МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Вятський державний гуманітарний
УНІВЕРСИТЕТ
Математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
Випускна кваліфікаційна робота
Про КАТЕГОРІЇ МНОЖИН
Виконала студентка V курсу
математичного факультету
Одегова В.М.

/ Підпис /
Науковий керівник:
Доктор ф.-м.н., професор
Вечтомов Є.М.
/ Підпис /

Рецензент: кандитат ф.-м.н., доцент Чермний В.В.

/ Підпис /
Допущений до захисту в ГАК

Зав. кафедрою Вечтомов Є.М.
(Підпис)

2003р.

Декан факультету Варанкіна В.І.
(Підпис)

2003р.
Кіров, 2003р.
введення .. 3
1 Основні поняття теорії категорій .. 4
1.1. Мономорфние стрілки. 6
1.2. Епіморфние стрілки. 7
1.3. Ізострелкі. 8
1.5. Початкові об'єкти .. 10
1.6. Кінцеві об'єкти .. 10
1.7. Двоїстість. 11
1.8. Твори. 12
1.9. Твір відображень. 15
1.10. Копроізведеніе об'єктів. 18
2 категорії множин .. 19
2.1. Мономорфизм в категорії множин. 20
2.2. Епіморфізм в категорії множин. 21
2.3. Початкові і кінцеві об'єкти в категорії множин. 23
2.4. Твір у категорії множин. 23
2.5. Копроізведенія в категорії множин. 24
3 Приклади категорій .. 24
3.1. Категорія 1. 24
3.2. Категорія 2. 25
3.3. Категорія 3. 25
3.4. Категорії предпорядка. 26
3.5. Дискретні категорії. 26
3.6. Категорія N.. 27
Література .. 28

введення

Зараз багато галузей математики використовують теоретико-множинні позначення. Безсумнівно, теорія множин зіграла величезну роль у розвитку математики. У цієї теорії можна знайти багато переваг, але в цій дипломної роботі мова піде не про це. Розвитком теорії множин можна вважати теорію категорій. Що таке «теорія категорій». Це дуже приваблива і природна альтернатива теорії множин. Звичайно, можна мислити об'єкти математичного вивчення як множини, але немає вже впевненості, що і в майбутньому їх будуть розглядати так. Без сумніву, основна мова теорії множин залишиться важливим інструментом у тих випадках, коли треба розглядати сукупності предметів. Але розуміння самих предметів як множин втратило своє переважне значення в силу появи нової альтернативи.

У даній дипломній роботі розглядається одна з найважливіших категорій в математиці - категорія множин. У першому параграфі розглядаються основні поняття теорії категорій. Доводяться необхідні властивості й затвердження.

У другому параграфі розглядається категорія множин. Ті поняття, які використовуються в теорії категорій, переносяться безпосередньо в цю категорію. Інтерпретуються теореми з теорії категорій в категорію множин.

У третьому параграфі наведені інші приклади категорій. Тим самим показані виразні можливості теорії категорій.

Теорія категорій викладена в книгах [1] - [4].
1 Основні поняття теорії категорій

Для того щоб проілюструвати формалізацію інтуїтивною математичної ідеї розглянемо поняття функції.
Функція - є зв'язок між об'єктами. Точніше, це - відповідність, зіставляють заданого об'єкта точно один інший об'єкт.
Якщо А - множина всіх можливих входів функції f, а В - множина, що включає всі f-образи елементів з А, то говорять, що f є функцією з безлічі А в безліч В. Це висловлюють записом f: A ® B.
Безліч А називається областю визначення, а множина В - областю значень.
У загальній теорії категорій замість слова «функція» використовують більше нейтральне слово «стрілка» (а також слово «морфізм»).
Виконуються такі властивості:
1. C кожної стрілкою пов'язано два спеціальних об'єкта - її початок і кінець.
2. Є операція композиції, яка застосовується до певних парам <g, |> стрілок даної категорії (коли область значення першої збігається з областю визначення другий) і дає в результаті нову стрілку g ˚ |, також належить даної категорії.
3. З кожним об'єктом даної категорії пов'язана спеціальна стрілка - одинична, або тотожна, стрілка цього об'єкта.
Отже, дамо аксіоматичне визначення категорії.
Категорія Ω включає в себе:
1) Сукупність предметів, званих Ω - об'єктами
2) Сукупність предметів, званих Ω-стрілками
3) Операції, що ставлять у відповідність кожній Ω-стрілкою f Ω-об'єкт dom f (початок стрілки f) і Ω-об'єкт cod f (кінець стрілки f). Те, що а = domf і b = cod f зображується так: f: a ® b
4) Операцію, яка ставить у відповідність кожній парі <g, |> Ω-стрілок з dom g = cod f Ω-стрілку g ˚ |, композицію f і g, з dom (g ˚ |) = dom f і cod (g ˚ |) = cod g, причому виконується така умова:
закон асоціативності:
нехай f: a ® b
g: b ® c
h: c ® d

h ˚ g

(H ˚ g) ˚ |.

h ˚ (g ˚ |)

g ˚ |

тоді h ˚ (g ˚ |) = (h ˚ g) ˚ |.
Закон асоціативності стверджує, що діаграма виду -
-Коммутативна.
(В теорії категорій зручним засобом є SHAPE \ * MERGEFORMAT комутативні діаграми. Діаграма - це схема, в якій вказані об'єкти і стрілки між ними. При цьому, будь-які два шляхи, що ведуть по стрілках з одного об'єкта в інший, рівні. Діаграма називається комутативною, якщо є кілька шляхів від одного об'єкта до іншого, то всі вони приводять до одного і того ж результату. Точніше: діаграма називається комутативною, коли всі можливі трикутники, складові частини даної діаграми, комутативними. Це означає, що будь-які два шляхи стрілок даної діаграми, починаються в одному і тому ж об'єкті і закінчуються в одному і тому ж об'єкті, задають в композиції одну й ту ж функцію. Діаграми в теорії категорій використовуються для наочності викладу.)
5) Зіставлення кожному Ω-об'єкту b Ω-стрілки 1 _b: b ® b, званої одиничної або тотожною стрілкою, так що виконано Закон тотожності:

1 _b

для будь-яких Ω-стрілок f: a ® b і g: b ® c 1 _b ◦ f = f і g ◦ 1 _b = G, тобто коммутативна діаграма

1.1. Мономорфние стрілки

Визначення: Стрілка f: a ® b в категорії Ω називається мономорфной або монострелкой в Ω, якщо для будь-якої пари g, h: c ® a Ω-стрілок з рівності f ° g = f ° h слід g = h.
· У довільній категорії композиція g ° f є монострелкой, якщо як f, так і g мономорфних.
Доказ:

g ° f

Скористаємося визначенням монострелкі:

Стрілка g ° f: a ® c є монострелкой, якщо для будь-яких стрілок l, m: b ® a якщо (g ° f) ° l = (g ° f) ° m, то l = m. Зобразимо діаграму. Очевидно, що потрібне рівність виконується, тобто (G ° f) ° l = (g ° f) ° m. У будь-якої категорії повинен виконуватися асоціативний закон. Застосовуючи його, отримуємо наступне рівність: g ° (f ° l) = g ° (f ° m).

g - монострелка Þ f ° l = f ° m
f - монострелка Þl = m, що і вимагалося довести.
· У довільній категорії, якщо композиція g ° f - мономорфная, то і f - мономорфная.
Доказ: нехай f: a ® b
g: b ® d,
l, m: c ® a
f - мономорфная, якщо з рівності f ° l = f ° m (*) випливає, що l = m.

Очевидно, що ця рівність виконується. (Див. діаграму). Враховуючи, що domg = cod (f ° l) = cod (f ° m), застосуємо до рівності (*) стрілку g. Отримуємо g ° (f ° l) = g ° (f ° m). Далі, по асоціативному закону:

(G ° f) ° l = (g ° f) ° m.
g ° f - монострелка Þl = m, що і вимагалося довести.

1.2. Епіморфние стрілки

Визначення: Стрілка f: a ® b називається епіморфной або епістрелкой в категорії

Ω, якщо для довільної пари стрілок g, h: b ® c з рівності g ° f = h ° f слід g = h, тобто якщо коммутативна діаграма, то g = h.
· Якщо g ° f-епістрелка, то g - епістрелка.
Доказ: нехай f: a ® b
g: b ® c,
l, m: c ® d
g - епістрелка, якщо з рівності l ° g = m ° g (*) випливає, що l = m.

Очевидно, що ця рівність виконується. (Див. діаграму). Враховуючи, що codf = dom (l ° g) = dom (m ° g), застосуємо до рівності (*) стрілку f. Отримуємо (l ° g) ° f = (m ° g) ° f. Далі, по асоціативному закону:

l ° (g ° f) = m ° (g ° f).
g ° f - епістрелка Þl = m, що і вимагалося довести.

