Розрахунок перехідних процесів в лінійних електричних колах з зосередженими параметрами

Міністерство Освіти України

Кафедра електротехніки

Курсова робота

з курсу "Теорія електричних та електронних кіл"

на тему "Розрахунок перехідних процесів в лінійних електричних колах з зосередженими параметрами"

Варіант № 12

Зміст курсової роботи

1. У електричного кола, (схема якої представлена на рис.1, а параметри ланцюга наведені в таблиці 1, причому R ₄ = R _3), відбувається перехідний процес. На вході ланцюга діє постійна напруга величиною Е _m.

2. Класичним методом розрахунку знайти вирази для миттєвих значень всіх струмів ланцюга та напружень на реактивних елементах після комутації. Побудувати графіки зміни цих величин в одних осях. Графіки зміни побудувати на інтервалі, рівному часу перехідного процесу t _nn.

Цей час визначити за такими формулами:

t _nn = або t _nn =

де λ _min - найменший з двох речових коріння;

δ - речовинна частина комплексного кореня.

3. Операторних методом розрахунку знайти вираз для струму в котушці індуктивності.

4. На вході ланцюга (рисунок 1) діє джерело, напруга якого змінюється за синусоїдальним законом

e (t) = E _m sin (ωt + φ).

Визначити вираз для миттєвого значення струму в котушці індуктивності.

Побудувати графік перехідного процесу струму котушки індуктивності.

5.На вході ланцюга, (малюнок 2) діє джерело, напруга якого змінюється за законом (заданий графіком 1). Знайти вираз для величини, зазначеної в 17-му стовпці таблиці вихідних даних (таблиця 1). Побудувати спільні графіки вимірювання заданої напруги і шуканої величини. У таблиці вихідних даних наведені абсолютні значення напруг U _0, U _1, U _2, U _3. Приймаючи значення часу: t ₁ = τ, t ₂ = 1,5 τ, t ₃ = 2τ, t ₄ = 2,5 τ.

Тут τ - постійна часу розглянутої ланцюга.

Таблиця 1:

Номер варіанта

Номер схеми

Параметри

джерела

Параметри

ланцюга

Параметри джерела

для інтеграла Дюамеля

Номер схеми за рисунком 2

Досліджувана

величина ƒ (t)

Напруга

U, В

Частота

ƒ, Гц

Поч.

фаза

φ, град.

Ом

мгн

мкФ

№ графіка

Uо

100

UR2

Малюнок 1:

Малюнок 2:

Графік 1:

1 етап курсової роботи

Розрахунок ланцюга з двома реактивними елементами у перехідних процесах класичним методом

1 етап

Запишемо початкові умови в момент часу t _(-0)

i _{2 (-0)} = i _{1 (-0)} = = = 1.52 (A)

U _{c (-0)} = i ^_2. R ₂ = U _{c (+0)}

Напишемо рівняння за законами Кірхгофа для ланцюга:

i _{1-i 2-i c} = 0 (1)

i ^_1. R ₁ + i ^_2. R ₂ + L = U (2)

i ^_1. R ₁ + U _c = U (3)

З (2) рівняння висловимо i ₁

i ₁ = (2.1)

i ₁ з рівняння (2.1) підставимо в (1) і висловимо i _c

i _c = (1.1)

i ₁ підставимо в (3) і висловимо U _c

U = (3)

U _c = UU-i ^_2. R ₂ - (3)

U _c = i ^_2. R ₂ + (3.1)

U _c = (3.2)

Підставимо в місце U _c і i _c в уревненіе (3.2), отримаємо:

(3.3)

Продиференціюємо рівняння (3.3) і розкриємо дужки:

(3.4)

У диференціальному рівнянні (3.4) наведемо подібні слогани:

2 етап

У другому етапі ми вирішимо диференціальне рівняння відносно i _2, для цього ми представимо i ₂ як суму двох складових i _2св - вільна складова і i _2вин - вимушений складова

i ₂ = i _2св + i _2вин

i _2вин знайдемо за схемою

i _2вин =

i _2св знайдемо з диференціального рівняння підставивши чисельні значення рівняння і замінивши через l, а через l ² отримаємо:

