Загальний курс вищої математики

Академія праці і соціальних відносин
Курганський філія
Соціально-економічний факультет
Контрольна робота
з дисципліни: «Загальний курс вищої математики»
Студент гр. ЗМб 1338
Ст. викладач
Курган - 2009

Завдання 03
У ромбі ABCD відомі координати вершин А і С і тангенс внутрішнього кута С. Знайти рівняння діагоналей і сторін, координати двох інших вершин, а також площа цього ромба, якщо А (4,2), С (16; 18), . Зробити креслення.
Рішення:
Знаючи координати вершин А і С запишемо рівняння діагоналі АС як рівняння прямої, що проходить через дві задані точки:


12 (y-2) = 16 (x-4);
12y-24 = 16х-64
16х-12У-40 = 0 /: 4
4х-3у-10 = 0 - рівняння діагоналі А С у формі загального рівняння прямої.
Перепишемо це рівняння у формі рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:
-3y =- 10-4х;
3y = 4x-10;
y = звідки k А С =
Так як в ромбі діагоналі взаємно перпендикулярні, то кутовий коефіцієнт діагоналі BD буде дорівнює
К _{В D} =
Саме ж рівняння діагоналі BD знайдемо як рівняння прямої, що проходить через задану точку в напрямку, визначеному кутовим коефіцієнтом До _BD.
У якості «заданої точки» візьмемо точку Е перетину діагоналей ромба, яка лежить на середині відрізка АС, внаслідок чого:


Е (10; 10)
Отже, рівняння діагоналі BD запишемо у вигляді
у - yE = К _{У D} (X-xE)
y-10 = (X-10);
y-10 = x + / 4
4у-40 =- 3х +30
3х +4 у-70 = 0 - рівняння діагоналі BD
Щоб знайти рівняння сторін ромба, треба визначити тільки кутові коефіцієнти До _АВ = К _CD і К _ЗС = До _AD прямих, на яких ці ​​сторони лежать, бо точки, через які ці прямі проходять, відомі - це вершини А і С ромба.
Для визначення вказаних кутових коефіцієнтів скористаємося формулою , Що дозволяє обчислювати тангенс кута φ між двома заданими прямими за їх кутовим коефіцієнтам До ₁ і К _2; при цьому кут φ відраховується проти годинникової стрілки від прямої у = К ₁ х + b ₁ до прямої у = К ₂ х + b _2. Формула виявляється зручною, тому що рівняння діагоналі АС вже знайдено (і, отже, відомий її кутовий коефіцієнт К _АС), а положення сторін ромба щодо цієї діагоналі однозначно визначається внутрішніми кутами А і С, які рівні між собою і для яких за умовою відомий їхній тангенс ( ).
Так діагоналі ромба ділять його кути навпіл, то, поклавши з формули для тангенса подвійного кута при знайдемо tg φ:

Покладемо z = tg φ; тоді , Тоді
15 2z = 8 (1-z ²⁾
30z = 8-8z ²
8z ² +30 z-8 = 0 /: 2
4z ² +15 z-4 = 0
D = 15 ² -4 4 (-4) = 225 +64 = 289
z ₁ = ;
z _{2 =}
Але тому кут у ромбі φ завжди гострий корінь z ₂ =- 4 відкидаємо і отримуємо в результаті, що tg φ =
Кут φ є кутом між прямими ВС і АС, з одного боку, і прямими АС та CD - з іншого (див. креслення).
Тому в першому випадку за формулою маємо
звідки при то отримаємо

