Лілія Тимофіївна Гіляровський, професор, доктор економічних наук, завідувачка кафедри бухгалтерського обліку та аналізу господарської діяльності Всеросійського заочного фінансово-економічного інституту.
Комерційні відносини в сучасному бізнесі пов'язані з прийняттям фінансових рішень, наприклад: при розрахунках прибутковості на ринку цінних паперів; оцінці прибутковості капіталовкладень в реальне виробництво; у зв'язку з необхідністю врахувати економічну нееквівалентність однакових сум грошей у різні календарні терміни, тобто тимчасову вартість грошей; при виявленні впливу інфляції на перераховані вище процеси.
Ділова людина повинна володіти як теорією, так і технікою прийняття фінансових рішень, використовуючи кількісні методи для отримання висновків про доцільність зробленого вибору вкладення капіталу. Фінансова математика набуває все більшу роль в економічному аналізі.
У даній публікації не розглядається складний математичний апарат обліку факторів невизначеності і ризику, що містить різні розділи теорії ймовірності та новітні моделі математичних теорій. Увага буде приділена простих способів визначення сучасної вартості грошей - дисконтуванню майбутніх сум на сьогодні, визначенню нарощеної суми вкладень, у тому числі в умовах інфляції, ерозії капіталу.
Розглянемо основну формулу нарощення простих відсотків, коли нарощена сума (I) розраховується з урахуванням того, що відсотки на відсотки не нараховуються, а нараховуються вони на одну і ту ж вихідну суму (S0). У цьому випадку алгоритм розрахунку нарощеної суми буде таким:
I = S0 * (1 + it),
де i - річна процентна ставка; t - число періодів нарахування відсотків.
Вихідна сума може бути розрахована як
S0 = I / (1 + it)
При розрахунку числа простих відсотків, виплачуваних банком, використовується алгоритм
i = (I / S0 - 1) * (1 / t)
Розглянемо застосування цих алгоритмів на умовному числовому прикладі.
У банк покладено 3000 руб. на термін один рік шість місяців. Ставка простих відсотків дорівнює 20% на рік. Визначимо нарощену суму через півтора року.
I = 3000 руб. * (1 + 0,2 * 1,5) = 3900 руб.
На основі наявних даних розрахуємо вихідну суму, якщо відомі сума нарощення і річна ставка простих відсотків і якщо вони невідомі:
S0 = 3900 руб. / (1 + 0,2 * 1,5) = 3000 руб.
i = (3900 / 3000 - 1) * (1 / 1,5) = 0,2 (20%)
Треба звернути увагу на те, що кредитору вигідніше видавати позику під простий дисконт, а не під простий відсоток. Простий дисконт (d) представляє собою процентний дохід, який віднімається з позики в момент її видачі. Порівняємо нарощену суму, яку треба повернути кредитору за умови видачі кредиту в однаковій сумі, але під простий відсоток - в одному випадку і під простий дисконт - в іншому.
Припустимо, що позика, що дорівнює 10 000 руб., Видана терміном на півроку під 20% простих річних. Простий дисконт також 20%. Тоді нарощена сума до повернення під простий відсоток складе
I = S0 (1 + it) = 1000 руб. * (1 + 0,2 * 0,5) = 11 000 руб.
Якщо позика отримана під простий дисконт при інших рівних умовах, то повернути треба буде більшу, ніж у першому випадку, суму:
I = S0 / (1 - it) = 10000 / (1 - 0,2 * 0,5) = 11 111 руб.
Щоб отримати на руки кредит у сумі 10000 руб. під простий дисконт, треба заборгувати кредитору велику суму, так як при видачі позики дисконт віднімається.
Оскільки простий відсоток являє собою відношення суми збільшення за якийсь термін до початкової сумі, це є ставка відсотка, ефективність вкладень, або інтерес кредитора (із зарубіжної термінології). Дисконт, або відносна знижка, - це відношення суми збільшення за певний термін до нарощеної сумі. У практичних фінансових розрахунках з використанням дисконту зручно застосовувати дисконт-фактор (V) - відношення початкової суми вкладень до нарощеної або різницю між одиницею і дисконтом за певний термін:
V = 1 - d (it) = S0 / I
Для розрахунку суми, яку клієнт отримає на руки, якщо за умовами кредитного договору позика видається під простий дисконт, треба передбачувану до повернення суму помножити на величину дисконт-фактора.