L l ² + R ₂ l + l + = 0 (3.5)

Вирішимо характеристичне рівняння (3.5) знайшовши його коріння l ₁ і l ₂

0.1 l ² +10 l + l +

15384,6 +153,85 l +40000 +10 l +0,1 l ² = 0

Д = b ^2-4ac = (163,85) ^{2 -4. 0,1.} 55384,6 = 26846,82-22153,84 = 4692,98

l _1,2 = ; ; l ₁ l ₂ - речові

l ₁ =

l ₂ =

i _2св = А ₁ ^е-477t + А ₂ ^е-1162t (3.6)

i ₂ = 1.94 + А ₁ ^е-477t + А ₂ ^е-1162t (3.7)

3 етап

Знайдемо А ₁ і А ₂ виходячи з початкових умов, законів комутації і на підставі системи рівнянь Кігхгофа записаних на 1 етапі.

Знайдемо струм i ₂ для моменту часу t = +0. Для цього продиференціюємо рівняння (3.6) при t = 0.

i _{2 (+0)} = i _{2вин (+0)} + А ₁ + А ₂

-477 А ₁ -1162 А ₂

З рівняння (2) знайдемо для моменту часу t +0

(3.8)

З рівняння (3) виразимо i ₁ для моменту часу t +0 при U _c = i ₂ R ₂

i ₁ = (3.9)

Знайдемо підставивши значення i ₁ з рівняння (3.9) в рівняння (3.8)

(4.0)

Підставимо значення , I _{2 (+0),} i _2вин в систему і знайдемо коефіцієнти А ₁ і А ₂

1,52 = 1,94 + А ₁ + А ₂ (4.1)

2 =- 477 А ₁ -1162 А ₂ (4.2)

З рівняння (4.1) виразимо A ₁ і підставимо в (4.2)

А ₁ =- 0,42-А ₂

2 =- 477 (-0,42-А _{2)-1162А 2} (4.3)

З рівняння (4.3) знайдемо А ₂

2 = 200,34 +477 А _{2-1162А 2}

2 = 200,34-685А ₂

А ₂ =

А ₁ =- 0,42-0,29 =- 0,71

Підставимо знайдені коефіцієнти А ₁ і А ₂ у рівняння (3.7)

i ₂ = 1,94-0,71 ^е-477t +0,29 ^е-1162t (А)

4 етап

Визначаємо інші змінні ланцюга U _L, U _c, i _c, i ₁

U _L = (В)

U _c = + I ₂ R ₂ =

= (В)

i _c = (А)

i ₁ = i _c + i ₂ = (0,044 ^е-477t +0,014 ^е-1162t) + (1,94-0,71 ^е-477t +0,29 ^е-1162t) =

= 1,94-0,666 ^е-477t +0,304 ^е-1162t (А)

Побудуємо графіки зміни знайдених величин в одних осях. Графіки зміни побудуємо на інтервалі, рівному часу перехідного процесу t _nn.

Цей час визначимо за формулою:

t _nn =

Знайдемо t _пп час перехідного процесу

t _пп = (С)

Таблиця змінних

Час перехідного процесу tnn (c)

Значення струму

(A)

Значення струму

(A)

Значення струму

(A)

Значення напруги

(B)

Значення напруги

(B)
0.000	1.578	1.520	0.058	0.20	15.22
0.001	1.622	1.590	0.032	10.49	16.95
0.002	1.713	1.695	0.018	9.75	17.92
0.003	1.790	1.779	0.011	7.07	18.50
0.004	1.844	1.837	0.006	4.70	18.84
0.005	1.879	1.875	0.004	3.02	19.06
0.006	1.902	1.899	0.0025	1.90	19.19
0.0063	1.907	1.905	0.0022	1.65	19.21

