Міністерство освіти
Республіки Білорусь
Заклад освіти
Білоруський державний університет
інформатики і радіоелектроніки
РЕФЕРАТ
на тему: «Оптимізація вибору споживача»
Виконали
студенти
Куропатенкова Ю.В.
Кульша М.О.
Ходатовіч Є.Д.
Мінськ 2007
Зміст
Введення
1. Завдання оптимізації вибору споживача
Висновок
Список літератури
Введення
Споживач, маючи дохід, бажає його витратити і, природно, з максимальною користю. Користь розуміється в сенсі системи його переваг або його функції корисності. У нашій роботі ми розглянули, як можна оптимізувати вибір споживача.
Завдання оптимізації вибору споживача
Суть оптимізації вибору споживача.
Вибір (X 1 *, X 2 *) є оптимальним вибором для споживача. Безліч наборів, які він вважає за краще (X 1 *, X 2 *), а саме безліч наборів, що розташоване над його кривої байдужості, не перетинає набори, які він може собі дозволити придбати, а саме набори під бюджетною лінією. Таким чином, набір (X 1 *, X 2 *) - це найкращий набір, який споживачеві по кишені.
Для того щоб розглянути цю задачу слід використовувати в якості додатку знаходження умовного екстремуму за допомогою множників Лагранжа.
Як окремі споживачі вибирають, яку кількість кожного товару їм купити, з урахуванням переваг і бюджетних обмежень? Ми припускаємо, що споживачі роблять цей вибір за раціональним міркувань - вони вибирають товари так, щоб максимізувати отримується задоволення з урахуванням доступного їм обмеженого бюджету.
Відповідає вимогам ринкова кошик повинна задовольняти двом умовам:
Вона повинна знаходиться на бюджетній лінії. Чому? Зауважимо, що будь-яка ринкова кошик лівіше і нижче бюджетної лінії залишає невитраченої деяку частину доходу, який, будучи витраченим, міг би збільшити задоволення споживача. Зрозуміло, споживачі можуть - і іноді дійсно роблять це - зберегти деяку частину доходів для майбутнього споживання. Однак поки ми спростимо ситуацію, припустивши, що весь дохід витрачається відразу. Також зауважимо, що будь-яка ринкова кошик правіше і вище бюджетної лінії не може бути придбана при наявному рівні доходу. Ось чому єдиний раціональний і здійсненний вибір - це кошик, що лежить на бюджетній лінії.
Вона повинна забезпечувати споживачеві найбільш бажаних комбінацію товарів та послуг.
Ці дві умови зводять проблему максимального задоволення споживача до питання вибору підходящої точки на бюджетній лінії.
Якщо проаналізувати графічно проблему вибору споживача між продовольством і одягом, то можна зробити висновок, що кошик, яка приносить максимальне задоволення, повинна лежати на самій верхній кривій байдужості, що стосується бюджетної лінії. У точці дотику бюджетної лінії та кривої байдужості, нахил бюджетної лінії точно дорівнює нахилу кривої байдужості. Оскільки гранична норма заміщення (MRS) є від'ємною величиною, зворотної куту нахилу кривої байдужості, то можна сказати, що задоволення досягає максимуму (при даному бюджетному обмеженні) в точці, де
Задачу оптимізації вибору споживача можна розглянути як додаток методу знаходження умовного екстремуму множників Лагранжа.
Будемо вважати, що кожен товар має ціну p i, а індивід має дохід Q - якась кількість грошей, у рамках якого він і діє, купуючи потрібний йому набір товарів. На покупку набору товарів X = (x i, ..., x n) треба затратити грошей в кількості c (X) = p i x i + ... + p n x n =
Таким чином, індивід може купити тільки такий набір X, при якому PX ≤ Q. Отже, безліч наборів товарів, доступних йому при доході Q. є B = B (P, Q) = {X; X ≥ 0, PX ≤ Q}. Це безліч називається бюджетним безліччю. Бюджетне безліч обмежено і замкнуто.
