Частотно-виборчі фільтри Фільтр нижніх частот Чебишева

Південно-Уральський державний університет

Приладобудівний факультет

Кафедра РТС

Курсова робота

ЧАСТОТНО-ВИБОРЧІ ФІЛЬТРИ. ФІЛЬТР НИЖНІХ ЧАСТОТ Чебишева

Челябінськ 2007

1. Основна частина

1.1 Частотно-виборчі фільтри

У більшості випадків електричний фільтр є частотно-виборчі пристрій. Отже, він пропускає сигнали певних частот і затримує або послаблює сигнали інших частот. Найбільш загальними типами частотно-виборчих фільтрів є фільтри нижніх частот (які пропускають низькі частоти і затримують високі частоти), фільтри верхніх частот (які пропускають високі частоти і затримують низькі частоти), смугасто-пропускні фільтри (які пропускають смугу частот і затримують ті частоти, які розташовані вище і нижче цієї смуги) і смугасто-загороджувальному фільтри (які затримують смугу частот і пропускають частоти, розташовані вище і нижче цієї смуги).

Більш точно характеристику частотно-виборчого фільтра можна описати, розглянувши його передавальну функцію

Рис. 1.1

Величини V ₁ і V ₂ представляють собою відповідно вхідний і вихідний напруги, як показано на загальному зображенні фільтра на рис. 1.1.

Для сталої частоти передавальну функцію можна переписати у вигляді

де - Модуль передавальної функції або амплітудно-частотна характеристика;

- Фазо-частотна характеристика, а частота ω (рад / с) пов'язана з частотою f (Гц) співвідношенням ω = 2 π f.

Діапазони або смуги частот, у яких сигнали проходять, називаються смугами пропускання і в них значення амплітудно-частотної характеристики відносно велике, а в ідеальному випадку постійно. Діапазони частот, у яких сигнали придушуються, утворюють смуги затримування і в них значення амплітудно-частотної характеристики відносно мало, а в ідеальному випадку дорівнює нулю. В якості прикладу на рис. 1.2 штриховою лінією показана амплітудно-частотна характеристика ідеального фільтра нижніх частот з єдиною смугою пропускання 0 <ω <ω _с і смугою затримування, ω> ω _1. Частота ω _с між двома цими смугами визначається як частота зрізу.

Рис. 1.2. Ідеальна та реальна амплітудно-частотні характеристики фільтра нижніх частот

Як смуги пропускання вибирається діапазон частот, де значення амплітудно-частотної характеристики перевищує деякий заздалегідь вибране число, позначене А ₁ на рис. 1.2, а смугу затримування утворює діапазон частот, в якому амплітудно-частотна характеристика менше певного значення, наприклад, А _2. Інтервал частот, в якому характеристика постійно спадає, переходячи від смуги пропускання до смуги затримання, називається перехідною областю ω _з <ω <ω _1.

Значення амплітудно-частотної характеристики можна також висловити в децибелах (дБ) наступним чином:

і в цьому випадку a характеризує затухання.

В основному загасання в смузі пропускання ніколи не перевищує 3 дБ.

1.2 Передавальні функції

Неможливо створити ідеальні фільтри, але з допомогою реалізованих фільтрів (які розробляються на основі реальних схемних елементів) можна отримати наближення до ідеальних. Передавальна функція реалізується фільтра є ставлення поліномів:

Коефіцієнти а і b - дійсні постійні величини, a m, n = 1, 2, 3 ... (m £ n).

Ступінь полінома знаменника n визначає порядок фільтра. Реальні амплітудно-частотні характеристики краща (більш близькі до ідеальних) для фільтрів більш високого порядку. Однак підвищення порядку пов'язано з ускладненням схем і більш високою вартістю. Таким чином, один з аспектів розробки фільтрів пов'язаний з отриманням реалізованої характеристики, апроксимуючої з деякою заданою ступенем точності ідеальну характеристику при найменших витратах.

1.3 Елементи активних фільтрів

Як тільки отримана відповідна передатна функція, розробляють схему фільтра, що реалізовує дану передавальну функцію. При цьому розробка виливається у проектування активних і пасивних фільтрів.

Пасивні фільтри являють собою пристрої, які створюються на основі резисторів, конденсаторів і котушок індуктивності, а саме з пасивних схемних елементів. Ці фільтри придатні для роботи в певних діапазонах частот, але не підходять для низьких частот, наприклад нижче 0,5 мГц. Це відбувається внаслідок того, що на низьких частотах параметри необхідних котушок індуктивності стають незадовільними через їх великих розмірів і значного відхилення робочих характеристик від ідеальних і, крім того, на відміну від резисторів і конденсаторів, котушки індуктивності погано пристосовані для інтегрального виконання.

Таким чином, для застосування фільтрів в діапазоні низьких частот зі схем бажано виключити котушки індуктивності. Це досягається розробкою активних фільтрів на основі резисторів, конденсаторів і одного або декількох активних приладів, таких як транзистори, залежні джерела і т.д.

Рис. 1.3. Операційний підсилювач

Одним з найбільш часто вживаних активних приладів, який в основному і буде використовуватися, є інтегральна схема (ІС) операційного підсилювача чи ЗУ, умовне зображення якого наведено на рис. 1.3.

Операційний підсилювач являє собою багатовхідних прилад, але для простоти показані тільки три його виведення: инвертирующий вхідний (1), неінвертуючий вхідний (2) і вихідний (3). В ідеальному випадку ОУ володіє нескінченним вхідним і нульовим вихідним опорами і нескінченним коефіцієнтом підсилення. Практичні ОУ за своїми характеристиками наближаються до ідеальних найближче тільки для обмеженого діапазону частот, який залежить від типу ОУ.

У некритичних конструкціях фільтрів найбільш часто використовуються дешеві вугільні композиційні резистори.

Для фільтрів четвертого і більш низького порядку достатньо застосовувати вугільні композиційні резистори з 5%-ними допусками, зокрема якщо передбачається використовувати фільтр при кімнатній температурі. Для фільтрів з високими робочими характеристиками необхідно застосовувати високоякісні типи резисторів, наприклад Металоплівкові і дротяного типів. Чим вище порядок, тим менше повинні бути допуски. Фільтри з порядком вище четвертого необхідно реалізовувати на резисторах з 2 -%-ним або меншими допусками.

Що стосується конденсаторів, то найбільш підходящим типом є майларової конденсатор, який можна успішно застосовувати в більшості конструкцій фільтрів. Конденсатори на основі полістиролу і тефлону краще, проте застосовуються у високоякісних фільтрах. Звичайні економічні дискові керамічні конденсатори повинні використовуватися виключно в найменш критичних умовах.

1.4 Побудова фільтрів

Існує багато способів побудови фільтра із заданою функцією передачі n-го порядку. Один популярний спосіб полягає в тому, щоб представити передавальну функцію у вигляді твору співмножників H _1, H _2, ..., Н _т і створити схеми чи ланки, або каскади N _1, N _2, ..., N _m, відповідні кожному співмножників. Нарешті, ці ланки з'єднуються між собою каскадно (вихід першого є входом другого і т.д.), як зображено на рис. 1.4. Якщо ці ланки не впливають один на одного і не змінюють власні передавальні функції, то загальна схема має необхідної передавальної функцією n-го порядку. Раніше було встановлено, що ОУ володіє нескінченним вхідним і нульовим вихідним опорами. Таким чином, його можна використовувати для реалізації невзаємодіючі ланок.

Рис. 1.4. Каскадне з'єднання ланок

Для фільтрів першого порядку передатна функція представляється у вигляді

(1.0)

де С - постійне число, a P (s) - поліном першою або нульовою ступеня. Для фільтрів другого порядку передатна функція

(1.1)

де В і С-постійні числа, a P (s) - поліном другого чи меншою мірою.

Для парного порядку n> 2 звичайна каскадна схема містить n / 2 ланок другого порядку, кожне з передавальної функцією типу (1.1). Якщо ж порядок n> 2 є непарних, то схема містить (n -1) / 2 ланок другого порядку з передавальними функціями типу (1.1) і одна ланка першого порядку з передавальної функцією типу (1.0).

Для фільтрів, що описуються рівнянням (1.1), визначимо власну частоту

і добротність

Таким чином, можна переписати рівняння (1.1) у вигляді

1.5 Фільтри нижніх частот. Загальний випадок

Фільтр нижніх частот представляє собою пристрій, який пропускає сигнали низьких частот і затримує сигнали високих частот. У загальному випадку визначимо смугу пропускання як інтервал частот 0 <w <w _с, смугу затримування як частоти w> w ₁ перехідну область як діапазон частот w _c <w <w ₁ (w _c - частота зрізу). Ці частоти позначені на рис. 1.5.1, на якому наведена реальна амплітудно-частотна характеристика фільтра нижніх частот, де в даному випадку заштриховані області представляють собою допустимі відхилення характеристики в смугах пропускання і затримування.

Якщо мінімальне затухання вибрати за нормований рівень 0 (А = 1 на рис. 2.1), то логарифмічна характеристика фільтра нижніх частот має вигляд, зображений на рис. 1.5.2. Максимальне загасання в децибелах в смузі пропускання становить α _1, а мінімальне загасання в смузі затримання α ₂ (А ₁ і А ₂ - відповідно значення амплітудно-частотної характеристики). Згасання α ₁ не може перевищувати 3 дБ, в той час як типове значення α ₂ значно більше і може перебувати в межах від 20 до 100 дБ.

Рис. 1.5.1 Реальна амплітудно-частотна характеристика фільтра нижніх частот

Рис. 1.5.2. Логарифмічна характеристика: фільтру нижніх частот

Коефіцієнт посилення фільтра нижніх частот представляє собою значення його передавальної функції при s = 0 або, що еквівалентно, значення його амплітудно-частотної характеристики на частоті w = 0. Отже, коефіцієнт посилення реального фільтра з амплітудно-частотною характеристикою, що на рис. 1.5.1, дорівнює А.

Існує багато типів фільтрів нижніх частот, що задовольняють даному набору технічних вимог, таких, як А, А ₁ A _2, w _c і w ₁ позначених на рис. 1.5.1, або α _1, α _2, w _c і w ₁ - на рис. 1.5.2. Фільтри Баттерворта, Чебишева, інверсні Чебишева і еліптичні утворюють чотири найбільш відомих класу. Фільтр Баттерворта володіє монотонної характеристикою, подібної характеристиці на рис. 1.5.1 і 1.5.2. (Характеристика є монотонно спадаючою, якщо вона ніколи не зростає із збільшенням частоти.) Характеристика фільтра Чебишева містить пульсації (коливання передачі) в смузі пропускання і монотонна в смузі затримання. На рис. 1.5.3 зображений вид характеристики фільтра Чебишева шостого порядку. Інверсна характеристика фільтра Чебишева монотонна у смузі пропускання і володіє пульсаціями в смузі затримання. Приклад характеристики фільтра шостого порядку наведено на рис. 1.5.4.

Амплітудно-частотна характеристика оптимального фільтра нижніх частот задовольняє позначеним на рис. 1.5.1 (або на рис. 1.5.2) умов для цього порядку п і допустимого відхилення в смугах пропускання і затримування при мінімальній ширині перехідною області. Таким чином, якщо задані значення A, A _1, А _2, n і w _c, то значення частоти w ₁ мінімально. Для поліноміальної характеристики оптимальною є характеристика фільтра Чебишева. Однак у загальному випадку оптимальним є еліптичний фільтр, характеристики якого значно краще характеристик фільтра Чебишева.

Рис. 1.5.3. Амплітудно-частотна характеристика фільтра Чебишева шостого порядку

Рис. 1.5.4. Амплітудно-частотна характеристика інверсного фільтра Чебишева шостого порядку

1.6 Фільтри нижніх частот на ІНУН

Схема на ІНУН, що реалізує функцію фільтру нижніх частот Баттерворта або Чебишева другого порядку виду

зображена на рис. 1.6. Аналізуючи цю схему, отримуємо:

;

; (1.4)

.

Значення опорів визначаються наступним чином:

;

;

; (1.5)

.

де З ₂ має переважно близьке до значення 10 / f _з мкФ.

А З ₁ повинне задовольняти наступній нерівності

Рис. 1.6. Схема фільтра нижніх частот на ІНУН

1.7 Розрахунок фільтра нижніх частот на Інун

Для розрахунку фільтра нижніх частот або Чебишева більш високого порядку, що володіє заданою частотою зрізу f _с (Гц), або w _з = 2 π f _с і коефіцієнтом посилення К = 1, необхідно виконати наступні кроки.

1. Знайти нормовані значення коефіцієнтів нижніх частот В і С з відповідної таблиці в додатку А.

2. Вибрати номінальне значення ємності С ₂ (переважно близьке до значення 10 / f мкФ) і обчислити значення опорів по (1.5)

3. Вибрати номінальні значення, найбільш близькі до обчисленими значеннями, і реалізувати фільтр або його ланки у відповідності зі схемою, показаної на рис. 1.6.

2. Технічне завдання

1. Фільтр Чебишева верхніх частот на ІНУН;

2. Порядок N = 6;

3. Коефіцієнт посилення К = 8;

4. Частота зрізу f _c = 100 Гц;

5. Нерівномірність передачі в смузі пропускання PRW = 1.0 дБ;

6. Використання резисторів і конденсаторів ряду Е96.

3. Розрахунки

Один з популярних способів побудови фільтра полягає в тому, щоб представити передавальну функцію у вигляді твору співмножників H1, H2, ..., Н m і створити схеми чи ланки, або каскади N1, N2, ..., Nm, відповідні кожному співмножників. Ці ланки з'єднуються між собою каскадно, вихід першого є входом другого і т.д. Якщо ці ланки не будуть впливати один на одного і не будуть змінювати власні передавальні функції, то загальна схема має необхідної передавальної функцією n-го порядку.

Розіб'ємо фільтр 6-ого порядку на 3 ланки 2-ого порядку. Так як загальний коефіцієнт посилення повинен бути рівний 8, то всі наші ланки будуть однакові з коефіцієнтом посилення 2 кожне.

Кожна ланка буде мати передавальну функцію виду

Нормовані значення коефіцієнтів В, С з додатка А (у книзі Д. Джонсон, Дж. Джонсон «Довідник з активним фільтрам») для параметрів: загальний порядок N = 6, нерівномірності передачі, в смузі пропускання PRW = 1,0 дБ.

Розрахунок першої ланки

Порядок ланки дорівнює N = 2. Коефіцієнт посилення До ₁ = 2.

1. Знайдемо нормовані значення коефіцієнтів В, С з додатка А (у книзі Д. Джонсон, Дж. Джонсон «Довідник з активним фільтрам»).

2) Обчислюємо значення елементів C _1, C _2, R _1, R _2, R _3, R _4, за формулами:

Знаходимо значення ємності С ₂ близьке до величини , Тобто З ₂ = 0. 1 мкФ.

;

;

;

Звідки отримуємо теоретичні значення елементів для першої ланки