Формули можливо невідомі для рішень рівняння Піфагора

Формули, можливо невідомі, для рішень рівняння Піфагора
Виведено формули (можливо раніше невідомі, у широко доступній літературі не зустрічаються) для рішень рівняння Піфагора x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2. Формули відрізняються від загальновідомих формул древніх індусів і вавілонян. Формули древніх індусів:
x = a - B , Y = 2ab, z = a + B , A> b.
Висновок інших формул
Відомо, що рівняння x + Y = Z (1)
має цілі рішення, наприклад, загальновідомі трійки чисел Піфагора. Таких рішень, довів ще Евклід, є нескінченна безліч. Трійку цілих позитивних чисел x, y, z не мають спільних дільників, назвемо оригінальним рішенням рівняння (1). Далі оригінальні рішення будуть позначатися великими літерами X, Y, Z. Нехай далі скрізь x <y <Z.
Так як x, y і z числа цілі, то існують цілі позитивні числа a і b, такі, що x = z - a і y = Z - b, де b <a, так як за умовою x <y. Тоді рівняння (1) запишеться наступним чином: (z - a) + (Z - b) = Z    (2).
Після зведення у ступінь і групування з (2) вийде наступне рівняння:
z - 2 (a + b) z + (a + B ) = 0 (3).
У результаті рішення рівняння (3) щодо z отримаємо:
                       z = + A + b; x = + B; y = + A; (4).
Корінь не може бути негативним у результаті рішення рівняння (3), тому що за умовою не може бути негативним або рівним нулю жодне з чисел x, y.
Усі три числа цілого рішення містять корінь , Який визначає такі рішення і повинен бути цілочисловим. Крім того, для отримання оригінальних рішень числа a і b повинні бути взаємно прості, тобто не мати спільних дільників відмінних від 1.
Число є цілим у наступних випадках:
  - Випадок 1: a = 2 c , B = d , = 2 cd; після підстановки значень a і b в (4) отримаємо:
             X = d (2c + d); Y = 2c (c + d); Z = 2c (c + d) + d ; (5),
тут a> b, a - парне число, b - непарне, отже, X, Z - непарні, Y - парне;
  - Випадок 2: a = c , B = 2 d , = 2 cd; після підстановки значень a і b в (4) отримаємо:
      X = 2d (c + d); Y = c (c +2 d); Z = c (c +2 d) + 2d (6),
тут a> b, a - Непарне число, b - Парне, отже, X - парне, а Y і Z - непарні;
примітка: у випадках 1 і 2 числа c і d цілі і взаємно прості, тому що такими є a і b. Якщо визначені і цілі c і d, то визначені і цілі всі числа X, Y, Z.
Наслідки
Загальні формули (4 6) для рішень рівняння (1) доводять нескінченність множини трійок цілих рішень і можуть бути використані для отримання цілих рішень, які не мають спільних дільників. При цьому має завжди бути a> b, а також a і b повинні бути взаємно прості. Так як число b менше з останніх двох, то зручно позначати ряди рішень щодо його значенням, наприклад, якщо b = 1, то ряд рішень P 1 (Піфагор).
Ряд P 1: b = d = 1 , A = 2 c , = 2 c, де c = 1,2,3, ...
Підставляючи d і c в (5) отримаємо необмежений ряд оригінальних цілих рішень X, Y, Z:
      X = 2 c +1; Y = 2 c (c +1); Z = 2 c (c +1) +1.
Перші рішення цього ряду: 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 9,40,41; 11,60,61; 13,84,85; 15,112,113; 17,144,145; 19,180,181; 21,220,221; 23,264,265 ; 25,312,313; 27,364,365; 29,420,421; ...
Ряд P 2: b = 2 d = , A = c , = 2 c, де c = 3,5,7, ...
Послідовність c починається з 3, тому що a> b, і непарного, щоб не було спільних дільників з b. Після підстановки d = 1 і c в (6):
X = 2 (c +1); Y = c (c +2); Z = c (c +2) +2.
Перші рішення цього ряду: 8,15,17; 12,35,37; 16,63,65; 20,99,101; 24,143,145; 28,195,197; 32,255,257; 36,323,325; 40,399,401; 44,483,485; 48,575,577; 52,675,677; 56,783,785; ...
Ряд P 8: b = 2 d = , A = c , = 4 c, де c = 3,5,7, ...
                            X = 4 (c +2); Y = c (c +4); Z = c (c +4) +8.
20,21,29; 28,45,53; 36,77,85; 44,117,125; 52,165,173; 60,221,229; 68,285,293; 76,357,365; 84,437,445; 92,525,533; 100,621,629; 108,725,733; 116,837,845; 124,957,965; ...
Ряд P9: b = d = 3 , A = 2c , = 6c. Де c mod 3 0, c = 4,5,7,8,10,11, ...
33,56,65; 39,80,89; 51,140,149; 57,176,185; 69,260,269; 75,308,317; 87,416,425; 93,476,485; 105,608,617; 111,680,689; 123,836,845; 129,920,929; 141,1100,1109; 147,1196,1205, і т.д.
Діофант у своїй «Арифметиці» розглядав особливу групу трійок цілих рішень рівняння (1), так звані «кульгаві» трикутники, катети яких, тобто X і Y, відрізняються на 1.
Для випадку 1 умова існування таких рішень:   d = 2 c - 1.
Ряд D 1: 3, 4, 5; 119, 120, 169; 4059, 4060, 5741; 137903, 137904, 195025; 4684659, 4684660, 6625109; 159140519, 159140520, 225058681; 5406093003, 5406093004, 7645370045; 183648021599, 183648021600, 259717522849; ...
Для випадку 2 умова існування таких рішень: 2 d = C - 1.
Ряд D 2: 20,21,29; 696, 697, 985; 23660, 23661, 33461; 803760, 803761, 1136689; 27304196, 27304197, 38613965; 927538920, 927538921, 1311738121;
31509019100, 31509019101, 44560482149;
1070379110496, 1070379110497, 1513744654945; ...
Перший і найменший такий трикутник - 3,4,5, для якого c = d = 1 (випадок 1). За допомогою простих формул, виходячи з нього, можуть бути обчислені скільки завгодно багато інших «кульгавих» трикутників (m = 1,2,3, ...):
d = C + D ;   c = 2 d + 1; X, Y, Z розраховуються за (6);
c = C + D ; D = 2 c - 1; X, Y, Z розраховуються по (5).
Наприклад, обчислити 1-й трикутник ряду D 2:
d = C + D = 1 + 1 = 2; c = 2d + 1 = + 1 = 9; c = 3.
X = 2d (c + d) = 2 * 2 (3 +2) = 20; Y = c (c +2 d) = 3 (3 +2 * 2) = 21;
Z = C (c +2 d ) + 2 d = 3 (3 +2 * 2) +2 * 2 = 29.
Наступним є трикутник 2 ряди D 1:
  c = C + D = 3 + 2 = 5; d = 2c - 1 = 2 * 25 - 1 = 49; d = 7.
X = d (2c + d) = 7 (2 * 5 +7) = 119; Y = 2c (c + d) = 2 * 5 (5 +7) = 120;
Z = 2 c (c + d) + d = 2 * 5 (5 +7) +7 = 169.
Формули (4) можуть бути використані для доказу великий теореми Ферма, методом нескінченного спуску, для всіх непарних (в т.ч. всіх простих> 2) значень показника ступеня n.