1.3. Ізострелкі

Визначення: довільна стрілка f: a ® b називається ізострелкой або оборотної в категорії Ω стрілкою, якщо існує Ω-стрілка g: b ® a, така, що g ° f = 1 _a і f ° g = 1 _b. Насправді така стрілка тільки одна. Дійсно, якщо припустити, що існує ще одна така стрілка g ', то g' = 1 _a ° g '= (g ° f) ° g' = g ° (f ° g ') = g ° 1 _b = g. Стрілка g, коли вона існує, називається оберненою до f стрілкою і позначається f ^-1: b ® a. Вона визначається умовами: f ^-1 ° f = 1 _a, f ° f ^-1 = 1 _b .
· Будь-яка ізострелка є епістрелкой.
Доказ: нехай f: a ® b - ізострелка, і стрілки g, h: b ® c.
Тоді g ° f = h ° f і існує f ^-1. Тоді g = g ° 1 _b = G ° (f ° f ^-1) = (асоціативність) = (g ° f) ° f ^-1 = (h ° f) ° f ^-1 = h ° (f ° f ^-1) = h ° 1 _b = h. Таким чином, f - скоротність справа. Ч.т.д.
· Будь-яка ізострелка є монострелкой. (Доказ аналогічно попередньому).
· Будь-яка ізострелка є бістрелкой (епі і монострелкой).
Доказ: випливає з попередніх двох тверджень.
· Кожна одинична стрілка є ізострелкой.
Доказ: Нехай f: a ® a - одинична стрілка. Існує стрілка f ^-1: a ® a і f ^-1 ° f = 1 _a, f ° f ^-1 = 1 _a . Þ f - ізострелка. Ч.т.д.
· Якщо f - ізострелка, то f ^-1 - Ізострелка.
Доказ: нехай f: a ® b - ізострелка. Тоді f ^-1: b ® a. f - ізострелка Þ ^f ° f ^-1 = 1 _b, f ^-1 ° f = 1 _a. Þ f ^-1 - ізострелка. Ч.т.д.
· Якщо f, g - ізострелкі, то f ° g - ізострелка, при цьому (f ° g) ^{- 1} = g ^-1 ° f ^{- 1}
Доказ: нехай f: b ® c, g: a ® b. f ° g: a ® c. f, g-ізострелкі Þ $ f ^-1: c ® b і $ g ^-1: b ® a Þ $ g ^-1 ° f ^-1: c ® a. Ця композиція є «підозрілої» на зворотну до стрілкою f ° g. Перевіримо це:
1) (g ^-1 ° f ^-1) ° (f ° g) = (асоціативність) = g ^-1 ° (f ^-1 ° f ° g) = g ^-1 ° (1 _b ° g) = g ^-1 ° g = 1 _a.
2) (f ° g) ° g ^-1 ° f ^-1 = f ° (g ° g ^-1 ° f ^-1) = f ° (1 _b ° f ^-1) = f ° f ^-1 = 1 _c.
Þ f ° g-ізострелка і (f ° g) ^-1 = g ^-1 ° f ^-1. Ч.т.д.
1.4. Ізоморфні об'єкти
Визначення: Об'єкти a і b називаються ізоморфними в Ω (символічно a @ b), якщо існує Ω - стрілка f: a ® b, що є ізострелкой в Ω, тобто f: a @ b.
· Довільні Ω - об'єкти мають наступні властивості:
1) a @ a
2) якщо a @ b, то b @ a
3) якщо a @ b і b @ с, то a @ c
Доказ:
1) у будь-якої категорії існує стрілка 1 _a: a ® a (за визначенням категорії). Одинична стрілка є ізострелкой (доведено вище). Отримуємо, що a @ a (за визначенням ізоморфних об'єктів).
2) a @ b Þ $ f: a ® b і f - ізострелка Þ $ f ^-1: b ® a (за визначенням ізострелкі). Раніше доведено, що якщо f - ізострелка, то і f ^-1 - ізострелка. Тобто f ^-1: b ® a - ізострелка Þ b @ a (за визначенням ізоморфних об'єктів).
3) a @ b Þ $ f: a ® b - ізострелка.
b @ з Þ $ g: b ® c - ізострелка.
Dom g = cod f Þ $ g ° f: a ® c і g ° f - ізострелка (т.к.f і g - ізострелкі (доведено вище)). Щоб довести, що a @ c, необхідно знайти ізострелку t: a ® c. Візьмемо як такий ізострелкі t ізострелку g ° f. Ч.т.д.

1.5. Початкові об'єкти

Визначення: об'єкт 0 називається початковим в категорії Ω, якщо для кожного об'єкта а з Ω існує одна і тільки одна Ω - стрілка з 0 в а.
· Будь-які два початкових об'єкта ізоморфні в Ω.
Доказ:
Припустимо, що 0 і 0'-початкові об'єкти. Потрібно довести, що 0 @ 0 '. Для цього необхідно знайти ізострелку 0 ® 0 '.
Існують єдині стрілки f: 0 '® 0 (т.к.0' - початковий об'єкт) і g: 0 ® 0 '(тому що 0 - початковий об'єкт). Dom f = cod g Þ $ f ° g: 0 ® 0. 0 - початковий об'єкт Þ $! стрілка 0 ® 0. і за визначенням категорії для кожного Ω - об'єкта $ одинична стрілка. Значить стрілка 1 _0: 0 ® 0 і стрілка f ° g: 0 ® 0 збігаються. Аналогічно, стрілка g ° f: 0 '® 0' збігається зі стрілкою 1 _{0 '.} Тоді g має зворотну стрілку (а саме f), тобто g: 0 @ 0 '. Ч.т.д.

1.6. Кінцеві об'єкти

Звертаючи напрям стрілок у визначенні початкового об'єкта, отримуємо наступне визначення.
Визначення: об'єкт 1 називається кінцевим в категорії Ω, якщо для кожного Ω - об'єкта а існує одна і тільки одна стрілка з а в 1.
· Всі кінцеві об'єкти ізоморфні.
Доказ:
Припустимо, що 1 і 1 '- кінцеві об'єкти. Потрібно довести, що 1 @ 1 '. Для цього треба знайти ізострелку 1 ® 1 '.
Об'єкт 1 - кінцевий Þ $! f: 1 '® 1 (за визначенням кінцевого об'єкта).
Об'єкт 1 '- кінцевий Þ $! g: 1 ® 1 '(з тієї ж причини). Dom f = cod g Þ $ f ° g: 1 ® 1.
1 - кінцевий об'єкт. Þ f ° g: 1 ® 1 - єдина.
З іншого боку для будь-якого об'єкта категорії існує одинична стрілка ₁ 1: 1 ® 1. Значить f ° g = ₁ 1. Аналогічно, g ° f = 1 _{1 '.} Таким чином, для стрілки g знайшлася зворотна (а саме f), т.е.g: 1 @ 1 '. Ч.т.д.
· Стрілка f: 1 ® a - мономорфная.
Доказ:
F: 1 ® a - мономорфная, якщо для будь-яких стрілок g, h: b ® 1 з того, що f ° g = f ° h випливає, що g = h. Але за визначенням кінцевого об'єкта, існує тільки одна стрілка b ® 1. Тому рівність стрілок g і h слід автоматично.

1.7. Двоїстість

Можна помітити, що поняття епістрелкі виходить з визначення монострелкі «зверненням стрілок». Те ж справедливо для понять кінцевого і початкового об'єктів. Ці два приклади ілюструють поняття подвійності в теорії категорій.
Якщо å-пропозиція категорного мови, то двоїстим å ^ор назвемо пропозицію, що отримується з å заміною «dom» на «cod», «cod» на «dom» і «h = g ° f» на «h = f ° g». Таким чином, всі стрілки і композиції, що входять до å, повернені в å ^ор в інший бік. Поняття, що описується пропозицією å ^ор називається двоїстим до поняття, описуваному å. Для даної категорії Ω побудуємо двоїсту категорію Ω ^ор наступним чином.
Категорії Ω і Ω ^ор мають одні й ті самі об'єкти. Для кожної f: a ® b вводимо Ω-стрілку f ^op: b ® a (свою для кожної f). Так одержувані стрілки

g ^op

f ^op

вичерпують всі стрілки категорії Ω ^ор. Композиція f ^op ° g ^op визначена тоді і тільки тоді, коли визначена в Ω композиція g ° f і f ^op ° g ^op = (g ° f) ^op. Dom f ^op = cod f і codf ^op = dom f.
Конструкцію, двоїсту до виражається пропозицією å, можна інтерпретувати як початкове побудова, застосоване до двоїстої категорії. Якщо å істинно в Ω, то å ^ор істинно в Ω ^ор. Т.ч. з довільного істинного в теорії категорій пропозиції виходить інше істинне речення å ^ор. У цьому полягає принцип подвійності. Принцип подвійності скорочує кількість доказів вдвічі. Так, довівши, що два довільних початкових об'єкта ізоморфні, можна відразу стверджувати, що два довільних кінцевих об'єкта ізоморфні.

