канд. біологічних наук М. П. Іванов, д-р техн. наук В. В. Кашино
Санкт-Петербурзький державний університет
Методами узагальненого варіаційного обчислення синтезований частотно-часової фільтр, що складається з перемножителя на відоме опорне напруга і включеного за ним стаціонарного фільтра. Показано, що кореляційний прийом і узгоджена фільтрація є приватними граничними випадками частотно-часового фільтру. За допомогою поняття функції спектральної кореляції аналізується фізичний принцип роботи частотно-часового фільтру. Показана можливість застосування частотно-тимчасового фільтра в спектральному дискримінаторі тимчасових інтервалів.
Структура деяких приймальних пристроїв, наприклад, приймачів американської супутникової навігаційної системи GPS, включає в себе корелятор [1]. У коррелятора, що є оптимальним приймачем при наявності білого шуму (але не вузькосмуговій перешкоди у вигляді пригніченою несучої [1]), здійснюється множення вхідного процесу (сигналу і шуму) на копію сигналу з подальшим інтегруванням. Оскільки існує ще можливість реалізації оптимального приймача у вигляді узгодженого фільтра, виникає питання, чи є ці структури оптимального приймача єдиними?
Розглянемо завдання частотно-часової фільтрації, яка полягає в множенні вхідного процесу на деякий відоме опорна напруга (як і в перемножителя коррелятора), не зменшує енергію сигналу, і наступної лінійної фільтрації (аналогічно інтегруванню в корелятори) стаціонарним фільтром. Відгуки частотно-часового фільтру на вхідний сигнал і шум
можна представити у вигляді
(1)
і (2)
де - Опорна напруга;
- Імпульсна перехідна функція стаціонарного фільтра. Таким чином, ядра операторів (1,2) представлені у вигляді твору k (t, t) = r (t) h (tt), де r - задана відома функція, а h (tt) підлягає оптимізації.
При оптимізації будемо використовувати метод, розроблений в нотатках [2-4]. В якості критерію оптимальності виберемо відношення сигнал-шум і представимо значення корисного сигналу на виході в момент максимуму t0 за допомогою фільтруючого властивості d - функції у вигляді лінійного функціоналу
(3)
Момент t0 заздалегідь невідомий і належить інтервалу спостереження T, а шум на виході частотно-тимчасового фільтра є нестаціонарним. Тому в якості критерію оптимальності приймемо функціонал I відносини пікової потужності сигналу до середньої за часом і по ансамблю потужності шуму Pш на виході фільтра
(4)
Тут і надалі кутові дужки <T> позначають усереднення по ансамблю.
Оскільки співмножник h (tt) в ядрі операторів (1) і (2) - різницевий, можна використовувати властивість згортки і записати
(5)
і (6)
Таким чином, критерій оптимальності має вигляд
(7)
де Sвих (t0) і Pш виражаються формулами (5) і (6). Тут вже можна застосувати методи узагальненого варіаційного обчислення [2-4]. Узагальнене рівняння Ейлера-Пуассона для функціоналу (7) має вигляд
(8)
де M - коефіцієнт пропорційності, що не впливає на вигляд коефіцієнта передачі фільтра.
Переходячи до спектрами і позначаючи відповідність функцій та їх перетворень Фур'є ;
;
;
, Отримуємо вираз для коефіцієнта передачі стаціонарної інерційної частини оптимального частотно-часового фільтру
(9)
де * означає комплексне спряження.
При будь-якому виборі опорного напруги r (t), якому відповідає спектр P (W), не зменшує енергію сигналу, і будь-який перешкоди, в тому числі і вузькосмуговій, що виводить GPS з ладу [1], існує коефіцієнт передачі K (w) оптимального стаціонарного фільтра h (t). Потужність множини пар r (t) і K (w) може бути більше потужності континууму [3]. Навіть для розглянутого найпростішого випадку всі обмеження для r (t) і K (w) не визначені. З існування рішень для приватного випадку задачі [3] слід існування безлічі ядер k (x, t), що доставляють функціоналу (7) екстремум, причому значення цього екстремуму для кожного k (x, t) з цієї множини - однакові. Рішенням оптимізаційної задачі буде конструктивне опис цієї множини оптимальних ядер. Якщо r (t) = const, тобто перемножителя відсутня, P (w-W) = d (w-W) і виходить узгоджений фільтр; якщо r (t) = S (t), виходить корелятор.
Таким чином, і кореляційний прийом, і узгоджена фільтрація є приватними граничними випадками частотно-часової фільтрації. Опорна напруга r (t) і перехідну функцію фільтру h (tt) слід вибирати, виходячи із зручності реалізації. А для здійснення оптимального прийому при білому шумі застосування коррелятора або узгодженого фільтра обов'язковим не є.
Рішення сформульованої задачі свідомо неоднозначне. Для опису цієї множини буде потрібно використовувати поняття функції спектральної кореляції.
Представляючи знаменник у виразі (9) у вигляді подвійного інтеграла і міняючи порядок інтегрування і статистичного усереднення, отримуємо
(10)
Позначимо B (w 1, w 2) = <n(w 1)n*(w 2)>; це вираз називається функція спектральної кореляції (ФСК) [5]. Якщо не враховувати властивості ФСК при мультиплікативному впливі на вхідних процес, можна отримати хибні результати типу перевищення потенційної завадостійкості [6].
ФСК виражається через автокорреляционную функцію B (t1, t2)
(11)
Середня миттєва потужність B (t1, t2) нестаціонарного процесу може бути виражена через ФСК
(12)
Таким чином, внесок в миттєву потужність нестаціонарного процесу вносить не тільки складова з частотою w, але і всі корельовані з нею. Це означає, що середні енергетичні характеристики нестаціонарного процесу не локалізуемие за частотою, звідки випливає неможливість подання енергетичних характеристик нестаціонарного процесу з допомогою одноразових інтегралів в частотній області.
Середня за часом спектральна щільність потужності нестаціонарного процесу може бути виражена через ФСК
(13)
Спектральна щільність нестаціонарного процесу характеризує внесок складових в інтервалі частот (w + dw) і всіх корельованих складових з іншими частотами.
Для стаціонарних процесів автокореляційна функція залежить тільки від різниці моментів часу t = t1 vt2, і в цьому випадку
(14)
Для стаціонарних процесів всі частотні складові некорельованих.
При модуляції стаціонарного білого шуму детермінованим опорною напругою r (t) ФСК залежить тільки від різниці частот
(15)
де D w = w 1 - w 2. Наприклад, при стробування стаціонарного білого шуму періодичною послідовністю імпульсів середня за часом спектральна щільність зменшується в шпаруватість разів; це можна спостерігати на екрані аналізатора спектра. Але з'являється властивість, яку не можна спостерігати на екрані аналізатора спектра - між спектральними складовими з'являється кореляція.
Парадокс. Припустимо, що здійснюється оптимальний прийом відрізка періодичної послідовності імпульсів на тлі білого шуму. Як відомо, оптимальним в даному випадку є узгоджений гребінчастий фільтр. Тепер включимо на вході оптимального гребінчастого фільтру стробирующие пристрій (перемножителя на послідовність прямокутних імпульсів одиничної амплітуди) так, щоб імпульси сигналу проходили без спотворень. Спектральна щільність шуму на виході стробирующий пристрої зменшиться в шпаруватість стробов разів. Здавалося б, що відношення сигнал-шум на виході гребінчастого фільтру повинне збільшитися, але воно і так було максимально можливим, оскільки фільтр оптимальний. Дозволити парадокс допомагає поява кореляції між спектральними складовими. Ясно, що підсумовування "гребінок" фільтра з сфазірованнимі гармонійними складовими сигналу і корельованими складовими шуму результуюче відношення сигнал-шум не підвищить.
Частотно-тимчасова фільтрація може з успіхом використовуватися в спектральних дискримінатора тимчасових інтервалів [7]. У деяких радіоканалах, наприклад, телеметричних каналах наддалекої космічного зв'язку або GPS [1], відношення сигнал-шум виявляється Pс / Pш <<1. У таких каналах можна використовувати тимчасове ущільнення телеметричної інформації шляхом передачі періодично повторюваних пар імпульсів для накопичення, в інтервалі між якими і полягає повідомлення.
Спосіб діскрімінірованія відхилення тимчасового інтервалу від заданого значення між імпульсами періодичної двохімпульсного послідовності (рис.1) полягає в наступному [7]. Огинаюча амплітудного спектру (рис.2) такій послідовності знаходиться в жорсткій зв'язку з інтервалом між імпульсами; порівнюючи амплітуди певних гармонік, можна судити про величину та знак відхилення інтервалу t інт між імпульсами пари від заданого значення t 0.
Рис. 1. Періодична двохімпульсного послідовність.
Розкладемо часовий процес (рис.1) в тригонометричний ряд Фур'є, тобто обчислимо спектр сигналу. При цьому вираз для амплітуди n-ої гармоніки набуде вигляду
(16)
де A - амплітуда імпульсів; n - номер гармоніки частоти повторення 1 / T; T v період проходження пар імпульсів; t імп-тривалість імпульсів; t інт - тривалість інтервалу всередині пар імпульсів.
Рис. 2. Нормована обвідна амплітудного спектра періодичної двохімпульсного послідовності.
Огинаюча спектру (рис.2) утворюється твором двох компонент: sin (p nt імп / T) / pn, постійного для даної послідовності і обумовленого формою імпульсів, і cos (pn / T) t інт, обумовленого інтерференцією між однаковими за амплітудою, але відрізняються по фазі на кут j = 2 (pn / T) t інт гармоніками окремих імпульсів в парах внаслідок їх зсуву в часі на величину t інт (у межах періоду T / 2). При зміні t інт змінюються амплітуди всіх гармонік. Знайдемо номер гармоніки n0, амплітуда якої змінюється швидше за інших. Двічі продифференцировав другий множене по t інт і прирівнявши 2-у похідну нулю-cos (pn / T) t інт = 0, звідки номер оптимальної гармоніки
n0 = T / (2k-1) / 2t 0, k = 1,2,3, ... (17)
де t інт = t 0 + D t; D t - відхилення інтервалу від заданого значення t 0. Оптимальні гармоніки, що мають максимальну швидкість зміни амплітуди в залежності від D t (максимальну крутість), мають нульову амплітуду. Відхилення t інт в будь-яку сторону від t 0 призводить до різкого зростання амплітуди гармоніки, а інформація про знак D t міститься у фазі гармоніки. У цьому випадку виділення інформації про знак D t важко.
Для визначення величини знака відхилення простіше не виділяти оптимальну гармоніку n0, а вимірювати різницю амплітуд двох гармонік n1 і n2, розташованих по обидві сторони щодо "провалу" в огинаючої спектра сигналу n0. На рис.2 ці гармоніки виділені: n1 = n0 vD n і n2 = n0 + D n.
При збільшенні інтервалу t інт щодо t 0 провал у спектрі, відповідний n0 при D t = 0, зміщується вліво, до нульової частоті, амплітуда гармоніки n1 зменшується, а n2 - збільшується. При зменшенні t інт все виходить навпаки. Для компенсації перший співмножники у формулі (16) при подальшій обробці амплітуди гармонік n1 і n2 можна вирівняти.
Реалізація запропонованого способу може здійснюватися за допомогою пристрою, що складається з двох вузькосмугових фільтрів, налаштованих на гармоніки n1 і n2, випрямлячів і диференційно включеного вимірювального приладу. У цьому випадку напруга сигналу на приладі можна уявити
де q - коефіцієнт, що залежить від форми імпульсів і загасання, що вноситься перший множником у формулі (16). При прямокутних імпульсів тривалістю t імп @ T (2m-1) / 2n0, q | 1.
Цю формулу можна перетворити до виду
(18)
Враховуючи, що D n <<n0, вираз для сигналу (18) можна приблизно уявити
(19)
З цієї формули випливає, що чутливість дискримінатора вельми висока. Можливість реалізації високої чутливості, що досягає 0.001 мкс / мкА і вище, при відносно великій тривалості імпульсів (порядку одиниць мікросекунд) пояснюється близькістю і порівняно невеликим номером використовуваних гармонік (малою величиною D n), коли зміни форми або тривалості імпульсів позначаються на амплітудах обох гармонік практично однаково.
Якщо на вхід індикаторного приладу, окрім сигналу, надходить флюктуаційних шум з дисперсією s 2Ш, то дисперсія помилки вимірювання відхилення s 2 t складе
(20)
Шум на індикаторному приладі формується як різниця амплітуд спектральних складових, виділених пеперекривається фільтрами з однаковими смугами пропускання з вхідного білого шуму. Потужність шуму на приладі в цьому випадку можна уявити
де R (2D n) - коефіцієнт спектральної кореляції при розносі номерів гармонік 2D n. Якщо s 1 = s 2 = s, отримаємо
(21)
Якщо вхідний шум не стробирующий, то R (2D n) = 0 і s 2Ш = 2s 2.
Якщо на вході дискримінатора включений стробирующий каскад спектральна щільність потужності шуму зменшиться в число разів, рівне шпаруватості стробов Q. Крім цього, з'явиться спектральна кореляція, що призведе до додаткового зменшення потужності шуму за рахунок віднімання взаімокорреляціонного компонента.
Запропонований дискримінатор реалізує суміщення вимірювальних схем і накопичувачів в одному вузлі: вузькосмугові фільтри, що виділяють гармоніки, є фазочувствительного елементами і накопичувачами одночасно. Тут же реалізується частотно-часової фільтр у вигляді стробирующий каскаду, вузькосмугових фільтрів і відраховуються пристрою. Не слід думати, що, оскільки використовуються тільки дві гармоніки, решта випромінюються марно, і їх енергія пропадає. Ці, не використовуються безпосередньо гармоніки, дозволяють здійснювати імпульсне випромінювання і стробирование при прийомі імпульсів. Стробування скорочує час впливу шуму і, отже, його енергію, а поява спектральної кореляції ще більше зменшує потужність шуму на виході віднімаючий пристрій.
Поява спектральної кореляції при нестаціонарної фільтрації має враховуватися при аналізі роботи нестаціонарних фільтрів, а також може бути з успіхом використане при конструюванні самих різних пристроїв.
Список літератури
Іванченко В.І. Теорія і практика падаючих томагавків / / Компьютерра, 2000, | 34. С. 24-33.
КашіновВ.В., Оганджанянц С.І. Необхідні умови оптимальності в розривних управління, оновлення й фільтрації / / АІТ, 1966, | 1, С. 85-93.
Кашино В.В. Про безлічі приватних необхідних умов оптимальності в розривних завданнях нестаціонарної фільтрації / / АІТ, 1988, | 2, С. 177-178.
Кашино В.В. Необхідні умови оптимальності для розривних задач лінійної нестаціонарної фільтрації / / АІТ, 1999, С. 186-188.
Фельдман Ю.І., Мандуровскій І.А. Теорія флуктуацій локаційних сигналів, відбитих розподіленими цілями / / М.: Радіо і зв'язок, 1988.
Громов Г.М. Перетворення сигналів диференційно-геометричним методом / / Радіотехніка, 1989, N 5, C.93-96.
Кашино В.В., Міщенко Є.П. А.С. 1032912 від 11.10.1965.