Федеральне агентство з освіти
Державне муніципальне освітній заклад
вищої професійної освіти
Вятський державний гуманітарний університет
(ВятГГУ)
Математичний факультет
Кафедра математичного аналізу і методики викладання математики
Випускна кваліфікаційна робота
Сингулярні інтеграли.
Виконала:
студентка V курсу
математичного факультету
Сколова Ірина Юріївна
____________________
Науковий керівник:
старший викладач кафедри математичного аналізу і МПМ
Гукасов Артур Костянтинович
____________________
Рецензент:
кандидат фізико-математичних наук, доцент
Підгірна Ірина Іссаковна
____________________
Допущена до захисту в ГАК
Зав. кафедрою ___________________ Крутіхін М. В.
«» _______________
Декан факультету ___________________ Варанкіна В. І.
«» _______________
Кіров 2005

Зміст

Введення ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... с. 3
§ 1. Поняття сингулярного інтегралу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... с. 6
§ 2. Представлення функції сингулярним інтегралом в заданій точці ... с. 11
§ 3. Застосування в теорії рядів Фур'є ............................................. ................ с. 18
§ 4. Сингулярний інтеграл Пуассона ............................................... ................. с. 23
Література ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... с. 27

Введення

Мета роботи - познайомитися з поняттям сингулярного інтегралу, розглянути подання функції сингулярним інтегралом в заданій точці і застосування в теорії рядів Фур'є.
Основне питання теорії сингулярних інтегралів полягає у встановленні зв'язку граничних значень інтеграла при зі значенням функції f (T) в точці x. Важливим також є питання про подання підсумовуваної функції сингулярним інтегралом в точках, де ця функція служить похідної свого невизначеного інтеграла, або в точках Лебега. Теорія сингулярних інтегралів має численні застосування. Наприклад, питання про збіжність ряду Фур'є дозволяється за допомогою сингулярного інтеграла.
У всьому подальшому інтеграл будемо розуміти в сенсі інтеграла Лебега. Нагадаємо, що функція називається підсумовуваної, якщо існує кінцевий інтеграл від цієї функції.
У роботі нам будуть необхідні такі визначення та теореми.
Визначення. Якщо в точці x буде і , То точка x називається точкою Лебега функції f (t).
Теорема (Н. Н. Лузін). Нехай f (X) вимірна і майже скрізь кінцева функція, задана на [a, b]. Яке б не було δ> 0, існує така безперервна функція , Що .
Якщо, зокрема, , То й .
Теорему Н. Н. Лузіна можна сформулювати й так: вимірна і майже скрізь кінцева функція стає безперервною, якщо знехтувати безліччю як завгодно малої заходи.
Визначення. Нехай дано вимірна множина E. Взявши довільну точку x і число h> 0, покладемо E ( , H) = E ∙ [ - H, + H]. Це теж вимірна множина.
Границя відношення при h → 0 називається щільністю безлічі E в точці і позначається через .
Визначення. Нехай функція f (X) задана на сегменті [a, b] і . Якщо існує таке вимірна множина E, що лежить на [a, b] і має точку точкою щільності, що f (X) уздовж E неперервна у точці , То говорять, що f (X) апроксимативних неперервна у точці .
Визначення. Вимірна функція f (X) називається функцією з підсумовувані квадратом, або функцією, підсумовуваної з квадратом, якщо
.
Безліч всіх функцій з підсумовувані квадратом позначається символом .
Визначення. Нехай на сегменті [a, b] задана кінцева функція f (X). Якщо кожному ε> 0 відповідає таке δ> 0, що для будь-якої кінцевої системи взаємно не перетинаються інтервалів , Для якої виявляється
, (3)
то кажуть, що функція f (X) абсолютно неперервна.
Не змінюючи сенсу визначення, можна умова (3) замінити більш важким умовою .
Визначення. Дві функції f (X) і g (x), задані на сегменті [a, b], називаються взаємно ортогональними, якщо .
Визначення. Функція f (X), задана на [a, b], називається нормальним, якщо .
Визначення. Система функцій , , , ..., Заданих на сегменті [a, b], називається ортонормального системою, якщо кожна функція системи унормована, а будь-які дві функції системи взаємно ортогональні.
Визначення. Нехай є ортонормального система і f (X) деяка функція із . Числа називаються коефіцієнтами Фур'є функції f (X) у системі .
Ряд називається рядом Фур'є функції f (X) у системі .

