Паралельний перенос в просторі Лобачевського

Міністерство освіти Республіки Білорусь
Установа освіти
«Гомельський державний університет
імені Франциска Скорини »

Фізичний факультет

Кафедра теоретичної фізики
Паралельний перенос в просторі Лобачевського
Курсова робота
Виконавець:
студент групи Ф-46м _____________________ Замараєва А.В.
Науковий керівник:
Доцент, К. Ф. - М. М., доцент кафедри теоретичної фізики
Капшай В. Н.
Гомель 2009

ЗМІСТ
Введення
1 Простір світу
2 Опис простору Лобачевського
3 Паралельний перенос вектора
4 Геометрія Лобачевського
Висновок
Список використаних джерел

ВСТУП
Основною ознакою сучасних уявлень про простір є їх діалектичний характер. Власне кажучи, саме діалектико-матеріалістичний підхід до проблеми простору, стихійний чи свідомий, що має свої корені в попередніх філософських і наукових системах, і дозволив створити картину простору, пояснює багато проблем, перед якими зупинялися мислителі колишніх епох, але, мабуть, ставить ще більше нових проблем. Однак це природно: чим більше ми дізнаємося, тим більше розуміємо, наскільки обмежені наші знання, накопичені за всю історію людства, перед світом.
Геометрія Лобачевського (як двовимірна, так і багатовимірна) моделює експоненційну нестійкість геодезичних на просторах негативною кривизни. Аналогічно, сфера моделює виникнення спряжених точок на просторах позитивної кривизни.
Вихідним пунктом геометрії Лобачевського є прийняття усіх пропозицій геометрії Евкліда, що не залежать від 5-го постулату (тобто абсолютної геометрії, включаючи аксіоми Паша, Архімеда, Дедекінда), і приєднання до них замість відкинутого 5-го постулату наступної аксіоми, протилежної аксіомі Плейфера, а значить, і 5-му постулату.

1 ПРОСТОРУ СВІТУ
Коріння розвитку уявлення про простір йдуть у німецьку філософію. Якщо Ньютон довів до логічного завершення матеріалістично-атомістичну тенденцію розвитку уявлень про простір, то ідеалістичну трактування простору в найбільш розгорнутій формі дав Гегель, критично продовживши лінію Лейбніца і довівши її з ідеалістично-діалектичних позицій до логічного завершення. Простір, вважає Гегель, знаходиться в нерозривному діалектичному взаємозв'язку з часом, рухом і матерією: "лише в русі простір і час дійсні", але "так само, як немає руху без матерії, так не існує матерії без руху".
Гегель стверджує: "... Простір і час безперервні в самих собі, і рухається тіло одночасно перебуває і не знаходиться в одному і тому ж місці, тобто одночасно перебуває в іншому місці, і точно так само одна і та ж тимчасова крапка існує і разом з тим не існує, тобто є разом з тим інша точка ". Або: «Дві точки зливаються в єдину точку, і в той час, коли вони є в одному, вони також не є в одному. Рух і полягає саме в тому, що тіло знаходиться в одному місці і одночасно в іншому місці, причому настільки ж вірно, що воно знаходиться не в іншому, а саме у цьому місці ».
Простір і час є форми існування матерії. У III столітті до нашої ери Евклід завершив створення своєї геометрії, яка панувала в науці близько трьох тисячоліть і в практично незмінній формі дійшла до нашого часу. Згадаймо три основні аксіоми евклідової геометрії:
1) між двома точками можна провести одну і тільки одну пряму;
2) ця пряма є найкоротша відстань між точками;
3) через будь-яку точку, що лежить поза прямою, можна провести одну і тільки одну пряму, паралельну даній.
Буденна практика підказує, що ці аксіоми абсолютно очевидні і не вимагають спеціального геометричного або якогось іншого математичного докази.
Можливість відмови від однієї з аксіом евклідової геометрії або побудови будь-якої іншої внутрішньо несуперечливої ​​системи аксіом ставить питання про можливість існування інших геометрій, що описують простір нашого світу.
У 1829 році російський математик М. І. Лобачевський опублікував статтю "Про початки геометрії", в якій він стверджує, що можлива побудова геометрії без аксіоми про паралельність прямих у сенсі евклідової геометрії, причому нова геометрія буде також логічно несуперечлива. Аналогічна ідея була висловлена ​​угорським математиком Яношем Бояі і німецьким математиком Карлом Гауссом. Цікаво, що нові ідеї виникли в один і той же час незалежно в Казані, Будапешті та Геттінгені і довго залишалися маловідомою галуззю науки.
Першим, хто повністю зрозумів їх значення, був видатний німецький математик Бернгард Ріман, створив загальну теорію геометричних різноманіть (1854 рік). Дана теорія допускала не тільки були види неевклідових геометрій, але і багато інших, названі римановой геометрії. Це було видатне узагальнення класичної геометрії, що отримало визнання лише з розвитком некласичної науки.
Основна ідея геометрії Лобачевського полягає в новому формулюванні аксіоми паралельності, протилежної евклідової: до даної прямої через дану точку, що лежить поза нею, можна провести щонайменше дві прямі так, що вони не перетинають дану пряму. Очевидно, що будь-яка пряма, розташована між цими прямими і що проходить через дану точку, також не перетне цю пряму. Таким чином, через дану точку можна провести скільки завгодно прямих, паралельних даній. Всі інші аксіоми Евкліда зберігаються. З цього Лобачевський виводить ряд теорем, які не суперечать один одному, і будує логічно несуперечливу геометрію, яка значно відрізняється від евклідової і здається дуже дивною. Так, сума кутів трикутника завжди менше 180 °; неможливо побудувати фігуру, подібну даної, але має інші розміри; відстань між двома прямими в одному напрямку асимптотично збільшується, а в іншому, протилежному, асимптотично зменшується; кут паралельності змінюється в залежності від відстані від точки , через яку проводиться паралельна лінія, до даної лінії і т.д.
Можна побудувати двовимірний образ геометрії Лобачевського шляхом обертання Трактриса навколо осі OY як осі обертання. Отримана поверхня носить назву псевдосферою. На такій поверхні найкоротшою лінією між двома точками буде крива, звана геодезичної. Ця крива і відповідає прямій Лобачевського. При пересуванні фігури по поверхні буде змінюватися кривизна фігури, але збережуться кути, відрізки і величина площі.