Рисунок 3 - Графік струмів

де

i ₁ i ₂ i _c

Рисунок 4 - Графік напруг

де

U _L U _C

2 етап курсової роботи

2. Знайдемо вираз для струму в котушці при дії в ланцюзі джерела синусоїдальної напруги:

e (t) = E _m sin (w t + j)

R ₁

де E _m = 100 (B)

w = 2 p f = 2 3,14 50 = 314 (Гц)

j = 30 ⁰

R ₁ = R ₂ = 10 (Ом) L = 100 (мгн)

R ₃ = 9 (Ом) С = 100 (мкФ)

w = 314 (Гц)

X _L = w L = ^314. 0,1 = 31,4 (Ом)

X _C = (Ом)

Знайдемо початкові умова:

U (t) = U _m sin (w t + j) = 100sin (314 +30);

U _m = 100e ^j30 = 86,603 + j50 (В)

U _{C (-0)} = 0 (B)

Знайдемо повний опір ланцюга

Z _п = R ₁ + R ₃ + jX _L = 10 +9 + j31, 4 = 19 + j31, 4 (Ом)

Знаючи опір і напруга знайдемо I _3m

I _3m = I _1m = (А)

Знайдемо миттєве значення струму

i ₃ (t) = I _3m sin (w t + j) = 2.725sin (314t-28.82) (A)

Для часу t = 0 струм буде дорівнює

i _{3 (-0)} = 2.725sin (-28.82) =- 1.314 (A) 6 (A)

Таким чином

U _{C (-0)} = U _{C (+0)} = 0 (B)

i _{3 (-0)} = i _{3 (+0)} =- 1.314 (A)

1 етап

Напишемо рівняння за законами Кірхгофа для ланцюга:

i _{1-i 2-i 3} = 0 (1 ^/)

i ^_1. R ₁ + i ^_3. R ₃ + L = U (t) (2 ^/)

i ^_1. R ₁ + i ^_2. R ₂ + U _c = U (t) (3 ^/)

З (2 ^/) рівняння висловимо i ₁

i ₁ = (2 ^/ .1)

i ₁ з рівняння (2 ^/ .1) підставимо в (1 ^/) і висловимо i ₂

i ₂ = (1 ^/ .1)

U (t) = U (t) - i ^_3. R _3-L + R ₂

- (3.1)

Продиференціюємо рівняння (3.1) розкриємо дужки і наведемо подібні доданки:

(3.2)

2 етап

Вид рішення для i _3св при дії в ланцюзі джерел постійного і змінного напруг однаковий, тому що в однорідному диференціальному рівнянні відсутній параметр U, а значить, вид i _3св не залежить від вхідної напруги.

Таким чином, вираз, яке було знайдено в 1етап, буде мати наступний вигляд:

i _3св = А ₁ ^е-406t + А ₂ ^е-234t

Тепер знайдемо вимушену складову струму котушки i _3вин

i _3вин знаходимо для ланцюга в послекоммутаціонном режимі. Розрахунок параметрів схеми при дії e (t);

Знайдемо вимушену складову амплітудного струму I _1, а для цього знайдемо Z _{п вин} опір ланцюга:

Z _п _вин = (Ом)

I _1m = (A)

Знайдемо U _{ab вин}

U _{ab m} = I _1m (В)

I _{3 m} = (A)

Знайдемо i _{3 вин}

I ₃ _вин = I _{3 m} sin (w t + j) = 2.607sin (314t-43.60) (A)

Таким чином

i ₃ = 2.607sin (314t-43.60) + А ₁ ^е-406t + А ₂ ^е-234t

3 ^/ етап

Знайдемо А ₁ і А ₂ виходячи з початкових умов, законів комутації і на підставі системи рівнянь Кігхгофа записаних на 1 ^/ етапі.

i ₃ = 2.607sin (314t-43.60) + А ₁ ^е-406t + А ₂ ^е-234t

i _{3 (+0)} = i _{3 (-0)} =- 1.314 (A)

i _{3 (+0)} = 2.607sin (-43.60) + A ₁ + A ₂ =- 1.798 + A ₁ + A ₂

R ₁ i ₁ = U (t)-R ₂ i _{2-U C}

Підставимо значення , I _{3 (+0),} і знайдемо коефіцієнти А ₁ і А ₂ для часу t +0

-1.314 =- 1.798 + A ₁ + A ₂

433.96 = 592/806-406A _{1-234A 2}

A ₁ =- 1.314 +1.798-A ₂ = 0.484-A ₂

433.96 = 592.806-406 (-0.484-A ₂₎ -234 A ₂

433.96-592.806 ^+406. 0.484 = A ₂ (406-234)

37.658 = 172A ₂ A ₂ = 0.219

A ₁ = 0.265

Струм i ₃ буде дорівнювати

I ₃ = 2.607sin (314t-43.60 ⁰⁾ +0.265 ^е-406t +0.219 ^е-234t (A)

Таблиця змінних

Час t, c	0.000	0.001	0.002	0.003	0.004	0.005	0.006	0.0063
Струм i2, A

1.115

1.327

1.528

1.671

1.7428

1.7430

1.6745

1.6413

3 етап курсової роботи

Знайдемо вираз для струму котушки операторних методом:

R ₁ R ₂

Запишемо початкові умови в момент часу t _(-0)

I _{3 (-0)} = = = 5.263 (A)

U _{c (-0)} = 0 (В)

Намалюємо схему заміщення ланцюга для розрахунку струму котушки операторних методом.

У гілки з реактивними елементами додамо ЕРС, так як у нас не нульові початкові умови. Причому в гілку котушки з на правлінню струму, а в гілку конденсатора проти струму.

Визначимо операторний зображення струму котушки. Для цього складемо систему рівнянь за законами Кірхгофа, напрям ЕРС котушки указанo на схемі.

I _{1 (p)-I 2 (p)-I C (p)} = 0 (1.3)

(2.3)

(3.3)

З рівняння (2.3) виразимо струм I ₁ (p) і підставимо в рівняння (3.3):

З рівняння (3.3)

(2.3.1)

(2.3.2)

Підставимо чисельні значення елементів

За отриманим зображенню знайдемо оригінал струму.

Операторний рішення струму має вигляд правильний дріб I = . Оригінал струму знайдемо за допомогою теореми розкладання.

Визначимо коріння прапори теля, для цього прийнявши його рівним нулю.

p ₁ = 0

0,000065 p ^два +0,1065 p +36 = 0

Д = (0б1065) ^{2 -4. 0,000065.} 36 = 0,0019

I ₂ (p) =

Знайдемо A ₁ A ₂ A ₃

Коефіцієнт A _n будемо шукати у вигляді, де N (p) - чисельник, а M (p) - знаменник

A ₁ =

A ₂ =

A ₃ =

Таким чином, i ₂ (t) буде дорівнювати

i ₂ (t) = A ^_1. exp (p ₁ t) + A ^_2. exp (p ₂ t) + A ^_3. exp (p ₃ t) = 1,944-0,71 ^e-477t +0,3 ^e-1162t

Бажаємий струм котушки i ₂ дорівнює:

i ₂ = 1,944-0,71 ^e-477t +0,3 ^e-1162t (A)

Струми сходяться.

4 етап курсової роботи

Накреслимо схему для розрахунку ланцюга інтегралом Дюамеля і розрахуємо її

Визначимо перехідну характеристику h ¹ (t) ланцюга по напрузі U _R2. Для цього розрахуємо схему при підключенні ланцюга в початковий момент t = 0 до джерела одиничного напруги. Розрахуємо схему класичним методом. Так як нульові початкові умови U _{C (-0)} = U _{C (+0)} = 0, це означає додаткових ЄДС не буде.

Напишемо рівняння за законами Кірхгофа для ланцюга:

i _{1-i 2-i c} = 0