§ 1. Поняття сингулярного інтеграла

Щоб познайомитися з ідеєю, що лежить в основі поняття сингулярного інтегралу, почнемо з прикладу.
Розглянемо функцію
. (1)
Якщо n і x фіксовані, а t змінюється від 0 до 1, то ця функція є безперервна функція від t. Значить, для всякої підсумовуваної f (T) ( ) Можна утворити величину
. (2)
Доведемо, що у всякій точці x (0 <x <1), в якій функція f (t) неперервна, буде
. (3)
Для цього насамперед відзначимо, що при
. (4)
Тому, щоб встановити (3), досить показати, що при прагне до нуля різницю
.
Візьмемо довільне і знайдемо таке , Що при буде . Вважаючи, що , Уявімо у формі
.
Інтеграл оцінюється таким чином:
.
У інтегралі буде , Тому

,
де не залежить від n. Аналогічно і, отже, ,
так що при достатньо великих n буде , Т. е. прямує до 0 з зростанням n, що і вимагалося довести.
Співвідношення (3) забезпечують наступні властивості функції : При великих значеннях n ті значення , Які відповідають скільки-небудь помітно віддаленим від x значенням t, дуже малі, так що величина інтеграла (2) визначається в основному значеннями підінтегральної функції в безпосередній близькості точки x. Але близько точки x функція f (T) майже дорівнює f (X) (тому що вона неперервна при t = x). Значить, якщо n велике, то інтеграл (2) мало змінюється при заміні f (T) на f (X), тобто він майже дорівнює інтегралу

і, в силу (4), майже дорівнює f (X).
Функція , Що володіє подібними властивостями, носить назву ядра.
Визначення. Нехай функція (N = 1, 2, ...), задана в квадраті ( , ), Сумовних по t при кожному фіксованому x. Вона називається ядром, якщо за умови, що .

Визначення. Інтеграл виду , Де є ядро, називається сингулярним інтегралом.
У теорії сингулярних інтегралів дуже важливе питання встановлення зв'язку граничних значень інтеграла при зі значенням функції
f (T) в точці x. Так як зміна значення функції f (T) в одній точці ніяк не відбивається на величині , То необхідно зажадати, щоб значення f (X) функції f (T) в точці x було якось пов'язано з її значеннями в близьких точках. Найпростіша форма такого зв'язку є безперервність функції f (T) в точці t = x. Іншими формами зв'язку можуть служити апроксимативних безперервність, вимога, щоб x була точкою Лебега функції f (T), і т. п.
Теорема 1 (А. Лебег). Нехай на [a, b] задана послідовність вимірних функцій , , , ... Якщо існує така постійна K, що при всіх n і t буде
, (5)
і якщо при всякому c ( ) Буде
, (6)
те, якою б не була сумовних на [a, b] функція f (T), справедлива рівність
                                     .                             (7)
Доказ. Якщо є сегмент, що міститься в [a, b], то з (6) випливає, що
. (8)
Розглянемо безперервну функцію f (T), і для наперед заданого розкладемо [a, b] точками на настільки малі частини, щоб у кожній з них коливання f (T) було менше, ніж ε.
Тоді . (9)
Але , Так що перша сума з (9) не більше, ніж Kε (b - a). Друга ж сума (9), в силу (8), прагне до нуля зі зростанням n і для виявиться меншою, ніж ε. Для цих n буде
,
так що (7) доведено для неперервної функції f (t).
Нехай f (T) вимірна обмежена функція .
Візьмемо ε> 0 і, користуючись теоремою Н. Н. Лузіна, знайдемо таку безперервну функцію g (t), що , .
Тоді .
Але .
Інтеграл по вже доведеному прагне до нуля і для досить великих n стає менше ε. Значить, для цих n буде
,
що доводить (7) для випадку обмеженою вимірної функції.
Нехай f (T) довільна сумовних функцій.
Візьмемо ε> 0 і, користуючись абсолютної безперервністю інтеграла, знайдемо таке δ> 0, щоб для будь-якого вимірної множини з мірою me <δ було .
Зробивши це, знайдемо таку вимірну обмежену функцію g (t), щоб було . Це можливо за
Теоремі. Нехай на множині Е задана вимірна, майже скрізь кінцева функція f (X). Яке б не було ε> 0, існує вимірна обмежена функція g (x) така, що .  
Можна вважати, що на безлічі функція g (t) дорівнює нулю.
Тоді .
Але .
Інтеграл ж при досить великих n буде менше ε, і при цих n виявиться , Що і доводить теорему.
Приклад. Нехай . Тоді і . Отже виконані обидві умови теореми Лебега. Аналогічно розглядається випадок . Таким чином доведена
Теорема 2 (Ріман-Лебег). Для будь-підсумовуваної на [a, b] функції
  f (T) буде .
Зокрема, коефіцієнти Фур'є , довільної підсумовуваної функції прагнуть до нуля при .  
Якщо співвідношення (7) має місце для всякої підсумовуваної на [a, b] функції f (T), то ми будемо говорити, що послідовність слабко збігається до нуля.

