Обробка результатів вимірювань

Введення

У практичному житті людина всюди має справу з вимірами. На кожному кроці зустрічаються вимірювання таких величин, як довжина, обсяг, вага, час і ін

Вимірювання є одним з найважливіших шляхів пізнання природи людиною. Вони дають кількісну характеристику навколишнього світу, розкриваючи людині діючі в природі закономірності. Усі галузі техніки не могли б існувати без розгорнутої системи вимірювань, що визначають як усі технологічні процеси, контроль і управління ними, так і властивості і якість продукцій.

Велике значення вимірювань у сучасному суспільстві. Вони служать не тільки основою науково-технічних знань, але мають першорядне значення для обліку матеріальних ресурсів і планування, для внутрішньої і зовнішньої торгівлі, для забезпечення якості продукції, взаємозамінності вузлів і деталей і вдосконалення технології, для забезпечення безпеки праці та інших видів людської діяльності.

Особливо зросла роль вимірювань в століття широкого впровадження нової техніки, розвитку електроніки, автоматизації, атомної енергетики, космічних польотів. Висока точність керування польотами космічних апаратів досягнута завдяки сучасним досконалим засобам вимірювань, які встановлюються як на самих космічних апаратах, так і в вимірювально-керуючих центрах.

Велика розмаїтість явищ, з якими доводиться стикатися, визначає широке коло величин, що підлягають вимірюванню. У всіх випадках проведення вимірювань, незалежно від вимірюваної величини, методу і засобу вимірювань, є спільне, що складає основу вимірювань - це порівняння дослідним шляхом даної величини з іншою подібною їй, прийнятої за одиницю. При будь-якому вимірі ми за допомогою експерименту оцінюємо фізичну величину у вигляді деякого числа прийнятих для неї одиниць, тобто знаходимо її значення.

В даний час встановлено наступне визначення виміру: вимір є знаходження значення фізичної величини дослідним шляхом за допомогою спеціальних технічних засобів.

Галуззю науки, що вивчає вимірювання, є метрологія.

Слово «метрологія» утворене з двох грецьких слів: метрон - міра і логос - вчення. Дослівний переклад слова «метрологія» - вчення про заходи. Довгий час метрологія залишалася в основному описової наукою про різні заходи і співвідношеннях між ними. З кінця минулого століття завдяки прогресу фізичних наук метрологія отримала суттєвий розвиток. Велику роль у становленні сучасної метрології як однієї з наук фізичного циклу зіграв Д.І. Менделєєв, який керував вітчизняної метрологією в період 1892-1907 рр..

Метрологія в її сучасному розумінні - наука про вимірювання, методи, засоби забезпечення їх єдності та способи досягнення необхідної точності.

Єдність вимірювань - такий стан вимірювань, за якого їх результати виражені в узаконених одиницях і похибки вимірювань відомі із заданою ймовірністю. Єдність вимірювань необхідно для того, щоб можна було порівняти результати вимірювань, виконаних в різних місцях, в різний час, з використанням різних методів і засобів вимірювань.

Вимірювання є найважливішим поняттям в метрології. Це організоване дія людини, що виконується для кількісного пізнання властивостей фізичного об'єкта за допомогою визначення дослідним шляхом значення якої-небудь фізичної величини [20].

Існує кілька видів вимірювань. При їх класифікації зазвичай виходять з характеру залежності вимірюваної величини від часу, виду рівняння вимірювань, умов, що визначають точність результату вимірювань і способів вираження цих результатів.

За характером залежності вимірюваної величини від часу вимірювання поділяються на статичні, при яких вимірювана величина залишається постійною в часі; динамічні, в процесі яких вимірювана величина змінюється і є непостійною в часі.

Статичними вимірами є, наприклад, вимірювання розмірів тіла, постійного тиску, динамічними - вимірювання пульсуючих тисків, вібрацій.

За способом отримання результатів вимірювань їх поділяють на

прямі;

непрямі;

сукупні;

спільні.

Прямі - це вимірювання, при яких шукане значення фізичної величини знаходять безпосередньо з досвідчених даних. Прямі вимірювання можна виразити формулою де - Шукане значення вимірюваної величини, а X - значення, безпосередньо отримується з досвідчених даних.

При прямих вимірюваннях експериментальним операціями піддають вимірювану величину, яку порівнюють з мірою безпосередньо або ж за допомогою вимірювальних приладів, градуйованих в необхідних одиницях. Прикладами прямих служать вимірювання довжини тіла лінійкою, маси за допомогою ваг і ін Прямі вимірювання широко застосовуються в машинобудуванні, а також при контролі технологічних процесів (вимірювання тиску, температури та ін.)

Непрямі - це вимірювання, при яких шукану величину визначають на підставі відомої залежності між цією величиною і величинами, що піддаються прямим вимірам, тобто вимірюють не власне визначається величину, а інші, функціонально з нею пов'язані. Значення вимірюваної величини знаходять шляхом обчислення за формулою

де Q - шукане значення побічно вимірюваної величини;

F - функціональна залежність, яка заздалегідь відома, - Значення величин, виміряних прямим способом.

Приклади непрямих вимірювань: визначення об'єму тіла за прямими вимірюваннями його геометричних розмірів, знаходження питомої електричного опору провідника за його опору, довжині і площі поперечного перерізу.

Непрямі вимірювання широко поширені в тих випадках, коли шукану величину неможливо або дуже складно виміряти безпосередньо або коли прямий вимір дає менш точний результат. Роль їх особливо велика при вимірюванні величин, недоступних безпосередньому експериментальному порівнянні, наприклад розмірів астрономічного або внутріатомної порядку.

Сукупні - це вироблені одночасно вимірювання кількох однойменних величин, при яких шукану визначають рішенням системи рівнянь, одержуваних при прямих вимірах різних сполучень цих величин.

Прикладом сукупних вимірів є визначення маси окремих гир набору (калібрування за відомою масою однієї з них і за результатами прямих порівнянь мас різних сполучень гир).

Приклад. Необхідно зробити калібрування важки, що складається з гир масою 1, 2, 2 *, 5, 10 і 20 кг (зірочкою відзначена гиря, що має те ж саме номінальне значення, але інше істинне). Калібрування полягає у визначенні маси кожної гирі по одній зразковою гирі, наприклад по гирі масою 1 кг. Для цього про-ведемо виміру, змінюючи щоразу комбінацію гир (цифри показують масу окремих гир,

- Позначає масу зразкової гирі в 1 кг):

і т.д.

Букви означають важки, які доводиться додавати або віднімати від маси гирі, зазначеної в правій частині рівняння, для урівноваження ваг. Вирішивши цю систему рівнянь, можна визначити значення маси кожної гирі.

