Характеристики гармонійних коливань

Гармонійні коливання та їх характеристики Коливаннями називаються руху або процеси, які характеризуються певною повторюваністю в часі. Коливальні процес широко поширені в природі і техніці, наприклад хитання маятника годин, змінний електричний струм і т.д. При коливальному русі маятника змінюється координата його центру мас, у разі змінного струму коливаються напруга і струм в ланцюзі. Фізична природа коливань може бути різною тому розрізняють коливання механічні, електромагнітні та інші. Однак різні коливальні процеси описуються однаковими характеристиками і однаковими рівняннями. Звідси випливає доцільність єдиного підходу до вивчення коливань різної фізичної природи. Наприклад, єдиний підхід до вивчення механічних та електромагнітних коливань застосовувався англійським фізиком Д. У. Релеєм (1842-1919), а А.Г. Столєтова, російським інженером-експериментатором П.М. Лебедєвим (1866-1912). Великий внесок у розвиток теорії коливань внесли: Л.І. Мандельштам (1879-1944) і його учні. Коливання називаються вільними (або власними), якщо вони здійснюються за рахунок спочатку досконалої енергії при подальшому відсутності зовнішніх впливів на коливальну систему (систему, що здійснювало коливання). Найпростішим типом коливань є гармонійні коливання - коливання, при яких коливається величина зміняться з часом за законом синуса (косинуса). Розгляд гармонійних коливань важливо з двох причин: Коливання зустрічаються в природі і техніці, часто мають характер, близький до гармонійного; Різні періодичні процеси (процеси, що повторюються через рівні проміжки часу) можна представити як накладення гармонійних коливань. Гармонійні коливання величини s описуються рівнянням типу s = A cos (w0 t + j), (1) де А - максимальне значення коливається величини, зване амплітудою коливання, w0 - кругова (циклічна) частота, j - початкова фаза коливання в момент часу t = 0, (w0 t + j) - фаза коливання в момент часу t. Фаза коливання визначає значення коливається величини в даний момент часу. Так як косинус змінюється в межах від 1 до -1, то s може приймати значення від + А до-А. Певні стану системи, що здійснює гармонічні коливання, повторюються через проміжок часу Т, званий періодом коливання, за який фаза коливання чинить зріст рівне 2p, тобто w0 (t + T) + j = (w0t + j) +2 p, звідки T = 2p/w0 Величина, зворотна періоду коливань, n = 1 / T, тобто число повних коливань, скоєних в одиницю часу, називається частотою коливань . Порівнюючи отримаємо w0 = 2p n. Одиниця частоти - герц (Гц): 1 Гц - частота періодичного процесу, при якій за 1 секунду відбувається 1 цикл процесу. Запишемо першу та другу похідні за часом від гармонійно коливається величини s: З виразу (5) слід диференціальне рівняння гармонійних коливань де s = A cos (w0 t + j). Рішенням цього рівняння є вираз (1). Гармонійні коливання зображуються графічно методом обертового вектора амплітуди, або методом векторних діаграм. Для цього з довільної точки О, обраної на осі x під кутом j, рівним початковій фазі коливання, відкладається вектор А, модуль якого дорівнює амплітуді А розглянутого коливання (див. малюнок 2). Якщо цей вектор привести в обертання з кутовою швидкістю w0, рівної циклічної частоти коливань, то проекція кінця вектора буде переміщатися по осі x і приймати значення від-А до + А, а коливається величина буде змінюватися з часом за законом s = A cos (w0 t + j). Таким чином, гармонійне коливання можна представити проекцією на деяку довільно обрану вісь вектора амплітуди А, відкладеного з довільної точки осі під кутом j, рівним початковій фазі, і що обертається з кутовою швидкістю w0 навколо цієї точки. У фізиці часто застосовується інший метод, який відрізняється від методу обертового вектора амплітуди лише за формою. У цьому методі коливну величину представляють комплексним числом. Відповідно до формули Ейлера, для комплексних чисел У теорії коливань приймається, що коливається величина s дорівнює дійсної частини комплексного вираження, що стоїть в цій рівності справа.