Санкт-Петербурзький державний університет

Факультет прикладної математики - процесів управління

Кафедра математичного моделювання

енергетичних систем
Карпова

Наталія

Анатоліївна
Ортогональні поліноми І КРИВІ РОЗПОДІЛУ ЙМОВІРНОСТЕЙ
Зав. Кафедрою,
професор, доктор фіз.-мат. наук Захаров В. В.
Науковий керівник,
доцент, кандидат фіз.-мат. наук Свіркін М. В.
Рецензент,
доцент, кандидат фіз.-мат. наук Корніков В. В.

Санкт Петербург

2003

Зміст.

Введення ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 3

Глава 1. Система кривих Пірсона.
§ 1. Диференціальне рівняння Пірсона ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... 5
§ 2. Основні типи кривих Пірсона ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 8
§ 3. Перехідні типи кривих Пірсона ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 17
Глава 2. Застосування ортогональних поліномів Чебишева при знаходженні кривих розподілу ймовірностей.
§ 1. Отримання ортогональних поліномів за способом Чебишева ... ... 23
§ 2. Узагальнення методу Грама - Шарльє ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .33
§ 3. Вагові функції і криві розподілу ймовірностей ... .... ... .36
Глава 3. Приклади знаходження кривих розподілу ймовірностей і програмне забезпечення.
§ 1. Приклади знаходження кривих розподілу ймовірностей ... ... .. 40
§ 2. Алгоритм обчислень ................................... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 46
Висновок ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 47

Література ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 48

Введення.
Математична статистика є наукою, яка вивчає співвідношення, настільки глибоко проникають у суть речей, що їх можна зустріти при самих різних обставинах. Результати досліджень, отримані за допомогою апарата математичної статистики, використовуються в самих різних областях науки і техніки, таких як біологія, медицина, анатомія, геологія, екологія, економіка, і т.д.
Ця дипломна робота присвячена розгляду двох основних задач математичної статистики:
1. отриманню кривої розподілу ймовірностей за наявною вибірці;
2. знаходженню залежності між двома випадковими величинами, заданими своїми вибірками.
Для вирішення першого завдання використовуються різні методи. У даній роботі розглянуто метод Карла Пірсона, представника англійської школи статистики. Їм було отримано диференціальне рівняння
,
а так само введений критерій ж (каппа Пірсона), за допомогою якого Пірсон класифікував рішення цього диференціального рівняння і дав їх у вигляді дванадцяти типів.
Пізніше у своїх теоретичних дослідженнях Колмогоров А. Н. і Марков А. А. довели, що будь-який закон розподілу може бути записаний у вигляді одного з дванадцяти типів кривих Пірсона, тому для вирішення даної задачі використовується метод Пірсона знаходження кривої розподілу.
Для вирішення другого завдання використовується метод П.Л. Чебишева, творця Санкт - Петербурзької математичної школи. У статистиці ім'я знаменитого російського математика П. Л. Чебишева (1821-1894) відомо головним чином за так званим нерівності Чебишева, яке він запропонував для розподілу ймовірностей, і яке має силу для будь-якого статистичного розподілу численностей.
Однак за останній час в статистиці все більшого значення набувають ортогональні поліноми Чебишева, які мають особливе значення при визначенні множинної та криволінійної регресії і при обчисленні коефіцієнтів узагальненої функції нормального розподілу ймовірностей.
Чебишев запропонував загальну інтерполяційну формулу, при якій можливо інтерполювання в самих різноманітних випадках. Ця інтерполяціонная формула задовольняє умовам методу найменших квадратів і виражена за допомогою його ортогональних поліномів. Загальна інтерполяціонная формула, або, інакше ряд Чебишева, запропонований Чебишовим в 1855 році. Вона має вигляд
.
Таким чином в дипломній роботі розглядаються два методи:
ü метод Пірсона знаходження кривих розподілу ймовірностей,
ü метод Чебишева отримання ортогональних поліномів,
які були покладені в основу узагальненого методу Грама - Шарльє знаходження кривої розподілу ймовірностей.

Глава 1. Система кривих Пірсона.
У цьому розділі ставиться задача знаходження закону розподілу випадкової величини в зручному для практичного використання вигляді. Для її рішення розглядається підхід К. Пірсона, який є видатним представником англійської статистичної школи.
§ 1. Диференціальне рівняння Пірсона.
Розглянемо випадкову величину, задану своєї вибіркою , Таким чином, можемо записати - Статистичної розподіл. Ставиться завдання знаходження закону розподілу випадкової величини в зручному для практичного використання вигляді.
Метод Пірсона полягає в тому, що ми розглядаємо диференціальне рівняння Пірсона:
(1)
і досліджуємо, які рішення можна отримати при різних значеннях параметрів рівняння (1).
Загальний інтеграл цього рівняння представимо у вигляді:

де
.
Значення цього невизначеного інтеграла залежить від коренів рівняння
(2),
отже, від його дискриминанта

який можна написати у вигляді
,
вводячи параметр
ж .
Або інакше, величину ж можна представити у вигляді:
ж ,
де величини представимо через центральні моменти статистичних розподілів к-го порядку, які визначаються за формулою
,
де є
.
Тоді
, .
Через величини можна представити і величини наступним чином [5]:

Величина ж називається критерієм Пірсона (каппа Пірсона) і різні значення її дають нам наступні висновки про коріння рівняння:
А. Якщо ж , То і рівняння (1) має речові коріння різних знаків.
В. Якщо 0 <ж <1, то і рівняння (1) має комплексні корені.
С. Якщо ж> 1, то і рівняння (1) має речові коріння одного знака.
Відповідно до цих випадків Пірсон розрізняє три головних типи своїх кривих, які він назвав відповідно типами I, IV та VI. Потім ж може дорівнювати , Що дає перехідні типи кривих. Нарешті, приєднуючи деякі додаткові умови, ми можемо збільшити число перехідних типів. Всього система кривих Пірсона укладає 12 типів і нормальну криву.
У своїх розробках Колмогоров А. Н. і Марков А. А. довели, що будь-який закон розподілу може бути записаний у вигляді одного з дванадцяти типів кривих Пірсона, тому для вирішення завдання ідентифікації використовується метод Пірсона.

§ 2. Основні типи кривих Пірсона.
У цьому параграфі будуть розглянуті основні типи кривих розподілу ймовірностей, запропоновані та класифіковані Пірсоном.
Тип I.
Нехай ж <0. Тоді

і рівняння (2) має речові коріння різних знаків: , Так що можемо записати
.
Тоді права частина рівняння (1) може бути представлена ​​у вигляді:
,
де
.
Нехай ще
.
Тоді рівняння (1) перепишеться у вигляді

і загальний інтеграл його можна представимо у вигляді
,
де і значення і повинні відповідати умовам
.
Тип I виходить, якщо полягає в інтервалі . Тоді
і
або, як зазвичай пишуть
.
Так як виражаються певним чином через моменти , То, очевидно, і також виражаються через ті ж моменти. Для цього введемо число
.
Тоді просте перетворення дає наступні формули:
.
Ці формули використовуються взагалі при обчисленні параметрів і інших кривих Пірсона.

Далі, користуючись цими ж формулами,

,
отже,
.
Потім
,
або, після простих підрахунків,
,
де
.
Таким чином, і представляють корені рівняння
,
Коли знайдені і , і знаходяться за формулами
,
в яких
, .
Тут використано рівність
,
яке виходить, так ми маємо
,
і
,
отже,
,
звідки

(Так як ), Потрібно брати .
Таким образам, і є корені рівняння

і і за формулами
,
в яких
,
де знаходиться з рівності
.
Залишається знайти . Воно знаходиться за рівністю
.
За допомогою підстановки

ми знаходимо:
.
Отже,
.
Тип IV.

Другий головний тип кривих Пірсона, відповідний значенням

0 <ж <1, коли рівняння (1) має комплексні корені.

