Оптимальні лінійні системи
Типовою прикладної завданням статистичної радіотехніки є оптимізація системи обробки сигналу , Присутнього на вході спільно з шумом, описуваних випадковим процесом
. Залежно від мети обробки (виявлення сигналу, розрізнення двох або більше сигналів, вимірювання параметрів сигналу і т.п.) вибір оптимальної системи здійснюється на основі різних критеріїв оптимальності.
1. Параметрична оптимізація
Найпростішим методом оптимізації за заданим критерієм є параметрична оптимізація, коли, у разі лінійної системи, вид функціональної залежності імпульсного відгуку системи від часу або функції передачі системи в частотній області
вважаються заданими з точністю до кінцевого числа невідомих параметрів цих залежностей. Таким чином, структура лінійної системи вважається відомою, необхідно визначити лише оптимальні значення тих чи інших параметрів цієї структури.
Іншим методом оптимізації лінійної системи є повна оптимізація по заданому критерію, коли невідомими є функції ,
, Або, інакше кажучи, невідомі не тільки параметри, але й сама структура системи. У цьому випадку метою оптимізації є знаходження оптимальних функцій
або
.
Зауважимо, що питання оптимальності отриманої системи в класі будь-яких інших можливих систем (не належать до класу лінійних) при будь-якому з таких методів оптимізації залишається відкритим.
Розглянемо ці методи оптимізації на конкретних прикладах.
2. Параметрична оптимізація за критерієм максимуму відношення сигнал / шум
Розглянемо обробку сигналу виду
на тлі «білого шуму» , Що має енергетичний спектр
виду
.
В якості критерію оптимальності виберемо критерій максимуму відношення сигналу до шуму в деякий момент часу
на виході лінійної системи. Подібна задача виникає у разі, коли, наприклад, важливим є виявлення корисного сигналу, причому відновлення його форми (відтворення сигналу) не є необхідним.
Нехай і
відповідно сигнал і шум на виході даної лінійної системи. Тоді в момент
:
.
Виберемо в якості прикладу лінійну систему, що має імпульсний відгук
причому метою оптимізації є вибір значення , Що забезпечує максимальне значення величини
.
Корисний сигнал на виході системи визначається виразом:
Підставляючи імпульсний відгук розглянутої лінійної системи, отримуємо:
Отже,
при
З іншого боку, як було показано в 3,
Тоді в момент
.
Після диференціювання по
отримуємо рівняння для визначення
:
,
звідки
При цьому
або
де
і
енергія корисного сигналу.
3. Параметрична оптимізація за критерієм мінімуму середньоквадратичної помилки відтворення корисного сигналу
Нехай тепер корисним сигналом є реалізація деякого випадкового процесу . Це може бути реалізація повідомлення при передачі мови або зображення, реалізація сигналу в системі телеметрії і т.п. У таких умовах важливим є не факт виявлення корисного сигналу, а його відтворення на виході лінійної системи з максимально високою точністю. Тому в якості критерію оптимальності доцільно вибрати критерій мінімуму середньоквадратичної помилки (СКП) відтворення корисного сигналу
на виході лінійної системи.
Нехай енергетичні спектри процесів і
дорівнюють відповідно
Повна помилка відтворення сигналу на виході лінійної системи описується випадковим процесом види:
,
де спотворення сигналу в результаті проходження процесу
через розглянуту лінійну систему.
Среднеквадратическая помилка , Очевидно, дорівнює:
де енергетичний спектр процесу
. У свою чергу за визначенням (див. 3.4):
де спектр відрізка (тривалістю
) Довільної
-Ої реалізації процесу
. Очевидно,
де і
спектри відрізків (тривалістю
)
-Ої реалізації процесів
і
, А
функція передачі розглянутої лінійної системи в частотній області. Тоді
Виберемо як оптимизируемой лінійної системи фільтр з характеристикою виду:
Тоді, очевидно,
Крім того, з урахуванням 3.12.2 маємо:
.
Тоді повна СКО відтворення корисного сигналу:
Оптимальне значення параметра
знаходимо в результаті рішення рівняння:
звідки
З метою виявлення фізичного змісту отриманої залежності введемо в розгляд відношення сигнал / шум на вході лінійної системи. При цьому середня потужність
корисного сигналу
з урахуванням результатів 3.12.2 дорівнює:
Середню потужність шуму на вході лінійної системи визначимо як середню потужність «білого шуму» в деякій смузі частот
, Займаної корисним сигналом:
де визначається як половина ширини еквівалентного прямокутника за формулою (см.3.6):
Підставляючи розглянуту функцію , Отримуємо
Таким чином,
так що
Обчислимо тепер величину мінімальної СКО відтворення корисного сигналу, що відповідає оптимальному вибору смуги розглянутої лінійної системи. В області
маємо:
Тоді мінімальна відносна СКО відтворення корисного сигналу дорівнює
Відповідно в області коли
маємо:
4. Оптимізація за критерієм максимуму відношення сигнал / шум
Розглянемо, аналогічно 1, обробку сигналу на тлі «білого шуму»
, Як і раніше використовуючи як критерію оптимальності критерій максимуму відношення
квадрата миттєвого значення сигналу
до середньої потужності
шуму на виході системи. На відміну від 1, будемо вважати форму сигналу
довільною, а характеристику
відповідної лінійної системи невідомою. З урахуванням результатів 1 і 3 маємо:
У силу нерівності Коші отримуємо:
так що
Легко бачити, що ставлення досягає свого граничного значення, якщо
Лінійна система з таким імпульсним відгуком називається фільтром, узгодженим з сигналом . При цьому дійсно
Вибираючи , Де
момент закінчення сигналу
, Маємо
так що
де енергія сигналу
.