§ 2. Представлення функції сингулярним інтегралом в заданій точці

У всьому подальшому будемо вважати, що ядро при фіксованих n і x обмежена. Тоді сингулярний інтеграл має сенс при будь-якій підсумовуваної функції f (T).
Теорема 1 (А. Лебег). Якщо при фіксованому x (a <x <b) і будь-якому δ> 0 ядро слабко збігається до нуля в кожному із проміжків [a, x - δ],
[X + δ, b] і , Де H (x) не залежить від n, то, якою б не була сумовних функцій f (T), безперервна в точці x, справедливо рівність
.
Доказ. Оскільки є ядро, то ,
і досить виявити, що
.
З цією метою, взявши ε> 0, знайдемо таке δ> 0, що при буде
.
Це можливо в силу безперервності функції f в точці x.
Тоді при будь-якому n .
Але кожен з інтегралів , при прагне до нуля, тому що слабко збігається до нуля в кожному із проміжків [a, x - δ], [x + δ, b]. Тому для кожен з них буде за абсолютною величиною менше ε / 3.
І для цих n виявиться , Що й потрібно було довести.
Ця теорема ставиться до подання підсумовуваної функції в точках безперервності, але сумовних функцій, взагалі кажучи, не має жодної точки безперервності, що знижує інтерес цієї теореми.
Більший інтерес представляє питання про подання підсумовуваної функції у тих точках, де ця функція служить похідної свого невизначеного інтеграла, або в точках Лебега, так як і ті й інші точки заповнюють майже весь сегмент завдання функції. Перейдемо до розгляду цього питання.
Лемма (І. П. Натансон). Нехай на сегменті [a, b] дана сумовних функцій f (T), має таку властивість, що
. (1)
Яка б не була невід'ємна спадна функція g (t), задана і сумовних на [a, b], інтеграл
(2)
існує (може бути як невласний при t = a) і справедливо нерівність
. (3)
Для пояснення умов леми зауважимо, що не виключається випадок, коли . Якщо ж , То функція g (t) обмежена, і інтеграл (2) існує як звичайний інтеграл Лебега.
Переходячи до доведення леми, зауважимо, що не обмежуючи спільності, можна прийняти, що g (b) = 0. Дійсно, якби це не було так, то можна було ввести замість g (t) функцію g * (t), визначивши її равенствами
g (t), якщо ,
g * (t) =
0, якщо t = b.
Довівши теорему для g * (t), ми потім змогли б усюди замінити g * (t) на g (t), тому що така заміна не відбивається на величині цікавлять нас інтегралів. Отже, вважаємо, що g (b) = 0.
Нехай a <α <b. На сегменті [α, b] функція g (t) обмежена, і інтеграл
(4)
завідомо існує. Якщо покласти , То інтеграл (4) можна записати у формі інтеграла Стілтьєса
,
звідки, після інтегрування по частинах, знаходимо
.
Але, в силу (1), ми маємо, що для будь-якого h з інтервалу [0, t - a] виконується нерівність і отже
, (5)
а так як g (t) убуває, то
. (6)
Значить . З іншого боку, функція - g (t) зростає. Звідси і з (5) випливає, що
.
Перетворимо стоїть праворуч інтеграл за формулою інтегрування частинами:
.
Звідси, враховуючи (6), випливає, що
.
Зіставляючи все сказане, отримуємо:
. (7)
Хоча це нерівність встановлено при припущенні, що g (b) = 0, але воно залишиться вірним і без цього припущення. Значить, можна замінити тут межа b на β, де α <β <b. Але тоді, спрямовуючи α і β до a, отримаємо ,
ніж доводиться існування інтеграла (2). Якщо в (7) перейти до межі при , То отримаємо (3). Лема доведена. (В оцінці (3) множника M зменшити не можна, тому що при f (T) = 1 в (3) досягається рівність.)
Теорема 2 (П. І. Романовський). Нехай ядро позитивно і володіє наступною властивістю: при фіксованих n і x ядро , Як функція одного лише t, зростає в сегменті [a, x] і убуває в сегменті
[X, b].
Тоді для будь-якої підсумовуваної функції f (T), яка в точці x є похідною свого невизначеного інтеграла, буде .

