Міністерство освіти і науки Російської Федерації
Курсова робота
З дисципліни: Вища математика
(Основи лінійного програмування)
На тему: Кратні інтеграли
Виконав: ______________
Викладач :___________
Дата ___________________
Оцінений _________________
Підпис ________________
ВОРОНІЖ 2008
Зміст
1 Кратні інтеграли
1.1 Подвійний інтеграл
1.2 Потрійний інтеграл
1.3 Кратні інтеграли в криволінійних координатах
1.4 Геометричні і фізичні додатки кратних інтегралів
2 Криволінійні та поверхневі інтеграли
2.1 Криволінійні інтеграли
2.2 Поверхневі інтеграли
2.3 Геометричні і фізичні додатки
Список використаної літератури
1 Кратні інтеграли
Подвійний інтеграл
Розглянемо в площині Оху замкнуту область D, обмежену лінією L. Розіб'ємо цю область якими-небудь лініями на п частин , А відповідні найбільші відстані між точками в кожній з цих частин позначимо d 1, d 2, ..., d n. Виберемо в кожній частині
точку Р i.
Нехай в області D задана функція z = f (x, y). Позначимо через f (P 1), f (P 2), ..., f (P n) значення цієї функції у вибраних точках і складемо суму творів виду f (P i) Δ S i:
, (1)
звану інтегральною сумою для функції f (x, y) в області D.
Якщо існує один і той же межа інтегральних сум (1) при і
, Що не залежить ні від способу розбиття області D на частини, ні від вибору точок P i в них, то він називається подвійним інтегралом від функції f (x, y) по області D і позначається
. (2)
Обчислення подвійного інтеграла по області D, обмеженої лініями x = a, x = b (A <b), де φ 1 (х) і φ 2 (х) неперервні на [a, b] (рис. 1) зводиться до послідовного обчислення двох визначених інтегралів, або так званого дворазового інтеграла:
Рис. 1
=
(3)
Потрійний інтеграл
Поняття потрійного інтеграла вводиться за аналогією з подвійним інтегралом.
Нехай в просторі задана деяка область V, обмежена замкнутою поверхнею S. Задамо в цій замкнутої області безперервну функцію f (x, y, z). Потім розіб'ємо область V на довільні частини Δ v i, вважаючи обсяг кожної частини рівним Δ v i, і складемо інтегральну суму виду
, (4)
Межа при інтегральних сум (11), не залежить від способу розбиття області V і вибору точок P i в кожній підобласті цій галузі, називається потрійним інтегралом від функції f (x, y, z) по області V:
. (5)
Потрійний інтеграл від функції f (x, y, z) по області V дорівнює триразовому інтегралу по тій же області:
. (6)
1.3 Кратні інтеграли в криволінійних координатах
Введемо на площині криволінійні координати, звані полярними. Виберемо точку О (полюс) і виходить з неї промінь (полярну вісь).
Рис. 2 Рис. 3
Координатами точки М (рис. 2) будуть довжина відрізка МО - полярний радіус ρ і кут φ між МО і полярною віссю: М (ρ, φ). Відзначимо, що для всіх точок площини, крім полюса, ρ> 0, а полярний кут φ будемо вважати позитивним при вимірюванні його в напрямі проти годинникової стрілки і негативним - при вимірюванні в протилежному напрямку.
Зв'язок між полярними і декартовими координатами точки М можна задати, якщо поєднати початок декартової системи координат з полюсом, а позитивну піввісь Ох - з полярною віссю (рис. 3). Тоді x = ρ cosφ, у = ρ sinφ. Звідси , Tg
.
Задамо в області D, обмеженої кривими ρ = Φ 1 (Φ) і ρ = Φ 2 (Φ), де φ 1 <φ <φ 2, безперервну функцію z = f (φ, ρ) (рис. 4).
Рис. 4
Тоді
(7)
У тривимірному просторі вводяться циліндричні та сферичні координати.
Циліндричні координати точки Р (ρ, φ, z) - це полярні координати ρ, φ проекції цієї точки на площину Про ху і аппликата даної точки z (мал. 5).
Рис.5 Рис.6
Формули переходу від циліндричних координат до декартовим можна задати наступним чином:
x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, z = z. (8)
У сферичних координатах положення точки в просторі визначається лінійної координатою r - відстанню від точки до початку декартової системи координат (або полюса сферичної системи), φ - полярним кутом між позитивною полуосью Ох і проекцією точки на площину Оху, і θ - кутом між позитивною полуосью осі Про z і відрізком OP (рис.6). При цьому
Задамо формули переходу від сферичних координат до декартовим:
x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ. (9)
Тоді формули переходу до циліндричних або сферичних координат в потрійному інтегралі будуть виглядати так:
, (10)
де F 1 і F 2 - функції, отримані при підстановці у функцію f замість x, y, z їх виразів через циліндричні (8) або сферичні (9) координати.
1.4 Геометричні і фізичні додатки кратних інтегралів
1) Площа плоскої області S: (11)
Приклад 1.
Знайти площу фігури D, обмеженої лініями
у = 2, у = 5.
Рішення.
Цю площу зручно обчислювати, вважаючи у зовнішньої змінної. Тоді межі області задаються рівняннями і
де обчислюється за допомогою інтегрування по частинах:
Отже,
2) Обсяг ціліндроіда, тобто тіла, обмеженого частиною поверхні S: z = f (x, y), обмеженою контуром L, проекцією D цієї поверхні на площину Оху і відрізками, паралельними осі Про z і з'єднують кожну точку контуру L з відповідною точкою площині Оху:
(12)
3) Площа частини криволінійної поверхні S, заданої рівнянням z = f (x, y), обмеженою контуром L:
(13)
де D - проекція S на площину Оху.
4) Момент інерції відносно початку координат Про матеріальну плоскої фігури D:
(14)
Приклад 2.
Знайти момент інерції однорідної круглої пластинки
(X - a) 2 + (y - b) 2 <4 b 2 щодо початку координат.
Рішення.
В силу однорідності пластинки покладемо її щільність γ (х, у) = 1.
Центр кола розташований в точці C (a, b), а його радіус дорівнює 2 b.
Рівняння кордонів пластинки мають вигляд
Обчислимо кожен з отриманих інтегралів окремо.
Для обчислення інтеграла I 1 зробимо заміну:
при x = a - 2b
при x = a + 2b
Для обчислення інтеграла I 2 перетворимо подинтегральную функцію за формулою різниці кубів:
Тоді
Отже,
Моменти інерції фігури D щодо осей Ох і Оу:
(15)
5) Маса плоскої фігури D змінної поверхневої щільності γ = γ (х, у):
(16)
Приклад 3.
Знайти масу пластинки D щільності γ = ух 3, якщо
Рішення.
Координати центру мас плоскої фігури змінної поверхневої щільності γ = γ (х, у):
(17)
Приклад 4.
Знайти центр ваги однорідної пластини D, обмеженої кривими у 2 = ах і
Рішення.
Так як пластина однорідна, тобто її щільність постійна, можна прийняти її за одиницю.
Тоді
Знайдемо масу пластини, а для цього визначимо абсциссу точки перетину обмежують її ліній:
Відповідно
6) Обсяг тіла V:
(18)
Приклад 5.
Знайти об'єм тіла V, обмеженого поверхнями
Рішення.
Знайдемо проекцію тіла на площину Оху (при цьому зауважимо, що площина проектується на цю площину у вигляді прямої х = 0):
Визначимо абсциссу точки перетину кривих у = х 2 і х + у = 2:
сторонній корінь. Тоді, використовуючи формулу (18), отримуємо:
7) Маса тіла V щільності γ = γ (x, y, z):
(19)
8) Моменти інерції тіла V щодо координатних осей і початку координат:
(20)
(21)
де γ (х, y, z) - щільність речовини.
Статичні моменти тіла відносно координатних площин Oyz, Oxz, Oxy:
(22)
9) Координати центру мас тіла:
II. Криволінійні та поверхневі інтеграли
Криволінійні інтеграли
Розглянемо на площині або в просторі криву L і функцію f, визначену в кожній точці цієї кривої. Розіб'ємо криву на частини Δ s i довжиною Δ s i і виберемо на кожній з частин точку M i. Назвемо d довжину найбільшого відрізка кривої: .
Криволінійним інтегралом першого роду від функції f по кривій L називається межа інтегральної суми , Що не залежить ні від способу розбиття кривої на відрізки, ні від вибору точок M i:
(24)
Якщо криву L можна задати параметрично:
x = φ (t), y = ψ (t), z = χ (t), t 0 ≤ t ≤ T,
то спосіб обчислення криволінійного інтеграла першого роду задається формулою
(25)
Зокрема, якщо крива L задана на площині явним чином:
у = φ (х), де х 1 ≤ х ≤ х 2, формула (40) перетвориться до виду:
. (26)
Тепер помножимо значення функції в точці M i не на довжину i-го відрізка, а на проекцію цього відрізка, скажімо, на вісь Ох, тобто на різницю x i - x i - 1 = Δ x i.
Якщо існує кінцевий межа при інтегральної суми
, Що не залежить від способу розбиття кривої на відрізки і вибору точок M i, то він називається криволінійним інтегралом другого роду від функції f (M) по кривій L і позначається
. (27)
Подібним чином можна визначити і криволінійні інтеграли 2-го роду виду
Якщо вздовж кривої L визначені функції P (M) = P (x, y, z), Q (M) = Q (x, y, z), R (M) = R (x, y, z), які можна вважати компонентами деякого вектора , І існують інтеграли
,
тоді їх суму називають криволінійним інтегралом другого роду (загального виду) і вважають
.
Якщо крива L задана параметричними рівняннями
x = φ (t), y = ψ (t), z = χ (t), α ≤ t ≤ β,
де φ, ψ, χ - безперервно диференціюються функції, то
. (28)
Зв'язок між подвійним інтегралом і криволінійним інтегралом 2-го роду задається формулою Гріна:
(29)
де L - замкнутий контур, а D - область, обмежена цим контуром.
Необхідними і достатніми умовами незалежності криволінійного інтеграла
від шляху інтегрування є:
. (30)
При виконанні умов (30) вираз Pdx + Qdy + Rdz є повним диференціалом деякої функції і. Це дозволяє звести обчислення криволінійного інтеграла до визначення різниці значень і в кінцевій і початкової точках контуру інтегрування, так як
При цьому функцію і можна знайти за формулою
(31)
де (x 0, y 0, z 0) - точка з області D, a C - довільна стала.
Поверхневі інтеграли
Розглянемо деяку поверхню S, обмежену контуром L, і розіб'ємо її на частини S 1, S 2, ..., S п (при цьому площа кожної частини теж позначимо S п). Нехай в кожній точці цієї поверхні задано значення функції f (x, y, z). Виберемо в кожній частині S i точку
M i (x i, y i, z i) і складемо інтегральну суму
Якщо існує кінцевий межа при цієї інтегральної суми, що не залежить від способу розбиття поверхні на частини і вибору точок M i, то він називається поверхневим інтегралом першого роду від функції f (M) = f (x, y, z) по поверхні S і позначається
. (32)
Якщо поверхня S задається явно, тобто рівнянням виду z = φ (x, y), обчислення поверхневого інтеграла 1-го роду зводиться до обчислення подвійного інтеграла:
(33)
де Ω - проекція поверхні S на площину Оху.
Розіб'ємо поверхню S на частини S 1, S 2, ..., S п, виберемо в кожній частині S i точку M i (x i, y i, z i), і помножимо f (M i) на площу D i проекції частини S i на площину Оху. Якщо існує кінцевий межа суми
,
не залежить від способу розбиття поверхні і вибору точок на ній, то він називається поверхневим інтегралом другого роду від функції f (M) з обраної стороні поверхні S і позначається
(34)
Подібним чином можна проектувати частини поверхні на координатні площини Про xz і О yz. Отримаємо два інших поверхневих інтеграла 2-го роду:
і
.
Розглянувши суму таких інтегралів по одній і тій же поверхні відповідно від функцій P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z), отримаємо поверхневий інтеграл другого роду загального вигляду:
(35)
Якщо D, D і D - проекції поверхні S на координатні площини Оху, Oxz і Oyz, то
(36)
Зв'язок між потрійним інтегралом по тривимірній області V і поверхневим інтегралом 2-го роду по замкнутій поверхні S, яка обмежує тіло V, задається формулою Гаусса-Остроградського:
(37)
де запис «S +» означає, що інтеграл, що стоїть праворуч, обчислюється по зовнішній стороні поверхні S.
Формула Стокса встановлює зв'язок між поверхневим інтегралом 1-го роду по поверхні σ і криволінійним інтегралом 2-го роду по обмежує її контуру λ з урахуванням орієнтації поверхні:
(38)
2.3 Геометричні і фізичні додатки
1) Довжина кривої.
Якщо підінтегральна функція f (x, y, z) ≡ 1, то з визначення криволінійного інтеграла 1-го роду отримуємо, що в цьому випадку він дорівнює довжині кривої, по якій ведеться інтегрування:
(39)
2) Маса кривої.
Вважаючи, що підінтегральна функція γ (x, y, z) визначає щільність кожної точки кривої, знайдемо масу кривої за формулою
(40)
Приклад 6.
Знайти масу кривої з лінійною щільністю заданої в полярних координатах рівнянням ρ = 4 φ, де
Рішення.
Використовуємо формулу (40) з урахуванням того, що крива задана в полярних координатах:
3) Моменти кривої l:
- (41)
статичні моменти плоскої кривої l щодо осей Ох і Оу;
- (42)
момент інерції просторової кривої відносно початку координат;
- (43)
моменти інерції кривої щодо координатних осей.
4) Координати центру мас кривої обчислюються за формулами
. (44)
5) Робота сили , Що діє на точку, що рухається по кривій (АВ):
, (45)
Приклад 7.
Обчислити роботу векторного поля вздовж відрізка прямій від точки А (-2; -3; 1) до точки В (1, 4, 2).
Рішення.
Знайдемо канонічні та параметричні рівняння прямої АВ:
Площа криволінійної поверхні, рівняння якої
z = f (x, y), можна знайти у вигляді:
(46)
(Ω - проекція S на площину Оху).
7) Маса поверхні
(47)
Приклад 8.
Знайти масу поверхні з поверхневою щільністю γ = 2 z 2 + 3.
Рішення.
На розглянутій поверхні
Тоді
Проекцією D цієї поверхні на координатну площину Оху є півкільце з межами у вигляді дуг концентричних кіл радіусів 3 та 4.
Застосовуючи формулу (47) і переходячи до полярних координат, отримаємо:
8) Моменти поверхні:
(48) статичні моменти поверхні щодо координатних площин O xy, O xz, O yz;
(49)
моменти інерції поверхні щодо координатних осей;
- (50)
моменти інерції поверхні щодо координатних площин;
- (51)
момент інерції поверхні щодо початку координат
Координати центру мас поверхні:
. (52)
Список використаної літератури
Фіхтенгольц Г.М. Курс диференціального й інтегрального числення. М.: Наука, 1999.
Кудрявцев Л.Д. Короткий курс математичного аналізу. М.: Наука, 2000.
Ільїн В.А., Позняк Е.Г. Математичний аналіз. М.: Наука, 1999.
Смирнов В.І. Курс вищої математики .- Т.2. М.: Наука, 2005.
Бугров Я.С., Нікольський С.М. Диференціальні рівняння. Кратні інтеграли. Ряди. Функції комплексної змінної. М.: Наука, 2001.
Піскунов Н.С. Диференціальне та інтегральне числення. - Т.2. М.: Наука, 2001.
Збірник завдань з математики для втузів. Спеціальні розділи математичного аналізу (під редекціей А. В. Єфімова і Б. П. Демидовича). - Т.2. М.: Наука, 2004.
Мишкіс А.Д. Лекції з вищої математики. М.: Наука, 2003.
Титаренко В.І., Виска Н.Д. Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли. Теорія поля. М.: МАТИ, 2006.