4 ( ) = 1 + ;
= / 3
16-12 K _BC = 3 +4 K _BC;
16 K _BC = 13;
K _BC =
У другому випадку за формулою маємо = ;
При К _АС = отримаємо:
;
4 (KcD- ) = 1 + KcD;
4KcD- = 1 + KcD / 3;
12KcD-16 = 3 +4 KcD;
8KcD = 19
KcD =
Так як протилежні сторони ромба паралельні, то тим самим ми визначили кутові коефіцієнти всіх його сторін.
До _CD = K _AB = ;
K _BC = K _AD = .
Знаючи тепер ці кутові коефіцієнти і координати вершин А і С, за вже використовувалися вище формулами знайдемо рівняння прямих АВ, CD, BC і AD.
Рівняння АВ: у - уA = K _{A B} (х - хA),
у -2 = (Х-4) / 8;
8у-16 = 19х-76;
19 х-8 у-60 = 0.
Рівняння CD: у - у _C = К _CD (х - x _C)
у -18 = (Х-16) / 8;
8у -144 = 19х-304;
19 х-8 у-160 = 0.
Рівняння ПС: у - у _C = К _BC (Х x _C);
у -18 = (Х - 16);
у - 18 = х - 13 / 16;
16У -288 = 13х - 208;
13х -16 у +80 = 0
Рівняння AD: у - уA = Кa _D (х-xA);
у -2 = (Х -4);
у -2 = х - / 16;
16У -32 = 13х-52;
13х-16У-20 = 0
Вершини ромба є точками перетину його відповідних сторін. Тому їх координати знайдемо шляхом спільного рішення рівнянь цих сторін.


19х-8у -60 = 0 / (-2)
13х-16У +80 = 0
-38х +16 у +120 = 0
13х-16У +80 = 0
-25х = - 200
х = 8
13 8-16У +80 = 0
104-16У +80 = 0
16У = 184
у = 11,5 т.В (8; 11,5)
Для вершини D:
19х-8у + -160 = 0 / (-2)
13x - 16 y - 20 = 0
-38х + 16У +320 = 0
13x - 16 y - 20 = 0
-25х = - 300
х = 12
13 12 - 16У-20 = 0
156 -16 у-20 = 0
16У - 136
у = 8,5 т.D (12; 8,5)
Координати цих точок задовольняють раніше знайденому рівнянню 3х + 4у - 70 = 0 діагоналі BD, що підтверджує їх правильність.
Площа ромба обчислимо за формулою S = ½ d ₁ d _2, де d ₁ і d ₂ - діагоналі ромба.
Вважаючи d ₁ = | АС |, а d ₂ = | BD |, довжини цих діагоналей знайдемо як відстані між відповідними протилежними вершинами ромба:
d ₁ =
d ₂ =
У результаті площа ромба буде дорівнює S = ∙ 20 ∙ 5 = 50 кв.ед.
Відповідь:
АС: 4х - 3у - 10 = 0;
BD: 3х + 4у - 70 = 0;
АВ: 19х-8у -60 = 0;
CD: 19 х-8у - 160 = 0;
ВС: 13х-16У + 80 = 0;
AD: 13х-16У - 20 = 0;
У (8; 11,5);
D (12; 8,5);
S = 50 кв.ед.
Завдання 27
Знайти межа
а)
Рішення:
а) Функція, межа якої при х → 2 потрібно знайти, являє собою приватне двох функцій. Однак застосувати теорему про межу приватного в даному випадку не можна, так як межа функції, що стоїть в знаменнику, при х → 2 дорівнює нулю.
Перетворимо цю функцію, помноживши чисельник і знаменник дробу, що знаходиться під знаком межі, на вираз , Поєднане знаменника. Паралельно розкладемо квадратний тричлен у чисельнику на лінійні множники:
= = =
= =

2 х ² - 3 х - 2 = 0
D = 3 ² -4 2 (-2) = 9 +16 = 25
х1 = = = 2;
х2 = = = -
= =
= = = 12,5
Відповідь: 12,5
б)
Помножимо чисельник і знаменник дробу, що стоїть під знаком межі, на вираз, поєднане до знаменника:
= =
=
= =
+ =

Знайдемо кожен співмножник.
= = = =
+ ) = ( = 1 +1 = 2.

Межа є перший чудовий межа.
Таким чином.
після заміни t = 3x буде дорівнює = 3
Аналогічно = 5
Отримаємо
=
1
У результаті отримаємо:
Відповідь:
в)
Перетворимо підставу даної функції:

Ведемо нову змінну t = , Тоді
t (4x-1) = 2
4xt - t = 2
4xt = 2 + t
x =
x =
Зауважимо, що межа функції t при x → ∞ дорівнює нулю тобто t → 0 при x → ∞. Отже
= = =
=
Скористаємося теоремою про межу твори, наслідком теореми про межі складної функції, другим чудовим межею отримаємо.