Доказ. Нехай r = min p i, тоді, як легко бачити, якщо X B, то x ≤ Q / r для i = 1, ..., n, тобто безліч B обмежено. Доведемо замкнутість. Нехай Х до
В для всякого k
N і X k
Z. Тоді в силу безперервності лінійної функції
PX k PZ і, оскільки, PX k ≤ Q, то і PZ ≤ Q. Отже, Z
B.
Кордон бюджетного безлічі називається безліч G = {X B: PX = Q}. Кордон G - це відрізок у випадку двох товарів, частина площини, обмежена трикутником, у випадку трьох товарів, і в загальному випадку, є частина гіперплощини в просторі товарів.
Бюджетне безліч B (P, Q) залежить від доходу Q і системи цін P, але від будь-яких характеристик індивіда, наприклад системи його переваг, не залежить.
Споживач, маючи дохід, бажає його витратити і, природно, з максимальною користю. Користь розуміється в сенсі системи його переваг або його функції корисності. Це призводить до наступної задачі математичного програмування.
Знайти набір товарів X = (x i, ..., x n), максимізує функцію корисності u (x i, ..., x n), при виконанні бюджетного обмеження PX = p i x i + ... + p n x n ≤ Q; за змістом задачі всі змінні приймають невід'ємне значення, тобто x i ≥ 0, i = 1, ..., n.
Розглянуту задачу можна сформулювати більш стисло:
Або навіть так:
(1)
Оскільки u (X) - безперервна функція своїх аргументів, а бюджетне безліч В обмежено і компактно, то u (X) досягає на безлічі В свого максимуму, тобто рішення задачі 1 існує. Очевидно, що будь-яка точка Х * максимуму функції c (X) лежить на кордоні G бюджетного множини. Дійсно, якщо припустимо гидке, тобто що Z - точка максимуму, але Z G, тоді P Z <Q. Однак тоді споживач має невикористане кількість грошей Q - P Z, і на ці гроші він може купити якусь кількість товарів Y, причому можна вважати, що Y> 0. Але тоді Y
В, однак u (Z + Y)> u (Z). В силу того, що кожен товар бажаний. Отримали протиріччя з тим, що Z - точка максимуму функції c (X) на бюджетному множині.
Припущення: Якщо u (X) - строго увігнутим, то рішення задачі (1) єдино, тобто існує тільки одна точка максимуму функції корисності на бюджетному множині.
Нагадаємо, що функція u (X) називається строго ввігнутої, якщо для будь-яких X, Y з того, що 0 <λ <1 випливає, що u (λ x + (1 - λ) Y)> λ u u (X) + (1 - λ) u (Y).
Доказ. Припустимо, що А і С - дві точки максимуму, тобто u (X) u (A) = u (C) для будь-якої точки X безлічі В. Ми вже знаємо, що точки А і С лежать на кордоні бюджетного множини, тобто РА = РС = Q. Розглянемо точку Е = А / 2 + С / 2. Бачимо, що РЕ = Р (А / 2 + С / 2) = Q, тобто Е
В. В силу суворої увігнутості функції u (X) маємо: u (Е)> u (А) = u (С). Отримали протиріччя з тим, що А і С - є точки максимуму функції на бюджетному множині.
Отже, при строгій увігнутості функції корисності існує в бюджетному безлічі єдина точка максимуму функції корисності. Таким чином, у споживача навіть немає вибору в тому, як з найбільшою витратити свої гроші, тому що існує єдиний набір товарів, максимізує корисність. Це єдина точка максимуму називається точкою попиту, або просто попитом споживача. Ця точка позначається Х *.
Вивчимо точку попиту. Поки встановлено тільки, що вона повинна лежати на кордоні бюджетного множини. Таким чином, задача (1) зводитися до наступного:
Або
Це завдання можна вирішити за допомогою множників Лагранжа. Складемо функцію Лагранжа L (X, λ) = u (X) + λ (Q - PX), знайдемо приватні похідні і прирівняємо їх до нуля:
Висновок
Таким чином, існує тільки одна точка максимуму функції корисності на бюджетному множині.
Отже, у споживача навіть немає вибору в тому, як з найбільшою вигодою витратити свої гроші, тому що існує єдиний набір товарів, максимізує корисність. Це єдина точка максимуму називається точкою попиту, або просто попитом споживача.