Нехай ці корені рівні

,
де
.
Тоді рівняння (1) буде
,
звідки
,
і
,
або
, (3)
причому
.
Параметри кривої (3), виражаються наступним чином через моменти і константи :

(Тут , І ),
,
де - Функція Пірсона, обумовлена ​​рівністю
.
Інтеграл у правій частині можна привести до іншого виду:
підстановка

приводить його до виду
.
Зазвичай, вважаючи
,
пишуть у вигляді
,
де
.
Тип VI.
Третій головний тип кривих Пірсона, відповідний значенням критерію ж> 1 . У цьому випадку рівняння (2) має речові коріння одного знака. Не наводячи виведення рівняння кривої типу VI, аналогічного висновку рівняння кривої типу I [5], прямо наведемо рівняння, віднесене до середньої вирівнюється розподілу, як початку координат:

(У ньому ). Його параметри обчислюються за формулами:
,
причому береться , Якщо і , Якщо ; і дають вирази:
,
причому має бути ;
,
і
.
Рівняння кривої типу VI пишуть також у вигляді:

беручи за початок координат точку
.
Параметри обчислюються як вище, а має тепер такий вислів:
.
Крива простягається від до , Якщо , І від до , Якщо .

§ 3. Перехідні типи кривих Пірсона.
Перехідні типи кривих Пірсона виходять при спеціальних значеннях критерію ж і при деяких умовах, що накладаються на і .
Тип II.
Виходить при ж = 0, і має рівняння
,
віднесене до моди, яка тепер дорівнює середній (крива симетрична відносно початку). Її параметри обчислюються за формулами

Крива простирається від - а до а. На кінцях розподілу , Якщо і , Якщо . Ця крива має так звану U-подібну форму з антимода замість моди.
Тип VII.

Має рівняння

,
виходить при ж = 0, і має параметри

Нчало координат в середній (середня дорівнює моді).
Тип III.
Має рівняння

з початком координат в моді і з параметрами
.
Виходить при залізниці
Тип V.

Має рівняння

з параметрами

крива виходить при ж = 1 і нескінченна в одному напрямку.

Тип VIII.

Має рівняння

,
простягається від-а до 0, виходить при
ж ,
причому залежить від , А параметр т виходить як рішення рівняння

і він не повинен бути більше 1 або менше 0.
Тоді
,
а початок в точці

Тип IX.

Має рівняння

,
простягається від-а до 0, виходить при
ж
Параметр т визначається як рішення рівняння

Тоді
,
а початок буде в точці

Тип X.
  Має рівняння

з початком координат в точці ; Виходить як спеціальний випадок кривої типу III при .
Тип XI

Має рівняння

,
виходить при
ж
і тягнеться від до , А т знаходиться з рівняння

і b залежить від m.

Тоді

,
а початок координат в точці
.
Тип XII.
Має рівняння
,
виходить при
ж .
Крива простягається від до , Початок координат в точці і
.
Тип N.
Тринадцятий тип кривих розподілу Пірсона - нормальна крива з рівнянням
,
яка виходить за умов
ж .
Типи II, VI, VII, VIII, IX представляють спеціальні випадки кривою типу I, тип X - спеціальний випадок типу III, а тип XI - типу VI. [5] (Див. додаток 1.)

Глава 2. Застосування ортогональних поліномів Чебишева при знаходженні кривих розподілу ймовірностей.
У цій главі розглянуто отримання ортогональних поліномів способом, який розробив П. Л. Чебишов. А саме, через розкладання в безперервну дріб суми

і розгляд знаменників відповідних дробів отриманої неперервного дробу. Причому показано, що отримані таким чином ортогональні поліноми відповідають умовам методу найменших квадратів, а так само показано їх застосування для знаходження кривих розподілу ймовірностей.
§ 1. Одержання ортогональних поліномів за способом Чебишева.
Нехай дано значення інтерполіруемой функції ,
відповідні значення аргументу . Кожному значенню аргументу ставиться у відповідність частота .
Потрібно знайти таку цілу функцію
,
де , Яка задовольняла б умові найменшого значення суми
.
У цьому завданню в якості ваги пропонується розглянути [8]
,
де n є

або інакше кажучи n - Сума всіх випробувань.
Для вирішення нашої задачі знаходимо коефіцієнти , Які визначаються з наступних рівнянь
;
;
... ... ... ... ... ... ... ...
;
;
Після перетворень отримуємо таку систему рівнянь для знаходження коефіцієнтів
;
;
... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ...
;
... ... ... ... ... ... ... ...
;
де
Такий підхід до знаходження коефіцієнтів має істотний недолік - при підвищенні ступеня полінома хоча б на одиницю доводиться переписувати всі рівняння і вирішувати систему наново.
Є інший варіант побудови шуканого полінома [8].
Нехай буде ціла функція від ступеня , Яка звертається до при . Покладемо
,
де - Цілі функції ступенів , А - Коефіцієнти.
Нехай тепер сума перших членів вираження