Відповідь:
г)
Уявімо вираз під знаком межі у вигляді
= = =
= =

Знайдемо значення кожного межі:
= = 1
= - Ln e наслідок з другого чудового краю.
= 3 = 3 1 = 3
У результаті отримаємо
= 1 = =
Відповідь:

Завдання 50
Знайти похідну функції
а)
Рішення:
при вирішенні будемо застосовувати правила диференціювання приватного твори і складної функції.
=

= =
=

б)
+
+ = + =
= + = +

в)
Рішення:








г)
= =
= -
= - = -
- = -
= =

Завдання 73
Обчислити наближене значення функції f (x) = ln в точці x1 замінивши приріст функції в точці х ₀ = ₀ її диференціалом. Якщо відомо a = 8; b = 13; c = 21; x1 = 0.013
Рішення:
Якщо приріст аргументу Dх = х ₁ - х ₀ досить мало за абсолютною величиною, то приріст функції Δf = f (x ₁₎ - f (x ₀₎ приблизно дорівнює диференціалу функції df. Тому справедлива формула
f (x ₀ + _Δ x) ≈ f (x ₀₎ + f ^/ (x _{0) Δ} x.
Для обчислення наближеного значення функції у = ln в точці х ₁ = 0,013 обчислимо похідну цієї функції в точці х ₀ = _0:
f ^/ (x) = = =
= =
f ^/ (x) = f ^/ (0) = = =- 1
Підставивши у формулу отримаємо; f (0,013) =- 0,013
Відповідь: -0,013
Завдання 96
Дослідити функцію і побудувати її графік.
Рішення
1. Область визначення цієї функції - вся числова вісь, тобто інтервал (- ∞; + ∞), так як вираз
f (x) =
у правій частині аналітичного завдання функції має сенс при будь-якому дійсному х.
2. Як елементарна функція, дана функція є безперервною в кожній точці своєї області визначення, тобто в кожній точці числової осі.
3. Знайдемо всі асимптоти графіка даної функції.
Вертикальних асимптот графік даної функції у = f (x) не має, оскільки остання неперервна на всій числовій осі формула
Для відшукання похилій асимптоти при х → + ∞ обчислимо наступні дві межі k = lim y / x і b = lim (y - kx)
Якщо обидва вони існують і кінцеві, то пряма у = kx + b є похилій асимптотой при х → + ∞ графіка функції у = f (x)
Перш ніж звертатися до обчислення зазначених меж, нагадаємо тотожність √ х ² = | х | (1), з якого випливає, що при x> 0 √ х ² = х,
а при х <0 √ х ² =-х або х = - √ х ^{2 (2)}
Приступаючи до обчислення першого межі, розділимо чисельник і знаменник дробу на х ^2, потім скористаємося рівністю (1) і основними властивостями межі:
k = = = = = =
= = 0
Для обчислення другий межі розділимо чисельник і знаменник дробу на х і, діючи далі аналогічно тому, як і при обчисленні першого межі, отримаємо:
b = (Y - kx) = y = = =
= = = 3
Отже, пряма у = 3 є похилій асимптотой графіка даної функції при х → + ∞ (оскільки кутовий коефіцієнт k цієї прямої дорівнює нулю, то таку похилу асимптоту називають також горизонтальної при х → + ∞.
Для відшукання похилій асимптоти при х → - ∞ обчислимо межі k ₁ = lim y / x і b ₁ = lim (y - kx)
Якщо обидва вони існують і кінцеві, то пряма y = k ₁ x + b ₁ є похилій асимптотой при х → - ∞
Для обчислення цих меж використовуємо ті ж прийоми, що й вище, враховуючи тільки цього разу замість рівності (1) рівність (2). Тепер, зокрема, для від'ємних значень аргументу маємо:
= =- =- і отже, k ₁ = 0, b ₁ = -3, тобто похилій (горизонтальної) асимптотой при х → - ∞ цього разу є пряма у = -3
4. Знайдемо точки перетину графіка даної функції з осями координат і встановимо ділянки її знакопостоянства.
Для відшукання абсцис точок перетину графіка з віссю ОХ вирішимо рівняння = 0
Його єдиним рішенням, очевидно, є х = Причому, в силу позитивності знаменник при будь-якому х ясно, що f (x)> 0 при х> f (x) <0прі х <
Таким чином, точка А ( ; 0) є єдиною точкою перетину графіка функції з віссю ОХ, а для х з інтервалів (- ∞; ) І ( ; + ∞) відповідні точки графіка функції розташовані, відповідно, нижче і вище осі абсцис.
Точка перетину графіка функції у = f (x) з віссю ЗУ - це завжди крапка (0; f (0)), якщо тільки нуль входить в область визначення функції. У нашому випадку: f (0) = = =- =- 2,24 такою точкою є В (0; -2,24).
5. Приступимо тепер до відшукання точок екстремуму даної функції і ділянок її монотонності.
Обчислимо спочатку її похідну:
у = = =

