Поняття про фізичний величиною Міжнародна система одиниць фізичних величин СІ

У зв'язку зі зростанням складності експериментальних досліджень до складу сучасних вимірювальних систем включаються обчислювальні засоби різних класів (ЕОМ, програмовані мікрокалькулятори). Ці засоби виконують як завдання збору та математичної обробки експериментальної інформації, так і завдання управління ходом експерименту та автоматизації функціонування вимірювальної системи. Ефективність застосування обчислювальних засобів при проведенні експериментів проявляється в наступних основних напрямках:
1) скорочення часу підготовки і проведення експерименту в результаті прискорення збору та обробки інформації;
2) підвищення точності та достовірності результатів експерименту на основі використання більш складних і ефективних алгоритмів обробки вимірювальних сигналів, збільшенні обсягу використовуваних експериментальних даних;
3) скорочення кількості дослідників і поява можливості створення автоматичних систем;
4) посилення контролю за ходом проведення експерименту і підвищення можливостей його оптимізації.
Таким чином, сучасні засоби проведення експерименту представляють собою, як правило, вимірювально-обчислювальні системи (ІВС) або комплекси, забезпечені розвиненими обчислювальними засобами. При обгрунтуванні структури і складу ІТТ необхідно вирішити такі основні завдання:
1) визначити склад апаратної частини ІТТ (засобів вимірювання, допоміжного обладнання);
2) вибрати тип ЕОМ, що входить до складу ІТТ;
3) встановити канали зв'язку між ЕОМ, пристроями, що входять в апаратну частину ІТТ, і споживачем інформації;
4) розробити програмне забезпечення ІТТ.

2. ПЛАНУВАННЯ ЕКСПЕРИМЕНТУ І СТАТИСТИЧНА ОБРОБКА ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ДАНИХ

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ І ВИЗНАЧЕННЯ

Більшість досліджень проводять для встановлення за допомогою експерименту функціональних або статистичних зв'язків між кількома величинами або для вирішення екстремальних задач. Класичний метод постановки експерименту передбачає фіксування на прийнятих рівнях усіх змінних факторів, крім одного, значення якого належним чином змінюють в області його визначення. Цей метод складає основу однофакторного експерименту (такий експеримент часто називають пасивним). При однофакторного експерименті, варіюючи один фактор і стабілізуючи всі інші на обраних рівнях, знаходять залежність досліджуваної величини тільки від одного фактора. Виробляючи велике число однофакторних експериментів при вивченні багатофакторної системи, отримують частотні залежності, представлені багатьма графіками, що мають ілюстративний характер. Знайдений таким чином приватні залежності неможливо об'єднати в одну велику. У випадку однофакторного (пасивного) експерименту статистичні методи застосовують після закінчення експериментів, коли дані вже отримані.
Використання однофакторного експерименту для всебічного дослідження багатофакторного процесу вимагає постановки дуже великого числа дослідів. Для їх виконання в ряді випадків необхідно чимало часу, протягом якого вплив неконтрольованих факторів на результати дослідів може істотно змінитися. З цієї причини дані великого числа дослідів виявляються непорівнянними. Звідси випливає, що результати однофакторних експериментів, отримані при дослідженні багатофакторних систем, часто малопридатні для практичного використання. Крім того, при вирішенні екстремальних задач дані значного числа дослідів виявляються непотрібними, оскільки вони отримані для області, далекій від оптимуму. Для вивчення багатофакторних систем найбільш доцільним є застосування статистичних методів планування експерименту.
Під плануванням експерименту розуміють процес визначення числа і умов проведення дослідів, необхідних і достатніх для вирішення поставленого завдання з необхідною точністю.
Планування експерименту - це розділ математичної статистики. У ньому розглядаються статистичні методи планування експерименту. Ці методи дозволяють у багатьох випадках при мінімальному числі дослідів одержувати моделі багатофакторних процесів.
Ефективність використання статистичних методів планування експерименту при дослідженні технологічних процесів пояснюється тим, що багато важливих характеристик цих процесів є випадковими величинами, розподілу яких близько слідують нормальному закону.
Характерними особливостями процесу планування експерименту є прагнення мінімізувати число дослідів; одночасне варіювання всіх досліджуваних чинників за спеціальними правилами - алгоритмах; застосування математичного апарату, формалізує багато дій дослідника; вибір стратегії, що дозволяє приймати обгрунтовані рішення після кожної серії дослідів.
При плануванні експерименту статистичні методи застосовуються на всіх етапах дослідження і, перш за все, перед постановкою дослідів, розробляючи схему експерименту, а також в ході експерименту, при обробці результатів і після експерименту, приймаючи рішення про подальші дії. Такий експеримент називають активним і він припускає планування експерименту.
Основні переваги активного експерименту пов'язані з тим, що він дозволяє:
1) мінімізувати загальне число дослідів;
2) вибирати чіткі логічно обгрунтовані процедури, послідовно виконувані експериментатором при проведенні дослідження;
3) використовувати математичний апарат, що формалізують багато дій експериментатора;
4) одночасно варіювати усіма змінними і оптимально використовувати факторний простір;
5) організувати експеримент таким чином, щоб виконувалися багато вихідні передумови регресійного аналізу;
6) отримувати математичні моделі, що мають кращі в деякому сенсі властивості в порівнянні з моделями, побудованими з пасивного експерименту;
7) рандомізовані умови дослідів, тобто численні заважають фактори перетворити на випадкові величини;
8) оцінювати елемент невизначеності, пов'язаний з експериментом, що дає можливість зіставляти результати, одержувані різними дослідниками.
Найчастіше активний експеримент ставлять для вирішення однієї з двох основних завдань. Перше завдання називають екстремальною. Вона полягає у відшуканні умов процесу, забезпечують отримання оптимального значення обраного параметра. Ознакою екстремальних завдань є вимога пошуку екстремуму деякої функції (* проілюструвати графіком *). Експерименти, які ставлять для вирішення завдань оптимізації, називають екстремальними.
Другу задачу називають інтерполяційної. Вона полягає в побудові інтерполяційної формули для передбачення значень досліджуваного параметра, що залежить від ряду факторів.
Для вирішення екстремальної або інтерполяційної завдання необхідно мати математичну модель досліджуваного об'єкта. Модель об'єкта отримують, використовуючи результати дослідів.
При дослідженні багатофакторного процесу постановка всіх можливих дослідів для отримання математичної моделі пов'язана з величезною трудомісткістю експерименту, так як число всіх можливих дослідів дуже велике. Завдання планування експерименту полягає у встановленні мінімально необхідного числа дослідів та умов їх проведення, у виборі методів математичної обробки результатів і в прийнятті рішень.