Спільні - це вироблені одночасно вимірювання двох або декількох неодноіменних величин для знаходження залежностей між ними.

Як приклад можна назвати вимірювання електричного опору при 200С і температурних коефіцієнтів вимірювального резистора за даними прямих вимірів його опору при різних температурах.

За умовами, що визначає точність результату, вимірювання поділяються на три класи:

1. Вимірювання максимально можливої точності, досяжною при існуючому рівні техніки.

До них відносяться в першу чергу еталонні вимірювання, пов'язані з максимально можливою точністю відтворення встановлених одиниць фізичних величин, і, крім того, вимірювання фізичних констант, перш за все універсальних (наприклад абсолютного значення прискорення вільного падіння, гіромагнітного відносини протона та ін.)

До цього ж класу відносяться і деякі спеціальні вимірювання, що вимагають високої точності.

2. Контрольно-перевірочні вимірювання, похибка яких з певною ймовірністю не повинна перевищувати певного заданого значення.

До них відносяться вимірювання, що виконуються лабораторіями державного нагляду за впровадженням і дотриманням стандартів і станом вимірювальної техніки і заводськими вимірювальними лабораторіями, які гарантують погрішність результату з певною ймовірністю, що не перевищує деякого, наперед заданого значення.

3. Технічні вимірювання, в яких похибка результату визначається характеристиками засобів вимірювання.

Прикладами технічних вимірювань є вимірювання, що виконуються в процесі виробництва на машинобудівних підприємствах, на щитах розподільних пристроїв електричних станцій і ін

За способом вираження результатів вимірювань розрізняють абсолютні та відносні вимірювання.

Абсолютними називаються вимірювання, які засновані на прямих вимірюваннях однієї або декількох основних величин або на використанні значень фізичних констант.

Прикладом абсолютних вимірів може служити визначення довжини в метрах, сили електричного струму в амперах, прискорення вільного падіння в метрах на секунду в квадраті.

Відносними називаються вимірювання відношення величини до однойменної величини, що відіграє роль одиниці, або вимірювання величини по відношенню до однойменної величини, прийнятої за вихідну.

Як приклад відносних вимірів можна привести вимір відносної вологості повітря, яка визначається як відношення кількості водяної пари в 1 ^м3 повітря до кількості водяної пари, що насичує 1 м ³ повітря при даній температурі.

Основними характеристиками вимірювань є: принцип вимірювань, метод вимірювань, похибка, точність, правильність і достовірність.

Принцип вимірювань - фізичне явище або сукупність фізичних явищ, покладених в основу вимірювань. Наприклад, вимірювання маси тіла за допомогою зважування з використанням сили тяжіння, пропорційній масі, вимірювання температури з використанням термоелектричного ефекту.

Метод вимірювань - сукупність прийомів використання принципів і засобів вимірювань. Засобами вимірювань є використовувані технічні засоби, що мають нормовані метрологічні характеристики.

Похибка вимірювань - різниця між отриманими при вимірюванні X 'і істинним Q значеннями вимірюваної величини:

Похибка викликається недосконалістю методів і засобів вимірювань, непостійністю умов спостереження, а також недостатнім досвідом спостерігача або особливостями його органів почуттів.

Точність вимірів - це характеристика вимірювань, що відображає близькість їх результатів до істинного значення вимірюваної величини.

Кількісно точність можна висловити величиною, зворотної модулю відносної похибки:

Наприклад, якщо похибка вимірювань дорівнює то точність дорівнює .

Правильність вимірювання визначається як якість вимірювання, що відображає близькість до нуля систематичних похибок результатів (тобто таких похибок, які залишаються постійними або закономірно змінюються при повторних вимірюваннях однієї і тієї ж величини). Правильність вимірювань залежить, зокрема, від того, наскільки дійсний розмір одиниці, в якій виконано вимір, відрізняється від її справжнього розміру (за визначенням), тобто від того, якою мірою були правильні (вірні) засоби вимірювань, використані для даного виду вимірювань.

Найважливішою характеристикою якості вимірювань є їх достовірність; вона характеризує довіру до результатів вимірювань і ділить їх на дві категорії: достовірні і недостовірні, залежно від того, відомі або невідомі ймовірні характеристики їх відхилень від дійсних значень відповідних величин. Результати вимірювань, достовірність яких невідома, не представляють цінності і в ряді випадків можуть служити джерелом дезинформації.

Наявність похибки обмежує достовірність вимірювань, тобто вносить обмеження в число достовірних значущих цифр числового значення вимірюваної величини і визначає точність вимірювань.

Обробка результатів непрямих вимірювань

Нехай при непрямих вимірюваннях величина Z розраховується за експериментальними даними, отриманими за m вимірам величин a j:

(2.3.11)

Запишемо повний диференціал функції:

(2.3.12)

У разі слабкої залежності функції від аргументів її приріст може бути виражене у вигляді лінійної комбінації . Згідно (2.3.12) отримаємо:

(2.3.13)

Кожне складова в (2.3.13) є приватну похибка результату непрямих вимірювань.

Похідні називається коефіцієнтами впливу відповідних похибок.

Формула (2.3.13) є наближеною, оскільки враховує тільки лінійну частину збільшень функції. У більшості практичних випадків таке наближення виправдано.

Якщо відомі систематичні похибки прямих вимірювань то формула (2.3.13) дозволяє розрахувати систематичну погрішність непрямих вимірювань.

Якщо приватні похідні в (2.3.13) мають різні знаки, то відбувається часткова компенсація систематичних похибок.

Якщо формула (2.3.13) використовується для обчислення граничної похибки, то вона набуває вигляду:

(2.3.14)

Розглянемо, як, використовуючи формулу (2.3.13), можна оцінити випадкову погрішність непрямих вимірювань.

Нехай похибка прямих вимірювань має нульове математичне сподівання і дисперсію .

Використовую (2.3.13) запишемо вирази для математичного очікування і дисперсії похибки непрямих вимірювань Математичні сподівання окремих вимірів складаються з урахуванням вкладу кожного з них:

(2.3.15)

Для обчислення дисперсії скористаємося правилом складання похибок:

(2.3.16)

Де - Коефіцієнт кореляції похибок .

Якщо похибки НЕ коррелірованни, то

(2.3.17)

Обробка результатів прямих вимірювань

Нехай результати прямих вимірювань рівні n прямих вимірів рівні

y 1, y 2, ..., y n. Припустимо, що істинне значення вимірюваної величини дорівнює a, тоді похибка i - го виміру.

Щодо похибки передбачаються такі припущення:

- Випадкова величина з нормальним розподілом.
Математичне сподівання (Відсутній систематична похибка)

3) Похибка має дисперсію , Яка не змінюється в залежності від номера вимірювання, тобто вимір равноточние.