= = = =
Вирішуючи рівняння у ^/ = 0, отримаємо єдиний корінь похідної:
5 (3 + х) = 0 х =- 3
Таким чином, необхідна умова екстремуму виконується лише в точці х = -3. Ця точка розбиває вісь абсцис на два інтервали (- ∞; -3) і (-3; + ∞) знакопостоянства похідної.
Для визначення знака похідної в кожному інтервалі (користуючись її безперервністю) визначимо знак похідної в одній якій-небудь точці кожного інтервалу. Так як
f ^/ (-1) = <0 і f ^/ (2) = = > 0
то укладаємо, що функція спадає на інтервалі (- ∞; -3) і зростає на інтервалі (-3; + ∞), і значить точка х = -3 є точкою мінімуму цієї функції.
Значення функції в цій точці (тобто мінімум функції) дорівнює
f (-3) = = =- =- 3,74
З (-3; -3,74)
6. Нарешті, звернемося до дослідження даної функції на опуклість, увігнутість й існування точок перегину.
З цією метою знайдемо похідну другого порядку даної функції:
у = (у) ^{/ /} = = =
= =
= = =
Вирішимо потім рівняння у ^{/ /} = 0, еквівалентну квадратному рівнянню:




його коріння: х ₁ = -5; х ₂ = 0,5, які розбивають область визначення функції на три інтервали знакопостоянства другої похідної: (- ∞; -5), (-5; 0.5), (0.5; + ∞).
Для визначення знака похідної другого порядку в кожному з цих інтервалів визначимо її знак у будь-якій точці відповідного інтервалу:
f ^{/ /} (-6) = = = <0
f ^{/ /} (0) = = > 0
f ^{/ /} (2) = = = <0
З отриманих нерівностей випливає, що графік функції є ввігнутим на інтервалі (-5; 0.5), і опуклим на інтервалах (- ∞; -5) і (0.5; + ∞) і значить точки D (-5; f (-5) ) та Е (0.5; f (0.5)), є точками перегину графіка даної функції. Залишилося знайти ординати цих точок:
f (-5) = = = ≈ -3,65
f (0.5) = = = ≈ -1,53
Точки D (-5; -3,65) та E (0,5; -1,53)
Враховуючи результати повного дослідження, з'єднаємо безперервної кривої всі раніше зазначені точки попереднього креслення так, щоб ця крива ліворуч і праворуч необмежено наближалася до асимптота у =- 3 і у = 3

Список використаної літератури:
1 Данко. П.Є. Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., Вища математика у вправах і завданнях. Навчальний посібник для вузов.М.: ОНІКС 21век, 2002 .- 304 с.
2 Кремер Н.Ш. Вища математика для економістів: підручник для студентів вузів з економічних спеціальностей. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.-479 с.
3 Коломогоров А.. Н., Абрамов А.. М., Дудніцин Ю.П.. Івлєв Б.М., Шварцбурд С.І. Алгебра і початки аналізу: Підручник. М.: Просвещение, 1993.-320 с.
4 Кудрявцев Л.Д. курс математичного аналізу: Підручник для студентів вузів. М.: вища школа, 1989.-352 с.