Малюнок 2
Двовимірний аналог геометрії Лобачевського: трасоіда (а) і псевдосферою, утворена обертанням трасоіди навколо осі ОY (б).
АВ - геодезична (найкоротша відстань між точками А і В у просторі Лобачевського. KLM - трикутник в просторі Лобачевського; Ð К + Ð L + Ð М <180 °.
Наочний образ, відповідний тривимірної геометрії Лобачевського, побудувати не вдається, тому що геометрія у повсякденному поданні залишається евклідової. Проте вдалося довести логічну несуперечливість та існування такої геометрії. Основна ідея докази полягає в тому, щоб звести геометрію Лобачевського, побудовану як планиметрию (тобто на площині), до геометрії на тривимірній гіперповерхні постійної негативної кривизни (аналогом такої гіперповерхні-псевдосферою може бути тривимірний гіперболоїд) в чотиривимірний евклідової геометрії. Модель тривимірної геометрії Лобачевського можна представити у вигляді нескінченної сідлоподібної поверхні гіперболічної форми, тому таку геометрію зазвичай називають гіперболічної.
Ріман узагальнив геометричні уявлення і створив теорію довільно викривлених просторів. Заслуга його полягає і в розробці окремих випадків неевклідових геометрій, в тому числі у створенні еліптичної геометрії, яка виступає антитезою гіперболічної геометрії Лобачевського. Еліптична геометрія - це геометрія на тривимірній гіперсфере. Двовимірної її аналогією є геометрія на поверхні звичайної сфери. Тут можна бачити, що подання про паралельні лінії взагалі втрачає всякий сенс, бо все "паралельні" в локальному сенсі лінії являють собою лінії великого кола, що перехрещуються на полюсах сфери, а сума кутів трикутника, утворених цими лініями, завжди більше 180 °.
Слід особливо відзначити, що при малих величинах неевклидова геометрії можна вважати евклідової.
Ось три роду змін кривизни в просторі, які ми повинні визнати лежать в межах можливого:
I. Простір наше, можливо, дійсно має кривизною, мінливої ​​при переході від однієї точки до іншої, - кривизною, яку нам не вдається визначити або тому, що ми знайомі лише з невеликою частиною простору, або тому, що змішуємо незначні відбуваються в ньому зміни з змінами в умовах нашого фізичного існування, останні ж ми не пов'язуємо із змінами в нашому положення ...
II. Наш простір може бути дійсно тотожне у всіх своїх частинах (має однакову кривизну), але величина його кривизни може змінюватися як ціле в часі. У такому випадку наша геометрія, заснована на тотожності простору, збереже свою силу для всіх частин простору, за зміни в кривизні можуть вимовити в просторі ряд послідовних видимих ​​змін.
III. Ми можемо мислити наш простір як має всюди приблизно однорідну кривизну, але легкі зміни кривизни можуть існувати при переході від однієї точки до іншої, у свою чергу змінюючись в часі. Ці зміни кривизни в часі можуть призвести явища, які ми не так вже неприродно приписуємо фізичних причин, не залежних від геометрії нашого простору "
Цікаво те, що всі ці три варіанти зміни кривизни простору знайшли своє втілення в загальній теорії відносності.
2 ОПИС ПРОСТОРУ ЛОБАЧЕВСКОГО
Уявімо відрізок АВ у прямокутній системі координат (евклідів простір). Його довжина визначиться по теоремі Піфагора як

(AВ) ² = (x ₂ - x ₁₎ ² + (у ₂ - у ₁₎ ^2, (1)

де x _1, x _2, y _1, y ₂ - проекції кінців відрізка АВ на осі Х і Y, або

(AB) ² = D x ^{2 +} D y ^2. (2)

Для нескінченно малу відстань між двома точками прийнятий символ ds. Тому, якщо точки А і В зближуються все більше і більше, можна написати

 

ds ² = dx ^{2 +} dy ² (3)

Припустимо, що система координат відносно початку координат Про повернулася на деякий кут α.
Позначимо нову систему координат як X'Y '. Тоді відстань між точками, не змінився за величиною, запишемо як

 

ds ² = dx ^'2 + dy' ^2. (4)

Оскільки при будь-якому обертанні або паралельному перенесенні координат величина відстані не змінюється, вона називається інваріантної щодо перетворення координат. Для косокутної системи координат квадрат довжини відрізка АВ, який називається в загальному і строгому сенсі квадратом інтервалу, запишемо (на основі тієї ж теореми Піфагора) у вигляді

 

ds ² = dx ² + dy ² + ² dxdy cos α                              (5)

При цьому, як можна бачити, чисельне значення інтервалу не змінюється, хоча формула для його вираження має більш складний вид, ніж формула (3), тобто і в даному випадку інтервал є інваріантом щодо заміни координат.
Розглянемо опис інтервалу в неевклідової геометрії. Але щоб краще зрозуміти сенс цього опису, порівняємо геометрію двовимірного простору з геометрією двовимірної сфери. У якісному відношенні ці простору однаково однорідні і ізотропні, так як і в випадку сфери всі її точки еквівалентні щодо поворотів осей координат або їх паралельного переносу.
Введемо сферичну систему координат. Вона складається із заданої фіксованої точки О, з довільно орієнтованої в просторі прямий ρ, що проходить через центр О, з півплощини, обмежених цієї прямої, з конічних поверхонь з вершиною в точці О і прямий ρ в якості осі і зі сфер з центром у точці О . Пряма ρ як радіус є параметр сімейства сфер з центром О. Параметром сімейства півплощин є кут φ, який утворює полуплоскость з так званої полуплоскость нульового меридіана (аналогічна географічній довготі). Параметр сімейства конічних поверхонь - кут розчину θ, який вимірюється між позитивним напрямом прямої ρ і утворює бічній поверхні конуса (полярний кут).
Виберемо з сімейства сфер, що задаються параметром ρ, деяку сферу радіусом r (ρ = r). Тоді координати точки А на поверхні сфери визначаються на основі сказаного наступним чином. Зафіксуємо велике коло QQ ', званий екватором, і велике коло PР', званий кульовим меридіаном (Р і Р '- полюси). Великі півкола сфери, які виходять із полюса Р, називаються меридіанами, малі кола, паралельні екватора, - довготами. Кут φ, тобто кут між нульовим меридіаном і меридіаном точки A (азимутальний кут), відлічуваний проти годинникової стрілки (довгота), і кут θ, відлічуваний від полюса Р до довготи точки А (полярний кут), цілком задають координати точки А. Аналогічним чином визначаються координати точки В . Тоді інтервал між двома нескінченно близькими точками А і В (елементарний інтервал АВ) можна отримати з виразу

ds ² = r ² sin ² q d j ² + r ² d q ^2. (6)

Вираз (6) ніякими перетвореннями не можна звести до простої формули (3) одночасно для всієї поверхні сфери. Таку операцію можна здійснити лише локально, вибираючи напрямок на нескінченно малій ділянці сфери, так щоб Ðq = 90 °, і це фіксує систему координат стосовно лише до даної ділянки сфери. У цілому ж, глобально, зробити це неможливо, що відображає неевклідової сфери.
Наступний крок по шляху узагальнення подання просторового інтервалу пов'язаний з його описом на будь-якій довільній криволінійній поверхні. З аналізу сферичної системи координат ми бачимо, що вводяться елементи, що фіксують той факт, що поверхня викривлена, тобто кути і радіус, які, однак, при мінімальній значимої локалізації (грубо кажучи, "випрямленні" кривизни, поданні кожної досить малої локальної області поверхні у вигляді площини) дають інваріантний інтервал - інтервал, що не змінює своєї величини при перетворенні координат.
Уявімо, що ми маємо координатні лінії будь-якого викривлення, в найбільш простому вигляді - косокутні (гаусові) з двома вимірами U і V. Тоді

 

ds ² = До du ² + 2L du dv + М dv ^2, (7)

де K, L, М - величини, що змінюються від точки до точки, тобто характеризують викривлення поверхні. Ці величини можуть вимірюватися за допомогою нескінченно малих масштабів довжини і кута і характеризують геометрію самої поверхні.
Прикладаючи нескінченно малі інтервали один до одного, ми можемо знайти найкоротша відстань між двома точками, яке в самому загальному випадку називається геодезичної. Остання є аналогом прямої лінії в декартовій прямокутній системі координат (евклідовому просторі). Для кожного нескінченно малого інтервалу ми можемо побудувати кола і на цій основі визначити відповідні кути (пропонуємо порівняти зі сферичною системою координат). Прямі лінії і кути дозволяють нам проводити будь-які геометричні побудови.
Ці лінії і кути з геометричною (але не з фізичною) точки зору піддаються точним вимірам. Якщо поверхню евклідового декартовій системою координат, то наші виміри підтвердять аксіоми Евкліда. Якщо поверхня - сфера, то постулат про паралельність прямих не виконується. Не виконується і постулат про нескінченну протяжності прямої лінії. У цьому випадку кожна пряма, що лежить в одній площині з даної прямої, перетинає її, а рух від даної точки по прямій знову приведе в цю дану точку незалежно від напрямку переміщення. Якщо ж поверхня утворена обертанням трасоіди навколо осі (найпростіша псевдосферою Лобачевського), то через точку, що лежить поза даною прямою, проходить більше ніж одна лінія, що лежить в одній площині з даної прямий і не перетинає її.

