова йшла про зображення числа, то в операторному методі використовується зображення функцій часу. Тут кожної
функції часу
, Визначеної в області
,
Відповідає деяка
функція нової змінної
і, навпаки, функції змінної
відповідає певна функція часу
.
Функція
називається оригіналом, функція
- Зображенням, а змінна
- Оператором.
Фраза "функція
має своїм зображенням
"Умовно записується так
.
Знак
називають знаком відповідності.
Заснований на такому поданні функцій метод отримав назву операторного і використовується для аналітичного рішення
лінійних диференціальних та інтегро-диференціальних рівнянь в теорії електричних ланцюгів. Рішення задачі при цьому як би розбивається на 3 етапи.
На першому етапі здійснюється перехід з тимчасової області в операторну, на другому - рішення задачі в операторної формі і на третьому - зворотний перехід в область реального часу.
Основні властивості перетворення Лапласа Знаходження зображень функції часу (так само як і зворотні переходи від зображень до оригіналу) виконуються за допомогою спеціальних інтегральних перетворень, що приводяться в курсі вищої математики. В даний час в більшої частини сучасної технічної літератури операторні методи пов'язують із застосуванням
перетворення Лапласа, в основі якого лежить співвідношення:
.
Важливо зазначити, що функції, що описують реально можливі дії та
відповідні їм реакції, завжди перетворені по Лапласа. Отриману в результаті такого перетворення функцію називають іноді лапласовий зображенням функції
або її
-Зображенням і позначають:
.
Відшукування
-Зображення заданої функції називається прямим
перетворенням Лапласа, а знаходження
за відомим
- Зворотним перетворенням Лапласа.
Основні властивості та правила цих перетворень:
Властивість одиничності. Кожному оригіналу (вихідної функції)
відповідає єдине зображення і навпаки, кожному зображенню відповідає єдиний оригінал.
Властивість лінійності. Лінійною комбінації оригіналів відповідає така ж лінійна комбінація зображень:
- Оригінал;
- Зображення.
Перетворення операції диференціювання. Якщо оригінал
представляє похідну від деякої функції
,
то його зображення має вигляд:
.
При нульових початкових умовах (Нну)
і
, Тобто диференціюванню оригіналу відповідає множення його зображення на оператор
(При Нну).
Перетворення операції інтегрування. Якщо оригінал становить від деякої функції інтеграл:
,
то його зображення має вигляд:
, Тобто інтегруванню оригіналу відповідає розподіл його зображення на оператор
.
Теорема запізнювання (оригіналу). Якщо
, То
, Де
- Час запізнювання, тобто запізнювання оригіналу на час
відповідає множення його зображення на експонентний множник
.
Теорема зсуву (зображення). Якщо
, То
, Тобто множенню оригіналу на експонентний множник
відповідає зміщення його зображення на величину
.
Рішення задач прямого і зворотного перетворень Лапласа істотно спрощуються у тих випадках, коли вдається використовувати довідкові
таблиці, які містять пари оригінал - зображення. Ці таблиці наводяться в довідниках.
Слід врахувати, що при зворотному перетворенні Лапласа отримані функції іноді не підходять під табличні. У цьому випадку використовується розкладання цієї функції на прості
дроби або в ряд з подальшим застосуванням зворотного перетворення Лапласа.
Закони Кірхгофа і Ома в операторній формі Можливість суттєвого спрощення рішення задачі аналізу коливань в електричних ланцюгах операторних методом грунтується на тому, що для
-Зображень коливань формально вірні
закони Кірхгофа і Ома.
Дійсно, згідно з першим законом Кірхгофа:
Якщо обидві частини цієї рівності піддати перетворенню Лапласа, то воно переходить у рівність:
,
і отже,
алгебраїчна сума -Зображень струмів у кожному вузлі ланцюга дорівнює нулю. Аналогічно доводиться
справедливість другого закону Кірхгофа для операторних напружень в контурі:
.
При висновку закону Ома в операторної формі будемо вважати, що реактивні елементи знаходяться при Нну (
конденсатор розряджений, через котушку індуктивності не протікає струм).
Розглянемо співвідношення в елементах електричних ланцюгів.
Елемент резистивного опору. - Операторний резистивное опір,
- Резистивна операторна провідність.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Таким чином, операторний напруга на резистивном опорі дорівнює добутку опору на величину операторного струму.
Елемент індуктивності. - Операторний індуктивний опір,
- Операторна індуктивна провідність.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Отже, операторний напруга на індуктивності дорівнює добутку операторного індуктивного опору на величину операторного струму.
Елемент ємності. - Операторний опір місткості,
- Операторна емкостная провідність.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Операторний напруга на ємності дорівнює добутку операторного ємнісного опору на величину операторного струму.
Вирази
представляють
закон Ома у операторної формі.
Висновки:
-
Закони Кірхгофа і Ома справедливі і в операторної формі, причому закон Ома справедливий лише за нульових початкових умовах;
- Всі раніше вивчені методи аналізу електричних ланцюгів (метод контурних струмів, метод вузлових напруг, метод еквівалентного генератора та ін) справедливі і в операторної формі.
Операторні схеми заміщення реактивних елементів
при ненульових початкових умовах
Часто комутація здійснюється в момент часу, коли реактивні елементи мають енергію. У цьому випадку вони перебувають при ненульових початкових умовах і до них не можна застосувати закон Ома у операторної формі. Для усунення цієї перешкоди використовують прийом, суть якого полягає в тому, що фізично один реактивний елемент штучно замінюють двома: операторних джерелом, що відображає енергію реактивного елемента на момент комутації, і самим реактивним елементом, але які тепер вже при нульових початкових умовах. Таке зображення називається схемою заміщення. Її можна отримати, використовуючи властивості перетворення Лапласа:
.
Так, для індуктивності з струмом схеми заміщення мають вигляд, показаний на малюнку 1.
SHAPE \ * MERGEFORMAT