Академія праці і соціальних відносин
Курганський філія
Соціально-економічний факультет
Контрольна робота
з дисципліни: «Загальний курс вищої математики»
Студент гр. ЗМб 1338
Ст. викладач
Курган - 2009
Завдання 03 У ромбі ABCD відомі координати вершин А і С і тангенс внутрішнього кута С. Знайти рівняння діагоналей і сторін, координати двох інших вершин, а також площа цього ромба, якщо А (4,2), С (16; 18),
. Зробити креслення.
Рішення:
Знаючи координати вершин А і С запишемо рівняння діагоналі АС як рівняння прямої, що проходить через дві задані точки:
12 (y-2) = 16 (x-4);
12y-24 = 16х-64
16х-12У-40 = 0 /: 4
4х-3у-10 = 0 - рівняння діагоналі А С у формі загального рівняння прямої.
Перепишемо це рівняння у формі рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:
-3y =- 10-4х;
3y = 4x-10;
y =
звідки k А С =
Так як в ромбі діагоналі взаємно
перпендикулярні, то кутовий коефіцієнт діагоналі BD буде дорівнює
К
В D =
Саме ж рівняння діагоналі BD знайдемо як рівняння прямої, що проходить через задану точку в напрямку, визначеному кутовим коефіцієнтом До
BD. У якості «заданої точки» візьмемо точку Е перетину діагоналей ромба, яка лежить на середині відрізка АС, внаслідок чого:
Е (10; 10)
Отже, рівняння діагоналі BD запишемо у вигляді
у - yE = К
У D (X-xE)
y-10 =
(X-10);
y-10 =
x +
/
4
4у-40 =- 3х +30
3х +4 у-70 = 0 - рівняння діагоналі BD
Щоб знайти рівняння сторін ромба, треба визначити тільки кутові коефіцієнти До
АВ = К
CD і К
ЗС = До
AD прямих, на яких ці сторони лежать, бо точки, через які ці прямі проходять, відомі - це вершини А і С ромба.
Для визначення вказаних кутових коефіцієнтів скористаємося формулою
, Що дозволяє обчислювати тангенс кута φ між двома заданими прямими за їх кутовим коефіцієнтам До
1 і К
2; при цьому кут φ відраховується проти
годинникової стрілки від прямої у = К
1 х + b
1 до прямої у = К
2 х + b
2. Формула виявляється зручною, тому що рівняння діагоналі АС вже знайдено (і, отже, відомий її кутовий коефіцієнт К
АС), а положення сторін ромба щодо цієї діагоналі однозначно визначається внутрішніми кутами А і С, які рівні між собою і для яких за умовою відомий їхній тангенс (
).
Так діагоналі ромба ділять його кути навпіл, то, поклавши
з формули
для тангенса подвійного кута при
знайдемо tg φ:
Покладемо z = tg φ; тоді
, Тоді
15
2z = 8 (1-z
2) 30z = 8-8z
2 8z
2 +30 z-8 = 0 /: 2
4z
2 +15 z-4 = 0
D = 15
2 -4
4
(-4) = 225 +64 = 289
z
1 =
;
z
2 = Але тому кут у ромбі φ завжди гострий корінь z
2 =- 4 відкидаємо і отримуємо в результаті, що tg φ =
Кут φ є кутом між прямими ВС і АС, з одного боку, і прямими АС та CD - з іншого (див. креслення).
Тому в першому випадку за формулою
маємо
звідки при
то отримаємо
4 (
) = 1 +
;
=
/
3
16-12 K
BC = 3 +4 K
BC; 16 K
BC = 13;
K
BC =
У другому випадку за формулою
маємо
=
;
При К
АС =
отримаємо:
;
4 (KcD-
) = 1 +
KcD;
4KcD-
= 1 +
KcD /
3;
12KcD-16 = 3 +4 KcD;
8KcD = 19
KcD =
Так як протилежні сторони ромба паралельні, то тим самим ми визначили кутові коефіцієнти всіх його сторін.
До
CD = K
AB =
;
K
BC = K
AD =
.
Знаючи тепер ці кутові коефіцієнти і координати вершин А і С, за вже використовувалися вище формулами знайдемо рівняння прямих АВ, CD, BC і AD.