Можна сказати, що кривизна - це величина, що характеризує відхилення кривої (лінії якої поверхні) від прямої (лінії або площини). Відхилення дуги АА 'кривої L від дотичній АВ до точки А можна описати так званої середньої кривизною k _cp цієї дуги, що дорівнює відношенню величини кута α між дотичними в точках А і А' до довжини  s дуги АА ':
Для дуги кола радіусом r шляхом порівняння висловлювання довжини дуги Ds, отримуваного з рівності (8), з відомим виразом довжини дуги кола можна показати, що

(9)
Таким чином, можна бачити, що чим більше радіус дуги, тим менше кривизна, і навпаки, тобто середня кривизна досить наочно показує ступінь викривленою. Нехай точка А 'прагне до точки А, тобто Ds ® 0.Тогда ми отримаємо граничне значення середньої кривизни k _cp кривої L в точці А:
Для характеристики кривизни поверхні в околицях точки А побудуємо площину L, що проходить через нормаль NA до поверхні в точці А, тобто через пряму, що проходить через точку А і перпендикулярну дотичній прямої в цій точці поверхні. Побудована нами площину L буде природно перпендикулярна площині K, дотичній до поверхні S у точці А. Ясно також, що існує нескінченна безліч площин, що проходять через дану нормаль, і кожна з них перетинає поверхню по деякої кривої, яку в малій околиці точки А можна вважати частиною кола.
Припустимо, далі, що наша площину повертається навколо нормалі як осі. Тоді можна бачити, що радіус таких кіл буде невпинно змінюватися, тому що в кожен момент змінюється кривизна поверхні в околиці точки А, звана нормальної кривизною поверхні в цій точці. Ми отримаємо безперервне безліч значень нормальної кривизни.
Можна також зауважити, що існують максимальне і мінімальне значення радіусів одержуваних кіл, отже, існують відповідні мінімальне н максимальне значення нормального кривизни. Якщо R ₁ і R ₂ - максимальний і мінімальний радіуси, то k ₁ = ₁ / R ₁ і k ₂ = 1 / R ₂ - мінімальне та максимальне значення кривизни, які називаються головними значеннями кривизни поверхні в точці А. вводяться з визначення величина
звана гауссовой кривизною поверхні в точці А, і величина
звана середньої кривизною поверхні в точці А, повністю характеризують відхилення поверхні від площини. Зокрема, якщо k і k _cp рівні 0 у всіх точках поверхні, то поверхня являє собою площину.
Цікавий той факт, що гауссова кривизна не змінюється при згинаннях поверхні і описує без звернення до ще одного виміру простору (тобто до простору, яка охоплює поверхню) так звану внутрішню геометрію поверхні. Середня кривизна пов'язана із зовнішньою формою поверхні. У випадку одномірної лінії для визначення її кривизни доведеться вийти в двовимірне простір. Абсолютно ясно, що для гіпотетичних мешканців двовимірної поверхні, для якої ми з'ясовували сенс поняття кривизни, наші побудови неможливі, тому що для двовимірного істоти поняття нормалі до точки А не існує, бо сама нормаль непредставіма, як непредставіма для нас нормаль до нашого простору з простору з великим числом вимірів: вона лежить в зовнішньому просторі і знаходиться, таким чином, цілком поза поверхні. Не можуть побудувати вони та кола до точки А, також виходять в тривимірний простір.
Отже, на перший погляд ці двовимірні істоти не зможуть зрозуміти зміст величин R ₁ і R ₂ і виявити кривизну своїй поверхні в точці А. Адже і нам, щоб довести, що Земля сфероподобна, необхідно вийти в третій вимір - згадаймо відомий приклад із судном, рухомим до нас з-за обрію. Але якщо нас огортає суцільний, непроникний туман, то як ми зможемо "побачити" тривимірність нашого простору і довести тим самим сфероподобность Землі?
Виявляється, кривизну можна виявити і не виходячи за межі вимірювань досліджуваної поверхні, якщо скористатися виміром вже згаданих величин К, L і М. Так, для Землі ми виявимо, що сума кутів досить великого трикутника більше 180 °. Таким чином, знаючи величини К, L і М, можна визначити кривизну поверхні, не виходячи за її межі. І якщо k = 0, то ми маємо евклидову геометрію, у разі k> 0 має місце сферична геометрія, при k <0 - геометрія Лобачевського.
В останньому випадку заперечність кривизни пояснюється наступним. Уявімо якусь сідловидну поверхню, що відповідає вимогам геометрії Лобачевського. Для такої поверхні два головних нормальних перерізу, що визначають максимальне і мінімальне значення кривизни, лежать в протилежних напрямках від точки А, а значить, радіуси кривизни необхідно взяти з різними знаками. Тому твір R ₁ R ₂ виявляється негативним числом.
3 ПАРАЛЕЛЬНИЙ ПЕРЕНЕСЕННЯ ВЕКТОРА
У евклідовому просторі рівність і паралельність двох векторів, віднесених до різних точок, формулюється дуже просто. Два вектора рівні і паралельні, якщо їх декартові складові рівні. Те ж визначення, очевидно, годиться і для векторів у площині. Воно безпосередньо узагальнюється і на випадок вигнутої поверхні, що розгортається на площину. Якщо ж ми маємо довільну (не розгортається) поверхню, то паралельність двох лежачих в ній векторів може бути визначена тільки якщо точки докладання цих векторів нескінченно близькі. Вектор на поверхні ми можемо розглядати як вектор в просторі, дотичний до поверхні в точці його застосування. Якщо дано вектор на поверхні в точці P, то паралельний йому (в сенсі геометрії на поверхні) вектор в нескінченно близькою точці Q може бути побудований таким чином. Цей вектор в точці Р ми розглядаємо як просторовий вектор, і будуємо в точці Q паралельний йому в звичайному сенсі просторовий вектор, а потім проектуємо його на площину, дотичну до поверхні в точці Q. Цей дотичний вектор в Q ми і вважаємо паралельним даному вектору в Р.
Аналітично це побудова може бути виконано наступним чином. Нехай у _1, у _2, у ₃ - декартові координати в евклідовому просторі, а х _1, х ₂ - координатні параметри поверхні. Параметричні рівняння поверхні мають вигляд:
y ₁ = y ₁ (x _1, x _2), y ₂ = y ₂ (x _1, x _2), y ₃ = y ₃ (x _1, x ₂₎ (13)
і квадрат елемента дуги на поверхні буде дорівнює
ds ² = G ₁₁ dx ₁ ² + g ₁₂ dx ₁ dx ₂ + g ₂₁ dx ₂ dx ₁ + g ₂₂ dx _{² лютого} (14)
де
QUOTE (15)
Нехай A _1, A ₂ - коваріантні і A ^1, A ² - контраваріантний складові деякого вектора на поверхні в точці Р (х _1, х _2). Ми можемо розглядати його як просторовий вектор з прямокутними складовими
Y _n = QUOTE A ¹ + QUOTE A ^2, (n = 1, 2, 3), (16)
Причому буде

QUOTE , (L = 1, 2). (17)
Якщо ми, перейшовши до точки Q (x ₁ + dx _1, x ₂ + dx _2), не змінимо прямокутних складових Y _n, ми отримаємо просторовий вектор, який вже не буде дотичним до поверхні. Але його дотичні складові визначать на поверхні вектор
QUOTE , (18)
який ми і вважаємо, за визначенням, результатом паралельного (в сенсі геометрії на поверхні) перенесення вектора А _l в точку Q. Нормальна ж складова Y _n, очевидно, з формули (18) випадає.
У формулі (18) добавка до враховує зміну цієї величини при переході від Р до Q. Через цю добавки складова А _l чинить зріст
QUOTE (19)
Підставляючи сюди вираз (16) для Y _n, отримуємо

QUOTE (20)
На підставі виразу (15) для g _ik неважко перевірити, що у формулі (20) сума по n дорівнює
QUOTE , (21)
або, якщо скористатися позначенням для дужок Крістофеля,
QUOTE , (22)
Таким чином, приріст складових вектора при паралельному перенесенні дорівнюватиме
QUOTE , (23)
Істотно відзначити, що це прирощення залежить тільки від внутрішніх властивостей поверхні, що визначаються виразом (14) для ds ^2.
Нехай коефіцієнти квадратичної форми
ds ² = g _aβ dx _a dx _β (24)
представлені у вигляді
(25)

де числа е _n рівні ± 1, а
(26)
Величини у _n ми можемо формально тлумачити як декартові координати в деякій багатовимірному псевдоевклидовой просторі з метрикою, яка визначається виразом
, (27)
а наш простір-час - як деяку гіперповерхню в цьому багатомірному просторі.
Звичайному контраваріантний вектору А ^α в просторі-часу буде відповідати в багатовимірному просторі дотичний до гіперповерхні вектор з декартовими складовими
, (28)
(Тут і надалі знову мається на увазі підсумовування за грецьким піктограм від 0 до 3). Звідси отримуємо на підставі (25) наступні вирази для коваріантних складових вектора А _α:
, (29)
Значення складових вектора А _α після його паралельного переносу в нескінченно близьку точку ми можемо, аналогічно (18), визначити за формулою

