Академія Росії
Кафедра Фізики
Реферат
Операторні методи АНАЛІЗУ перехідних КОЛИВАНЬ в електричних ланцюгах

 

 

 

 

 

Орел 2009

Зміст

Вступ

Основні властивості перетворення Лапласа

Закони Кірхгофа і Ома в операторній формі

Операторні схеми заміщення

Література

ВСТУП
Дії над багатозначними числами, як відомо, істотно спрощуються при використанні логарифмів. Так операція множення зводиться до складання логарифмів, розподіл - до вирахуванню логарифмів і т. д. Кожному числу відповідає свій логарифм і тому логарифм можна розглядати як свого роду зображення числа.
Так, наприклад, , Отже, в цій системі 2 є зображення числа 100.
В основі операторного методу також лежить поняття про зображення. Проте якщо у випадку логарифмів мова йшла про зображення числа, то в операторному методі використовується зображення функцій часу. Тут кожної функції часу , Визначеної в області , Відповідає деяка функція нової змінної і, навпаки, функції змінної відповідає певна функція часу .
Функція називається оригіналом, функція - Зображенням, а змінна - Оператором.
Фраза "функція має своїм зображенням "Умовно записується так .
Знак називають знаком відповідності.
Заснований на такому поданні функцій метод отримав назву операторного і використовується для аналітичного рішення лінійних диференціальних та інтегро-диференціальних рівнянь в теорії електричних ланцюгів. Рішення задачі при цьому як би розбивається на 3 етапи.
На першому етапі здійснюється перехід з тимчасової області в операторну, на другому - рішення задачі в операторної формі і на третьому - зворотний перехід в область реального часу.

Основні властивості перетворення Лапласа
Знаходження зображень функції часу (так само як і зворотні переходи від зображень до оригіналу) виконуються за допомогою спеціальних інтегральних перетворень, що приводяться в курсі вищої математики. В даний час в більшої частини сучасної технічної літератури операторні методи пов'язують із застосуванням перетворення Лапласа, в основі якого лежить співвідношення:
.
Важливо зазначити, що функції, що описують реально можливі дії та відповідні їм реакції, завжди перетворені по Лапласа. Отриману в результаті такого перетворення функцію називають іноді лапласовий зображенням функції або її -Зображенням і позначають:
.
Відшукування -Зображення заданої функції називається прямим перетворенням Лапласа, а знаходження за відомим - Зворотним перетворенням Лапласа.
Основні властивості та правила цих перетворень:
Властивість одиничності. Кожному оригіналу (вихідної функції) відповідає єдине зображення і навпаки, кожному зображенню відповідає єдиний оригінал.
Властивість лінійності. Лінійною комбінації оригіналів відповідає така ж лінійна комбінація зображень:
- Оригінал;
- Зображення.
Перетворення операції диференціювання. Якщо оригінал представляє похідну від деякої функції
,
то його зображення має вигляд:
.
При нульових початкових умовах (Нну) і , Тобто диференціюванню оригіналу відповідає множення його зображення на оператор (При Нну).
Перетворення операції інтегрування. Якщо оригінал становить від деякої функції інтеграл:
,
то його зображення має вигляд: , Тобто інтегруванню оригіналу відповідає розподіл його зображення на оператор .
Теорема запізнювання (оригіналу). Якщо , То , Де - Час запізнювання, тобто запізнювання оригіналу на час відповідає множення його зображення на експонентний множник .
Теорема зсуву (зображення). Якщо , То , Тобто множенню оригіналу на експонентний множник відповідає зміщення його зображення на величину .
Рішення задач прямого і зворотного перетворень Лапласа істотно спрощуються у тих випадках, коли вдається використовувати довідкові таблиці, які містять пари оригінал - зображення. Ці таблиці наводяться в довідниках.
Слід врахувати, що при зворотному перетворенні Лапласа отримані функції іноді не підходять під табличні. У цьому випадку використовується розкладання цієї функції на прості дроби або в ряд з подальшим застосуванням зворотного перетворення Лапласа.
Закони Кірхгофа і Ома в операторній формі
Можливість суттєвого спрощення рішення задачі аналізу коливань в електричних ланцюгах операторних методом грунтується на тому, що для -Зображень коливань формально вірні закони Кірхгофа і Ома.
Дійсно, згідно з першим законом Кірхгофа:

Якщо обидві частини цієї рівності піддати перетворенню Лапласа, то воно переходить у рівність:
,
і отже, алгебраїчна сума -Зображень струмів у кожному вузлі ланцюга дорівнює нулю. Аналогічно доводиться справедливість другого закону Кірхгофа для операторних напружень в контурі:
.
При висновку закону Ома в операторної формі будемо вважати, що реактивні елементи знаходяться при Нну (конденсатор розряджений, через котушку індуктивності не протікає струм).
Розглянемо співвідношення в елементах електричних ланцюгів.
Елемент резистивного опору.
- Операторний резистивное опір,
- Резистивна операторна провідність.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

R

i

R

u

R

(

)

p

I

R

(

)

p

U

R

(

)

p

Z

R

R

=

R

i

u

R

R

=

(

)

(

)

(

)

p

Z

p

I

p

U

R

R

R

×

=

.= ×

.= ×

Таким чином, операторний напруга на резистивном опорі дорівнює добутку опору на величину операторного струму.
Елемент індуктивності.
- Операторний індуктивний опір,
- Операторна індуктивна провідність.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

L

L

L

i

L

u

(

)

p

I

L

(

)

p

U

L

.= ×

.= ×

dt

Ldi

u

L

L

=

(

)

(

)

p

LpI

p

U

L

L

=

Отже, операторний напруга на індуктивності дорівнює добутку операторного індуктивного опору на величину операторного струму.
Елемент ємності.
- Операторний опір місткості,
- Операторна емкостная провідність.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

З

З

.= ×

.= ×

C

i

C

u

(

)

p

I

C

(

)

p

U

C

dt

Cdu

i

C

C

=

(

)

(

)

p

CpU

p

I

C

C

=

Операторний напруга на ємності дорівнює добутку операторного ємнісного опору на величину операторного струму.
Вирази

представляють закон Ома у операторної формі.
Висновки:
- Закони Кірхгофа і Ома справедливі і в операторної формі, причому закон Ома справедливий лише за нульових початкових умовах;
- Всі раніше вивчені методи аналізу електричних ланцюгів (метод контурних струмів, метод вузлових напруг, метод еквівалентного генератора та ін) справедливі і в операторної формі.
Операторні схеми заміщення реактивних елементів
при ненульових початкових умовах
Часто комутація здійснюється в момент часу, коли реактивні елементи мають енергію. У цьому випадку вони перебувають при ненульових початкових умовах і до них не можна застосувати закон Ома у операторної формі. Для усунення цієї перешкоди використовують прийом, суть якого полягає в тому, що фізично один реактивний елемент штучно замінюють двома: операторних джерелом, що відображає енергію реактивного елемента на момент комутації, і самим реактивним елементом, але які тепер вже при нульових початкових умовах. Таке зображення називається схемою заміщення. Її можна отримати, використовуючи властивості перетворення Лапласа:
.
Так, для індуктивності з струмом схеми заміщення мають вигляд, показаний на малюнку 1.
SHAPE \ * MERGEFORMAT

.= ×

L

(

)

L

I

L

0

(

)

p