Співвідношення невизначеностей в операторній формі
Зміст: Парні динамічних змінних ([імпульс-координата]; [енергія-час]; [момент імпульсу-кут повороту]). Квант дії. Принцип виключення в операторної формі, що визначає можливість спільного вимірювання динамічних змінних.
Принцип невизначеності та його операторні вираження.
7.2. Поставимо фундаментальне питання: «Чи залежить результат вимірювання від організації самої процедури вимірювання? Чи можна сконструювати універсальні прилади для спільного виміру будь-яких величин? »Якщо відповідь позитивна, то послідовність вимірювань будь-якої пари фізичних величин не грає ролі, і процедури їх вимірювання можна виконувати в будь-якому порядку. Якщо ж відповідь негативна, слід очікувати, що змінюючи порядок вимірів, можна отримати і інший результат. Досліджуємо цю ситуацію.
Належить вирішити дуже важливу проблему, пов'язану з можливістю спільного виміру різних динамічних змінних. Для цього розглянемо дві динамічні характеристики. Їм відповідають ермітової оператори
Первинного вимірюванням величини відповідає перетворення виду A =
B =
7.2.3. Змінюючи порядок вимірювання величин, потрібно в загальному випадку очікувати і іншого результату. Якщо першою виміряна величина , а другий величина то перший вимір відображається перетворенням C =
D =
Дві ці різні послідовності вимірів двох величин породжують дві кінцеві результату B і D. У загальному випадку вони можуть не збігатися, але не виключений і нульовий результат. Складемо їх різниця, і зберемо всі оператори зліва від символу перетворюється хвильової функції, використовуючи властивість асоціативності ермітових операторів:
Оператор
7.2.4. Ми підготувалися до дуже важливих висновків, а саме:
а) якщо підсумок двох послідовних вимірювань незалежний від порядку їх здійснення, то комутатор повинен бути нульовим:
Компактно це виглядає як:
б) якщо підсумок двох послідовних вимірювань все ж залежить від порядку їх виконання, то
Комутатор тут не дорівнює нулю:
7.2.5.1. При нульовому комутаторі
7.2.5.2. Якщо комутатор
Що ж має місце в природі насправді? Спробуємо отримати відповідь.
7.3.Соотношенія невизначеностей Гейзенберга.
7.3.1. Накопичена достатня інформація, щоб вирішити одну з найважливіших проблем квантової механіки, пов'язану з спільними вимірами динамічних змінних.
Досліджуємо, чи можна виміряти:
- Імпульс частинки, що знаходиться в певній точці простору;
- Момент імпульсу обертається частки в певній точці орбіти;
- Енергію системи в конкретний момент часу.
7.3.2. Вибір цих пар динамічних змінних не випадковий. Ці пари величин взаємно доповнюють один одного таким чином, що їх добуток має розмірністю циклічної константи Планка
Розмірність величини
7.3.3. Створюємо три комутатора
7.3.4. Перший комутатор побудуємо з оператора компоненти імпульсу і відповідної йому координати:
7.3.5. Другий комутатор побудуємо аналогічно з оператора моменту імпульсу і йому відповідної координати - кута повороту плоского ротатора:
7.3.6. Також і третій комутатор побудуємо з оператора енергії і часу. Залежний від часу гамільтоніан запозичуємо з тимчасового рівняння Шредінгера:
Перед Вами найбільш послідовний операторний висновок співвідношень невизначеностей Гейзенберга. Вони відносяться до числа фундаментальних законів природи.
7.3.7. Всі три комутатора не дорівнюють нулю, і їх чисельні значення уявні і рівні або
Квадрат модуля кожного з трьох комутаторів один і той же. У всіх випадках виходить
7.3.8. Це значення отримано найбільш строго і являє собою середньоквадратичний розкид, теоретично зумовлений для будь-якого експерименту, націленого на спільне вимір пар динамічних змінних.
Розкид порядку величини константи Планка
Так в певній точці лінійної траєкторії неможливо точно вказати величину імпульсу системи, і, навпаки, при точно фіксованому імпульсі системи неможливо вказати її точне положення.
У певній точці траєкторії криволінійного руху неможливо вказати вектор моменту імпульсу, але якщо момент імпульсу фіксований, то не можна вказати положення тіла на криволінійній траєкторії.