Порівнюючи отриманий результат з відношенням сигнал / шум на виході лінійної системи, розглянутої в 4.1.1, легко бачити, що повна оптимізація в даному випадку забезпечує виграш у достигаемом значенні відносини сигнал / шум, рівний дБ.
Функція передачі узгодженого фільтра в частотній області має вигляд:
де, при ,
функція, комплексно спряжена зі спектром
сигналу
. Зокрема,
, Звідки стає ясним фізичний зміст отриманого результату: при що заважає дії у вигляді «білого шуму» узгоджений фільтр пригнічує більшою мірою відносно малі по амплітуді частотні складові сигналу
, У певному сенсі «жертвуючи» ними з метою більш ефективного придушення «білого шуму».
Розглянемо тепер ситуацію, коли шум на вході оптимизируемой системи не є «білим», тобто є «забарвленим», або корельованим, коли функція має довільний вигляд, відмінний від
-Функції.
Уявімо характеристику розглянутої лінійної системи у вигляді добутку
що відповідає каскадному з'єднанню двох відповідних лінійних систем.
Виберемо характеристику так, щоб вона задовольняла співвідношенню:
Тоді на виході першого каскаду є сигнал зі спектром
і шум з енергетичним спектром
. Отже, розглянута задача зводиться до задачі оптимального прийому сигналу
на тлі «білого шуму» з енергетичним спектром
. Отже, оптимальна характеристика
повинна відповідати характеристиці фільтра, узгодженого з сигналом
:
де величина визначається тривалістю сигналу
. Таким чином, характеристика шуканої оптимальної системи має вигляд:
.
Зокрема,
.
Як видно з отриманого співвідношення, механізм оптимальної обробки сигналу в даному випадку подібний до механізму роботи узгодженого фільтра, однак, на додаток до цього, оптимальна система пригнічує більшою мірою ті частотні складові вхідного впливу, які відповідають відносно великим складовим енергетичного спектра перешкоди .
5.Оптімізація за критерієм мінімуму середньоквадратичної помилки відтворення корисного сигналу
Розглянемо завдання відтворення корисного сигналу, представленого реалізацією випадкового процесу , На тлі шуму
. Як і раніше енергетичні спектри цих процесів позначимо відповідно
і
, Проте, на відміну від 2, ці функції можуть мати довільний вигляд, причому вид характеристики
аналізованої лінійної системи також заздалегідь не відомий.
З урахуванням результатів 2 в загальному випадку маємо:
,
так що сумарна СКО відтворення корисного сигналу:
.
Уявімо отриманий вираз у формі:
Уявімо суму дійсних функцій як деяку допоміжну речову функцію
:
Тоді:
В отриманому інтегралі обидва доданки Фундаментальний вираз ненегативні, причому лише перше з них залежить від виду функції . Тому можна вважати, що величина
досягає свого мінімального значення, якщо виконується співвідношення:
.
Отже, оптимальний вид функції визначається виразом:
.
При цьому величина СКО відтворення корисного сигналу, очевидно, обчислюється за формулою:
.
Зауважимо, що у разі, коли енергетичні спектри процесів і
не перекриваються, величина
виявляється рівною нулю, що і слід було очікувати. Далі, в умовах
, Тобто при відсутності шуму отримуємо
, Що також має ясний фізичний зміст. У той же час у загальному випадку величина
приймає найменше значення на тих частотах, де величина
максимальна. У цьому сенсі механізм оптимальної фільтрації за критерієм мінімуму СКО відтворення корисного сигналу подібний до механізму оптимальної фільтрації за критерієм максимуму відношення сигнал / шум на виході системи.
Порівняємо тепер величину потенційно допустимої відносної СКО в розглянутому випадку з результатом параметричної оптимізації, отриманим в 4.1.2. Отже, нехай
Тоді
Обчислюючи інтеграл та враховуючи, що і
, Отримуємо:
,
звідки остаточно мінімальна відносна СКО відтворення корисного сигналу дорівнює:
.
Отриманий результат ілюструється на малюнку нижче. Тут же пунктиром наведено відповідний результат параметричної оптимізації в розглянутому в окремому випадку використання фільтра з прямокутною функцією передачі в частотній області.
Як видно з наведених вище залежностей, повна оптимізація дозволяє отримати реальний виграш у величині СКО відтворення корисного сигналу в порівнянні з параметричною оптимізацією.