І в теорії, і на практиці постійно доводиться вирішувати питання про те, в якому співвідношенні знаходяться суми грошей, отримані в різні моменти часу. Розрахувати сучасну цінність суми грошей можна шляхом її дисконтування. Для визначення сучасної, або наведеної, цінності грошей можна скористатися алгоритмом:
S0 = I / (1 + i * t)
Розрахунок базується на алгоритмі обчислення суми нарощення, наведеному вище. При цьому увагу приймається можливість використання грошей шляхом інвестування в банк під простий річний відсоток. Річна ставка носить назву номінальної.
Дві або кілька наведених сум грошей вважаються еквівалентними, якщо їх сучасні цінності однакові. Еквівалентність наведених сум використовується для порівняння контрактів на отримання позики, а також при вирішенні питання про зміну умов такого роду операції.
Приклад. У першому контракті сума зобов'язання становить 20000 руб. виходячи з простих 30% на рік з виплатою 12000 руб. через два роки, інших 8000 руб. - Через п'ять років, тобто після закінчення контракту.
У другому контракті строком на чотири роки під той же простий відсоток повернення першої частини зобов'язання в сумі 7000 крб. передбачений через рік, а решти суми - через три роки від цього моменту.
Треба розрахувати суму боргу в другому контракті, яка буде повернена через три роки, за умови, що сучасні цінності потоків платежів в обох контрактах будуть однаковими, еквівалентними, тобто:
S (1) 1 + S (1) 2 = S (2) 1 + S (2) 2
де S (1) 1 і S (1) 2 - дисконтовані (наведені) суми в першому контракті;
S (2) 1 + S (2) 2 - дисконтовані (наведені) суми платежів у другому контракті.
Як нарощеної суми (I) приймається сума зобов'язання повернути борг, включаючи відсотки. Тоді приведена до справжнього моменту сума обов'язкового платежу складе:
S (1) 1 = 12000 руб. / (1 + 0,3 * 2) = 7500 руб.;
S (1) 2 = 8000 руб. / (1 + 0,3 * 5) = 3200 руб.;
S (2) 1 = 7000 руб. / (1 + 0,3 * 1) = 5384,6 руб.;
S (2) 2 = X руб. / (1 + 0,3 * 3) = X руб. / 1,9.
Контракти будуть еквівалентні, якщо буде виконано рівність:
7500 руб. + 3200 руб. = 5384,6 руб. + X руб. / 1,9.
Звідси X руб. = (7500 + 3200 - 5384,6) * 1,9 = 10099,3 крб.
З прикладу видно, що скорочення терміну платежу у другому контракті, дозволяє зменшити сумарні виплати. За першим контрактом вони складуть 20000 руб. (12000 + 8000), а по другому - 17099,3 руб. (7000 + 10099,3).
На практиці фінансові операції звичайно здійснюються з використанням складних відсотків. Кредитні взаємовідносини, здійснення довгострокових фінансово-кредитних операцій, оцінка інвестиційних проектів нерідко вимагають застосування математичних моделей безперервного нарахування відсотків, їх реінвестування, використання складних відсотків. Особливість процесу при цьому полягає в тому, що вихідна базова сума збільшується з кожним періодом нарахування, в той час як при використанні простих відсотків вона залишається незмінною. Нарощення по складних процентах здійснюється з прискоренням. Процес приєднання нарахованих відсотків до базової сумі носить назву капіталізації відсотків.
Нарощення по складних процентах описується геометричною прогресією. Множник нарощення буде виглядати як (1 + i) t. Нарощена сума обчислюється за алгоритмом:
St = S0 * (1 + i) t
де S0 - базова сума (сучасна вартість суми грошей); St - майбутнє значення суми грошей; i - річна процентна ставка; t - термін, після закінчення якого сучасне значення грошей зміниться.
Припустимо, що банк щорічно нараховує складні відсотки (30%) на вклад в сумі 100000 крб. Тоді нарощена сума через два роки складе
St = 100000 руб. * (1 + 0,3) 2 = 169 000 руб. Через чотири роки вона буде дорівнює St = 100000 руб. * (1 + 0,3) 4 = 285 610 руб.
Ставка складних відсотків звичайно вказується на рік (номінальна), хоча нараховуватися вони можуть частіше - кожне півріччя, квартал, місяць, навіть день. Тоді за кожен період годаставка складних відсотків буде дорівнює i / m де т - кількість разів нарахування відсотків на рік.
У цьому випадку алгоритми розрахунку нарощеної суми виглядають так:
St = S0 / (1 + i / m) tm
Доповнимо умови попереднього прикладу тим, що та ж річна ставка складних відсотків (30%) застосовується чотири рази на рік, тобто число нарахувань зростає. Тоді нарощена сума, наприклад, за два роки складе
St = 100000 руб. * (1 + 0,3 / 4) 2 * 4 = 100000 руб. * (1 + 0,075) 8 = 100000 руб. * 1,78348 = 178,348 тис.руб.
При нарахуванні один раз на рік нарощена сума за два роки, як ми бачили, склала лише 169000 руб.
При збільшенні числа періодів нарахування складних відсотків при одній і тій же річний ставкою за одне і те ж час нарощення сума буде зростати.
У фінансових розрахунках з використанням складних відсотків прийнято визначати ефективну ставку, тобто таку річну номінальну ставку складних відсотків, яка дає можливість отримати той же результат, як і при нарахуванні відсотків кілька разів у році. Рівність нарощених сум забезпечується тут рівністю первинних сум, періодів і множників нарощення.
Ефективна процентна ставка буде більше номінальної. Це видно із відповідних алгоритмів, де iеф - ефективна ставка. Множники нарощення повинні бути рівні
(1 + iеф) t = (1 + im / m) mt
Звідси ефективна ставка складе
iеф = (1 + im / m) mt - 1
Використовуючи наведений алгоритм, розрахуємо ефективну ставку складних відсотків при щоквартальному нарахуванні, якщо номінальна ставка - 20%, а період дорівнює року. Початкова сума - 300 тис. руб.
iеф = (1 +0,2 / 4) 4 - 1 = 0,2155 = 21,55%
Нарощена сума при цьому складе
St = S0 * (1 + iеф) t = 300 тис. руб. * (1 + 0,2155) = 364,65 тис. руб.
При нарахуванні складних відсотків чотири рази на рік отримаємо ту ж нарощену суму:
St = S0 / (1 + im / m) tm = 300 тис.руб. / (1 + 0,2 / 4) 4 = 300 * (1,5) 4 = 364,65 тис.руб.
У фінансових розрахунках повинна враховуватися інфляція, тим більше якщо вона значна. З одного боку, сума, покладена, наприклад, на депозит, одержить збільшення, а з іншого - втратить свою реальну вартість в результаті інфляції. Для визначення нарощеної суми з урахуванням інфляції використовують алгоритм
Sінф = S0 * (1 + im / m) t / (1 + h) t
де Sінф - нарощена сума з урахуванням інфляції; S0 - базова сума; im - річна номінальна банківська ставка, застосовувана m разв році; h - очікуваний місячний темп інфляції; t - число місяців.
Приклад. Припустимо, що на депозит покладена сума 800 тис. руб. (S0). Номінальна річна банківська ставка (im) дорівнює 48%. Складні відсотки нараховуються щомісяця, тобто річна номінальна ставка застосовується 12 разів на рік (m). Очікуваний місячний темп інфляції (h) дорівнює 10%. Визначимо нарощену суму (з урахуванням інфляції) через чотири місяці, а також ерозію капіталу (ЕК), або зменшення реальної вартості суми, покладеної на депозит (Sінф - S0):
Sінф = 800 тис.руб. * (1 + 0,48 / 12) 4 / (1 +0,1) 4 = 639,2 тис.руб.
Ерозія капіталу складе: 639,2 тис. руб. - 800 тис. руб. = -160,8 Тис. руб.
Найчастіше фінансові операції мають тривалий характер, складаються не з одного разового платежу, а з потоків платежів і нерідко з різними знаками. Як приклад можна навести: щорічні виплати відсотків по облігаціях, щомісячні внески на погашення споживчого кредиту, отримання щомісячних стипендій від благодійного фонду; орендні платежі; періодичні внески в банк для утворення страхового фонду та ін
У таких фінансових операціях виникає необхідність знайти нарощену суму потоку платежів або, навпаки, по нарощеній сумі визначити величину окремого платежу. Для цілого ряду фінансових розрахунків розроблені математичні моделі.