У точно визначений момент часу неможливо вказати енергію рухомого тіла, і навпаки, точне визначення енергії тіла не може бути прив'язане до певного моменту часу в еволюції системи.
7.3.9. У деяких задачах квантової механіки гамільтоніан вдається виразити через вищенаведені комутатори, а їх можна замінити просто уявним числом. У подібних завданнях вдається відшукати правила квантування енергії найбільш просто, і з такими випадками нам доведеться познайомитися пізніше.
У елементарної квантової теорії їх презентують також у вигляді творів граничних помилок, неминучих при спільних вимірах, а саме:
або як твір неминучих середньоквадратичних відхилень:
Читач, мабуть, зрозумів, що форма подання співвідношень Гейзенберга визначається лише способом обчислення похибок, але суть їх скрізь одна і та ж.
Корпускулярно-хвильова природа мікросвіту не допускає надмірно спрощених уявлень про локалізованих системах, «увіткнених, втиснутих» в матеріальні точки.
Світ насправді складається з елементів у достатній мірі делокалізовані, хоча вони і мізерно малі за нашими мірками. Первинне відчуття «дебелого» тієї чи іншої системи і виникає звідси її сприйняття можуть бути оманливі, і лише строгий аналіз фактів виключає помилки і помилки.
Але тим, хто все ж вирішив, що принцип Гейзенберга дозволяє помилятися, зауважимо, що це уявне право люди (особливо в тій чи іншій мірі причетні до влади) привласнюють і експлуатують куди частіше, ніж допускають закони природи (та й закони суспільства теж!) , і нагадаємо крилату фразу знаменитого пройдисвіта і циніка Талейрана: «... Це не злочин! Це набагато гірше! Це ж помилка! ».
При описі механічних рухів у системі частинок з номерами: {1,2, 3, ... n} можуть бути використані різні просторові змінні (прямокутні-декартові, косокутні, полярні (кульові, циліндричні або еліптичні). Їх повна сукупність, достатня для складання вичерпних рівнянь механіки в конкретній задачі, називається конфігураційним простором K. Координати можуть бути декартові {x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2, x 3, y 3, z 3, ... x n, y n, z n}, або полярні, наприклад, кульові {r 1, J 1, j 1, r 2, J 2, j 2, r 3, J 3, j 3, ... r n, J n, j n}, або будь-які інші - в загальному вигляді:
Постулат 1. Хвильова функція і її властивості (кінцівку, однозначність, безперервність і нормування)
Формулювання:
Будь-яке стан квантово-механічної системи описується функцією стану - хвильової функцією, заданої на різноманітті всіх змінних конфігураційного простору системи, і також часу:
Хвильові функції зобов'язані задовольняти декільком математичним вимогам. Вони повинні бути: 1) кінцеві, 2) однозначні, 3) неперервні, 4) нормування, тобто:
Область інтегрування охоплює весь можливий діапазон значень кожної змінної в усьому просторі K. Імовірнісний сенс хвильової функції:
Нормировка виявляється умовою підсумовування щільності ймовірності в усьому конфігураційному просторі. Квадрат модуля хвильової функції є щільністю ймовірності, з якою фізична система, перебуваючи в тому фізичному стані, що описується хвильовою функцією Y, розподілена по конфігураційному простору. Функції, що відповідають умовам 1, 2, 3 називаються регулярними.
Хвильова функція це математичний образ квантово-механічного стану фізичної системи. Звичайно ж, це функція механічного стану системи.
Постулат 2. Вимірювання фізичних величин та операторні рівняння на власні значення ермітових операторів
Формулювання:
Дозволеними значеннями динамічної змінної є ті, що є власними значеннями ермітової оператора даної динамічної змінної:
Операторні рівняння є математичними образами вимірювань. Оператори зручно розглядати як образів макроскопічних приладів. Вирази для операторів основних динамічних змінних. Оператор імпульсу і його rомпоненти (з формули біжучої хвилі де Бройля). Оператори координат і оператор потенційної енергії збігаються із самими цими змінними. Взаємозв'язок операторів різних динамічних змінних визначається тим, що вони відображають макроскопічне будову приладів. Оператори моменту імпульсу однієї частинки і його компонент мають вигляд
Причина класичної схеми взаємозв'язку криється в тому, що оператори є образами макроскопічно влаштованих приладів, а конструкційні компоненти яких підкоряються законам класичної (макроскопічної) фізики.