4) Виміри незалежні.

При цих припущеннях щільність розподілу результату вимірювання запишеться у вигляді:

(2.3.1)

В даному випадку істинне значення вимірюваної величини a входить в формулу (2.3.1) як параметр.

Внаслідок незалежності окремих вимірювань щільність розподілу системи величин y 1, y 2, ..., y n. виражається формулою:

. (2.3.2)

З урахуванням (2.3.1) і незалежності y 1, y 2, ..., y n. їх багатовимірна щільність розподілу (2.3.2) представляє собою функцію правдоподібності:

(2.3.3)

Використовуючи функцію правдоподібності (2.3.3) необхідно знайти оцінку a o для вимірюваної величини a таким чином, щоб в (2.3.3) a = a o виконувалася умова:

(2.3.4)

Для виконання (2.3.4) необхідно, щоб

(2.3.5)

По суті умова (2.3.5) є формулюванням критерію найменших квадратів, тобто для нормального розподілу оцінки за методом найменших квадратів і методом максимальної правдоподібності збігаються.

З (2.3.4) і (2.3.5) можна отримати також найкращу оцінку

(2.3.6)

Важливо розуміти, що отримана оцінка є випадковою величиною з нормальним розподілом. При цьому

(2.3.7)

Таким чином, отримуючи , Ми збільшуємо точність вимірювань, оскільки дисперсія цієї величини в n разів менше дисперсії окремих вимірювань. Випадкова похибка при цьому зменшиться в разів.

Для оцінки невизначеності величини необхідно отримати оцінку похибки (дисперсії). Для цього прологарифмируем функцію максимального правдоподібності (2.3.3) і оцінку дисперсії знайдемо з умови

(2.3.8)

Після диференціювання отримаємо

(2.3.9)

а далі, з (2.3.9) - оцінку дисперсії :

(2.3.10)

Таким чином ми довели, що для нормально розподілених даних СКО є кращою оцінкою дисперсії.

Обробка результатів спільних вимірювань

При спільних вимірах отримані значення використовуються для побудови залежностей між вимірюваними величинами. Розглянемо багатофакторний експеримент, за результатом якого повинна бути побудована залежність

Припустимо далі, що залежність тобто параметр стану є лінійна комбінація з вхідних факторів. В процесі експерименту проводиться спільних вимірів для знаходження коефіцієнтів

У цьому випадку шукані величини визначаються в результаті рішення системи лінійних рівнянь:

(2.3.18)

Де - Шукані коефіцієнти залежності, яку необхідно визначити, - Вимірювані значення величин.

У припущенні, що система рівнянь (2.3.18) є точною, але значення отримані з похибками, запишемо:

(2.3.19)

де - Похибка вимірювання , Тоді

(2.3.20)

Для вирішення завдання ми змушені використовувати значення . При цьому, якщо число вимірювань більше числа невідомих у рівнянні (2.3.18), то система (2.3.18) не має однозначних рішень.

Тому рівняння системи (2.3.18) іноді називають умовними.

Оцінимо випадкову погрішність спільних вимірів. Нехай похибка має нормальний закон розподілу з нульовим математичним очікуванням і дисперсією. Виміри незалежні. У цьому випадку за аналогією з обробкою прямих вимірів може бути побудована функція максимального правдоподібності:

(2.3.21)

Для знаходження екстремуму функції правдоподібності (2.3.21) скористаємося вже відомої процедурою. Прологарифмируем (2.3.21) і знайдемо значення, при яких функція досягає екстремуму. Умова максимуму функції (2.3.21) є:

(2.3.22)

Таким чином ((2.3.22)) відповідає вимогам методу найменших квадратів. Отже, при нормальному розподілі випадкової похибки оцінки за методом максимальної правдоподібності і за методом найменших квадратів збігається.

Для знаходження оцінки задовольняє (2.3.22) необхідно домогтися рівності нулю всіх приватних похідних цієї функції за

Для кожного значення ця оцінка буде перебувати з наступного рівняння:

(2.3.23)

Система рівнянь (2.3.23) є лінійною щодо і називається системою нормальних рівнянь. Число рівнянь в системі завжди збігається з числом .

Система (2.3.23) вирішується методом визначників

Де D - визначник матриці а визначник D j виходить з визначника D заміною j-го стовпця стовпцем вільних членів.

Для знаходження оцінки дисперсії результатів знайдемо умова максимуму після логарифмування (2.3.21) і підставимо (Див. (2.3.8-2.3.10)), отримаємо:

Побудова функціональної залежності при однофакторном експерименті

Нехай при однофакторном експерименті є вибірка, що описує зміни вхідних параметрів, і набір вихідних величин (рис. 3.1). Необхідно побудувати залежність .

Рис. 3.1

Для аналізу експериментальних даних існує дуже багато способів завдання цієї залежності аналітичними і чисельними методами. Ми зазначимо лише найпоширеніші з них:

Подальша обробка може проводитися при безпосередньому чисельному використанні масиву значень .

2. У випадку, коли кількість вимірювань i не дуже велика і розкид значень малий, залежність може бути побудована шляхом інтерполяції (апроксимації) через всі експериментальні точки. У цьому випадку проводиться залежність через всі точки з координатами . Найпростіший варіант проведення такої залежності полягає в побудові полінома (статечного ряду).

Нехай (3.1.1)

Інтерполюються функція

Многочлен має n + 1 член.

Вимагаючи виконання умови (3.1.1), отримаємо систему з рівнянь з невідомими:

(3.1.2)

де кожному відповідає своє рівняння.

Замість вирішення системи рівнянь (3.1.2) на практиці використовуються більш зручні і менш трудомісткі способи, зокрема:

· Інтерполяція многочленом Лагранжа;

· Інтерполяція многочленом Ньютона.

Інтерполяційні формули Ньютона особливо зручні в разі рівновіддалених вузлів ( однаково для всіх i). У випадку, якщо i велике (велика кількість вузлів), інтерполяційний многочлен має високу ступінь і виявляється незручним для обчислень.

При занадто високому ступені полінома проблеми можна уникнути, розбивши відрізок інтерполяції на кілька частин з побудовою для кожної з них свого інтерполяційного многочлена. Таке інтерполяція має серйозний недолік: в точках стику інтерполяційних многочленів виявляється розривної перша похідна. На малюнку 3.2 показаний найпростіший спосіб такої інтерполяції експериментальної залежності - з'єднання сусідніх точок прямими (многочлен ступеня ).

4. Якщо необхідно, щоб залежність мала безперервні похідні, користуються сплайнами.

Сплайн (від англ. Spline - рейка) - функція, що є алгебраїчним многочленом на кожному відрізку і безперервна в усій області разом зі своїми похідними. Найчастіше користуються сплайнами третього ступеня. Відповідна залежність показана на рис. 3.2 курсивом.

Рис. 3.2.

5. При однофакторном експерименті, коли є результати багаторазових вимірювань з випадковою похибкою (див. пункт 2.2 цього посібника), проведення залежно через всі експериментальні точки безглуздо. Найчастіше в цьому випадку для побудови функціональної залежності користуються методом найменших квадратів (МНК).

Побудова функціональної залежності за допомогою методу найменших квадратів. Даний метод використовується тоді, коли число точок i (вузлів) велика і побудова плавної залежності

(3.1.3)

проходить через всі точки неможливо через великий розкид значень. Функція (3.1.3) називається рівнянням регресії y на x. Нехай наближена функція, що описує залежить від трьох параметрів Ця функція не буде проходити через всі точки з координатами тоді можна знайти суму квадратів різниць

(3.1.4)

Завдання зводиться до відшукання мінімуму , Тобто до розв'язання системи рівнянь

А саме

(3.1.5)

Вирішивши систему (3.1.5) щодо параметрів a, b, c знаходимо конкретний вид шуканої функції.

Наближає (наближена) функція може мати будь-який вид: лінійна залежність, парабола, синусоїда і т.д. Найчастіше використовуються алгебраїчні многочлени не вище третього порядку. У більшості випадків аналізується лінійна регресія, коли

(3.1.6)

Головна особливість регресійного аналізу полягає в тому, що регресія y на x не відповідає регресії x на y (див. рис. 3.3).

Рис. 3.3.

Пояснимо це властивість регресійних залежностей. Нехай формула регресії має вигляд (3.1.6), наведемо її зворотну функцію:

(3.1.7)

Звернемо увагу, що в (3.1.7) вільний член залежить від коефіцієнта нахилу a прямій залежності (3.1.6). При побудові ж регресії пряма проходить приблизно через середину області, що охоплює експериментальні точки і її нахил визначається ставленням розкиду значень по осях x і y (перетин функцій і знаходиться в середині галузі експериментальних значень). Таким чином, регресія x (y), побудована за експериментальними даними, не буде співпадати з (3.1.7) через наявність вільного члена.

Рис. 3.4

Графічно це пояснюється на рис. 3.4, де по трьом експериментальним точкам побудовані регресії y (x) і x (y), які не збігаються. Для мінімізації СКО трьох експериментальних точок від прямої, залежність повинна проходити через одну з них і в середині між двома іншими крапками. Як видно з рис. 3.4, лінійні регресії, побудовані з цих міркувань присікаються в центрі області експериментальних значень і мають різний нахил.

Швидкі методи побудови функціональних залежностей

Завдання вибору виду функціональної залежності - завдання формалізації, оскільки одна і та ж експериментальна залежність може бути описана різними аналітичними виразами приблизно з однаковою точністю. Наприклад, U - подібна крива може бути описана як параболою, так і шматком синусоїди.

Основна вимога до математичної моделі - компактність і зручність використання, тому найчастіше користуються алгебраїчними многочленами, експоненціальними і тригонометричними функціями. Інша вимога - інтерпретацію. Наприклад, якщо експериментальна залежність описує зміна амплітуди затухаючих коливань, то функціональна залежність може бути побудована у вигляді або У цьому випадку, зі знання природи залежності (теоретичної моделі затухаючих коливань), буде обрана експоненціальна залежність .

Похибка у виборі функціональної залежності називається похибкою адекватності моделі. Для її усунення треба розглядати теоретичну модель описуваного явища чи процесу.

Швидкі методи встановлення графічного виду однофакторних залежностей. Найпростіший експрес-метод статистичної обробки - метод контуру (рис. 3.5, а, б).

Його суть - обведення експериментальних точок плавними межами. Вимога плавності увазі, що деякі точки можуть виявитися поза контуром (рис. 3.5, а). Метод контуру можна використовувати тоді, коли розкид експериментальних точок не надто великий (рис. 3.5, б).

а б в

Рис. 3.5

На малюнку 3.5, в показано побудова експериментальної залежності більш суворим експрес-методом, - методом медіанних центрів. Для цього область експериментальних даних розбивається вертикальними лініями на кілька областей (в даному випадку - три області), у кожній з яких знаходиться рівну кількість експериментальних точок. Медіа центр кожної з цих областей по координаті x є точки, праворуч і ліворуч від яких знаходиться рівну кількість експериментальних відліків. Знайшовши таким чином координати медіанних центрів, аналогічним чином в кожній області знаходять їх вертикальні координати вище і нижче яких перебувало б однакову кількість точок. Потім по точках з координатами будується плавна експериментальна крива. Необхідно пам'ятати, що координати ( ) Медіанних центрів не збігаються з середніми значеннями експериментальних даних.

Зв'язок коефіцієнта лінійної регресії, коефіцієнта кореляції і відносної похибки. Нехай за результатами однофакторного експерименту будується лінійна регресія тоді з системи (3.1.5) випливає:

(3.2.1)

З іншого боку коефіцієнт кореляції, що характеризує зв'язок між і , За визначенням

(3.2.2)

Зіставляючи (3.2.1) і (3.2.2), знайдемо зв'язок між коефіцієнтом регресії a і коефіцієнтом кореляції R:

(3.2.3)

де - Середньоквадратичні відхилення і Таким чином, коефіцієнт кореляції пов'язаний з розкидом значень по осях x, y і визначає можливу ступінь відхилення лінії регресійної залежності по нахилу. Нехай величина фіксована,

Рис. 3.6

тоді можливе відхилення по осі y від середнього значення становить де середньоквадратичне відхилення від лінії регресії (див. рис. 3.6). У зв'язку з цим, враховуючи (3.2.3), коефіцієнт кореляції дуже часто визначають як

(3.2.4)

де - Ширина смуги похибок по y; - Розкид значень який визначається діапазоном зміни величини .

Оскільки в практичних випадках то формулу (3.2.4) з урахуванням наближеного розкладання до першого члена в ряд Тейлора приводять до вигляду

(3.2.5)

Де приведена похибка. Таким чином, у більшості практичних випадків зв'язок між коефіцієнтом кореляції і наведеної похибкою може бути встановлена за допомогою найпростішої наближеною формули (3.2.5).

Швидка оцінка коефіцієнта кореляції вихідних даних. Швидку оцінку коефіцієнта кореляції і похибки вихідних даних можна провести також методом медіанних центрів (рис. 3.7).