ОСНОВНІ ЕТАПИ І РЕЖИМИ статистичної обробки експериментальних даних

1. Змістовний аналіз експерименту, побудова апріорної ймовірнісної математичної моделі джерела експериментальних даних.
2. Складання плану експерименту, зокрема, визначення значень незалежних змінних, вибір тестових сигналів, оцінка обсягу спостережень. Попереднє обгрунтування і вибір методів і алгоритмів статистичної обробки експериментальних даних.
3. Проведення безпосередньо експериментальних досліджень, збір експериментальних даних, їх реєстрація і введення в ЕОМ.
4. Попередня статистична обробка даних, призначена, в першу чергу, для перевірки виконання передумов, що лежать в основі обраного статистичного методу побудови стохастичної моделі об'єкта досліджень, а при необхідності - для корекції апріорної моделі і зміни рішення про вибір алгоритму обробки.
5. Складання детального плану подальшого статистичного аналізу експериментальних даних.
6. Статистична обробка експериментальних даних (вторинна, повна, підсумкова обробка), спрямована на побудову моделі об'єкта дослідження, і статистичний аналіз її якості. Іноді на цьому ж етапі вирішуються і завдання використання побудованої моделі, наприклад: оптимізуються параметри об'єкту.
7. Формально-логічна і змістовна інтерпретація результатів експериментів, прийняття рішення про продовження або завершення експерименту, підведення підсумків дослідження.
Статистична обробка експериментальних даних може бути здійснена в двох основних режимах.
У першому режимі спочатку здійснюється збір і реєстрація повного обсягу експериментальних даних і лише потім вони обробляються. Цей вид обробки називають off-line-обробкою, апостеріорної обробкою, обробкою даних за вибіркою повного (фіксованого) обсягу. Перевагою цього режиму обробки є можливість використання всього арсеналу статистичних методів аналізу даних і, відповідно, найбільш повне вилучення з них експериментальної інформації. Однак оперативність такої обробки може не задовольняти споживача, крім того, управління ходом експерименту майже неможливо.
У другому режимі обробка спостережень проводиться паралельно з їх отриманням. Цей вид обробки називають on-line-обробкою, обробкою даних за вибіркою наростаючого об'єму, послідовною обробкою даних. У цьому режимі з'являється можливість експрес-аналізу результатів експерименту та оперативного управління його ходом.

ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО основні статистичні методи

При вирішенні задач обробки експериментальних даних використовуються методи, засновані на двох основних складових частинах апарату математичної статистики: теорії статистичного оцінювання невідомих параметрів, використовуваних при описі моделі експерименту, і теорії перевірки статистичних гіпотез про параметри або природі аналізованої моделі.
1. Кореляційний аналіз. Його суть полягає у визначенні ступеня ймовірності зв'язку (як правило, лінійної) між двома і більше випадковими величинами. В якості цих випадкових величин можуть виступати вхідні, незалежні змінні. У цей набір може включатися і результуюча (залежна змінна). В останньому випадку кореляційний аналіз дозволяє відібрати фактори або регресорів (у регресійній моделі), які надають найбільш істотний вплив на результуючий ознака. Відібрані величини використовуються для подальшого аналізу, зокрема при виконанні регресійного аналізу. Кореляційний аналіз дозволяє виявляти заздалегідь невідомі причинно-наслідкові зв'язки між змінними. При цьому слід мати на увазі, що наявність кореляції між змінними є тільки необхідним, але не достатньою умовою наявності причинних зв'язків.
Кореляційний аналіз використовується на етапі попередньої обробки експериментальних даних.
2. Дисперсійний аналіз. Цей метод призначений для обробки експериментальних даних, що залежать від якісних факторів, і для оцінки суттєвості впливу цих факторів на результати спостережень.
Його суть полягає в розкладанні дисперсії результуючої змінної на незалежні складові, кожна з яких характеризує вплив того чи іншого чинника на цю змінну. Порівняння цих складових дозволяє оцінити суттєвість впливу факторів.
3. Регресійний аналіз. Методи регресійного аналізу дають змогу встановити структуру і параметри моделі, що пов'язує кількісні результуючу і факторні змінні, і оцінити ступінь її узгодженості з експериментальними даними. Цей вид статистичного аналізу дозволяє вирішувати головне завдання експерименту в разі, якщо спостерігаються і результуючі змінні є кількісними, і в цьому сенсі він є основним при обробці цього типу експериментальних даних.
4. Факторний аналіз. Його суть полягає в тому, що "зовнішні" фактори, що використовуються в моделі і сильно взаємопов'язані між собою, повинні бути замінені іншими, більш нечисленними "внутрішніми факторами, які важко або неможливо виміряти, але які визначають поведінку" зовнішніх "факторів, і тим самим поведінку результуючої змінної. Факторний аналіз робить можливим висунення гіпотез про структуру взаємозв'язку змінних, не ставлячи цю структуру заздалегідь і не маючи про неї заздалегідь ніяких відомостей. Ця структура визначається за результатами спостережень. Отримані гіпотези можуть бути перевірені в ході подальших експериментів. Завданням факторного аналізу є знаходження простої структури, яка б достатньо точно відображала і відтворювала реальні, існуючі залежності.