Стану та хвильові функції, що відповідають певним квантованим значенням фізично спостерігається величини - тим, які безпосередньо проявляються у вимірах, називаються чистими.
Постулат 3. Рівняння Шредінгера (тимчасове і стаціонарне)
Формулювання:
Хвильові функції, що описують можливі стану змінюється в часі фізичної системи, є рішеннями тимчасового рівняння Шредінгера:
Для стаціонарної системи рівняння Шредінгера приймає вигляд операторного рівняння на власні значення гамільтоніану:
Звернемося до стаціонарних системам. Введемо гамільтоніан, що не залежить від часу, і вийде стаціонарне рівняння Шредінгера. Виявимо сенс комплексного сполучення хвильових функцій як ознака механічної оборотності у часі рішень рівняння Шредінгера:
Результат (5.9) - це стаціонарне рівняння Шредінгера. Воно являє собою операторний вираз закону збереження енергії стаціонарної системи. Це чисто просторова частина загального рішення. Тимчасова частина описує періодичний процес.
Увага! Операція комплексного сполучення тимчасової компоненти хвильової функції полягає в заміні знаку перед аргументом - часом в показнику комплексної експоненти. Ця проста алгебраїчна операція абсолютно ідентична простій заміні знаку перед змінної часу. Виходить, що при зміні відліку часу на зворотне, не змінюються закони, яким лагодяться фізична система. Це найважливіший результат, який полягає в тому, що рівняння Шредінгера описує процеси, оборотні в часі.
Постулат 4. Суперпозиція станів. Стани чисті і змішані. Математичні та фізичні основи принципу суперпозиції
Формулювання 1 (скоріше математична):
Якщо дві хвильові функції f p і f q є рішеннями операторного рівняння на власні значення, то їх лінійна комбінація F = c p f p + c q f q також є його рішенням.
Витоки цього формулювання лежать в теорії диференціальних рівнянь.
Формулювання 2 (скоріше фізична):
Якщо система може перебувати в станах з хвильовими функціями f p і f q, то вона може знаходитися і в змозі з хвильової функцією F = c p f p + c q f q.
Витоки цього формулювання відбуваються з переконання, що до досвіду не можна передбачити, в якому стані перебуває система, а тому доводиться допустити для неї відразу всі можливості.
Мова про тих функціях, що сукупність яких утворює спектр власних функцій ермітових оператора (оператора динамічної змінної). Ця ситуація може бути поширена на будь-яке число власних функцій лінійного самосполучення оператора:
Цей постулат називається принципом суперпозиції станів і допускає узагальнення на будь-яке число власних функцій, що утворюють спектр ермітової оператора. Функції f k відповідають так званим чистим станам, а їх суперпозиція F - змішаного стану.
Постулат 5. Середні значення динамічних змінних. Математичні очікування для динамічних характеристик станів чистих і змішаних
Формулювання:
Середнє значення динамічної змінної, отриманий в результаті серії випробувань (вимірювань) збігається з математичним очікуванням динамічного оператора цієї змінної, яке обчислюється за формулою:
Для чистих станів це рівняння є формальним наслідком 2-го постулату, але для випадку змішаних станів ця формула постулюється і тим самим зводиться в ранг фізичного закону.
Постулат 6. Принцип Паулі
Формулювання:
Повна хвильова функція, колективу ідентичних ферміонів антисиметрична щодо перестановки будь-якої пари частинок між їх індивідуальними одночасткові станами.
Це властивість можна записати у вигляді
Про перестановною симетрії колективу частинок.
Зручно ввести оператор перестановки
Якщо заздалегідь обмовити, що завжди номери ідентичних частинок в колективі визначаються просто порядковим номером у ланцюжку-перерахування, то номер можна і не записувати в явній формі. У такому випадку записуючи в позиції частки символ якийсь хвильової функції, зручно вважати її символом стану, в який частка потрапляє.
Діючи на хвильову функцію, оператор перестановки рятує з неї власне значення, але при цьому примудряється її саме не змінювати. Перед нею просто виникає деяке число - власне значення цього оператора. Якщо ж оператор перестановки застосувати до хвильової функції колективу повторно, то обидві переставляються частинки повертаються на вихідні позиції - у вихідні стани, і хвильова функція зобов'язана звернутися знову сама в себе. Система повертається у вихідну ситуацію, і тому власне значення квадрата оператора перестановки дорівнює одиниці. Отримуємо рівності:
Зміст: Парні динамічних змінних ([імпульс-координата]; [енергія-час]; [момент імпульсу-кут повороту]). Квант дії. Принцип виключення в операторної формі, що визначає можливість спільного вимірювання динамічних змінних.