, (30)
Звідки
, (31)
і після підстановки замість Y _n його висловлювання з (28)
, (32)
Але з (25) випливає, аналогічно (22),
, (33)
де Г _{γ, αβ} - звичайні дужки Крістофеля
, (34)
Тому формула для збільшення складових вектора при паралельному перенесенні напишеться
, (35)

так само як і у випадку звичайної поверхні в звичайному евклідовому просторі.
У формулу (35) входять як коваріантні, так і контраваріантний складові вектора, але неважко виразити в ній обидві частини через одні й ті ж складові. Ми маємо
, (36)
, (37)
Тому
, (38)
Сюди входять тільки коваріантні складові. З іншого боку,
, (39)
і, як легко перевірити,
, (40)
Звідси
, (41)

і, отже, формула для контраваріантних складових має вигляд , (42)
Розглянемо зміну скалярного добутку двох векторів при паралельному перенесенні. Тоді
. (43)
Підставляючи сюди вираз для з (42) і написавши, згідно (38), у вигляді
, (44)
, (45)
Таким чином, скалярний добуток двох векторів при паралельному перенесенні не змінюється. Зокрема, не змінюється і абсолютна величина вектора.
Можна також визначити паралельний перенос і уздовж будь-якої заданої кривої. Нехай координати точки на кривій задані як функції деякого параметра р:
x _β = x _β (p), (46)
Величини (Які є функціями координат) також будуть відомими функціями від р.. Для визначення вектора А ^ν у функції від р. ми будемо мати диференціальні рівняння