Доказ. Оскільки є ядро, то і достатньо перевірити, що .
Розбиваючи останній інтеграл на два, поширені на сегменті
[A, x] і [x, b], розглянемо другий з них, так як перший вивчається аналогічно.
Візьмемо ε> 0 і знайдемо таке δ> 0, що при буде
,
що можливо, так як f (T) в точці t = x є похідна свого невизначеного інтеграла. Тобто і .
Тоді за попередньою лемі
.
Так як є ядро, то .
Величина, що має кінцевий межа, обмежена. Значить, існує постійна K (x) така, що .
Таким чином,
.
З іншого боку, якщо , То
.
Значить функції на сегменті [x + δ, b] рівномірно обмежені і виконана умова (5) теореми Лебега з § 1. Але друге її умова, тобто умова (6), також виконано для цих функцій, оскільки є ядром. Отже на сегменті [x + δ, b] слабко збігається до нуля, і для досить великих n буде .
За цих n виявиться
,
так що
.
Теорема доведена.
Як приклад її застосування розглянемо інтеграл Вейєрштрасса .
Функція є ядро, оскільки при α <x <β
.
Ця функція позитивна, і вона зростає при і убуває при . Значить, для всякої буде в кожній точці x, де f (T) є похідна свого невизначеного інтеграла.
Визначення. Функція Ψ (t, x) називається горбатою мажоранту функції , Якщо і якщо Ψ (t, x) при фіксованому x зростає на сегменті [a, x] і убуває на сегменті [x, b].
Теорема 3 (Д. К. Фаддєєв). Якщо ядро при кожному n має таку горбату мажоранту , Що
,
де K (x) залежить лише від x, то для будь- , Що має точку t = x точкою Лебега, буде справедливо рівність
.
Доказ. Досить довести, що
.
Візьмемо ε> 0 і знайдемо таке δ> 0, що при буде
.
За лемі маємо
.
З іншого боку, в сегменті [x + δ, b] послідовність слабко збігається до нуля, оскільки при буде
.
Отже для досить великих n буде
.
За цих n виявиться ,
так що . Теорема доведена.     

§ 3. Застосування в теорії рядів Фур'є

У вступі ми вже визначили поняття ряду Фур'є функції f (X) з будь-ортонормального системі . Зокрема, якщо мова йде про тригонометричної системі
, (1)
то рядом Фур'є функції f (X) служить ряд
, (2)
де
, . (3)
У вступі припускали, що . Це припущення забезпечило існування коефіцієнтів Фур'є функції f (X) у будь-ортонормального системі. Але функції системи (1) обмежені. Тому коефіцієнти (3), а з ними і низка (2), можна утворити для будь-якої підсумовуваної функції.
Питання про збіжність ряду (2) наводиться до дослідження деякого сингулярного інтеграла. Якщо , То, в силу (3), .
Виведемо формулу для спрощення вирази в дужках. Для цього складемо рівності
(K = 0, 1, ..., n -1),
.
Це дає , Звідки слід рівність
, (4)
Користуючись цією формулою, додамо сумі вид
. (5)
Цей інтеграл є сингулярний інтеграл Діріхле.
Розглянемо питання про підсумовуванні ряду (2) за способом Чезаро. Цей спосіб полягає у знаходженні межі середнього арифметичного перший n сум :
. (6)
У разі збіжності ряду (2) в точці x послідовність сходиться до суми ряду, але ця послідовність може сходитися і тоді, коли ряд (2) розходиться.
Для дослідження перетворимо її за допомогою формули (5)
.
Але . (7)
Дійсно, складаючи рівності
(K = 0, 1, ..., n -1),
знаходимо , Звідки і слід (7).
За допомогою (7) отримуємо . (8)
Інтеграл (8) є сингулярний інтеграл Фейєра. Покажемо, що для нього виконані умови теореми Фаддеева.
Для цього розглянемо функцію f (T) = 1. Обчислюючи її коефіцієнти Фур'є за формулами (3), отримаємо (K = 1, 2, ...).
Значить, для цієї функції (N = 0, 1, 2, ...), а отже і .
Але висловлюючи інтегралом Фейєра, отримаємо, що
. (9)
Помітивши це, розглянемо точку . Нехай . Якщо , То , І, отже, , Де A (x, α) не залежить від n.
Звідси випливає, що .
Аналогічно переконаємося, що інтеграл прямує до нуля по проміжку [β, π]. Зіставляючи це з (9), знаходимо, що
,
так що функція є ядро.
Для цього ядра можна побудувати горбату мажоранту. Зауважимо, що . Звідси . Але .
Отже і
. (10)
З іншого боку, коли , То , Так що
. (11)
Так як , , То може бути і більшим, ніж . Але це несуттєво. Якщо покладемо , , То різниця між інтегралом Фейєра (8) і інтегралом

при зростанні n прямує до нуля (оскільки, наприклад, при буде ), Тому всі міркування можна вести для інтеграла .
З (10) і (11) випливає, що
.
Функція є горбата мажоранту ядра Фейєра.
Але , Тобто інтеграли від мажоранту обмежені числом, не залежних від n.
Отже, інтеграл Фейєра задовольняє умовам теореми
Д. К. Фаддеева. Звідси випливає
Теорема 1 (Л. Фейер - А. Лебег). Майже скрізь на [- π, π +] буде
(12).
Це співвідношення виконується в усіх точках Лебега і тим більше в усіх точках неперервності функції f (T), що лежать всередині [- π, π +].
Тригонометрична система повна. Це означає, що всяка функція , У якої всі коефіцієнти Фур'є (3) дорівнюють нулю, еквівалентна нулю. Позбудемося обмеження, що f (x) сумовних з квадратом. Справедлива наступна
Теорема 2. Якщо всі коефіцієнти Фур'є (3) підсумовуваної функції
f (X) дорівнюють нулю, то f (X) еквівалентна нулю.
         Справді, в цьому випадку і, отже, f (X) = 0 у всіх точках, де має місце (12), тобто майже скрізь.
Теорема 1 дозволяє робити деякі висловлювання і про поведінку сум . Для цього зауважимо, що
,
так що .
Звідси .

§ 4. Сингулярний інтеграл Пуассона

Нехай точка x є точка d підсумовуваної функції f (T), якщо в цій точці похідна невизначеного інтеграла функції f (T) дорівнює f (X) (причому ).
Інтеграл (0 <r <1) є сингулярний інтеграл Пуассона. Якщо x (- π <x <π) є точка d підсумовуваної функції f (T), то (П. Фату).
1) Доведемо, що - Ядро. Т. до ядро є 2π-періодичної функцією, то інтеграл від цієї функції, що розглядається на періоді, не залежить від x. Розглянемо при x = 0.
.
Для обчислення інтеграла використовуємо універсальну тригонометричну підстановку і отримаємо
. (1)
Позначимо , Тоді , А .
Вираз (1) дорівнюватиме


при 0 <r <1.
Отримали, що і - Ядро.
2) Доведемо, що .
, .
Тоді . Отже достатньо перевірити, що .
Знайдемо таке, що на інтервалі [x - , X] ядро зростає, а на [x, x + ] Убуває. Це можливо, тому що похідна функції змінює знак з плюса на мінус при переході через точку x: .
Візьмемо ε> 0 і знайдемо таке δ (0 <δ < ), Що при буде , Що можливо, так як x є точка d, тобто   f (T) в точці t = x є похідна свого невизначеного інтеграла.

Тоді по лемі І. П. Натансона
, Т. к. є ядро, і .
Таким чином, на інтервалі [x, x + δ] справедливо нерівність . На [x - δ, x] інтеграл розглядається аналогічно в силу симетричності ядра на інтервалі [x - δ, x + δ] відносно точки x.
Розглянемо за межами [x - δ, x + δ], тобто на
[- Π, x - δ,] і на [x + δ, π].
У цих випадках виконуються нерівності
, .
Тоді і .
Отже , Т. к. , І знаменник дробу не дорівнює нулю.
Аналогічно .
Тобто на інтервалах [- π, x - δ,] і [x + δ, π].
При r, досить близьких до 1, отримаємо
і .
За цих r виявиться ,
так що і .
Таким чином, доведено, що (0 <r <1) є сингулярний інтеграл.

Література

1. Натансон І. П. Теорія функцій дійсної змінної. - М.: Наука, 1974.
2. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональні ряди. -
3. Колмогоров А. Н., Фомін С. В. Елементи теорії функцій і функціонального аналізу. - М.: Наука, 1968.