4. ОСНОВНІ ЗАВДАННЯ ПОПЕРЕДНЬОЇ ОБРОБКИ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ДАНИХ

Кінцевою метою попередньої обробки експериментальних даних є висунення гіпотез про клас і структуру математичної моделі досліджуваного явища, визначення складу і обсягу додаткових вимірювань, вибір можливих методів подальшої статистичної обробки. Для цього необхідно вирішити деякі приватні завдання, серед яких можна виділити наступні:
1. Аналіз, відбракування та відновлення аномальних (помилкових) або пропущених вимірювань, так як експериментальна інформація звичайно неоднорідна за якістю.
2. Експериментальна перевірка законів розподілу отриманих даних, оцінка параметрів і числових характеристик спостережуваних випадкових величин або процесів. Вибір методів подальшої обробки, спрямованої на побудову і перевірку адекватності математичної моделі досліджуваного явища, істотно залежить від закону розподілу спостережуваних величин.
3. Стиснення і угрупування вихідної інформації при великому обсязі експериментальних даних. При цьому повинні бути враховані особливості їх законів розподілу, які виявлені на попередньому етапі обробки.
4. Об'єднання декількох груп вимірювань, отриманих, можливо, в різний час або в різних умовах, для спільної обробки.
5. Виявлення статистичних зв'язків і взаємовпливу різних вимірюваних факторів і результуючих змінних, послідовних вимірювань одних і тих же величин. Вирішення цієї задачі дозволяє відібрати ті змінні, які чинять найбільш сильний вплив на результуючий ознака. Виділені фактори використовуються для подальшої обробки, зокрема, методами регресійного аналізу. Аналіз кореляційних зв'язків робить можливим висунення гіпотез про структуру взаємозв'язку змінних і, в кінцевому підсумку, про структуру моделі явища.
Для попередньої обробки характерно ітераційне вирішення основних завдань, коли повторно повертаються до вирішення тієї чи іншої задачі після отримання результатів на наступному етапі обробки.
1. КЛАСИФІКАЦІЯ ПОМИЛОК ВИМІРЮВАННЯ.
Під вимірюванням розуміють знаходження значення фізичної величини експериментальним шляхом за допомогою спеціальних технічних засобів. Виміри можуть бути як прямими, коли шукану величину знаходять безпосередньо з досвідчених даних, так і непрямими, коли шукану величину визначають на підставі відомої залежності між цією величиною і величинами, піддається прямому вимірам. Значення величини, знайдене вимірюванням, називають результатом вимірювання.
Недосконалість вимірювальних приладів та органів чуття людини, а часто і природа самої вимірюваної величини призводять до того, що при будь-яких вимірах результати виходять з певною точністю, тобто експеримент дає не істинне значення вимірюваної величини, а лише її наближене значення. Під дійсним значенням фізичної величини розуміють її значення, знайдене експериментально і настільки наближається до істинного значення, що для даної мети може бути використане замість нього.
Точність вимірювання визначається близькістю його результату до істинного значення вимірюваної величини. Точність приладу визначається ступенем наближення його показань до істинного значення шуканої величини, а точність методу - фізичним явищем, на якому він базується.
Помилки (похибки) вимірювань характеризуються відхиленням результатів вимірювань від істинного значення вимірюваної величини. Помилка вимірювання, як і справжнє значення вимірюваної величини, зазвичай невідома. Тому однією з основних задач статистичної обробки результатів експерименту і є оцінка істинного значення вимірюваної величини за отриманими досвідченим даним. Іншими словами, після неодноразової вимірювання шуканої величини і отримання ряду результатів, кожен з яких містить деяку невідому помилку, ставиться задача обчислення наближеного значення шуканої величини з можливо меншою помилкою.
Помилки вимірів ділять на грубі помилки (промахи), систематичні і випадкові.
Грубі помилки. Грубі помилки виникають внаслідок порушення основних умов вимірювання або в результаті недогляду експериментатора. При виявленні грубої помилки результат вимірювання слід відразу відкинути і повторити вимірювання. Зовнішнім ознакою результату, що містить грубу помилку, є його різке відмінність по величині від решти результатів. На цьому засновані деякі критерії виключення грубих помилок з їх величиною (будуть розглянуті далі), проте найбільш надійним і ефективним способом бракування невірних результатів є бракування їх безпосередньо в процесі самих вимірювань.
Систематичні помилки. Систематичної є така похибка, яка залишається постійною або закономірно змінюється при повторних вимірах однієї і тієї ж величини. Систематичні похибки з'являються з-за неправильного регулювання приладів, неточності методу вимірювання, будь-якого упущення експериментатора, використання для обчислення неточних даних.
Систематичні помилки виникають також при проведенні складних вимірювань. Експериментатор може і не здогадуватися про них, хоча вони можуть бути дуже великими. Тому в таких випадках потрібно ретельно проаналізувати методику вимірювань. Такі помилки можна виявити, зокрема, провівши вимірювання шуканої величини іншим методом. Збіг результатів вимірювань обома методами служить певною гарантією відсутності систематичних похибок.
При вимірах необхідно зробити все можливе, щоб виключити систематичні похибки, так як вони можуть бути такі великі, що сильно спотворять результати. Виявлені похибки усувають введенням поправок.
Випадкові помилки. Випадкової помилкою є складова похибки вимірювання, що змінюється випадковим чином, тобто це помилка вимірювання, що залишається після усунення всіх виявлених систематичних і грубих помилок. Випадкові помилки викликаються великою кількістю як об'єктивних, так і суб'єктивних факторів, які не можна виділити і врахувати окремо. Оскільки причини, що призводять до випадкових помилок, не однакові, в кожному експерименті і не можуть бути враховані, виключити такі помилки не можна, можна лише оцінити їх значення. За допомогою методів теорії ймовірностей можна врахувати їх вплив на оцінку істинного значення вимірюваної величини зі значно меншою помилкою, ніж помилки окремих вимірювань.
Тому, коли випадкова похибка більше погрішності вимірювального приладу, необхідно багаторазово повторювати одне і те ж вимір для зменшення її значення. Це дозволяє мінімізувати випадкову погрішність і зробити її порівнянної з похибкою приладу. Якщо ж випадкова помилка менше похибки приладу, то зменшувати її не має сенсу.
Крім цього, помилки ділять на абсолютні, відносні та інструментальні. Абсолютною помилкою вважають похибка, виражену в одиницях вимірюваної величини. Відносної помилкою є відношення абсолютної помилки до істинного значення вимірюваної величини. Складову помилки виміру, яка залежить від похибки застосовуваних засобів вимірювання, називають інструментальною похибкою вимірювання.

2. ПОХИБКИ ПРЯМИХ РАВНОТОЧНИХ ВИМІРЮВАНЬ. ЗАКОН НОРМАЛЬНОГО РОЗПОДІЛУ.
Прямі вимірювання - це такі вимірювання, коли значення досліджуваної величини знаходять безпосередньо з досвідчених даних, наприклад знімаючи показання приладу, що вимірює значення шуканої величини. Для знаходження випадкової похибки вимірювання необхідно провести кілька разів. Результати таких вимірювань мають близькі значення похибок і називаються равноточнимі.
Нехай у результаті n вимірювань величини х, проведених з однаковою точністю, отримано ряд значень: х _1, х _2, ..., х _n. Як показано в теорії помилок, найбільш близьким до істинного значення х ₀ вимірюваної величини х є середнє арифметичне значення
. (2.1)
Середнє арифметичне значення розглядають тільки як найбільш ймовірне значення вимірюваної величини. Результати окремих вимірювань в загальному випадку відрізняються від істинного значення х _0. При цьому абсолютна похибка i-го вимірювання становить
D x _i '= х ₀ - x _{i 4}
і може приймати як позитивні, так і негативні значення з однаковою ймовірністю. Підсумовуючи всі погрішності, отримуємо
,

Звідки
. (2.2)
У цьому виразі другий доданок в правій частині при великому n дорівнює нулю, так як будь-якої позитивної похибки можна поставити у відповідність рівну їй негативну. Тоді х ₀ = . При обмеженому числі вимірювань буде лише наближене рівність х ₀ . Таким чином, можна назвати дійсним значенням.
У всіх практичних випадках значення х ₀ невідомо і є лише певна ймовірність того, що х ₀ перебуває в якомусь інтервалі поблизу і потрібно визначити цей інтервал, відповідний цієї ймовірності. В якості оцінки абсолютної похибки окремого вимірювання використовують D x _i = - X _i.
Вона визначає точність цього виміру.
Для ряду вимірювань визначають середню арифметичну похибка
.
Вона визначає межі, в яких лежить більше половини вимірювань. Отже, х ₀ з досить великою ймовірністю потрапляє в інтервал від -H до + H. Результати вимірювань величини х записують тоді у вигляді:
.
Величина х виміряна тим точніше, чим менше інтервал, в якому знаходиться істинне значення х _0.
Абсолютна похибка результатів вимірів D x сама по собі ще не визначає точності вимірювань. Нехай, наприклад, точність деякого амперметра становить 0.1 а. Були проведені вимірювання сили струму в двох електричних ланцюгах. При цьому отримали такі значення: 32 0.1 а і 0.2 0.1 а. З прикладу видно, що, хоча абсолютна похибка вимірювань однакова, точність вимірювань різна. У першому випадку вимірювання досить точні, а в другому - дозволяють судити лише про порядок величини. Отже, при оцінці якості вимірювання необхідно порівнювати похибка з виміряним значенням, що дає більш наочне уявлення про точність вимірювань. Для цього вводиться поняття відносної похибки
d _x = D x / . (2.3)
Відносну похибку звичайно виражають у відсотках.
Так як в більшості випадків вимірювані величини мають розмірність, то й абсолютні похибки розмірності, а відносні помилки безрозмірні. Тому за допомогою останніх можна робити порівняння точності вимірювань різнорідних величин. Нарешті, експеримент повинен бути поставлене таким чином, щоб відносна похибка залишалася постійною у всьому діапазоні вимірювань.
Слід зазначити, що при правильних і ретельно виконаних вимірах середня арифметична похибка їхнього результату близька до похибки вимірюваного приладу.
Якщо вимірювання шуканої величини х проведено багато разів, то частоти появи того чи іншого значення х _i можна представити у вигляді графіка, що має вид східчастої кривої - гістограми (див. рис. 1), де у - число відліків; D x _i = х _i - x _{i +1} (i змінюється від - n до + n). Зі збільшенням числа вимірювань і зменшенням інтервалу D x _i гістограма переходить в безперервну криву, що характеризує щільність розподілу ймовірності того, що величина x _i виявиться в інтервалі D x _i.