дорівнює
,
тобто .
Які в цьому випадку умови щодо і при яких сума

має найменше значення?
Позначимо цю суму через :
,
і, підставляючи в неї
,
складаємо звичайним способом диференціювання наступні рівняння:

Звідси випливає:

Так як є ортогональні поліноми з побудови, отже всі складові виду будуть дорівнювати 0.
У результаті перетворень отримаємо вирази для коефіцієнтів :
;
;
... ... ... ... ... ...
;
... ... ... ... ... ...
.
Тепер можна уявити функцію

в такому вигляді
.
Легко переконатися, що для переходу від знайденого вираження інтерполіруемой функції до цілої функції ступеня , Достатньо до лівої частини отриманої функції приписати один новий член
.
Для подальшого переходу до цілої функції ступеня , Також задовольняє умові найменшого значення суми
,
достатньо додати до знайденого висловом функції ступеня , Такий новий член
.
Таким чином, рішення задачі параболічного інтерполювання за способом найменших квадратів наводиться до знаходження ряду

Цей ряд, що володіє властивістю давати за допомогою суми своїх перших членів наближене уявлення інтерполіруемой функції у вигляді цілої функції ступеня , Що задовольняє вимогу найменших квадратів, називається інтерполяційним поруч Чебишева.
Тепер для повного виконання завдання залишається ще дізнатися, що представляють собою функції , Визначивши через дані величини і коефіцієнти при у вираженні цих функцій.

Далі, за допомогою розкладання дробу

по спадним ступенями отримаємо, що дріб
,
де
,
дає наближене представлення функції [7]

з точністю до членів ступеня

включно. Тут є вагова функція, знайдена раніше за методом Пірсона. Але ця частина, у якій ступінь чисельника на одиницю менше ступеня знаменника, при розкладанні в безперервну дріб завжди буде в своїх неповних приватних містити змінну в першому ступені. Отже, знаменники її відповідних дробів є функції ступенів ; Тому можна покласти
.
Що стосується , То його можна прирівняти .
Розкладаючи

в безперервну дріб виду
,
де і - Деякі постійні, використовуємо знайдені вище властивості функції для визначення цих постійних через дані значення .
Вирази для буде мати вигляд:
.
Вирази для коефіцієнтів будуть наступними:
.
Вводячи для скорочення позначення

через , Запишемо вираз для в такому вигляді:
.
Для вираз буде мати вигляд
.
Що стосується величин і , То вони дорівнюють відповідно
і .
Тепер перейдемо до визначення коефіцієнтів у виразі
.
Для отримаємо вираз
.
Це вираз вельми спроститься, якщо ми будемо вважати відхиленнями даних значень аргументу від його середньої арифметичної так, що . Тоді , А вираз для буде мати вигляд
.
Також спростяться вирази для
і .
Функція стане рівною , Функції визначаються шляхом послідовних підстановок виразів в формули
.
За допомогою цих формул можна обчислити який завгодно член ряду Чебишева
.
Оцінка результатів інтерполяції проводиться за допомогою середнього квадратичного відхилення даних значень інтерполіруемой функції від обчислених за знайденому рівнянню параболи.
Позначимо суму квадратів відхилень через . Тоді можна написати
.
буде дорівнювати
,
а висловлювати рекуррентно через за формулою
.
Отже,
, , ,
, , , ,
, , , , .
Ми бачимо, що в залежності від нашої вагової функції в розкладанні ми отримаємо різні системи ортогональних поліномів.
§ 2. Узагальнення Грама - Шарльє.
Нехай за методом Пірсона знайдений вигляд кривої розподілу ймовірностей на відповідному інтервалі. Тепер, для представлення в зручному для практичного використання вигляді, запишемо отриману криву у дещо іншій формі. Для цього використовуємо узагальнення Грама - Шарльє, яке грунтується на застосуванні ортогональних поліномів Чебишева і полягає в тому, що крива розподілу ймовірностей бути подана в вигляді наступного розкладу:
(4)
де - Є до-а похідна функції . Тут вважаємо, що
.
Таким чином, ми отримуємо криву розподілу ймовірностей тепер вже у вигляді .
Похідні функції ми можемо представити у вигляді [3]
,
тоді можемо записати