1.8. Твори

Як охарактеризувати твір двох множин

за допомогою стрілок. Невже це можна зробити без якогось використання впорядкованих пар?
Виявляється це можливо. Спосіб, що дозволяє уникнути використання впорядкованих пар, дасть можливість з'ясувати, що таке конструкція в теорії категорій.
Поставимо у відповідність твору

два спеціальні відображення (проекції)

, Що задаються рівностями

p _B

p _A

Припустимо тепер, що задано ще одну безліч С з парою відображень f: C ® A, g: C ® B. Визначимо відображення p: C ®

правилом p (x) =

,
Тоді p _А (p (x)) = f (x) і p _B (p (x)) = g (x) для кожного хÎС. Таким чином, p _A ° p = f і p _B ° p = g, тобто наведена вище діаграма коммутативна. Більш того, p є єдиною стрілкою, для якої ця діаграма коммутативна. Дійсно, якщо p (x) = <y,z>, то в силу умови p _A ° p = f буде p _A (p (x)) = f (x), тобто y = f (x). Аналогічно, якщо p _B ° p = g, то z = g (x).
Відображення p, побудоване за f і g, позначаються звичайно через <f,g> і називається твором відображень f і g.
Ці розгляду служать мотивуванням для наступного визначення.

P _b

p _a

<f,g>

Визначення: твором в категорії Ω двох об'єктів a і b називається Ω-об'єкт, що позначається через

, Разом з парою (pr _a:

® a, pr _b:

® b) Ω-стрілок, такий, що для довільної пари (f: c ® a, g: c ® b) Ω-стрілок існує одна і тільки одна стрілка <f,g>: c ®

, Для якої діаграма коммутативна, тобто pr _a ° <f,g> = f і pr _b ° <f,g> = g. Стрілка <f,g> називається твором стрілок f і g щодо проекцій pr _a, pr _b.
· <Pr _a, pr _b> = 1 .

Доказ: зобразимо дану ситуацію на діаграмі. (Точніше ліву частину доказуваного рівності). Бачимо, що стрілка <pr _a ,pr _b> переводить об'єкт

в об'єкт

. А за визначенням категорії існує тільки одна одинична стрілка (та, яка переводить об'єкт категорії в себе). Значить, ці стрілки збігаються. Ч.т.д.
· Якщо <f, g> = <k, h>, то f = k і g = h.
Доказ: розберемося з умовою затвердження.
a) Стрілка <f,g> існує по условіюÞdomf = domg. Нехай f: c ® a, g: c ® b. тоді стрілка <f,g>: c ®

.
b) Стрілка <k,h> збігається зі стрілкою <f,g> за умовою. Þ dom <k,h> = dom <f,g> = c, cod <k,h> = cod <f,g> =

. Þстрелкі k, h такі, що domk = domh = c, а кінці цих стрілок в об'єктах a і b.
c) Припустимо, що k: c ® b, h: c ® a. Якщо це так, то стрілка <k,h>: c ®

. Тоді <k,h> ¹ <f,g>, так як у них не збігаються кінці.
d) Отримали протиріччя після того, як припустили, що k: c ® b, h: c ® a. залишається один варіант: k: c ® a, h: c ® b. значить f = k, g = h. Ч.т.д.
· <f ° h, g ° h> = <f,g> ° h

pr _a

pr _b

f ° h

g ° h

<f, g>

Доказ: Подивимося, що означає стрілка <f°h, g°h>. По-перше: композиція двох стрілок існує, коли кінець одного стрілки є початком іншої. З умови випливає, що domf = codh і domg = codh, а також dom <f,g> = codh. Тобто стрілки f, g, <f,g> мають одне і те ж початок. Нехай h: d ® c, g: c ® b, f: c ® a. Зобразимо діаграму: ця діаграма коммутативна, тобто pr _a ° <f,g> ° h = f ° h і pr _b ° <f,g> ° h = g ° h. Твором стрілок f ° h, g ° h є однозначно-певна стрілка (вона єдина з визначення твору). І цією стрілкою є композиція стрілок <f,g> і h.