Принцип невизначеності та його операторні вираження.
7.2. Поставимо фундаментальне питання: «Чи залежить результат вимірювання від організації самої процедури вимірювання? Чи можна сконструювати універсальні прилади для спільного виміру будь-яких величин? »Якщо відповідь позитивна, то послідовність вимірювань будь-якої пари фізичних величин не грає ролі, і процедури їх вимірювання можна виконувати в будь-якому порядку. Якщо ж відповідь негативна, слід очікувати, що змінюючи порядок вимірів, можна отримати і інший результат. Досліджуємо цю ситуацію.
Належить вирішити дуже важливу проблему, пов'язану з можливістю спільного виміру різних динамічних змінних. Для цього розглянемо дві динамічні характеристики. Їм відповідають ермітової оператори
Первинного вимірюванням величини відповідає перетворення виду A =
B =
7.2.3. Змінюючи порядок вимірювання величин, потрібно в загальному випадку очікувати і іншого результату. Якщо першою виміряна величина , а другий величина то перший вимір відображається перетворенням C =
D =
Дві ці різні послідовності вимірів двох величин породжують дві кінцеві результату B і D. У загальному випадку вони можуть не збігатися, але не виключений і нульовий результат. Складемо їх різниця, і зберемо всі оператори зліва від символу перетворюється хвильової функції, використовуючи властивість асоціативності ермітових операторів:
Оператор
7.2.4. Ми підготувалися до дуже важливих висновків, а саме:
а) якщо підсумок двох послідовних вимірювань незалежний від порядку їх здійснення, то комутатор повинен бути нульовим:
Компактно це виглядає як:
б) якщо підсумок двох послідовних вимірювань все ж залежить від порядку їх виконання, то
Комутатор тут не дорівнює нулю:
7.2.5.1. При нульовому комутаторі
7.2.5.2. Якщо комутатор
Що ж має місце в природі насправді? Спробуємо отримати відповідь.
7.3.Соотношенія невизначеностей Гейзенберга.
7.3.1. Накопичена достатня інформація, щоб вирішити одну з найважливіших проблем квантової механіки, пов'язану з спільними вимірами динамічних змінних.
Досліджуємо, чи можна виміряти:
- Імпульс частинки, що знаходиться в певній точці простору;
- Момент імпульсу обертається частки в певній точці орбіти;
- Енергію системи в конкретний момент часу.
7.3.2. Вибір цих пар динамічних змінних не випадковий. Ці пари величин взаємно доповнюють один одного таким чином, що їх добуток має розмірністю циклічної константи Планка
Розмірність величини
7.3.3. Створюємо три комутатора
7.3.4. Перший комутатор побудуємо з оператора компоненти імпульсу і відповідної йому координати:
7.3.5. Другий комутатор побудуємо аналогічно з оператора моменту імпульсу і йому відповідної координати - кута повороту плоского ротатора:
7.3.6. Також і третій комутатор побудуємо з оператора енергії і часу. Залежний від часу гамільтоніан запозичуємо з тимчасового рівняння Шредінгера:
Перед Вами найбільш послідовний операторний висновок співвідношень невизначеностей Гейзенберга. Вони відносяться до числа фундаментальних законів природи.
7.3.7. Всі три комутатора не дорівнюють нулю, і їх чисельні значення уявні і рівні або
Квадрат модуля кожного з трьох комутаторів один і той же. У всіх випадках виходить
7.3.8. Це значення отримано найбільш строго і являє собою середньоквадратичний розкид, теоретично зумовлений для будь-якого експерименту, націленого на спільне вимір пар динамічних змінних.
Розкид порядку величини константи Планка
Так в певній точці лінійної траєкторії неможливо точно вказати величину імпульсу системи, і, навпаки, при точно фіксованому імпульсі системи неможливо вказати її точне положення.
У певній точці траєкторії криволінійного руху неможливо вказати вектор моменту імпульсу, але якщо момент імпульсу фіксований, то не можна вказати положення тіла на криволінійній траєкторії.
У точно визначений момент часу неможливо вказати енергію рухомого тіла, і навпаки, точне визначення енергії тіла не може бути прив'язане до певного моменту часу в еволюції системи.
