Рішення завдання розгону усталеного руху та уповільнення судна в процесі його експлуатації

Нижегородський Державний Технічний Університет

Кафедра: "Прикладна математика"

Курсова робота з інформатики

Тема: "Рішення завдання розгону усталеного руху та уповільнення судна в процесі його експлуатації (" Білорусь-В ")"

Виконав:

Студент

Ткачова Є.С.

Перевірила:

Жданова О.С.

Нижній Новгород

2009

Зміст

1. Постановка задачі та її математична модель

2. Методика та алгоритми розв'язання задач

3. Перша модельна задача

4. Друга модельна задача

5. Третя модельна задача

6. Зведена таблиця результатів і висновки

1. Постановка задачі та її математична модель.

1.1 Загальна задача опису динаміки розгону (гальмування) судна

З курсу теоретичної механіки відомо, що відповідно до принципу Даламбера несталого руху тіла описується другим законом Ньютона. Оскільки в даній задачі розраховується рух лише в напрямку однієї з осей координат, то достатньо записати рівняння руху в проекції на вісь Х і вирішувати його щодо швидкості V і пройденого за цією координаті шляху S.

1.2 Фізична і математична моделі несталого руху судна

Основним рівнянням завдання в цьому випадку є рівняння другого закону Ньютона в проекції на вісь координат X.

ma = F (1)

Тут:

m - маса тіла (судна);

а = dV / dt - прискорення тіла;

F - сума всіх сил, що діють на судно, в проекції на вісь X.

Рівнодійна сила F складається з двох сил:

R - опір руху судна;

Т - тяга руху (як правило, гребного гвинта).

З фізичних міркувань зрозуміло, що опір R залежить від швидкості руху (чим більше швидкість V, тим більше опір R) і спрямована проти швидкості V, тобто в негативному напрямку осі X. Тяга, створювана гребним гвинтом, також залежить від швидкості судна, але діє в протилежному напрямку силі опору R, тобто спрямована в позитивному напрямку осі X. Під час стоянки судна V = 0 b R (V) = 0.

Тяга, створювана гребним гвинтом, також залежить від швидкості руху судна, але діє в протилежному силі опору R напрямку, тобто спрямована протилежному напрямку осі Х.

З урахуванням сказаного, рівняння (1) можна записати у вигляді:

(2)

Таким чином, отримано звичайне диференціальне рівняння 1-го порядку щодо швидкості руху судна V.

Для визначення пройденого за час "розгону" шляху S до цього рівняння (2) необхідно додати рівняння dS / dt = V, що є визначенням поняття - "швидкість". Математична модель задачі записується у вигляді системи з двох диференціальних рівнянь 1-го порядку, записаних у канонічному вигляді:

(3)

Тут функції R (V) і T (V) є заданими і знаходяться з випробувань моделей судна і гребного гвинта. Як правило, ці функції задаються або графічно, або таблично.

Для вирішення системи рівнянь (3) необхідно задати початкові умови. Зазвичай вони задаються у вигляді t = 0 або V = Vn.

2. Методика та алгоритми розв'язання задачі

2.1 Формування функцій вихідних даних

У курсовій роботі вихідними даними є функції R (V) і T (V), які представлені в графічному вигляді. Рішенням цієї задачі є зняття контрольних точок з графіків (R (V) - 16-20 точок і T (V) - 8-10 точок) включаючи першу і останню і заповнення таблиць вихідних даних (розрахунки здійснюються в системі СІ).

2.2 Апроксимація вихідних даних

По сформованим таблиць цих функцій необхідно:

• вибрати клас апроксимуючої функції (якщо вибраний поліном, то необхідно вибрати його ступінь виходячи з виду кривої по характерних точках, вибраним з контрольних);

• визначити коефіцієнт апроксимації;

• розрахувати і вивести на дисплей графіки апроксимуючих функцій.

Модельна задача № 1. Лінійна апроксимація вихідних функцій R (V) і T (V) на всій ділянці по першій та останній точкам.

Модельна задача № 2. Кусково-лінійна апроксимація вихідних функцій R (V) (3 ділянки) і функції T (V) (2 ділянки).

Модельна задача № 3. Шматочки-нелінійна апроксимація вихідних функцій R (V) (не менше 3 ділянок) і T (V) на всій ділянці. Підібрати оптимальний варіант апроксимуючих функцій з урахуванням нерозривності функції на границях ділянок.

2.3 Еталонне аналітичне рішення системи диференціальних рівнянь

Для налагодження програми вирішення загальної (при довільних R (V) і T (V)) системи (3) доцільно задати ці функції у вигляді поліномів 1-го ступеня.

(4)

Тут коефіцієнти апроксимації знаходяться за методом інтерполяції по першій та останній точкам.

Підставляючи співвідношення (4) в систему (3) отримаємо:

_або (5)

де F 0 = T 0 - R 0, F 1 = T 1 - R 1.

Це найпростіше диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними:

₍₆₎

Рішення цього рівняння:

Тут початкові умови входять в межі інтегрування. Обчислюючи інтеграли, отримуємо:

Потенціюючи, отримуємо:

Це і є точне рішення рівняння (6). При t = 0 маємо V = VH, тобто початкова умова виконано автоматично. При розгоні коефіцієнт F 1 <0 і при отримуємо:

при F 1 <0 і при (7)

При налагодженні програми в загальному випадку отримується чисельне рішення з лінійними апроксимаціями T (V) і R (V) порівнюється з точним для перевірки правильності алгоритму рішення. На цьому етапі розрахунку будується графік залежності V = V (t) і графік чисельного рішення рівняння (6). Він збігаються із заданою точністю.

2.4 Обчислення кінетичної енергії

Для розрахунку кінетичної енергії витрачається на розгін судна використовується відоме співвідношення

Такий же розрахунок необхідно зробити для задачі гальмування.

Обчислення інтеграла проводиться одним з чисельних методів на підставі результатів, отриманих у третій модельної задачі.

Контрольні точки з графіків

3. Перша модельна задача

Знаходження кореня кроковим методом: