Простори Соболєва

Введення

Простори Соболєва і тісно пов'язане з ним поняття узагальненої похідної в сенсі Соболєва були введені в математичну практику академіком С.Л. Соболєвим і грають найважливішу роль в теоретичних і прикладних питаннях математичної фізики та функціонального аналізу. Поповнення простору гладких функцій деякими ідеальними елементами, які можна з будь-яким ступенем точності обчислити за допомогою елементів з призводить, з одного боку, внаслідок повноти до точності і завершеності багатьох математичних тверджень, а з іншого боку, зберігає всі обчислювальні можливості.

1. Простори Соболєва

1.1 Загальне визначення

Нехай у задана замкнута обмежена область Розглянемо лінійне простір речових функцій раз безперервно диференційовних на Дифференцируемость на замкнутої області можна розуміти в різних значеннях. Ми будемо припускати, що в функції раз безперервно діфференцируєми, причому кожна приватна похідна функції має межу при прагненні до будь-якої граничної точці області так що в результаті її продовження на вона стає безперервною Кордон області передбачається досить гладкою. Крім того, зазвичай ми будемо вважати область однозв'язна і задовольняє таким додатковим обмеженням, які можуть знадобитися в тих чи інших міркуваннях.

Скористаємося для стислості наступними позначеннями. Набір індексів називається мультііндексом. Число називається довжиною мультііндекса. Для позначення приватних похідних приймемо

Введемо в розглянутому вище лінійному просторі норму

(1.1)

Отримане нормоване простір позначається Його поповнення в нормі (1.1) позначається і називається простором Соболєва.

У прикладних задачах досить часто зустрічається випадок Загальноприйнято наступне позначення: Простір Соболєва є гільбертовому просторі - поповненням простору в нормі, породженої скалярним добутком

Нижче ми докладніше зупинимося на окремих випадках і тобто розглянемо простору Соболєва на речовій осі і в тривимірному просторі.

1.2 Простір

Розглянемо на відрізку простір складається з різноманітних функцій безперервно диференційовних на зі скалярним добутком

(1.2)

і відповідної цьому скалярному добутку нормою

(1.3)

є поповненням в цій нормі. Елементами згідно теоремі про поповнення, є класи, що складаються з послідовностей фундаментальних в в середньому, точніше, таких, що

при

Дві такі послідовності і належать одному класу, якщо є нескінченно малою за нормою тобто, якщо

при

З умови фундаментальності в середньому в випливає, що окремо при

Аналогічно, з умови еквівалентності і за нормою випливає, що при

Згідно з визначенням простору існують функції і такі, що при а в середньому.

Ми приходимо до наступного найважливішого визначенням. Нехай Тоді в визначені елемент з представником і елемент з представником називається узагальненої похідної (в сенсі Соболєва) від При цьому пишуть:

З визначення узагальненої похідної видно, що вона визначається не локально, в окремих точках, а глобально - відразу на всьому відрізку Нехай так що Перейдемо до межі при в равенствах

(1.4)

(1.5)

і, згідно теоремі про поповнення та визначення інтеграла Лебега, прийдемо до формул (1.2) і (1.3), де тепер похідні розуміються в узагальненому сенсі, а інтеграл - в сенсі Лебега. Для конкретних обчислень, зрозуміло, можна і потрібно користуватися формулами (1.4) і (1.5), взявши чималу тобто замість ідеальних елементів скористатися їх гладкими наближеннями

1.3 Інше визначення узагальненої похідної

Нехай - Множина всіх безперервно диференційовних на відрізку фінітних функцій Якщо тепер безперервно дифференцируема на відрізку то для довільної функції справедливо наступне інтегральне тотожність:

(1.6)

проверяемое інтегруванням по частинах. Цим тотожністю повністю визначається.

Припустимо, що, крім того, для будь-яких і деякої неперервної на відрізку функції

(1.7)

Віднімаючи ці тотожності, отримаємо, що для будь-яких

Звідси, внаслідок щільності в на відрізку Виявляється, інтегральне тотожність (1.7) можна прийняти за визначення узагальненої похідної. Перш за все, справедлива наступна лема.

Лемма 1. Якщо то для будь-яких справедливо тотожність (1.6).

Доказ. Нехай тоді для всіх маємо (1.6):

Внаслідок властивості безперервності скалярного твору в останньому рівність можна перейти до межі при В результаті ми отримаємо тотожність (1.6) для будь-якої функції Лемма доведена.

Лемма 2. Нехай дано такі, що для всіх справедливо тотожність (1.7). Тоді (Узагальнена похідна).

Доказ. Нехай а Тоді

при

для будь-якого

Нехай - Клас, представником якого є

Тоді для будь-яких Звідси Лемма доведена.

1.4 Найпростіша теорема вкладення

Теорема 1. вкладено в

Доказ. Нехай безперервно дифференцируема на відрізку Згідно теоремі про середню, внаслідок безперервності знайдеться точка така, що Тому на відрізку справедливо наступне тотожність:

За допомогою нерівності Коші-Буняковського маємо

де Отже, для будь безперервно диференціюється на відрізку функції справедливо нерівність

(1.8)

Нехай тепер послідовність - Фундаментальна за нормою Тоді

при Отже, фундаментальна в сенсі рівномірної збіжності та, за критерієм Коші рівномірної збіжності, сходиться до Тим більше в середньому. Таким чином, у класі з містить в якості представника, міститься безперервна функція і, значить, цей клас можна ототожнити з Ототожнив елементи з безперервними функціями. Нехай Переходячи в нерівності до межі при прийдемо до нерівності (1.8).

Отже, вкладення в доведено. Доказ теореми закінчено.

1.5 Простори Соболєва і

Нехай - Однозв'язна область з досить гладкою кордоном У замкнутій області розглянемо лінійний простір всіляких безперервно диференційовних функцій зі скалярним добутком

При цьому

(1.9)

Отримане простір зі скалярним добутком позначається а його поповнення - це, за визначенням, простір Соболева

Нехай - Фундаментальна послідовність у тобто при Звідси випливає, що в будуть фундаментальними послідовності

Внаслідок повноти в є елементи, які ми позначимо

так що при в середньому

Елементи називаються узагальненими приватними похідними елемента

Скалярний твір і норма задаються в тими ж формулами, що і в в яких тепер похідні узагальнені, а інтеграція розуміється в сенсі Лебега. Введемо в розгляд простір Цей простір є поповненням у нормі

(1.10)

лінійного простору функцій, безперервно диференційовних на і таких, що є гільбертовому просторі зі скалярним добутком

Лемма 3. Якщо а то

Доказ. Досить довести першу з цих формул. Вона справедлива, якщо а Нехай - Фундаментальна в послідовність, межа якої - елемент Переходячи в тотожність до межі при отримаємо для будь Дійсно, з збіжності в випливає, що

тобто безперервність скалярного твору.

Нехай тепер - Фундаментальна послідовність у Перейдемо до межі в тотожність і отримаємо вихідне тотожність.

Слідство. міститься строго всередині

Дійсно, функція Але інакше ми мали б тобто для будь Візьмемо і отримаємо протиріччя.

Теорема 2 (Фрідріхс). Існує постійна така, що для будь-яких

Доказ. За самим визначенням всякий елемент з належить Нехай і сходиться в до

Побудуємо куб містить область Опції доопределить нулем в Приватна похідна існує всюди в за винятком, можливо, тих точок, в яких пряма, паралельна осі абсцис, перетинає кордон області Для будь-якої точки маємо

По нерівності Коші-Буняковського

Інтегруючи отримане нерівність по знаходимо

Так як поза то

Переходячи до межі при приходимо до доказуваному нерівності Фрідріхса.