Розіб'ємо поле експериментальних точок вертикальною рисою на дві рівні за кількістю точок області ( точок). У лівій і правій частинах знайдемо медіанні центри. Проведена через ці медіанні центри, позначені зірочкою, пряма a регресія y на x Тепер розіб'ємо експериментальну область на рівну кількість точок по вертикалі горизонтальній рисою і, після знаходження відповідних медіанних центрів, отримаємо пряму b - регресію x на y. Прямі a і b співпадуть тільки в тому випадку, коли коефіцієнт кореляції між і дорівнює одиниці, тобто R = 1.

Рис. 3.7

По розбіжності прямих a і b можна з урахуванням (3.2.3) оцінити коефіцієнт кореляції:

(3.2.6)

де визначається відношенням кутів їх нахилу. Для швидкої оцінки відносної похибки підставимо величину R з (3.2.6) в звернену формулу (3.2.5):

(3.2.7)

Таким чином, швидка оцінка коефіцієнта кореляції і значення відносної похибки грунтується на тому, що прямі a і b обов'язково проходять через точку перетину кордонів О. При цьому, чим вище розкид експериментальних даних (невитянутая область), тим більше буде кут між прямими a і b .

При побудові регресійних залежностей методом медіанних центрів, необхідно пам'ятати, що отримані лінії регресії в загальному випадку відрізняються від відповідних залежностей, отриманих за допомогою МНК. Їх відмінності будуть зменшуватися при збільшенні кількості експериментальних точок, якщо розкид експериментальних даних підпорядковується нормальному закону розподілу.

Класифікація похибок вимірювань

Похибка засобів вимірювання та результатів вимірювання. У першу чергу похибка вимірювань слід розділити на похибку засобів вимірів і похибка результатів вимірів.

Похибки засобів вимірювань - відхилення метрологічних властивостей або параметрів засобів вимірювань від номінальних, що впливають на похибки результатів вимірювань (створюють так звані інструментальні помилки вимірів).

Похибка результату вимірювання - відхилення результату вимірювання х змін. від дійсного (істинного) значення вимірюваної величини визначається за формулою - Похибка вимірювання.

У свою чергу похибки засобів вимірювань можна розділити на інструментальну та методичну похибки.

Інструментальні та методичні похибки. Методична похибка обумовлена недосконалістю методу вимірювання або спрощеннями, допущеними при вимірах. Так, вона виникає через використання наближених формул при розрахунку результату або неправильної методики вимірювань. Вибір помилкової методики можливий через невідповідність (неадекватності) вимірюваної фізичної величини та її моделі.

Причиною методичної похибки може бути не враховується взаємний вплив об'єкта вимірювань і вимірювальних приладів або недостатня точність такого обліку. Наприклад, методична похибка виникає при вимірах падіння напруги на ділянці кола за допомогою вольтметра, так як через шунтуючого дії вольтметра вимірюється напруга зменшується. Механізм взаємного впливу може бути вивчений, а похибки розраховані і враховані.

Інструментальна похибка обумовлена недосконалістю застосовуваних засобів вимірювань. Причинами її виникнення є неточності, допущені при виготовленні і регулюванню приладів, зміна параметрів елементів конструкції і схеми внаслідок старіння. У високочутливих приладах можуть сильно проявлятися їхні внутрішні шуми.

Статична і динамічна похибки. Статична похибка вимірювань - похибка результату вимірювань, властива умовам статичного вимірювання, тобто при вимірюванні постійних величин після завершення перехідних процесів в елементах приладів та перетворювачів.

Динамічна похибка вимірювань - похибка результату вимірювань, властива умовам динамічного вимірювання. Динамічна похибка з'являється при вимірюванні змінних величин і обумовлена інерційними властивостями засобів вимірювань.

Статичні і динамічні похибки відносяться до погрішностей результату вимірювань. У більшій частині приладів статична і динамічна похибки виявляються пов'язані між собою, оскільки співвідношення між цими видами похибок залежить від характеристик приладу і характерного часу зміни величини. Більш докладно співвідношення між цими похибками розглянуто в розділі 4, де описані види реєструючої апаратури.

Систематичні і випадкові похибки. Систематична похибка вимірювання - складова похибки вимірювання, що залишається постійною або закономірно змінюється при повторних вимірюваннях однієї і тієї ж фізичної величини. Систематичні похибки є в загальному випадку функцією вимірюваної величини, що впливають величин (температури, вологості, напруги живлення тощо) і часу. У функції вимірюваної величини систематичні похибки входять при повірці та атестації зразкових приладів.

Випадковими називають складові похибки вимірювань, що змінюються випадковим чином при повторних вимірюваннях однієї і тієї ж величини. Випадкові похибки визначаються спільною дією ряду причин: внутрішніми шумами елементів електронних схем, наведеннями на вхідні кола засобів вимірювань, пульсацією постійного живлячої напруги, дискретністю рахунку. Випадкові похибки будуть більш детально розглянуті в наступному параграфі даної глави.

Погрішності адекватності та градуювання. Похибка градуювання засоби вимірювань - похибка дійсного значення величини, приписаного тієї чи іншої позначці шкали засобу вимірювань в результаті градуювання.

Похибкою адекватності моделі називають похибка при виборі функціональної залежності. Характерним прикладом може служити побудова лінійної залежності за даними, які краще описуються степеневим поруч з малими нелінійними членами.

Похибка адекватності відноситься до вимірювань для перевірки моделі. Якщо залежність параметра стану від рівнів вхідного фактора задана при моделюванні об'єкта досить точно, то похибка адекватності виявляється мінімальною. Ця похибка може залежати від динамічного діапазону вимірювань, наприклад, якщо однофакторний залежність задана при моделюванні параболою, то в невеликому діапазоні вона буде мало відрізнятися від експоненційної залежності. Якщо діапазон вимірювань збільшити, то похибка адекватності сильно зросте.

В цілому в теорії планування експерименту похибка адекватності може мати велике значення, оскільки в багатофакторних експериментах найчастіше розглядається лінійна залежність параметрів стану від факторів.

Абсолютна, відносна і приведена похибки. Під абсолютною похибкою розуміється алгебраїчна різниця між номінальним і дійсним значеннями вимірюваної величини. - Абсолютні похибки (див. рис. 2.1). Проте більшою мірою точність засоби вимірювань характеризує відносна похибка, тобто виражене у відсотках відношення абсолютної похибки до дійсного значення вимірюваної або відтворної даним засобом вимірювань величини.

відносні похибки.

Якщо діапазон вимірювання приладу охоплює і нульове значення вимірюваної величини, то відносна похибка звертається в нескінченність у відповідній йому точці шкали. У цьому випадку користуються поняттям зведеної похибки, що дорівнює відношенню абсолютної похибки вимірювального приладу до деякого нормуються значення. Як нормуючого значення приймається значення, характерне для даного виду вимірювального приладу. Це може бути, наприклад, діапазон вимірювань, верхня межа вимірів, довжина шкали і т.д. - Наведені похибки, де X і Y - діапазон зміни величин. Вибір X і Y в кожному конкретному випадку різний через нижньої межі (чутливості) приладу.

Рис. 2.1

Клас точності приладу - межа (нижній) зведеної похибки.

Адитивні і мультиплікативні похибки. Аддитивной похибкою називається похибка, постійна в кожній точці шкали.

Мультиплікативної похибкою називається похибка, лінійно зростаюча або спадна зі зростанням вимірюваної величини.

Розрізняти адитивні і мультиплікативні похибки найлегше по смузі похибок (рис. 2.2).

Якщо абсолютна похибка не залежить від значення вимірюваної величини, то смуга визначається адитивною похибкою (рис. 2.2, а). Іноді адитивну похибку називають похибкою нуля.

а б

Рис. 2.2

Якщо постійною величиною є відносна похибка, то смуга похибок змінюється в межах діапазону вимірювань і похибка називається мультиплікативної (рис. 2.2, б).

Яскравим прикладом аддитивной похибки є похибка квантування (оцифрування).

Клас точності вимірювань залежить від виду похибок. Розглянемо клас точності вимірювань для аддитивной і мультиплікативної похибок:

для аддитивной похибки:

Де X - верхня межа шкали, - Абсолютна адитивна похибка.

- для мультиплікативної похибки

- Це умова визначає поріг чутливості приладу (вимірювань).

Абсолютна величина похибки для обох типів похибок може бути виражена однією формулою:

(2.1.1)

Де - Адитивна похибка, - Мультиплікативна похибка.

Відносна похибка з урахуванням (2.1.1) виражається формулою і, при зменшенні вимірюваної величини, зростає до нескінченності. Наведене значення похибки

зростає із збільшенням вимірюваної величини.

Нормування похибки засобів вимірювань. Крім нормування похибок у вигляді класу точності виникає необхідність унормувати їх деякими особливими способами. Наприклад, нормування похибки цифрового частотоміра або моста для вимірювання опорів. Особливість цих приладів полягає в тому, що крім нижнього порогу чутливості мости для вимірювання опорів мають верхній поріг, а для цифрового частотоміра похибка залежить не тільки від вимірюваної величини, але і від часу вимірів.

Питання про вимірювання частот і тимчасових інтервалів буде розглянуто нижче.

Нормування при вимірюванні опорів має вигляд:

Де - Нижній і верхній пороги вимірюваних опорів.

Округлення похибок зазвичай здійснюється до десяткового знака, що відповідає похибки.

Метрологічні характеристики засобів вимірювань

Всі засоби вимірювань, незалежно від їх конкретного виконання, мають ряд загальних властивостей, необхідних для виконання ними їх функціонального призначення. Технічні характеристики, що описують ці властивості і мають вплив на результати і на похибки вимірювань, називаються метрологічними характеристиками [9,10]. Перелік найважливіших з них регламентується ГОСТ «Нормовані метрологічні характеристики засобів вимірювань». Комплекс нормованих метрологічних характеристик встановлюється таким чином, щоб з їх допомогою можна було оцінити похибку вимірів, здійснюваних у відомих робочих умовах експлуатації допомогою окремих засобів вимірювань або сукупності засобів вимірювань, наприклад автоматичних вимірювальних систем.

Однією з основних метрологічних характеристик вимірювальних перетворювачів є статична характеристика перетворення (інакше звана функцією перетворення або градуювальної характеристикою). Вона встановлює залежність інформативного параметра у вихідного сигналу вимірювального перетворювача від інформативного параметра х вхідного сигналу.

Статична характеристика нормується шляхом завдання у формі рівняння, графіка або таблиці. Поняття статичної характеристики можна застосувати і до вимірювальних приладів, якщо під незалежної змінної х розуміти значення вимірюваної величини або інформативного параметра вхідного сигналу, а під залежною величиною - показання приладу.

Якщо статична характеристика перетворення лінійна, тобто то коефіцієнт До називається чутливістю вимірювального приладу (перетворювача). В іншому випадку під чутливістю варто розуміти похідну від статичної характеристики.

Важливою характеристикою шкальних вимірювальних приладів є ціна розподілу, тобто то зміна вимірюваної величини, якому відповідає переміщення покажчика на одну поділку шкали. Якщо чутливість постійна в кожній точці діапазону вимірювання, то шкала називається рівномірною. При нерівномірної шкалою нормується найменша ціна поділки шкали вимірювальних приладів. У цифрових приладів шкали в явному вигляді немає, і на них замість ціни поділу вказується ціна одиниці молодшого розряду числа в показанні приладу.

Найважливішою метрологічної характеристикою засобів вимірювань є похибка.

Під абсолютною похибкою заходи розуміється алгебраїчна різниця між її номінальним і дійсним значеннями:

Під абсолютною похибкою вимірювального приладу - різниця між його показанням і дійсним значенням вимірюваної величини:

Абсолютна похибка вимірювального перетворювача може бути виражена в одиницях вхідний або вихідний величини. В одиницях вхідної величини абсолютна похибка перетворювача визначається як різниця між значенням вхідної величини X, знайденої по дійсному значенню вихідної величини і номінальною статичною характеристикою перетворювача, і дійсним значенням вхідний величини:

Проте більшою мірою точність засоби вимірювань характеризує відносна похибка, тобто виражене у відсотках відношення абсолютної похибки до дійсного значення вимірюваної або відтворної даним засобом вимірювань величини:

Зазвичай тому в формулу замість дійсного значення часто може бути підставлено номінальне значення міри або показання вимірювального приладу.

Як нормуючого значення приймається значення, характерне для даного виду вимірювального приладу. Це може бути, наприклад, діапазон вимірювань, верхня межа вимірів, довжина шкали і т.д.

Похибки вимірювальних засобів прийнято поділяти на статичні, що мають місце при вимірюванні постійних величин після завершення перехідних процесів в елементах приладів та перетворювачів, і динамічні, що з'являються при вимірюванні змінних величин і зумовлені інерційними властивостями засобів вимірювань.

Відповідно до загальної класифікації, статичні похибки вимірювальних засобів діляться на систематичні і випадкові.

Систематичні похибки є в загальному випадку функцією вимірюваної величини, що впливають величин (температури, вологості, напруги живлення тощо) і часу. У функції вимірюваної величини систематичні похибки знаходять при повірці та атестації зразкових приладів, наприклад, виміром наперед заданих значень вимірюваної величини в декількох точках шкали. У результаті будується крива або створюється таблиця похибок, яка використовується для визначення поправок. Поправка у кожній точці шкали чисельно дорівнює систематичній похибки та обернено їй за знаком, тому при визначенні дійсного значення вимірюваної величини поправку слід додати до показанню приладу. Так, якщо поправка до показанню динамометра 120 Н дорівнює +0.6 Н, то дійсне значення вимірюваної сили становить 120 +0.6 = 120.6 Н. Зручніше користуватися поправкою, ніж систематичної похибкою, тому прилади частіше постачають кривими або таблицями поправок.