Рівняння АВ: у - уA = K
A B (х - хA),
у -2 =
(Х-4) /
8;
8у-16 = 19х-76;
19 х-8 у-60 = 0.
Рівняння CD: у - у
C = К
CD (х - x
C) у -18 =
(Х-16) /
8;
8у -144 = 19х-304;
19 х-8 у-160 = 0.
Рівняння ПС: у - у
C = К
BC (Х x
C); у -18 =
(Х - 16);
у - 18 =
х - 13 /
16;
16У -288 = 13х - 208;
13х -16 у +80 = 0
Рівняння AD: у - уA = Кa
D (х-xA);
у -2 =
(Х -4);
у -2 =
х -
/
16;
16У -32 = 13х-52;
13х-16У-20 = 0
Вершини ромба є точками перетину його
відповідних сторін. Тому їх координати знайдемо шляхом спільного рішення рівнянь цих сторін.
19х-8у -60 = 0 /
(-2)
13х-16У +80 = 0
-38х +16 у +120 = 0
13х-16У +80 = 0
-25х = - 200
х = 8
13
8-16У +80 = 0
104-16У +80 = 0
16У = 184
у = 11,5 т.В (8; 11,5)
Для вершини D:
19х-8у + -160 = 0 /
(-2)
13x - 16 y - 20 = 0
-38х + 16У +320 = 0
13x - 16 y - 20 = 0
-25х = - 300
х = 12
13
12 - 16У-20 = 0
156 -16 у-20 = 0
16У - 136
у = 8,5 т.D (12; 8,5)
Координати цих точок задовольняють раніше знайденому рівнянню 3х + 4у - 70 = 0 діагоналі BD, що підтверджує їх правильність.
Площа ромба обчислимо за формулою S = ½ d
1 d
2, де d
1 і d
2 - діагоналі ромба.
Вважаючи d
1 = | АС |, а d
2 = | BD |, довжини цих діагоналей знайдемо як відстані між
відповідними протилежними вершинами ромба:
d
1 =
d
2 =
У результаті площа ромба буде дорівнює S =
∙ 20 ∙ 5 = 50 кв.ед.
Відповідь:
АС: 4х - 3у - 10 = 0;
BD: 3х + 4у - 70 = 0;
АВ: 19х-8у -60 = 0;
CD: 19 х-8у - 160 = 0;
ВС: 13х-16У + 80 = 0;
AD: 13х-16У - 20 = 0;
У (8; 11,5);
D (12; 8,5);
S = 50 кв.ед.
Завдання 27 Знайти межа
а)
Рішення:
а)
Функція, межа якої при х → 2 потрібно знайти, являє собою приватне двох функцій. Однак застосувати теорему про межу приватного в даному випадку не можна, так як межа
функції, що стоїть в знаменнику, при х → 2 дорівнює нулю.
Перетворимо цю функцію, помноживши чисельник і знаменник дробу, що знаходиться під знаком
межі, на вираз
, Поєднане знаменника. Паралельно
розкладемо квадратний тричлен у чисельнику на лінійні множники:
=
=
=
=
=
2 х
2 - 3 х - 2 = 0
D = 3
2 -4
2
(-2) = 9 +16 = 25
х1 =
=
= 2;
х2 =
=
= -
=
=
=
=
= 12,5
Відповідь: 12,5
б)
Помножимо чисельник і знаменник дробу, що стоїть під знаком межі, на вираз, поєднане до знаменника:
=
=
=
=
=
+
=
Знайдемо кожен співмножник.
=
=
=
=
+
) = (
= 1 +1 = 2.
Межа
є перший чудовий межа.
Таким чином.
після заміни t = 3x буде дорівнює
= 3
Аналогічно
= 5
Отримаємо
=
1
У результаті отримаємо:
Відповідь:
в)
Перетворимо підставу даної функції:
Ведемо нову змінну t =
, Тоді
t (4x-1) = 2
4xt - t = 2
4xt = 2 + t
x =
x =
Зауважимо, що межа функції t при x → ∞ дорівнює нулю тобто t → 0 при x → ∞. Отже
=
=
=
=
Скористаємося теоремою про межу
твори, наслідком теореми про межі складної функції, другим чудовим межею отримаємо.