. (47)
Якщо задані значення А ^ν для початкової точки кривої, то, інтегруючи рівняння (47), ми отримаємо значення А ^ν і для кінцевої точки кривої. Тим самим ми зробимо паралельний перенесення вектора з початкової точки в кінцеву. Результат буде, очевидно, залежатиме від виду кривої, уздовж якої виробляється перенос.
Порівняємо рівняння (47) паралельного переносу з рівняннями геодезичної лінії
(Геодезична лінія, крива, головні нормалі усіх точок якої збігаються з нормалями поверхні, на якій та розташована. Найкоротша відстань між двома точками по поверхні - геодезична лінія, але не завжди назад.)
, (47 *)
Ті й інші рівняння співпадуть, якщо ми покладемо
, (48)
Якщо геодезична лінія тимчасово-подібна (тобто відповідає руху точки зі швидкістю, меншою швидкості світла), то в якості параметра р можна взяти власний час τ, і вектор А ^α буде збігатися з чотиривимірний швидкістю. Таким чином, в цьому випадку рівняння геодезичної лінії можна тлумачити як рівняння паралельного перенесення вектора швидкості вздовж напрямку, що дається цим же самим вектором (в чотиривимірному сенсі).
З рівнянь паралельного переносу для вектора неважко отримати відповідні рівняння для тензора будь-якого рангу. В якості прикладу розглянемо випадок коваріантного тензора другого рангу Т _μν. Ми будемо виходити з вимоги, щоб інваріант
, (49)
не змінювався при паралельному перенесенні, які б не були вектори A ^μ і В ^ν Змінюючи позначення значків, ми можемо написати величину у вигляді
. (50)
Так як це вираз повинен звертатися в нуль при будь-яких А ^μ і B ^ν, ми повинні мати
. (51)
що і є шуканим узагальненням рівнянь паралельного переносу.
4 ГЕОМЕТРІЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
Історично геометрія Лобачевського виникла як перша неевклідова геометрія, усвідомлена як така. Саме з уявленнями про геометрію Лобачевського як про типовий представника просторів негативної кривизни пов'язані в основному фізичні програми цієї науки. Серед цих додатків найбільш традиційними є додатки в загальній теорії відносності, яка, з математичної точки зору, базується на геометрії викривлених просторів. Геометрія Лобачевського (як двовимірна, так і багатовимірна) моделює експоненційну нестійкість геодезичних на просторах негативною кривизни. Аналогічно, сфера моделює виникнення спряжених точок на просторах позитивної кривизни.
Вихідним пунктом геометрії Лобачевського є прийняття усіх пропозицій геометрії Евкліда, що не залежать від 5-го постулату (тобто абсолютної геометрії, включаючи аксіоми Паша, Архімеда, Дедекінда), і приєднання до них замість відкинутого 5-го постулату наступної аксіоми, протилежної аксіомі Плейфера, а значить, і 5-му постулату.
Через точку, що лежить поза прямою в площині, яка визначається ними, можна провести не менше двох прямих, що не перетинають даної прямої.
Зауважимо, що існування хоча б однієї прямої, що проходить через цю точку і не перетинає даній прямій, є факт абсолютної геометрії. Аксіома Лобачевського стверджує існування принаймні двох таких прямих. Звідси негайно випливає, що таких прямих існує нескінченна безліч.
Площина, в якій передбачається виконання аксіоми Лобачевського, називається площиною Лобачевського.
Зауважимо також, що геометрію Лобачевського називають гіперболічної геометрією, відповідно до чого площину і простір Лобачевського називаються гіперболічними.
У площині Лобачевського дві прямі можуть або перетинатися, або можуть бути паралельними в деякому напрямку, або розходяться. Тому в площині Лобачевського існує три види пучків прямих:
1) пучок прямих, що перетинаються в одній точці, званої центром пучка; такий пучок називається центральним або еліптичним;
2) пучок прямих, паралельних у заданому напрямку деякої прямої, званої віссю пучка; такий пучок називається параболічним;
3) пучок розбіжних прямих, перпендикулярних до деякої прямої, званої базою пучка; такий пучок називається гіперболічним.
Будь-який з цих пучків визначається двома своїми прямими, а параболічний - однієї з обраним на ній напрямком і що через будь-яку точку площини (крім центру еліптичного пучка) проходить одна і тільки одна пряма пучка.
Ці три види пучків пов'язані з трьома основними кривими площині Лобачевського, які є кривими постійної кривизни.
Визначення. Січної рівного нахилу до двох даними прямим називається пряма, яка при перетині з даними утворює рівні внутрішні односторонні кути.
Визначення. Якщо a і b - дві прямі пучка і AB - яка-небудь січна рівного нахилу, що перетинає a і b в точках A і B, то ці точки називаються взаємно відповідними щодо пучка.
Візьмемо якусь пряму a даного пучка і на ній довільну точку A. Тоді, проводячи через точку A січні рівного нахилу до всіх прямим пучка, ми на кожній прямий пучка знайдемо точку, відповідну точці A щодо пучка. Геометричне місце всіх таких точок визначить на площині деяку лінію. У залежності від того, якого роду пучок розглядаємо, ми отримаємо різні лінії, побудовані зазначеним вище способом.
Визначення. Геометричне місце точок, відповідних деякій точці A, взятої на одній прямій пучка, називається колом, оріціклом (або, інакше, граничною лінією) або еквідістантой в залежності від того, чи буде даний пучок прямих відповідно еліптичним, параболічним або гіперболічним. Сама точка A також включається у відповідне геометричне місце.
Зауважимо, що пряма, як база гіперболічного пучка, є окремим випадком еквідістанти.
Оріцікл може ковзати по собі самому без деформації, подібно до того як це має місце для прямої та кола.
Такою ж властивістю володіє і еквідістанта: якщо змусити ковзати по самій собі базу еквідістанти, то й сама еквідістанта буде ковзати сама по собі без деформації, бо відстані усіх точок еквідістанти від бази рівні між собою.
Таким чином, в геометрії Лобачевського є чотири типи ліній постійної кривизни: пряма, окружність, оріцікл і еквідістанта.
На відміну від окружності оріцікл і еквідістанта - лінії незамкнуті
Простір, в якій передбачається виконання аксіоми Лобачевського, називається простором Лобачевського.
У просторі Лобачевського паралельність і розбіжність прямих, а також прямий і площини, визначається таким чином:
Визначення. Дві прямі в просторі називаються паралельними (розбіжними), якщо вони лежать в одній площині і в цій площині вони паралельні (розходяться).
Визначення. Пряма a називається паралельної площині α, якщо вона паралельна своєї проекції на цю площину.
Визначення. Пряма a називається розбіжної з площиною α, якщо вона розходиться зі своєю проекцією на цю площину.
З останніх визначень негайно випливає, що пряма, паралельна площині, необмежено зближується з останньою в бік паралельності, а пряма, розходяться з площиною, має з цією площиною єдиний загальний перпендикуляр, в обидві сторони від якого в проектує площині пряма необмежено віддаляється від площини.
Взаємне розташування прямих і площин у просторі Лобачевського цілком характеризується за допомогою так званого конуса паралельності, що є аналогом поняття кута паралельності.
Нехай дана площину α і не лежить на ній точка A. Нехай AA '- перпендикуляр до α, який проектує точку A в точку A' на площині α. Нехай далі AB - пряма, паралельна площині α, і A'B '- її проекція на α. Тоді кут BAA 'є кут паралельності в точці A прямий AB відносно прямої A'B'. Будемо обертати пряму AB близько перпендикуляра AA ', тоді AB опише круглу конічну поверхню з вершиною в точці A, всі утворюють якої паралельні площини α. Ця поверхня називається конусом паралельності в точці A відносно площини α. Таким чином, конусом паралельності в точці A відносно площини α називається геометричне місце всіляких прямих, паралельних площині α у точці A.
З цього визначення ясно, що будь-яка пряма, що проходить через точку A і лежача всередині конуса паралельності, перетинає площину α, а всяка пряма, що проходить через точку A і що поза конуса паралельності, розходиться з площиною α.
Конус паралельності в точці A дозволяє всі площини, що проходять через точку A, розбити на три категорії:
1) площині, що перетинають конус за двома твірними,
2) площині, що стосуються конуса з твірною,
3) площині, що мають з конусом лише одну спільну точку A.
Площини 1-ї категорії містять прямі, що проходять через A і лежать всередині конуса паралельності, а тому ці площини перетинають площину α. При цьому пряма перетину з площиною α паралельна в протилежних напрямках проекціям утворюють, за якими площину 1-ї категорії перетинає конус паралельності. Площини 2-й і 3-ї категорії не містять прямих, що проходять всередині конуса паралельності, а тому не можуть перетинатися з площиною α.
Визначення. Площина, що проходить через точку A, називається збіжної з площиною α, паралельної площині α, або розбіжної з площиною α, залежно від того, чи буде ця площина перетинати конус паралельності в точці A по парі утворюють, або буде стосуватися конуса з твірною, або не буде мати з конусом загальних прямих.
У площині Лобачевського через точку, що лежить поза прямою, проходять дві прямі, паралельні даній. У просторі Лобачевського через точку, що лежить поза площиною, можна провести нескінченну безліч прямих, паралельних даній площині, це і будуть утворюють конуса паралельності.
У просторі Лобачевського існує чотири типи поверхонь, які можуть без деформації пересуватися самі по собі, так, щоб кожна точка поверхні поєднувалася з будь-якою іншою її точкою і притому, щоб напрямок будь дотичній до поверхні в першій точці співпав із напрямком будь дотичній у другій точці. Ці поверхні є аналогами прямий, окружності, оріцікла і еквідістанти на площині. Побудова цих поверхонь може бути проведено за тим же планом, що і побудова основних кривих на площині. Для цього скористаємося поняттям зв'язки прямих.
Визначення. Зв'язкою прямих називається сукупність всіх таких прямих у просторі, кожна пара яких лежить в одній площині. Ці площини називаються площинами зв'язки.
З цього визначення випливає, що в просторі Лобачевського існує лише три типи зв'язок відповідно до трьох можливостями взаємного розташування пари прямих у площині Лобачевського.
Дійсно, нехай a і b - дві прямі зв'язки. Так як вони за визначенням лежать в одній площині, то можливі три випадки:
1) або a і b перетинаються в деякій точці O (така зв'язка називається еліптичною),
2) або вони паралельні (така зв'язка називається параболічної),
3) або вони розходяться (така зв'язка називається гіперболічної).
Таким чином, простір Лобачевського має свої особливості і дуже цікаво у вивченні.