Слідство 1. Простір вкладено в

Ця пропозиція безпосередньо випливає з визначення вкладення банахових просторів і нерівності Фрідріхса.

Наслідок 2. В норми (1.9) і (1.10) еквівалентні.

Дійсно, використовуючи нерівність Фрідріхса, маємо

2. Застосування просторів Соболєва в математичній фізиці

2.1 Доказ існування та єдиності узагальненого розв'язку рівняння Лапласа

Теорема 3 (Рісс). Нехай - Гільбертовому просторі. Для будь-якого лінійного обмеженого функціоналу заданого всюди на існує єдиний елемент такий, що для всіх

При цьому

Доказ наведено в [1, стор 171].

Теорема Рісса ефективно застосовується в теорії розв'язання граничних задач для рівнянь з приватними похідними. Будемо говорити, що Гільбертів простір вкладено у гільбертовому просторі якщо з випливає, що причому існує постійна така, що для всіх

(2.1)

Має місце наступне наслідок з теореми Рісса.

Теорема 4. Якщо Гільбертів простір вкладено у гільбертовому просторі то для кожного елемента знайдеться єдиний елемент такий, що для всіх має місце тотожність

Тотожність це визначає оператор такий, що при цьому

Доказ. При кожному фіксованому вираз при всіляких визначає лінійний обмежений функціонал на Лінійність функціоналу очевидна. Його обмеженість випливає з оцінки

По теоремі Рісса існує єдиний елемент такий, що Тим самим всюди на заданий лінійний оператор Далі, з доведеного вище нерівності випливає, що

Вважаючи тут одержимо тобто і, значить, обмежений. Теорема доведена.

Як додаток доведеної теореми і просторів Соболєва доведемо існування і єдиність узагальненого розв'язку задачі Діріхле для рівняння Пуассона. У замкнутій обмеженою однозв'язна області з досить гладкою кордоном розглянемо наступну граничну задачу:

(2.2)

(2.3)

Припустимо, що права частина неперервна в за сукупністю змінних. Функція називається класичним рішенням завдання (2.2) - (2.3), якщо безупинна як функція трьох змінних у має в безперервні похідні, що входять в ліву частину (2.2), задовольняє в рівнянню (2.2) і дорівнює нулю на тобто задовольняє граничній умові (2.3).

Нехай - Класичне рішення задачі (2.2) - (2.3), а неперервна в дорівнює нулю на і безперервно дифференцируема в тоді для будь-якої такої справедливо наступне інтегральне тотожність:

(2.4)

Для доказу цього тотожності скористаємося формулою Гаусса-Остроградського:

Приймемо і отримаємо

Оскільки

а то отримуємо (2.4).

Нехай тепер а інтеграли (2.4) розуміються в сенсі Лебега. Функція називається узагальненим рішенням крайової задачі (2.2) - (2.3), якщо для будь-якої функції виконується інтегральне тотожність (2.4).

Доведемо, що для будь правій частині узагальнене рішення крайової задачі (2.2) - (2.3) існує і єдино.

Для цього зауважимо, що Гільбертів простір вкладено у гільбертовому просторі оскільки, за визначенням всяка функція належить також і і справедлива оцінка для будь (Див. п. 1.5):

Отже, за теоремою 4 для всякої функції існує єдина функція така, що для всіх

а це і є інтегральне тотожність (2.4).

Висновок

Таким чином, ми розглянули простору Соболєва, їх основні властивості і застосування в математичній фізиці.

Список літератури

1. Треногін В.А. Функціональний аналіз: Підручник. - 3-е изд., Ісп. - М.: Физматлит, 2002. - 488 с.

2. Соболєв С.Л. Деякі застосування функціонального аналізу в математичній фізиці. - 3-е изд., Перераб. і доп. / Под ред. О.А. Олійник. - М.: Наука. Гол. Ред. фіз.-мат. лит., 1988. - 336 с.