Відповідь:
г)
Уявімо вираз під знаком межі у вигляді
=
=
=
=
=
Знайдемо значення кожного межі:
=
= 1
= - Ln e наслідок з другого чудового краю.
= 3
= 3
1 = 3
У результаті отримаємо
= 1
=
=
Відповідь:
Завдання 50 Знайти похідну функції
а)
Рішення:
при вирішенні будемо застосовувати правила диференціювання приватного твори і складної функції.
=
=
=
=
б)
+
+
=
+
=
=
+
=
+
в)
Рішення:
г)
=
=
=
-
=
-
=
-
-
=
-
=
=
Завдання 73 Обчислити наближене значення функції f (x) = ln
в точці x1 замінивши приріст функції в точці х
0 =
0 її диференціалом. Якщо відомо a = 8; b = 13; c = 21; x1 = 0.013
Рішення:
Якщо приріст аргументу Dх = х
1 - х
0 досить мало за абсолютною величиною, то приріст функції Δf = f (x
1) - f (x
0) приблизно дорівнює диференціалу функції df. Тому справедлива формула
f (x
0 +
Δ x) ≈ f (x
0) + f
/ (x
0) Δ x.
Для обчислення наближеного значення функції у = ln
в точці х
1 = 0,013 обчислимо похідну цієї функції в точці х
0 =
0: f
/ (x) =
=
=
=
=
f
/ (x) = f
/ (0) =
=
=- 1
Підставивши у формулу отримаємо; f (0,013)
=- 0,013
Відповідь: -0,013
Завдання 96 Дослідити функцію
і побудувати її графік.
Рішення
1. Область визначення цієї функції - вся числова вісь, тобто інтервал (- ∞; + ∞), так як вираз
f (x) =
у правій частині аналітичного завдання функції має сенс при будь-якому дійсному
х. 2. Як елементарна
функція, дана функція є безперервною в кожній точці своєї області визначення, тобто в кожній точці числової осі.
3. Знайдемо всі асимптоти графіка даної функції.
Вертикальних асимптот графік даної функції у = f (x) не має, оскільки остання неперервна на всій числовій осі формула
Для відшукання похилій асимптоти при х → + ∞ обчислимо наступні дві межі k = lim y / x і b = lim (y - kx)
Якщо обидва вони існують і кінцеві, то пряма у = kx + b є похилій асимптотой при х → + ∞ графіка функції у = f (x)
Перш ніж звертатися до обчислення зазначених меж, нагадаємо тотожність √ х
2 = | х | (1), з якого випливає, що при x> 0 √ х
2 = х,
а при х <0 √ х
2 =-х або х = - √ х
2 (2) Приступаючи до обчислення першого межі, розділимо чисельник і знаменник дробу на х
2, потім скористаємося рівністю (1) і основними властивостями межі:
k =
=
=
=
=
=
=
= 0
Для обчислення другий межі розділимо чисельник і знаменник дробу на
х і, діючи далі аналогічно тому, як і при обчисленні першого межі, отримаємо:
b =
(Y - kx) =
y =
=
=
=
=
= 3
Отже, пряма у = 3 є похилій асимптотой графіка даної функції при х → + ∞ (оскільки кутовий коефіцієнт k цієї прямої дорівнює нулю, то таку похилу асимптоту називають також горизонтальної при х → + ∞.
Для відшукання похилій асимптоти при х → - ∞ обчислимо межі k
1 = lim y / x і b
1 = lim (y - kx)
Якщо обидва вони існують і кінцеві, то пряма y = k
1 x + b
1 є похилій асимптотой при х → - ∞
Для обчислення цих меж використовуємо ті ж прийоми, що й вище, враховуючи тільки цього разу замість рівності (1) рівність (2). Тепер, зокрема, для від'ємних значень аргументу маємо:
=
=-
=-
і отже, k
1 = 0, b
1 = -3, тобто похилій (горизонтальної) асимптотой при х → - ∞ цього разу є пряма у = -3
4. Знайдемо точки перетину графіка даної функції з осями координат і
встановимо ділянки її знакопостоянства.