7.3.9. У деяких задачах квантової механіки гамільтоніан вдається виразити через вищенаведені комутатори, а їх можна замінити просто уявним числом. У подібних завданнях вдається відшукати правила квантування енергії найбільш просто, і з такими випадками нам доведеться познайомитися пізніше.
У елементарної квантової теорії їх презентують також у вигляді творів граничних помилок, неминучих при спільних вимірах, а саме:
або як твір неминучих середньоквадратичних відхилень:
Читач, мабуть, зрозумів, що форма подання співвідношень Гейзенберга визначається лише способом обчислення похибок, але суть їх скрізь одна і та ж.
Корпускулярно-хвильова природа мікросвіту не допускає надмірно спрощених уявлень про локалізованих системах, «увіткнених, втиснутих» в матеріальні точки.
Світ насправді складається з елементів у достатній мірі делокалізовані, хоча вони і мізерно малі за нашими мірками. Первинне відчуття «дебелого» тієї чи іншої системи і виникає звідси її сприйняття можуть бути оманливі, і лише строгий аналіз фактів виключає помилки і помилки.
Але тим, хто все ж вирішив, що принцип Гейзенберга дозволяє помилятися, зауважимо, що це уявне право люди (особливо в тій чи іншій мірі причетні до влади) привласнюють і експлуатують куди частіше, ніж допускають закони природи (та й закони суспільства теж!) , і нагадаємо крилату фразу знаменитого пройдисвіта і циніка Талейрана: «... Це не злочин! Це набагато гірше! Це ж помилка! ».
При описі механічних рухів у системі частинок з номерами: {1,2, 3, ... n} можуть бути використані різні просторові змінні (прямокутні-декартові, косокутні, полярні (кульові, циліндричні або еліптичні). Їх повна сукупність, достатня для складання вичерпних рівнянь механіки в конкретній задачі, називається конфігураційним простором K. Координати можуть бути декартові {x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2, x 3, y 3, z 3, ... x n, y n, z n}, або полярні, наприклад, кульові {r 1, J 1, j 1, r 2, J 2, j 2, r 3, J 3, j 3, ... r n, J n, j n}, або будь-які інші - в загальному вигляді:
Постулат 1. Хвильова функція і її властивості (кінцівку, однозначність, безперервність і нормування)
Формулювання:
Будь-яке стан квантово-механічної системи описується функцією стану - хвильової функцією, заданої на різноманітті всіх змінних конфігураційного простору системи, і також часу:
Хвильові функції зобов'язані задовольняти декільком математичним вимогам. Вони повинні бути: 1) кінцеві, 2) однозначні, 3) неперервні, 4) нормування, тобто:
Область інтегрування охоплює весь можливий діапазон значень кожної змінної в усьому просторі K. Імовірнісний сенс хвильової функції:
Нормировка виявляється умовою підсумовування щільності ймовірності в усьому конфігураційному просторі. Квадрат модуля хвильової функції є щільністю ймовірності, з якою фізична система, перебуваючи в тому фізичному стані, що описується хвильовою функцією Y, розподілена по конфігураційному простору. Функції, що відповідають умовам 1, 2, 3 називаються регулярними.
Хвильова функція це математичний образ квантово-механічного стану фізичної системи. Звичайно ж, це функція механічного стану системи.
Постулат 2. Вимірювання фізичних величин та операторні рівняння на власні значення ермітових операторів
Формулювання:
Дозволеними значеннями динамічної змінної є ті, що є власними значеннями ермітової оператора даної динамічної змінної:
Операторні рівняння є математичними образами вимірювань. Оператори зручно розглядати як образів макроскопічних приладів. Вирази для операторів основних динамічних змінних. Оператор імпульсу і його rомпоненти (з формули біжучої хвилі де Бройля). Оператори координат і оператор потенційної енергії збігаються із самими цими змінними. Взаємозв'язок операторів різних динамічних змінних визначається тим, що вони відображають макроскопічне будову приладів. Оператори моменту імпульсу однієї частинки і його компонент мають вигляд
Причина класичної схеми взаємозв'язку криється в тому, що оператори є образами макроскопічно влаштованих приладів, а конструкційні компоненти яких підкоряються законам класичної (макроскопічної) фізики.
Стану та хвильові функції, що відповідають певним квантованим значенням фізично спостерігається величини - тим, які безпосередньо проявляються у вимірах, називаються чистими.
Постулат 3. Рівняння Шредінгера (тимчасове і стаціонарне)
Формулювання:
Хвильові функції, що описують можливі стану змінюється в часі фізичної системи, є рішеннями тимчасового рівняння Шредінгера:
Для стаціонарної системи рівняння Шредінгера приймає вигляд операторного рівняння на власні значення гамільтоніану:
Звернемося до стаціонарних системам. Введемо гамільтоніан, що не залежить від часу, і вийде стаціонарне рівняння Шредінгера. Виявимо сенс комплексного сполучення хвильових функцій як ознака механічної оборотності у часі рішень рівняння Шредінгера:
Результат (5.9) - це стаціонарне рівняння Шредінгера. Воно являє собою операторний вираз закону збереження енергії стаціонарної системи. Це чисто просторова частина загального рішення. Тимчасова частина описує періодичний процес.
Увага! Операція комплексного сполучення тимчасової компоненти хвильової функції полягає в заміні знаку перед аргументом - часом в показнику комплексної експоненти. Ця проста алгебраїчна операція абсолютно ідентична простій заміні знаку перед змінної часу. Виходить, що при зміні відліку часу на зворотне, не змінюються закони, яким лагодяться фізична система. Це найважливіший результат, який полягає в тому, що рівняння Шредінгера описує процеси, оборотні в часі.
Постулат 4. Суперпозиція станів. Стани чисті і змішані. Математичні та фізичні основи принципу суперпозиції
Формулювання 1 (скоріше математична):
Якщо дві хвильові функції f p і f q є рішеннями операторного рівняння на власні значення, то їх лінійна комбінація F = c p f p + c q f q також є його рішенням.
Витоки цього формулювання лежать в теорії диференціальних рівнянь.
Формулювання 2 (скоріше фізична):
Якщо система може перебувати в станах з хвильовими функціями f p і f q, то вона може знаходитися і в змозі з хвильової функцією F = c p f p + c q f q.
Витоки цього формулювання відбуваються з переконання, що до досвіду не можна передбачити, в якому стані перебуває система, а тому доводиться допустити для неї відразу всі можливості.
Мова про тих функціях, що сукупність яких утворює спектр власних функцій ермітових оператора (оператора динамічної змінної). Ця ситуація може бути поширена на будь-яке число власних функцій лінійного самосполучення оператора:
Цей постулат називається принципом суперпозиції станів і допускає узагальнення на будь-яке число власних функцій, що утворюють спектр ермітової оператора. Функції f k відповідають так званим чистим станам, а їх суперпозиція F - змішаного стану.
Постулат 5. Середні значення динамічних змінних. Математичні очікування для динамічних характеристик станів чистих і змішаних
Формулювання:
Середнє значення динамічної змінної, отриманий в результаті серії випробувань (вимірювань) збігається з математичним очікуванням динамічного оператора цієї змінної, яке обчислюється за формулою:
Для чистих станів це рівняння є формальним наслідком 2-го постулату, але для випадку змішаних станів ця формула постулюється і тим самим зводиться в ранг фізичного закону.
Постулат 6. Принцип Паулі
Формулювання:
Повна хвильова функція, колективу ідентичних ферміонів антисиметрична щодо перестановки будь-якої пари частинок між їх індивідуальними одночасткові станами.
Це властивість можна записати у вигляді
Про перестановною симетрії колективу частинок.
Зручно ввести оператор перестановки
Якщо заздалегідь обмовити, що завжди номери ідентичних частинок в колективі визначаються просто порядковим номером у ланцюжку-перерахування, то номер можна і не записувати в явній формі. У такому випадку записуючи в позиції частки символ якийсь хвильової функції, зручно вважати її символом стану, в який частка потрапляє.
Діючи на хвильову функцію, оператор перестановки рятує з неї власне значення, але при цьому примудряється її саме не змінювати. Перед нею просто виникає деяке число - власне значення цього оператора. Якщо ж оператор перестановки застосувати до хвильової функції колективу повторно, то обидві переставляються частинки повертаються на вихідні позиції - у вихідні стани, і хвильова функція зобов'язана звернутися знову сама в себе. Система повертається у вихідну ситуацію, і тому власне значення квадрата оператора перестановки дорівнює одиниці. Отримуємо рівності: