Формули, можливо невідомі, для рішень рівняння Піфагора Виведено формули (можливо раніше невідомі, у широко доступній літературі не зустрічаються) для рішень рівняння
Піфагора x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2. Формули відрізняються від загальновідомих формул древніх індусів і вавілонян. Формули древніх індусів:
x = a -
B , Y = 2ab, z = a + B ,
A> b. Висновок інших формул Відомо, що рівняння
x +
Y =
Z (1)
має цілі рішення, наприклад, загальновідомі трійки чисел Піфагора. Таких рішень, довів ще
Евклід, є нескінченна безліч. Трійку цілих позитивних чисел
x, y, z не мають спільних дільників, назвемо оригінальним рішенням рівняння (1). Далі оригінальні рішення будуть позначатися великими літерами
X, Y, Z. Нехай далі скрізь
x <y <Z. Так як
x, y і
z числа цілі, то існують цілі позитивні числа
a і
b, такі, що
x =
z -
a і
y =
Z -
b, де
b <a, так як за умовою
x <y. Тоді рівняння (1) запишеться наступним чином:
(z - a) +
(Z - b) =
Z (2).
Після зведення у ступінь і групування з (2) вийде наступне рівняння:
z -
2 (a + b) z + (a + B ) = 0 (3).
У результаті рішення рівняння (3) щодо
z отримаємо:
z =
+
A +
b; x =
+
B; y =
+
A; (4).
Корінь
не може бути негативним у результаті рішення рівняння (3), тому що за умовою не може бути негативним або рівним нулю жодне з чисел
x, y. Усі три числа цілого рішення містять корінь
, Який визначає такі рішення і повинен бути цілочисловим. Крім
того, для отримання оригінальних рішень числа
a і
b повинні бути взаємно прості, тобто не
мати спільних дільників відмінних від 1.
Число
є цілим у наступних випадках:
-
Випадок 1: a = 2 c , B = d , =
2 cd; після підстановки значень
a і
b в (4) отримаємо:
X = d (2c + d); Y = 2c (c + d); Z = 2c (c + d) + d ; (5),
тут
a> b, a -
парне число,
b -
непарне, отже,
X, Z - непарні,
Y - парне;
-
Випадок 2: a = c , B = 2 d , =
2 cd; після підстановки значень
a і
b в (4) отримаємо:
X = 2d (c + d); Y = c (c +2 d); Z = c (c +2 d) + 2d (6),
тут
a> b, a - Непарне число,
b - Парне, отже,
X - парне, а
Y і
Z - непарні;
примітка: у випадках 1 і 2 числа
c і
d цілі і взаємно прості, тому що такими є
a і
b. Якщо визначені і цілі
c і
d, то визначені і цілі всі числа
X, Y, Z.
Наслідки Загальні формули (4
6) для рішень рівняння (1) доводять нескінченність
множини трійок цілих рішень і можуть бути використані для отримання цілих рішень, які не мають спільних дільників. При
цьому має завжди бути
a> b, а
також
a і
b повинні бути взаємно прості. Так як число
b менше з останніх двох, то зручно позначати
ряди рішень щодо його значенням, наприклад, якщо
b = 1, то ряд рішень
P 1 (Піфагор).
Ряд P 1: b = d = 1 , A = 2 c , =
2 c, де
c = 1,2,3, ... Підставляючи
d і
c в (5) отримаємо необмежений ряд оригінальних цілих рішень
X, Y, Z: X = 2 c +1; Y = 2 c (c +1); Z = 2 c (c +1) +1. Перші рішення цього ряду: 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 9,40,41; 11,60,61; 13,84,85; 15,112,113; 17,144,145; 19,180,181; 21,220,221; 23,264,265 ; 25,312,313; 27,364,365; 29,420,421; ...
Ряд P 2: b = 2 d = , A = c , =
2 c, де
c = 3,5,7, ... Послідовність c починається з
3, тому що
a> b, і непарного, щоб не було спільних дільників з
b. Після підстановки
d = 1 і
c в (6):
X = 2 (c +1); Y = c (c +2); Z = c (c +2) +2. Перші рішення цього ряду: 8,15,17; 12,35,37; 16,63,65; 20,99,101; 24,143,145; 28,195,197; 32,255,257; 36,323,325; 40,399,401; 44,483,485; 48,575,577; 52,675,677; 56,783,785; ...
Ряд P 8: b = 2 d = , A = c , =
4 c, де
c = 3,5,7, ... X = 4 (c +2); Y = c (c +4); Z = c (c +4) +8. 20,21,29; 28,45,53; 36,77,85; 44,117,125; 52,165,173; 60,221,229; 68,285,293; 76,357,365; 84,437,445; 92,525,533; 100,621,629; 108,725,733; 116,837,845; 124,957,965; ...
Ряд P9: b = d = 3 , A = 2c , =
6c. Де
c mod 3 0, c = 4,5,7,8,10,11, ... 33,56,65; 39,80,89; 51,140,149; 57,176,185; 69,260,269; 75,308,317; 87,416,425; 93,476,485; 105,608,617; 111,680,689; 123,836,845; 129,920,929; 141,1100,1109; 147,1196,1205, і т.д.
Діофант у своїй «Арифметиці» розглядав особливу групу трійок цілих рішень рівняння (1), так звані «кульгаві» трикутники, катети яких, тобто
X і
Y, відрізняються на 1.
Для
випадку 1 умова
існування таких рішень:
d = 2 c -
1. Ряд D 1: 3, 4, 5; 119, 120, 169; 4059, 4060, 5741; 137903, 137904, 195025; 4684659, 4684660, 6625109; 159140519, 159140520, 225058681; 5406093003, 5406093004, 7645370045; 183648021599, 183648021600, 259717522849; ...
Для
випадку 2 умова існування таких рішень:
2 d = C -
1. Ряд D 2: 20,21,29; 696, 697, 985; 23660, 23661, 33461; 803760, 803761, 1136689; 27304196, 27304197, 38613965; 927538920, 927538921, 1311738121;
31509019100, 31509019101, 44560482149;
1070379110496, 1070379110497, 1513744654945; ...
Перший і найменший
такий трикутник -
3,4,5, для якого
c = d = 1 (
випадок 1).
За допомогою простих формул, виходячи з нього, можуть бути обчислені скільки завгодно багато інших «кульгавих» трикутників
(m = 1,2,3, ...): d = C + D ;
c = 2 d + 1; X, Y, Z розраховуються за (6);
c = C + D ; D = 2 c -
1; X, Y, Z розраховуються по (5).
Наприклад, обчислити 1-й трикутник ряду
D 2: d = C + D = 1 + 1 = 2; c = 2d + 1 = + 1 = 9; c = 3. X = 2d (c + d) = 2 * 2 (3 +2) = 20; Y = c (c +2 d) = 3 (3 +2 * 2) = 21; Z = C (c +2 d ) + 2 d = 3 (3 +2 * 2) +2 * 2 = 29. Наступним є трикутник 2 ряди
D 1: c = C + D = 3 + 2 = 5; d = 2c -
1 = 2 * 25 - 1 = 49; d = 7. X = d (2c + d) = 7 (2 * 5 +7) = 119; Y = 2c (c + d) = 2 * 5 (5 +7) = 120; Z = 2 c (c + d) + d = 2 * 5 (5 +7) +7 = 169. Формули (4) можуть бути використані для доказу великий теореми Ферма, методом нескінченного спуску, для всіх непарних (в т.ч. всіх простих> 2) значень показника ступеня n.