Рис. 1. Гістограма результатів вимірювань

Рис. 2. Нормальний розподіл для розмірних і s

Під розподілом випадкової величини розуміють сукупність всіх можливих значень випадкової величини і відповідних їм ймовірностей. Законом розподілу випадкової величини називають всяке відповідність випадкової величини можливих значеннях їх ймовірностей. Найбільш загальною формою закону розподілу є функція розподілу Р (х).
Тоді функція р (х) = Р '(х) - щільність розподілу ймовірності або диференціальна функція розподілу. Графік щільності розподілу ймовірностей називається кривою розподілу.
Функція р (х) характерна тим, що твір р (х) dx є ймовірність опинитися окремому, випадково обраному значенням вимірюваної величини в інтервалі (х, x + dx).
У загальному випадку ця ймовірність може визначатися різними законами розподілів (нормальний (Гауса), Пуассона, Бернуллі, біноміальний, негативний біноміальний, геометричний, гіпергеометричний, рівномірний дискретний, негативний експонентний). Однак найчастіше ймовірність появи величини x _i в інтервалі (х, x + dx) у фізичних експериментах описують нормальним законом розподілу - законом Гауса (див. рис. 2):
, (2.4)
де s ² - дисперсія генеральної сукупності. Генеральною сукупністю називають усі безліч можливих значень вимірів x _i або можливих значень похибок D x _i.
Широке використання закону Гауса в теорії помилок пояснюється наступними причинами:
1) рівні за абсолютним значенням похибки зустрічаються однаково часто при великому числі вимірювань;
2) малі за абсолютним значенням похибки зустрічаються частіше, ніж великі, тобто ймовірність появи похибки тим менше, чим більше її абсолютне значення;
3) похибки вимірювань приймають безперервний ряд значень.
Однак, ці умови ніколи строго не виконуються. Але експерименти підтвердили, що в області, де похибки не дуже великі, нормальний закон розподілу добре узгоджується з дослідними даними. За допомогою нормального закону можна знайти ймовірність появи похибки того чи іншого значення.
Розподіл Гауса характеризується двома параметрами: середнім значенням випадкової величини і дисперсією s ^2. Середнє значення визначається абсцисою (х = ) Осі симетрії кривої розподілу, а дисперсія показує, як швидко зменшується ймовірність появи похибки зі збільшенням її абсолютного значення. Крива має максимум при х = . Отже, середнє значення є найбільш вірогідним значенням величини х. Дисперсія визначається напівшириною кривої розподілу, тобто відстанню від осі симетрії до точок перегину кривої. Вона є середнім квадратом відхилення результатів окремих вимірювань від їх середнього арифметичного значення по всьому розподілу. Якщо при вимірюванні фізичної величини отримують тільки постійні значення х = , То s ² = 0. Але якщо значення випадкової величини х приймають значення, не рівні , То її дисперсія не дорівнює нулю і позитивна. Дисперсія, таким чином, служить мірою флуктуації значень випадкової величини.
Міра розсіювання результатів окремих вимірювань від середнього значення повинна виражатися в тих же одиницях, що і значення вимірюваної величини. У зв'язку з цим в якості показника флуктуації результатів вимірів набагато частіше використовують величину
,
звану середньої квадратичної похибкою.
Вона є найважливішою характеристикою результатів вимірювань і залишається постійною при незмінності умов експерименту.
Значення цієї величини визначає форму кривої розподілу.
Тому що при зміні s площа під кривою, залишаючись постійною (дорівнює одиниці), змінює свою форму, то із зменшенням s крива розподілу витягується вгору поблизу максимуму при x = , І стискаючись в горизонтальному напрямку.
Зі збільшенням s значення функції р (х _i) зменшується, і крива розподілу розтягується вздовж осі х (див. рис. 2).
Для нормального закону розподілу середня квадратична похибка окремого вимірювання
, (2.5)
а середня квадратична похибка середнього значення
. (2.6)
Середня квадратична похибка більш точно характеризує похибки вимірів, ніж середня арифметична похибка, так як вона отримана досить суворо із закону розподілу випадкових величин похибок. Крім того, безпосередній зв'язок її з дисперсією, обчислення якої полегшується поруч теорем, робить середню квадратическую похибка дуже зручним параметром.
Поряд з розмірної похибкою s використовують і безрозмірну відносну похибку d _s = s / , Яка, як і d _x, виражається або в частках одиниці, або у відсотках. Остаточний результат вимірювань записують у вигляді:
, . (2.7)
Однак, на практиці неможливо провести занадто багато вимірів, тому не можна побудувати нормальний розподіл, щоб точно визначити справжнє значення х _0. У цьому випадку хорошим наближенням до істинного значення можна вважати , А досить точною оцінкою помилки вимірювань - вибіркову дисперсію , Що витікає з нормального закону розподілу, але що стосується до кінцевого числа вимірювань. Таку назву величини пояснюється тим, що з усього безлічі значень х _i, тобто генеральної сукупності вибирають (вимірюють) лише кінцеве число значень величини х _i (рівне n), званих вибіркою. Вибірка характеризується вже вибірковим середнім значенням і вибіркової дисперсією.
Тоді вибіркова середня квадратична похибка окремого вимірювання (або емпіричний стандарт)
, (2.8)
а вибіркова середня квадратична похибка ряду вимірювань
. (2.9)
З виразу (2.9) видно, що, збільшуючи число вимірювань, можна зробити як завгодно малою середню квадратическую похибка . При n> 10 помітна зміна величини досягається лише при досить значній кількості вимірювань, тому подальше збільшення числа вимірювань недоцільно. До того ж, неможливо повністю виключити систематичні похибки, і при , Меншою систематичної помилки подальше збільшення числа дослідів також не має сенсу.
Таким чином, завдання знаходження наближеного значення фізичної величини та його похибки вирішена. Тепер необхідно визначити надійність знайденого дійсного значення. Під надійністю вимірювань розуміють ймовірність попадання істинного значення в даний довірчий інтервал. Інтервал ( - E, + E), в якому перебуває з заданою ймовірністю істинне значення х _0, називають довірчим інтервалом. Припустимо, що ймовірність відмінності результату вимірювань х від істинного значення х ₀ на величину, більшу, ніж e, дорівнює 1 - a, тобто
p ( - E  <х ₀ < + E) = 1 - a. (2.10)
У теорії помилок зазвичай під e розуміють величину . Тому
  p ( -  <х ₀ < + ) = Ф (t), (2.11)
де Ф (t) - інтеграл ймовірності (або функція Лапласа), а також нормальна функція розподілу:
, (2.12) де .
Таким чином, щоб охарактеризувати істинне значення, потрібно знати як похибка, так і надійність. Якщо довірчий інтервал збільшується, то зростає надійність того, що істинне значення х ₀ потрапляє в даний інтервал. Високий ступінь надійності необхідна при відповідальних вимірах. Це означає, що в такому випадку потрібно вибирати великий довірчий інтервал або вести вимірювання з більшою точністю (тобто зменшити величину ), Що можна зробити, наприклад, багаторазовим повторенням вимірювань.
Під довірчою ймовірністю розуміється ймовірність того, що істинне значення вимірюваної величини потрапляє в даний довірчий інтервал. Довірчий інтервал характеризує точність вимірювання даної вибірки, а довірча ймовірність - достовірність вимірювання.
У переважній більшості експериментальних завдань довірча ймовірність становить 0.9 0.95 і більш висока надійність не потрібно. Так при t = 1 відповідно до формул (2.10 -2.12) 1 - a = Ф (t) = 0.683, тобто понад 68% вимірів перебуває в інтервалі ( - , + ). При t = 2 1 - a = 0.955, а при t = 3 параметр 1 - a = 0.997. Останнє означає, що в інтервалі ( - , + ) Знаходяться майже всі виміряні значення. З цього прикладу видно, що інтервал дійсно містить більшість виміряних значень, тобто параметр a може служити гарною характеристикою точності вимірювань.
До цих пір передбачалося, що число вимірювань хоча і звичайно, але досить велике. У дійсності ж число вимірювань майже завжди буває невеликим. Більш того, як в техніці, так і в наукових дослідженнях нерідко використовують результати двох-трьох вимірів. У цій ситуації величини і в кращому разі можуть визначити лише порядок величини дисперсії. Існує коректний метод для визначення ймовірності знаходження шуканого значення в заданому довірчому інтервалі, заснований на використанні розподілу Стьюдента (запропонованого в 1908 р. англійським математиком В. С. Госсет). Позначимо через інтервал, на який може відхилятися середнє арифметичне значення від істинного значення х _0, тобто D x = х ₀ - . Іншими словами, ми хочемо визначити значення
.
Тоді
, (2.13)
де S _n визначається формулою (2.8). Ця величина підпорядковується розподілу Стьюдента. Розподіл Стьюдента характерне тим, що не залежить від параметрів х ₀ і s нормальної генеральної сукупності і дозволяє при невеликому числі вимірювань (n <20) оцінити похибку D x = - Х _i по заданій довірчій ймовірності a або за заданим значенням D x знайти надійність вимірювань. Цей розподіл залежить тільки від змінної t _a і числа ступенів свободи l = n - 1.