Систематичну погрішність у функції вимірюваної величини можна представити у вигляді суми похибки схеми, яка визначається самою структурною схемою засоби вимірювань, та технологічних похибок, обумовлених похибками виготовлення його елементів.

Як ті, так і інші види похибок можна розглядати як систематичних лише при вимірюванні постійної величини за допомогою одного примірника вимірювального приладу. У масі ж вимірювань різних значень фізичної величини, що здійснюються одним або багатьма приладами того ж типорозміру, ці систематичні похибки доводиться відносити до класу випадкових.

Між похибками схеми і технологічними похибками засобів вимірювань існує принципова різниця. Якщо перші накладають свій відбиток на характер зміни по шкалі сумарної похибки всіх засобів вимірювання даного типорозміру, то технологічні похибки індивідуальні для кожного примірника, тобто їх значення в одних і тих же точках шкали різні для різних екземплярів приладів. На рис. 15, а показано взаємне положення статичних характеристик реального і ідеального приладів при наявності тільки похибок схеми. Технологічні похибки у великій мірі спотворюють цю картину.

Результатом їх прояву є:

а) поступальний зсув статичної характеристики щодо характеристики ідеального приладу і виникнення похибки, постійної в кожній точці шкали; ця похибка називається аддитивной (рис. 15, б);

б) поворот статичної характеристики і поява похибки, лінійно зростаючою або спадної зі зростанням вимірюваної величини і званої мультипликативной похибкою (рис. 15, в);

в) нелінійні спотворення статичної характеристики (рис. 15, г);

г) поява похибки зворотного ходу, що виражається в розбіжності статичних характеристик приладу при збільшенні і зменшенні вимірюваної величини (рис. 15, д).

Динамічні похибки обумовлюються інерційними властивостями засобів вимірювань і з'являються при вимірюванні змінних у часі величин. Типовим випадком є вимірювання з реєстрацією сигналу, що змінюється з часом. Якщо і - Сигнали на вході і на виході засобу вимірювань з чутливістю К, то динамічна похибка

Для засобів вимірювань, які є лінійними динамічними системами з постійними в часі параметрами, найбільш загальна характеристика динамічних властивостей - це диференціальне рівняння. У цьому випадку рівняння лінійне з постійними коефіцієнтами:

де і - Ie і je похідні вхідного і вихідного сигналів; і - Постійні коефіцієнти, n і m - порядок лівої і правої частин рівняння, причому n <m. Диференціальне рівняння є метрологічної характеристикою засобів вимірювання, оскільки дозволяє при відомому сигналі на вході x (t) знайти вихідний сигнал y (t) і після підстановки їх у вираз обчислити динамічну похибку.

Для нормування динамічних властивостей засобів вимірювання часто вказують на диференціальне рівняння, а інші, похідні від нього динамічні характеристики, знаходяться експериментальним шляхом. Сюди відносяться передатна функція, амплітудна і фазова частотні характеристики, перехідна і імпульсна перехідна функції.

До числа метрологічних характеристик засобів вимірювання відносяться і неінформативні параметри вихідного сигналу вимірювального перетворювача, оскільки вони можуть робити істотний вплив на похибка засобу вимірювань. Наприклад, мінливість амплітуди коливань балансу наручних годин (неінформативне параметр) призводить до зміни частоти його коливань (інформативний параметр).

При сприйнятті вимірюваної величини або вимірювального сигналу засіб вимірювань робить деякий вплив на об'єкт вимірювання або на джерело сигналу. Результатом цього впливу може бути деяка зміна вимірюваної величини щодо того значення, яке мало місце при відсутності засобу вимірювань. Таке зворотний вплив засоби вимірювань на об'єкт вимірювань особливо чітко проглядається при вимірі електричних величин. Так, ЕРС нормального елемента визначається як напруга на його затискачах в режимі холостого ходу. При вимірі цієї напруги вольтметром з деяким кінцевим вхідним опором результат виміру буде залежати від співвідношення між внутрішнім опором нормального елементу (його вихідний опір) і вхідним опором вольтметра. Для оцінки виникає при цьому похибки необхідно знати значення цих опорів, тому їх слід розглядати як метрологічні характеристики.

Вплив зовнішніх впливів і неінформативних параметрів сигналів (що впливають величин) описується за допомогою метрологічних характеристик, які називаються функціями впливу.

Функція впливу - Це залежність відповідної метрологічної характеристики з числа перерахованих вище від впливають величин (Температури зовнішнього середовища, параметрів зовнішніх вібрацій і т.д.). У більшості випадків можна обмежитися набором функцій впливу кожної з впливають величин але іноді доводиться використовувати функції спільного впливу кількох величин, якщо зміна однієї з впливають величин призводить до зміни функції впливу іншої.

Нормування метрологічних характеристик засобів вимірювань

Під нормуванням розуміється встановлення меж на допустимі відхилення реальних метрологічних характеристик засобів вимірювань від їх номінальних значень. Тільки за допомогою нормування метрологічних характеристик можна добитися їх взаємозамінності і забезпечити єдність вимірювань у державі. Реальні значення метрологічних характеристик визначають при виготовленні засобів вимірювань і потім перевіряють періодично під час експлуатації. Якщо при цьому хоча б одна з метрологічних характеристик виходить за встановлені межі, то такий засіб вимірювань або піддають регулюванню, або вилучають з обігу [11].

Норми на значення метрологічних характеристик встановлюються стандартами на окремі види засобів вимірювання. При цьому робиться відмінність між нормальними і робочими умовами застосування засобів вимірювання.

Нормальними вважаються такі умови застосування засобів вимірювань, при яких впливають на процес вимірювання величини (температура, вологість, частота, напруга живлення, зовнішні магнітні поля і т.д.), а також неінформативні параметри вхідних і вихідних сигналів знаходяться в нормальній для даних засобів вимірювань області значень, тобто в такій області, де їх впливом на метрологічні характеристики можна знехтувати. Нормальні області значень впливають величин вказуються в стандартах або технічних умовах на засоби вимірювання даного виду у формі номіналів з нормованими відхиленнями, наприклад, температура повинна становити 20 ± 2 ° С, напруга живлення - 220 В ± 10% або у формі інтервалів значень (вологість 30 - 80%).