де функції повинні задовольняти наступній властивості:
якщо (5)
А коефіцієнти виходять з рівності (4) за допомогою домноженія на будь-який з ортогональних поліномів і, інтегрування отриманої рівності:
=

=

Звідси випливає, що

.
На практиці в цьому розкладанні ми використовуємо тільки чотири перших члена, і коефіцієнти перед ними є:


Коефіцієнти мають чіткий статистичний зміст, а саме: коефіцієнт , Виражений через , Відповідає за асиметрію закону розподілу, і коефіцієнт виражений через - За ексцес або дефект кривої розподілу.
Властивість (5) є властивість ортогональності поліномів, т. е. за визначенням є системою ортогональних поліномів, яка отримана за способом Чебишева в попередньому параграфі [3], [5].

§ 3. Вагові функції і системи ортогональних поліномів.
У загальній теорії ортогональних поліномів відомо, що система ортогональних поліномів називається класичною, якщо вона ортогональна щодо вагової функції, яка є рішенням диференціального рівняння Пірсона [2], [6]. Тобто, тут простежується зв'язок між теорією класичних ортогональних поліномів і завданнями математичної статистики (знаходженням закону розподілу ймовірностей).
Поліноми Чебишева - Ерміта.
Нехай многочлен (2) не має коренів, тоді рівняння Пірсона (1) після перенесення початку координат запишеться у вигляді
,
тоді рішення цього рівняння запишеться у вигляді
(6).
Лінійним перетворенням незалежного змінного

ця функція наводиться з точністю до постійного множника до вагової функції многочленів Чебишева - Ерміта, яка має вигляд
.
Оскільки множення ваговій функції на постійну практично не змінює ортогональні многочлени, то у формулі (6), як і в аналогічних нижченаведених формулах, не порушуючи спільності, можна вважати . У даному випадку ортогональні многочлени з вагою (6) виражаються через ортогональні многочлени Чебишева - Ерміта за формулою
.
У цьому випадку умова ортогональності запишеться у вигляді:
якщо
Поліноми Чебишева - Лагерра.

Нехай тепер многочлен (2) має один корінь. Тоді рівняння (1) представимо у вигляді

.

Тоді його рішення запишеться у вигляді

.

Многочлени, ортогональні з такою вагою, можна розглядати як узагальнення многочленів Чебишева - Лагерра, ортогональних з вагою

.

Причому і тут можна виразити ці многочлени через многочлени Чебишева - Лагерра , А умова ортогональності буде:

якщо

Поліноми Якобі.

Припустимо, що многочлен (2) має два різних дійсних нуля. Тоді , І рівняння Пірсона (1) представимо у вигляді
,
де і - Деякі постійні і . Тоді рішення рівняння (1)
представимо у вигляді

і визначає деяку систему ортогональних многочленів, яка лінійним перетворенням незалежного змінного і множенням на постійну зводиться до системи многочленів Якобі . Так як вагова функція многочленів Якобі має вигляд
.
І відповідно умова ортогональності буде мати вигляд:
якщо
Поліноми Чебишева I роду є окремим випадком многочленів Якобі, так як вагова функція, щодо якої ортогональні ці многочлени, має вигляд:

і виходить при підстановці у вагову функцію многочленів Якобі параметрів .
Поліноми Чебишева II роду так само є окремим випадком многочленів Якобі, так як вагова функція многочленів Чебишева II роду має вигляд

і виходить при підстановці у вагову функцію многочленів Якобі параметрів .
Слід так само відзначити, що многочлени Лежандра є окремим випадком многочленів Якобі, так як вагова функція многочленів Лежандра

і є приватний випадок вагової функції многочленів Якобі при .