Рис. 3. Криві щільності ймовірностей розподілів Стьюдента при n = 3 (- -) і Гауса при x = 0 і s = 1 (-)

Розподіл Стьюдента справедливо при n 2 і симетрично щодо t _a = 0 (див. рис. 3). З ростом числа вимірів t _{a-розподіл} прагне до нормального розподілу (фактично при n> 20).
Довірчу ймовірність при заданої похибки результату вимірювань отримують з виразу
p ( -  <х ₀ < + ) = 1 - a. (2.14)
При цьому величина t _a аналогічна коефіцієнту t у формулі (2.11). Величину t _a називають коефіцієнтом Стьюдента, його значення наводяться в довідкових таблицях. Використовуючи співвідношення (2.14) та довідкові дані можна вирішити і зворотну задачу: за заданої надійності a визначити припустиму похибку результату вимірювань.
Розподіл Стьюдента дозволяє також встановити, що з імовірністю, як завгодно близькою до достовірності, при досить великому n середнє арифметичне значення буде як завгодно мало відрізнятися від істинного значення х _0.
Передбачалося, що закон розподілу випадкової похибки відомий. Проте часто при вирішенні практичних завдань не обов'язково знання закону розподілу, досить лише вивчити деякі числові характеристики випадкової величини, наприклад середнє значення і дисперсію. При цьому обчислення дисперсії дозволяє оцінити довірчу ймовірність навіть у разі, коли закон розподілу похибки невідомий або відрізняється від нормального.
У разі, якщо проведено всього один вимір, точність вимірювання фізичної величини (якщо воно проведено ретельно) характеризується точністю вимірювального приладу.

3. ПОХИБКИ НЕПРЯМИХ ВИМІРЮВАНЬ

Часто при проведенні експерименту зустрічається ситуація, коли шукані величини і (х _i) безпосередньо визначити неможливо, проте можна виміряти величини х _i.
Наприклад, для вимірювання густини r найчастіше вимірюють масу m і об'єм V, а значення щільності розраховують за формулою r = m / V.
Величини х _i містять, як зазвичай, випадкові похибки, тобто спостерігають величини x _i '= x _i D x _i. Як і раніше, вважаємо, що x _i розподілені за нормальним законом.
1. Нехай і = f (х) є функцією однієї змінної. У цьому випадку абсолютна похибка
. (3.1)
Відносна похибка результату непрямих вимірювань
. (3.2)
2. Нехай і = f (х, у) є функцією двох змінних. Тоді абсолютна похибка
, (3.3)
а відносна похибка становитиме
. (3.4)
3. Нехай і = f (х, у, z, ...) є функцією кількох змінних. Тоді абсолютна похибка за аналогією
(3.5)
і відносна похибка
, (3.6)
де , і визначаються згідно з формулою (2.9).
У таблиці 2 наводяться формули для визначення похибок непрямих вимірювань для деяких часто зустрічаються формул.
Таблиця 2

Функція u	Абсолютна похибка D u	Відносна похибка d u
e x
ln x
sin x
cos x
tg x
ctg x
x y
xy
x / y

4. Перевірка нормальності РОЗПОДІЛУ

Всі наведені вище довірчі оцінки як середніх значень, так і дисперсій засновані на гіпотезі нормальності закону розподілу випадкових помилок вимірювання і тому можуть застосовуватися лише до тих пір, поки результати експерименту не суперечать цій гіпотезі.
Якщо результати експерименту викликають сумнів в нормальності закону розподілу, то для вирішення питання про придатність або непридатність нормального закону розподілу треба зробити досить велике число вимірювань і застосувати одну з описаних нижче методик.
Перевірка по середньому абсолютному відхиленню (САО). Методика може використовуватися для не дуже великих вибірок (n <120). Для цього обчислюється САТ за формулою:
. (4.1)
Для вибірки, що має наближено нормальний закон розподілу, має бути справедливий вираз
. (4.2)
Якщо таку нерівність (4.2) виконується, то гіпотеза нормальності розподілу підтверджується.
Перевірка за критерієм відповідності c ² ("хі-квадрат") або критерієм згоди Пірсона. Критерій грунтується на порівнянні емпіричних частот з теоретичними, які можна очікувати при прийнятті гіпотези про нормальність розподілу. Результати вимірювань після виключення грубих і систематичних помилок групують за інтервалами таким чином, щоб ці інтервали покривали всю вісь і щоб кількість даних у кожному інтервалі було достатньо великим (не менше п'яти). Для кожного інтервалу (х _{i -1,} х _i) підраховують число т _i результатів вимірювання, які потрапили в цей інтервал. Потім обчислюють ймовірність попадання в цей інтервал при нормальному законі розподілу ймовірностей р _i:
, (4.3)
Далі обчислюють суму
, (4.4)
де l - число всіх інтервалів, n - число всіх результатів вимірювань (n = т ₁ + т ₂ + ... + т _l).
Якщо сума, розрахована по даній формулі (4.4) виявиться більше критичного табличного значення c ^2, що визначається при деякій довірчої ймовірності р і числі ступенів свободи k = l - 3, то з надійністю р можна вважати, що розподіл ймовірностей випадкових помилок у розглянутій серії вимірювань відрізняється від нормального. В іншому випадку для такого висновку немає достатніх підстав.
Перевірка за показниками асиметрії та ексцесу. Даний метод дає наближену оцінку. Показники асиметрії А і ексцесу Е визначаються за наступними формулами:
, (4.5)
. (4.6)
Якщо розподіл нормально, то обидва ці показники повинні бути малі. Про малості цих характеристик зазвичай судять у порівнянні з їх середніми квадратичними помилками. Коефіцієнти порівняння розраховуються відповідно:
, (4.7)
. (4.8)
Розподіл можна вважати нормальним, якщо коефіцієнти С _А і С _Е не перевищують величини 2 ... 3.