Для відшукання абсцис точок перетину графіка з віссю ОХ вирішимо рівняння
= 0
Його єдиним рішенням, очевидно, є х =
Причому, в силу позитивності знаменник при будь-якому
х ясно, що f (x)> 0 при х>
f (x) <0прі х <
Таким чином, точка А (
; 0) є єдиною точкою перетину графіка функції з віссю ОХ, а для
х з інтервалів (- ∞;
) І (
; + ∞)
відповідні точки графіка функції розташовані,
відповідно, нижче і вище осі абсцис.
Точка перетину графіка функції у = f (x) з віссю ЗУ - це завжди крапка (0; f (0)), якщо тільки нуль входить в
область визначення функції. У нашому випадку: f (0) =
=
=-
=- 2,24 такою точкою є В (0; -2,24).
5. Приступимо тепер до відшукання точок екстремуму даної функції і ділянок її монотонності.
Обчислимо спочатку її похідну:
у =
=
=
=
=
=
=
Вирішуючи рівняння у
/ = 0, отримаємо єдиний корінь похідної:
5 (3 + х) = 0 х =- 3
Таким чином, необхідна умова екстремуму виконується лише в точці х = -3. Ця точка розбиває вісь абсцис на два інтервали (- ∞; -3) і (-3; + ∞) знакопостоянства похідної.
Для визначення знака похідної в кожному інтервалі (користуючись її безперервністю) визначимо
знак похідної в одній якій-небудь точці кожного інтервалу. Так як
f
/ (-1) =
<0 і f
/ (2) =
=
> 0
то укладаємо, що функція спадає на інтервалі (- ∞; -3) і зростає на інтервалі (-3; + ∞), і значить точка х = -3 є точкою мінімуму цієї функції.
Значення функції в цій точці (тобто мінімум функції) дорівнює
f (-3) =
=
=-
=- 3,74
З (-3; -3,74)
6. Нарешті, звернемося до дослідження даної функції на опуклість, увігнутість й
існування точок перегину.
З цією метою знайдемо похідну другого порядку даної функції:
у = (у)
/ / =
=
=
=
=
=
=
=
Вирішимо потім рівняння у
/ / = 0, еквівалентну квадратному рівнянню:
його коріння: х
1 = -5; х
2 = 0,5, які розбивають область визначення функції на три інтервали знакопостоянства другої похідної: (- ∞; -5), (-5; 0.5), (0.5; + ∞).
Для визначення знака похідної другого порядку в кожному з цих інтервалів визначимо її знак у будь-якій точці
відповідного інтервалу:
f
/ / (-6) =
=
=
<0
f
/ / (0) =
=
> 0
f
/ / (2) =
=
=
<0
З отриманих
нерівностей випливає, що графік функції є ввігнутим на інтервалі (-5; 0.5), і опуклим на інтервалах (- ∞; -5) і (0.5; + ∞) і значить точки D (-5; f (-5) ) та Е (0.5; f (0.5)), є точками перегину графіка даної функції. Залишилося знайти ординати цих точок:
f (-5) =
=
=
≈ -3,65
f (0.5) = =
=
≈ -1,53
Точки D (-5; -3,65) та E (0,5; -1,53)
Враховуючи результати повного дослідження, з'єднаємо безперервної кривої всі раніше зазначені точки попереднього креслення так, щоб ця крива ліворуч і праворуч необмежено наближалася до асимптота у =- 3 і у = 3
Список використаної літератури: 1 Данко. П.Є. Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.,
Вища математика у вправах і завданнях. Навчальний посібник для вузов.М.: ОНІКС 21век, 2002 .- 304 с.
2 Кремер Н.Ш. Вища
математика для економістів:
підручник для
студентів вузів з економічних спеціальностей. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.-479 с.
3 Коломогоров А.. Н., Абрамов А.. М., Дудніцин Ю.П.. Івлєв Б.М., Шварцбурд С.І.
Алгебра і початки аналізу:
Підручник. М.: Просвещение, 1993.-320 с.
4 Кудрявцев Л.Д. курс математичного аналізу: Підручник для студентів вузів. М.: вища
школа, 1989.-352 с.