ВИСНОВОК
Кожному рівню фізичної матерії відповідає своя специфічна геометрія, бо специфічні фізичні явища того або іншого рівня визначають специфічні властивості простору даного рівня. І безмежно велика кількість цих рівнів (в силу нескінченного розмаїття світу) визначає нескінченну кількість просторів і відповідно геометрій, що описують властивості простору.
У кінцевому підсумку зрозуміло, що можна побудувати інші геометричні системи, і всі їх поряд з евклідової перевірити на різних моделях фізичного простору всесвіту, тобто використовувати фізичні міркування в якості основи для доказу. Класична механіка побудована на основі евклідового простору і оскільки вона досить достовірна, то достовірна і евклідового простору. Проте сама класична механіка обмежена предметом дослідження, тому й підтвердження нею евклідового простору також обмежена.
Отже, строго кажучи, одним якимось досвідом або навіть деякою обмеженою групою дослідів евклідового простору однозначно не доводиться. Зміна ж системи аксіом призводить до створення нових геометрій. Зауважимо також, що геометрію Лобачевського називають гіперболічної геометрією, відповідно до чого площину і простір Лобачевського називаються гіперболічними.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. Черніков, Н. А., сб. «Фізика елементарних часток і атомного ядра» / Н. А. Черніков .- М.: Атоміздат, 1973 .- 163 с.
2. http://geom.kgsu.ru/index.php?option=content&task=view&id=27 # Prokl
3. Фок, В. А. / Теорія простору, часу й тяжіння. / В. А. Фок .- М.: Наука, 1961.-415с.
4. Котельников, А.П. Збірник «Деякі застосування ідей Лобачевського в механіці та фізиці» / А. П. Котельников, В. А. Фок - М.: Гостехиздат, 1950.-210с.
5. Ландау Л. Д., Ліфшиц Є. М. Теорія поля. / Л. Д. Ландау, Є. М. Ліфшиць-М., Наука, 1988.-509с.
6. Лобачевський, М. І. Геометричні дослідження з теорії паралельних ліній. / М. І. Лобачевський .- М.: Акад. наук СРСР, 1945.-267с.
8. Лобачевський, М. І. Повне зібрання творів. Т. 1. / За заг. ред. В. Ф. Кагана, А. П. Котельникова, В. В. Степанова та ін Гол. ред. В. Ф. Каган .- М: Гостехиздат, 1947.-286с.
9. Лобачевський, М. І. Повне зібрання творів Т. 2. / Гол. ред. В. Ф. Каган. -М: Гостехиздат, 1949.-310с
10. Лобачевський, М. І. Повне зібрання творів Т. 3. / Гол. ред. В. Ф. Каган. М.: Гостехиздат, 1951с.-298с.
11. Норден, А. П. Елементарне введення в геометрію Лобачевського. / А. П. Норден .- М.: Гостехиздат, 1953.-257с.
12. Широков, П. А. Короткий нарис основ геометрії Лобачевського. 2-е вид. / П. А. Широков .- М.: Наука, 1983.-178с.