5. МЕТОДИ ВИКЛЮЧЕННЯ Грубих помилок

При отриманні результату вимірювання, різко відрізняється від усіх інших результатів, виникає підозра, що допущена груба помилка. У цьому випадку необхідно відразу ж перевірити, чи не порушені основні умови вимірювання. Якщо ж така перевірка не була зроблена вчасно, то питання про доцільність бракування різко відрізняються значень вирішується шляхом порівняння його з іншими результатами вимірювань. При цьому застосовуються різні критерії, в залежності від того, відома чи ні середня квадратична помилка s _i вимірювань (передбачається, що всі вимірювання проводяться з однією і тією ж точністю і незалежно один від одного).
Метод виключення при відомій s _i. Спочатку визначається коефіцієнт t за формулою
, (5.1)
де x * - різко виділяється значення (передбачувана помилка). Значення визначається за формулою (2.1) без урахування передбачуваної помилки x *.
Далі задаються рівнем значущості a, при якому виключаються помилки, ймовірність появи яких менше величини a. Зазвичай використовують один з трьох рівнів значимості: 5% рівень (виключаються помилки, ймовірність появи яких менше 0.05); 1% рівень (відповідно менше 0.01) і 0.1% рівень (відповідно менш 0.001).
При обраному рівні значимості a виділяється значення x * вважають грубою помилкою і виключають його з подальшої обробки результатів вимірювань, якщо для відповідного коефіцієнта t, розрахованого за формулою (5.1), виконується умова: 1 - Ф (t) <a.
Метод виключення за невідомої s _i.
Якщо середня квадратична помилка окремого вимірювання s _i заздалегідь невідома, то вона оцінюється приблизно за результатами вимірювань за допомогою формули (2.8). Далі застосовується той же алгоритм, що і при відомій s _i з тією лише різницею, що у формулі (5.1) замість s _i використовується величина S _n, розрахована за формулою (2.8).
Правило трьох сигм.
Так як вибір надійності довірчої оцінки допускає деякий свавілля, в процесі обробки результатів експерименту широке поширення набуло правило трьох сигм: відхилення істинного значення вимірюваної величини не перевершує середнього арифметичного значення результатів вимірювань не перевершує потроєною середньої квадратичної помилки цього значення.
Таким чином, правило трьох сигм представляє собою довірчу оцінку у випадку відомої величини s
(5.2)
або довірчу оцінку
(5.3)
у разі невідомої величини s.
Перша з цих оцінок має надійність 2Ф (3) = 0.9973 незалежно від кількості вимірювань.
Надійність другий оцінки істотно залежить від кількості вимірювань n.
Залежність надійності р від кількості вимірювань n для оцінки грубої помилки у разі невідомої величини s вказана в
Таблиця 4

n	5	6	7	8	9	10	14	20	30	50	150
р (х)	0.960	0.970	0.976	0.980	0.983	0.985	0.990	0.993	0.995	0.996	0.997	0.9973

6. ПОДАННЯ РЕЗУЛЬТАТІВ ВИМІРЮВАНЬ

Результати вимірів можна представити у вигляді графіків і таблиць. Останній спосіб найбільш простий. У ряді випадків результати досліджень можна представляти тільки у вигляді таблиці. Але таблиця не дає наочного уявлення про залежність однієї фізичної величини від іншої, тому в багатьох випадках будують графік. Їм можна користуватися для швидкого знаходження залежності однієї величини від іншої, тобто по виміряних даними знаходять аналітичну формулу, що зв'язує величини х та у. Такі формули називають емпіричними. Точність знаходження функції у (х) за графіком визначається коректністю побудови графіка. Отже, коли не потрібно великої точності, графіки зручніше таблиць: вони займають менше місця, за ним швидше проводити відліки, при побудові їх згладжуються викиди в ході функції через випадкових похибок вимірювань. Якщо потрібно особливо висока точність, результати експерименту краще представляти у вигляді таблиць, а проміжні значення знаходити по інтерполяційним формулами.
Математична обробка результатів вимірювань експериментатором не ставить завдання розкрити істинний характер функціональної залежності між змінними, а лише дає можливість найбільш простою формулою описати результати експерименту, що дозволяє використовувати інтерполювання і застосувати до спостережуваних даними методи математичного аналізу.
Графічний метод. Найчастіше для побудови графіків використовують прямокутну систему координат. Щоб полегшити побудову, можна використовувати міліметровий папір. При цьому відліки відстаней на графіках слід робити лише по розподілам на папері, а не за допомогою лінійки, так як довжина поділів може бути різною по вертикалі і горизонталі. Попередньо потрібно вибрати розумні масштаби по осях так, щоб точність вимірювання відповідала точності відліку за графіком і графік не був розтягнутий та утисків уздовж однієї з осей, оскільки це веде до збільшення похибки відліку.
Далі на графік наносять точки, які мають результати вимірювань. Для виділення різних результатів їх наносять різними значками: гуртками, трикутниками, хрестиками і т. п. Так як в більшості випадків похибки значень функції більше похибок аргументу, то наносять тільки похибка функції у вигляді відрізка довжиною, рівній подвоєній похибки в даному масштабі. При цьому експериментальна точка знаходиться в середині цього відрізка, який з обох кінців обмежується рисками. Після цього проводять плавну криву так, щоб вона проходила можливо ближче до всіх експериментальних точок і приблизно однакове число точок знаходилося по обидва боки кривої. Крива повинна (як правило) лежати в межах похибок вимірювань. Чим менше ці похибки, тим краще крива збігається з експериментальними точками. Важливо відзначити, що краще провести плавну криву поза меж похибки, ніж допустити злам кривої поблизу окремої точки. Якщо одна або кілька точок лежать далеко від кривої, то це часто свідчить про грубу помилку при обчисленні або вимірі. Криві на графіках найчастіше будують за допомогою лекал.
Не слід брати дуже багато точок при побудові графіка плавної залежності і тільки для кривих з максимумами і мінімумами необхідно в області екстремуму наносити точки більш часто.
При побудові графіків часто використовують прийом, званий способом вирівнювання або способом натягнутої нитки. Він заснований на геометричному доборі прямий "на око".
Якщо цей прийом не вдається, то в багатьох випадках перетворення кривої в пряму досягається застосуванням однієї з функціональних шкал або сіток. Найчастіше застосовуються логарифмічна або напівлогарифмічному сітки. Цей прийом корисний і в тих випадках, коли потрібно розтягнути або стиснути будь-якої ділянку кривої. Так, логарифмічний масштаб зручно використовувати для зображення досліджуваної величини, що змінюється на кілька порядків в межах вимірювань. Цей метод рекомендується для знаходження наближених значень коефіцієнтів в емпіричних формулах або для вимірювань з невисокою точністю даних. Прямий лінією при використанні логарифмічною сітки зображується залежність типу , А при використанні полулогаріфміческой сітки - залежність типу . Коефіцієнт В ₀ в деяких випадках може бути дорівнює нулю. Однак, при використанні лінійного масштабу всі значення на графіку відраховують з однаковою абсолютною точністю, а при використанні логарифмічного масштабу - з однаковою відносною точністю.

Слід також зауважити, що часто буває важко за наявним обмеженому ділянки кривої (особливо, якщо не всі точки лежать на кривій) судити про те, якого типу функцію необхідно використовувати для наближення. Тому переводять експериментальні точки на ту чи іншу координатну сітку і вже потім дивляться, на якій з них отримані дані найближче збігаються з прямою, і відповідно до цього вибирають емпіричну формулу.
Підбір емпіричних формул. Хоча немає загального методу, який давав би можливість підібрати найкращу емпіричну формулу для будь-яких результатів вимірювань, все ж таки можна знайти емпіричне співвідношення, найбільш точно відображає шукану залежність. Не слід добиватися повного збігу між експериментальними даними та шуканої формулою, так як інтерполяційний многочлен або інша апроксимуюча формула буде повторювати всі погрішності вимірювань, а коефіцієнти не будуть мати фізичного сенсу. Тому, якщо не відома теоретична залежність, то вибирають таку формулу, яка краще збігається з виміряними значеннями і містить менше параметрів. Для визначення відповідної формули експериментальні дані зображують графічно і порівнюють з різними кривими, які будують за відомим формулами в тому ж масштабі. Змінюючи параметри у формулі, можна певною мірою змінювати вигляд кривої. У процесі порівняння необхідно враховувати наявні екстремуми, поведінка функції при різних значеннях аргументу, опуклість або увігнутість кривої на різних ділянках. Підібравши формулу, визначають значення параметрів так, щоб різниця між кривою і експериментальними даними було не більше похибок вимірювань.
На практиці найбільш часто використовуються лінійна, показова і статечна залежності.

7. ДЕЯКІ ЗАВДАННЯ АНАЛІЗУ ДОСВІДЧЕНИХ ДАНИХ

Інтерполювання. Під інтерполяцією розуміють, по-перше, знаходження значень функції для проміжного значень аргументу, відсутніх в таблиці і, по-друге, заміну функції інтерполює многочленом, якщо аналітичний вираз її невідомо, а функція повинна підлягати певним математичних операцій. Найбільш прості способи інтерполювання - лінійне і графічне. Лінійне інтерполювання можна застосовувати тоді, коли залежність у (х) виражається прямою лінією або кривої, близької до прямої, для якої таке інтерполювання не призводить до грубих похибок. У деяких випадках можна проводити лінійне інтерполювання і при складній залежності у (х), якщо воно проводиться в межах настільки малої зміни аргументу, що залежність між змінними можна вважати лінійної без помітних похибок. При графічному інтерполювання невідому функцію у (х) замінюють її наближеним графічним зображенням (по експериментальних точок або табличним даними), з якого визначають значення у при будь-яких х в межах вимірювань. Проте точне графічне побудова складних кривих іноді виявляється дуже важким, наприклад кривої з різкими екстремумами, тому графічне інтерполювання має обмежене застосування.
Таким чином, у багатьох випадках неможливо застосувати ні лінійного, ні графічного інтерполювання. У зв'язку з цим були знайдені інтерполює функції, що дозволяють обчислити значення у з достатньою точністю для будь-якої функціональної залежності у (х) за умови, що вона є безперервною. Інтерполюються функція має вигляд
, (7.1)
де B _0, B _1, ... B _n - визначаються коефіцієнти. Оскільки даний многочлен (7.1) зображується кривої параболічного типу, то така інтерполяція називається параболічної.
Коефіцієнти интерполирующего многочлена знаходять, вирішуючи систему з (l + 1) лінійних рівнянь, які утворюються при підстановці в рівняння (7.1) відомих значень у _i і х _i.
Найбільш просто виробляється інтерполяція, коли інтервали між значеннями аргументу постійні, тобто
, (7.2)
де h - постійна величина, яка називається кроком. У загальному випадку
. (7.3)
При використанні інтерполяційних формул доводиться мати справу з речами значень у і різницями цих різниць, тобто різницями функції у (х) різних порядків. Різниці будь-якого порядку обчислюються за формулою
. (7.4)
Наприклад,
і .
При обчисленні різниць їх зручно розташовувати у вигляді таблиці (див. Табл. 4), в кожному стовпці якої різниці записують між відповідними значеннями зменшуваного і від'ємника, тобто складається таблиця діагонального типу. Зазвичай різниці записують в одиницях останнього знака.
Таблиця 4
Різниці функції у (х)

x	y	Dy	D 2 y	D 3 y	D 4 y
x 0	у 0	Dу 0 Dу 1 Dу 2 Dу 3	D 2 у 0 D 2 в 1 D 2 у 2
x 1	у 1			D 3 у 0 D 3 в 1
x 2	у 2				D 4 у 0
x 3	у 3
х 4	у 4

Так як функція у (х) виражається многочленом (7.1) n-го ступеня відносно х, то різниці також є многочленами, ступеня яких знижуються на одиницю при переході до наступної різниці. N-я різниця многочлена n-го ступеня є постійним числом, т . е. містить х в нульовий ступеня. Всі різниці більш високого порядку дорівнюють нулю. Це визначає ступінь интерполирующего многочлена.
Перетворивши функцію (7.1), можна отримати першу інтерполяційну формулу Ньютона:
. (7.5)
Вона використовується для знаходження значень у при будь-яких х в межах вимірювань. Уявімо цю формулу (7.5) в дещо іншому вигляді:
. (7.6)
Останні дві формули іноді називають інтерполяційними формулами Ньютона для інтерполяції вперед. У ці формули входять різниці, що йдуть по діагоналі вниз, і їх зручно використовувати на початку таблиці експериментальних даних, де різниць достатньо.
Друга інтерполяціонная формула Ньютона, виведена з того ж рівняння (7.1), виглядає наступним чином:
. (7.7)
Цю формулу (7.7) прийнято називати інтерполяційної формулою Ньютона для інтерполяції назад. Вона використовується для визначення значень у у кінці таблиці.
Тепер розглянемо інтерполяцію при неравноотстоящіх значеннях аргументу.
Нехай, як і раніше функція у (х) задається низкою значень х _i і у _i, але інтервали між послідовними значеннями х _i неоднакові. Використовувати вищенаведені формули Ньютона не можна, так як вони містять постійний крок h. У завданнях такого роду необхідно обчислити наведені різниці:
; і т. д.
; і т. д. (7.8)
Різниці більш високих порядків обчислюються аналогічно. Як і для випадку рівновіддалених значень аргументу, якщо f (х) - многочлен n-го ступеня, то різниці n-го порядку постійні, а різниці більш високого порядку дорівнюють нулю. У простих випадках таблиці наведених різниць мають вигляд, аналогічний таблиць різниць при рівновіддалених значеннях аргументу.
Крім розглянутих інтерполяційних формул Ньютона часто застосовують інтерполяційну формулу Лагранжа:
. (7.9)
У цій формулі кожне з доданків являє собою многочлен n-го ступеня і всі вони рівноправні. Тому до закінчення обчислень не можна нехтувати будь-якими з них.
Зворотне інтерполювання. На практиці іноді буває необхідно знайти значення аргументу, якому відповідає певне значення функції. У цьому випадку интерполируют обернену функцію і слід мати на увазі, що різниці функції не постійні та інтерполювання потрібно проводити для неравноотстоящіх значень аргументу, тобто використовувати формулу (7.8) або (7.9).
Екстраполювання. Екстраполірованія називають обчислення значень функції у за межами інтервалу значень аргументу х, в якому були проведені вимірювання. При невідомому аналітичному вираженні шуканої функції екстраполювання потрібно проводити дуже обережно, так як не відомо поведінку функції у (х) за межами інтервалу вимірювань. Екстраполяція допускається, якщо хід кривої плавний і немає причин чекати різких змін в досліджуваному процесі. Тим не менш екстраполювання повинно проводитися у вузьких межах, наприклад у межах кроку h. У більш далеких точках можна отримати неправильні значення у. Для екстраполірованія застосовуються ті ж формули, що і для інтерполювання. Так, перша формула Ньютона використовується при екстраполірованія тому, а друга формула Ньютона - при екстраполірованія вперед. Формула Лагранжа застосовується в обох випадках. Треба також мати на увазі, що екстраполювання призводить до великих погрішностей, ніж інтерполювання.
Чисельне інтегрування.
Формула трапецій. Формулу трапецій зазвичай застосовують в тому випадку, якщо значення функції виміряні для рівновіддалених значень аргументу, тобто з постійним кроком. За правилом трапецій в якості наближеного значення інтеграла
(7.10)
приймають величину
, (7.11)

