Варіант 2
Обчислити інтеграли
Перетворимо подинтегральной висловлювання з метою його безпосереднього інтегрування:
Знайдемо А і В:
Звідси видно що А і В є рішенням системи:
Вирішимо цю систему і знайдемо А і В:
Отже, A = 3 / 5, B = 7 / 5, знаючи ці коефіцієнти, обчислюємо інтеграл.
за допомогою заміни змінних
Введемо і візьмемо відповідний невизначений інтеграл:
Повертаємося до x:
Тепер обчислюємо визначений інтеграл:
Отже,
3. методом інтегрування по частинах
Отже,
II. Функції багатьох змінних
1. Знайти приватні похідні 1-го порядку
2. Дослідити на екстремум функцію
Знайдемо приватні похідні
Знайдемо всі стаціонарні точки функції, точки в яких повинні виконуватися умови: ,
Це рівносильно наступного:
Друга система не має речового кореня
t = 0 t = 1
y = 1 y =- 1
x = 1
M 0 (0, 0) і M 1 (1; 1) - стаціонарні точки даної функції.
Тепер визначимо характер цих стаціонарних точок.
Знайдемо приватні похідні другого порядку цієї функції.
У точці M0 (0, 0):
Так як <0, то екстремуму в точці M 0 (0, 0) немає.
У точці M1 (1; 1):
Так як > 0, A> 0, C> 0 то точка M 1 (1; 1) це точка екстремуму,
Причому цей екстремум-мінімум.
III. Вирішити диференціальні рівняння.
1. Вирішити рівняння з відокремлюваними змінними
Інтегруємо праву і ліву частини рівняння:
Після деяких перетворень висловлюємо рішення рівняння:
2. Вирішити лінійне рівняння 1-го порядку
Шукаємо розв'язок рівняння у вигляді добутку двох функцій:
При цьому:
Після підстановки у вихідне рівняння маємо:
Щоб коефіцієнт при u звернувся в 0, в якості v вибираємо функцію задовольняє рівнянню:
Знайдемо функцію u, яка повинна задовольняти рівнянню:
:
Рішення запишеться у вигляді:
3
Це неоднорідне лінійне диференціальне рівняння другого порядку. Його рішення шукаємо у вигляді:
, Де
- Спільне рішення відповідного однорідного рівняння,
- Приватне рішення.
Знайдемо
Вирішимо однорідне диференціальне рівняння
Характеристичне рівняння для нього:
Це квадратне рівняння
d = 36-100 =- 64 - дискримінант від'ємний, коріння комплексні:
k 1 = 3-4 i; k 2 = 3 +4 i
Загальне рішення, отже, має вигляд:
,
де - Константи.
Шукаємо приватне рішення. Функція вільного члена має вигляд:
, Де a = 2, b = 3, k = 1, p =- 6, q = 25
При цьому , Отже, приватне рішення шукаємо у вигляді:
Знаходимо його похідні першого і другого порядку і підставляємо в рівняння:
Для знаходження коефіцієнтів А і В вирішимо систему:
A = 0,07, B = 0,16
Таким чином, остаточне рішення рівняння має вигляд:
IV. Ряди
Дослідити на збіжність ряд з додатними членами
Розглянемо ряд:
Це степеневий ряд з основою меншим 1, а він свідомо сходиться.
Тепер порівняємо члени ряду з членами ряду
при n> 4, значить ряд
також сходиться.
Дослідити на абсолютну та умовну збіжність ряд:
Досліджуємо на абсолютну збіжність (збіжність ряду, що складається з модулів членів знакозмінного ряду) значить необхідна ознака збіжності виконується.
,
Порівняємо член цього ряду з членом завідомо розходиться гармонійного ряду:
, Отже наш ряд розходиться абсолютно.
Досліджуємо ряд на умовну збіжність:
Так як умови ознаки Лейбніца виконані
даний ряд сходиться умовно.
3. Знайти область збіжності функціонального ряду
, Перепишемо його у вигляді:
Член даного ряду є член статечного ряду, помножений на член гармонійного ряду.
Для розходиться гармонійного ряду виконується однак основна ознака збіжності (його член прямує до нуля), так що збіжність функціонального ряду визначається збіжністю статечного ряду:
, Причому при будь-якому x це буде знакопостоянний ряд.
C тепенно ж ряд сходиться коли його член по модулю <1:
Вирішуємо це модульне нерівність і знаходимо область збіжності функціонального ряду :
Отже, район збіжності функціонального ряду :