Глава 3. Приклади знаходження кривих розподілу ймовірностей і програмне забезпечення.
У цій главі розглядаються приклади перебування кривих розподілу за методом кривих Пірсона з використанням теоретичних досліджень, розглянутих у першому і другому розділах дипломної роботи. Було написано програмне забезпечення, за допомогою якого були отримані і проінтерпретовані чисельні результати.
§ 1. Приклади знаходження кривих розподілу ймовірностей.
Розгляд прикладів полягало в тому, що було розглянуто п'ятьдесят випадкових вибірок, а далі були розглянуті приклади вибірок із заданим законом розподілу. Згідно розглянутому нижче алгоритмом були зроблені відповідні обчислення, і по кожній вибірці була побудована крива розподілу ймовірностей. При проведенні випробувань було отримано, що крива розподілу сорока семи з п'ятдесяти розглянутих вибірок є крива Пірсона першого типу, яка визначається такою формулою:
.
Тут потрібно відзначити різноманітність кривих Пірсона, що робить їх застосування дуже гнучким. Це означає, що криві розподілу ймовірностей першого типу при різних значеннях параметрів і можуть мати різну форму.
Нижче розглянуто декілька прикладів найбільш часто зустрілися форм кривої розподілу I типу.

Приклад 1.
Розглянемо вибірку:
Отже, крива розподілу ймовірностей буде визначена на проміжку і буде мати вигляд:


1

0
Рис.1

З чого випливає, що якщо параметри кривої розподілу першу
типу будуть знаходитися в межах , То ми будемо отримувати форму кривої розподілу, зображену на рис.1.
З п'ятдесяти розглянутих вибірок двадцять чотири мають таку форму кривої розподілу ймовірностей.
Приклад 2.
Розглянемо іншу вибірку:
Крива розподілу ймовірностей має в цьому випадку форму, показану на рис. 2.

1


0
Рис.2
У цьому випадку параметри кривої розподілу будуть: . І якщо параметри кривої розподілу інший вибірки будуть задовольняти цим нерівностям, то форма кривої розподілу цієї вибірки буде схожа на рис. 2.
Цей випадок зустрівся нам сім з п'ятдесяти.
Приклад 3
Крива розподілу ймовірностей має вигляд:


1


0
Рис. 3
Такий буде форма кривої розподілу ймовірностей, якщо параметри . Ця форма кривої зустрічається шістнадцять разів з п'ятдесят.

§ 2. Алгоритм обчислень.

Тип кривої розподілу ймовірностей

Перевірка умов для

ж Пірсона

Вихідні дані

i

Метод Пірсона.

Вид кривої розподілу ймовірностей

		Висновок результатів: параметри кривої розподілу ймовірностей

Висновок.
У дипломній роботі були розглянуті питання знаходження розподілу ймовірностей за заданими вибірковим значенням випадкової величини. У першому розділі було розглянуто рішення диференціального рівняння Пірсона, узагальнено досвід з допомогою залізниці критерію Пірсона, знайдені типи кривих розподілу ймовірностей і параметри, що відповідають кожному типу.
У другому розділі було розглянуто підхід Чебишева до отримання систем ортогональних поліномів, які мають властивість методу найменших квадратів. Було розглянуто застосування способу Чебишева для знаходження кривої розподілу ймовірностей по узагальненому методом Грама - Шарльє.
У третьому розділі описується алгоритмічне забезпечення знаходження кривих розподілу ймовірностей за методом Пірсона.
Результати дипломної роботи можуть представляти велике значення для вирішення багатьох практичних завдань, так як часто виникає необхідність по експериментальним даним оцінити розподіл ймовірностей виміряної випадкової величини.

Література.

1. Гмурман В. Є. Теорія ймовірності та математична статистика. Навчальний посібник для вузів. М.: Вища школа, 1999
2. Джексон Д. Ряди Фур'є і ортогональні поліноми. М.: Державне видавництво іноземної літератури, 1948
3. Митропольський О. К. Техніка статистичних розподілів. М.: видавництво "Наука", 1971
4. Немчінов В. С. Поліноми Чебишева і математична статистика. М.: видання Московської ордена Леніна сільськогосподарської академії імені К.А. Тімірязєва, 1946
5. Романовський В. І. Математична статистика. Видавництво Академії Наук УзРСР, 1961
6. Суетин П.К. Класичні ортогональні многочлени. М.: видавництво "Наука", 1976
7. Хинчин А. Я. Ланцюгові дроби. М.: Державне видавництво фізико-математичної літератури, 1961
8. Хотимський В. І. Вирівнювання статистичних рядів за методом найменших квадратів (спосіб Чебишева). М.: Державне статистичне видавництво, 1959