Робоча область значень впливають величин ширше нормальної області значень. В її межах метрологічні характеристики істотно залежать від впливають величин, проте їх зміни нормуються стандартами на засоби вимірювань у формі функцій впливу або найбільших допустимих змін. За межами робочої області метрологічні характеристики приймають невизначені значення.

Для нормальних умов експлуатації засобів вимірювань повинні нормуватися характеристики сумарної похибки та її систематичної і випадкової складових. Сумарна похибка засобів вимірювань в нормальних умовах експлуатації називається основною похибкою і нормується завданням межі допустимого значення тобто того найбільшого значення, при якому засіб вимірювань ще може бути визнано придатним до застосування.

Перераховані вище метрологічні характеристики слід унормувати не тільки для нормальної, а й для всієї робочої області експлуатації засобів вимірювань, якщо їх коливання, викликані змінами зовнішніх впливають величин і неінформативних параметрів вхідного сигналу в межах робочої області, істотно менше номінальних значень. В іншому випадку ці характеристики нормуються тільки для нормальної області, а в робочій області нормуються додаткові похибки шляхом завдання функцій впливу або найбільших допустимих змін роздільно для кожного впливає чинника; в разі необхідності - і для спільного зміни декількох факторів. Функції впливу нормуються формулою, числом, таблицею або задаються у вигляді номінальної функції впливу та межі допустимих відхилень від неї.

Для використовуваних окремо засобів вимірювань, точність яких явно перевищує необхідну точність вимірювань, нормуються тільки межі допустимого значення сумарної похибки і найбільші допустимі зміни метрологічних характеристик. Якщо ж точність засобів вимірювань порівнянна з необхідною точністю вимірювань, то необхідно нормувати окремо характеристики систематичної і випадкової похибки і функції впливу. Тільки з їх допомогою можна знайти сумарну погрішність в робочих умовах застосування засобів вимірювань.

Динамічні характеристики нормуються шляхом завдання номінального диференціального рівняння або передавальної, перехідною, імпульсної вагової функції. Одночасно нормуються найбільші допустимі відхилення динамічних характеристик від номінальних.

Клас точності - це узагальнена характеристика засобів вимірювань, що визначається межами допустимих основних і додаткових похибок, а також рядом інших властивостей, що впливають на точність здійснюваних за їх допомогою вимірів. Класи точності регламентуються стандартами на окремі види засобів вимірювання з використанням метрологічних характеристик і способів їх нормування, викладених у попередніх розділах.

Стандарт не поширюється на засоби вимірювань, для яких передбачаються окремі норми на систематичну і випадкові складові, а також на кошти ізмеререній, для яких нормовані номінальні функції впливу, а вимірювання проводяться без введення поправок на впливають величини. Класи точності не встановлюються і на засоби вимірювань, для яких суттєве значення має динамічна похибка.

Для інших засобів вимірювань позначення класів точності вводиться в залежності від способів завдання меж допустимої основної похибки.

Межі абсолютної основної похибки можуть задаватися або у вигляді одночленів формули

або у вигляді двухчленной формули

де і X виражаються дновременно або в одиницях вимірюваної величини, або в діленнях шкали вимірювального приладу.

Більш кращим є завдання меж допустимих похибок у формі наведеної або відносної похибки.

Межі приведеної основної похибки нормуються у вигляді одночленів формули

де число (N = 1, 0, -1, -2 ...).

Межі відносної основної похибки можуть нормуватися або одночленів формулою

або двухчленной формулою

де - Кінцеве значення діапазону вимірювань або діапазону значень відтворюється багатозначною мірою величини, а постійні числа q, с і d вибираються з того ж ряду, що й число р.

В обгрунтованих випадках межі допустимої абсолютної або відносної похибки можна нормувати по більш складних формул або навіть у формі графіків або таблиць.

Засобам вимірювань, межі допустимої основної похибки яких задаються відносною похибкою по одночленів формулою, привласнюють класи точності, обрані з ряду чисел р і рівні відповідним меж у відсотках. Так для засобу вимірювань з клас точності позначається

Якщо межі допустимої основної відносної похибки виражаються двухчленной формулою (94), то клас точності позначається як c / d, де числа с і d вибираються з того ж ряду, що і р, але записуються в процентах. Так, вимірювальний прилад класу точності характеризується межами допустимої основної відносної похибки

Класи точності засобів вимірювань, для яких межі допустимої основної зведеної похибки нормуються за формулою (92), позначаються однією цифрою, обраній з ряду для чисел р і вираженої в відсотках. Якщо, наприклад, то клас точності позначається як 0.5 (без гуртка).

Класи точності позначаються римськими цифрами або буквами латинського алфавіту для засобів вимірювань, межі допустимої похибки яких задаються у формі графіків, таблиць або складних функцій вхідний, вимірюваної або відтворної величини. До буквах при цьому допускається приєднувати індекси у вигляді арабської цифри. Чим менше межі допустимої похибки, тим ближче до початку алфавіту повинна бути буква і тим менше цифра. Недоліком такого позначення класу точності є його чисто умовний характер.

На закінчення слід зазначити, що ніяке нормування похибок засобів вимірювань саме по собі не може забезпечити єдності вимірювань. Для досягнення єдності вимірювань необхідна регламентація самих методик проведення вимірювань.

Список літератури

Новицький П.В., Зограф Е.Н. Оцінка похибок вимірювань. - Л.: Енергія, 1983, 380 с.
Електричні вимірювання неелектричних величин / / Под ред. П.В. Новицького. 5-е изд., Перераб. і доп.-Л.: Енергія, Ленінгр. відділення, 1975, 576 с.
Планування експерименту в дослідженні технологічних процесів / / К. Хартман, Е. Лецьки, В. Шефер і др.-М.: Світ, 1977, 552 с.
Адлер Ю.П., Маркова О.В., Грановський Ю.В. Планування експерименту при пошуку оптимальних умов. - М.: Наука, 1976, 279 с.
Ахманов С.А., Дьяков Ю.Є., Чиркин А.С. Введення в статистичну радіофізику і оптику. - М.: Наука, 1981.
Стрільців С.П. Введення в теорію коливань. - М.: Наука, 1964.
Гудмен Дж. Введення в Фур'є-оптику / Пер. з англ. під ред. Г.І. Косоурова. - М.: Мир, 1970.
Оптична обробка інформації / Под ред. Д. Кейсесента; Пер з англ. під ред. С.Б. Гуревича. - М.: Мир, 1980.
Бурсіан Е.В. Фізичні прилади. - М.: Просвещение, 1984, 270 с.
Куликівський К.Р., Купер В.Я. Методи та засоби вимірювань. - М.: Вища школа, 1986.
Аналогові електровимірювальні прилади / / Под ред. А.А. Преображенського. - М.: Вища школа, 1979, 351 с.