Рис. 7.1. Порівняння методів чисельного інтегрування
тобто вважають . Геометрична інтерпретація формули трапецій (див. рис. 7.1) наступна: площа криволінійної трапеції замінюється сумою площ прямолінійних трапецій. Повна помилка обчислення інтеграла за формулою трапецій оцінюється як сума двох помилок: помилки усікання, викликаної заміною криволінійної трапеції прямолінійними, і помилки округлення, викликаної помилками вимірювання значень функції. Помилка усікання для формули трапецій становить
, Де . (7.12)
Формули прямокутників. Формули прямокутників, як і формулу трапецій застосовують також у разі рівновіддалених значень аргументу. Наближена інтегральна сума визначається за однією з формул
, (7.13)
. (7.14)
Геометрична інтерпретація формул прямокутників дана на рис. 7.1. Похибка формул (7.13) і (7.14) оцінюється нерівністю
, Де . (7.15)
Формула Сімпсона. Наближено інтеграл визначається за формулою
, (7.16)
де n - парне число. Помилка формули Сімпсона оцінюється нерівністю
, Де . (7.17)
Формула Сімпсона призводить до точних результатів для випадку, коли підінтегральна функція є многочленом другого або третього ступеня.
Чисельне інтегрування диференціальних рівнянь. Розглянемо звичайне диференціальне рівняння першого порядку у '= f (х, у) з початковою умовою у = у ₀ при х = х _0. Потрібно знайти наближено його рішення у = у (х) на відрізку [х _0, х _k].

Рис. 7.2. Геометрична інтерпретація методу Ейлера
Для цього даний відрізок ділиться на n рівних частин довжиною (х _k - х ₀₎ / n. Пошук наближених значень у _1, у _2, ..., у _n функції у (х) в точках розподілу х _1, х _2, ..., х _n = х _k здійснюється різними методами.
Метод ламаних Ейлера. При заданому значенні у ₀ = у (х ₀₎ інші значення у _i у (х _i) послідовно обчислюються за формулою
, (7.18)
де i = 0, 1, ..., n - 1.
Графічно метод Ейлера представлений на рис. 7.1, де графік вирішення рівняння у = у (х) наближено представляється ламаною (звідки і походить назва методу). Метод Рунге-Кутта. Забезпечує більш високу точність у порівнянні з методом Ейлера. Шукані значення у _i послідовно обчислюються за формулою
, (7.19), де ,
, , .

ОГЛЯД НАУКОВОЇ ЛІТЕРАТУРИ

Огляд літератури - обов'язкова частина будь-якого звіту про дослідження. Огляд повинен повно і систематизовано викладати стан питання, дозволяти об'єктивно оцінювати науково-технічний рівень роботи, правильно обирати шляхи і засоби досягнення поставленої мети і оцінювати як ефективність цих засобів, так і роботи в цілому. Предметом аналізу в огляді повинні бути нові ідеї та проблеми, можливі підходи до вирішення цих проблем, результати попередніх досліджень, дані економічного характеру, можливі шляхи вирішення завдань. Суперечливі відомості, що містяться в різних літературних джерелах, повинні бути проаналізовані та оцінені з особливою ретельністю.
З аналізу літератури повинно бути видно, що в цьому вузькому питанні відомо цілком вірогідно, що сумнівно, спірно; які завдання в поставленої технічної проблеми першочергові, ключові; де і як варто шукати їх вирішення.
Витрати часу на огляд складаються приблизно так:

виписки з довідників, читання і конспектування основних монографій	3 - 5%
складання робочого плану огляду	1 - 2%
пошук періодики (і складання картотеки або списку літератури)	5 - 8%
читання і конспектування періодики	30 - 40%
відбір матеріалу з конспектів, його зіставлення та аналіз	20 - 30%
написання огляду	10 - 20%
правка тексту	10 - 15%
листування і виготовлення малюнків	5 - 6%

Дослідження завжди має вузьку конкретну мету. У висновку огляду обгрунтовані вибір мети і методу. Огляд повинен підготувати це рішення. Звідси випливає його план і відбір матеріалу. В огляді розглядають тільки такі вузькі питання, які можуть прямо вплинути на рішення задачі, але настільки повно, щоб охопити практично всю сучасну літературу з цього питання.

ОРГАНІЗАЦІЯ ДОВІДКОВО-ІНФОРМАЦІЙНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ

У нашій країні в основу інформаційної діяльності покладено принцип централізованої обробки наукових документів, що дозволяє з найменшими витратами досягти повного охоплення джерел інформації, найбільш кваліфіковано їх узагальнити і систематизувати. У результаті такої обробки готуються різні форми інформаційних видань. До них відносяться:
1) реферативні журнали (РЖ) - основне інформаційне видання, що містить переважно реферати (іноді анотації та бібліографічні описи) джерел, що представляють найбільший інтерес для науки і практики. Реферативні журнали, що оповіщають про що з'явилася науково-технічній літературі, дозволяють здійснювати ретроспективний пошук, долати мовні бар'єри, дають можливість стежити за досягненнями в суміжних галузях науки і техніки;
2) бюлетені сигнальної інформації (СІ), що включають у себе бібліографічні описи літератури, що виходить по певній галузі знань і є по суті бібліографічними покажчиками. Їх основним завданням є оперативне інформування про всі новинки наукової і технічної літератури, так як з'являється ця інформація значно раніше, ніж у реферативних журналах;
3) експрес-інформація - інформаційні видання, що містять розширені реферати статей, опис винаходів та інших публікацій та дозволяють не звертатися до першоджерела. Завдання експрес-інформації - швидке і досить повне ознайомлення фахівців з новітніми досягненнями науки і техніки;
4) аналітичні огляди - інформаційні видання, що дають уявлення про стан і тенденції розвитку певної галузі (розділу, проблеми) науки і техніки;
5) реферативні огляди - переслідують ту ж мету, що і аналітичні огляди, і в той же час мають більш описовий характер. Автори реферативних оглядів не дають власної оцінки містяться в них відомостей;
6) друковані бібліографічні картки, тобто повний бібліографічний опис джерела інформації. Відносяться до числа сигнальних видань і виконують функції оповіщення про нові публікації і можливості створення каталогів і картотек, необхідних кожному фахівцю, науковому працівнику;
7) анотовані друковані бібліографічні картки;
8) бібліографічні покажчики.
Більша частина цих видань поширюється і з індивідуальною підпискою. Докладні відомості про них можна знайти в видаються щорічно "Каталогах видань органів науково-технічної інформації".