Міністерство освіти Республіки Білорусь
Установа освіти
«Гомельський державний університет
ім. Ф. Скорини »
Математичний факультет
Кафедра МПМ
Методи навчання математики: загальна характеристика та класифікація
Реферат
Виконавець:
Студентка групи М-31
____________ Коровіна А.Ю.
Науковий керівник:
Канд. фіз-мат. наук, доцент
____________ Лебедєва М.Т.
Гомель 2007
Зміст
Введення
1 Загальна характеристика методів наукового дослідження
2 Класифікація методів навчання у дидактиці
3 Загальні методи навчання математики
Висновок
Література
Введення
Оперуючи «ідеальними» об'єктами, що відображають властивості математичних прийомів і закони матеріального світу у поєднанні з відволіканням від несуттєвих властивостей аналізованих об'єктів, математики у своїх поняттях і положеннях виражає найбільш глибокі і загальні властивості реальної дійсності.
Процес пізнання і процес навчання учнів висловлює самостійне відкриття математичних фактів істин, тому наукові методи математичного дослідження одночасно служать і методами навчальної роботи учнів.
Проблема методів навчання виражається в питанні «як учити?», Для чого необхідно: 1) з'ясувати, для чого це вивчається, які знання, вміння і навички повинні набути учні в результаті вивчення; 2) провести логіко-дидактичний аналіз того, що вивчається ( структура й особливості змісту навчання; виклад у шкільному підручнику); 3) знати об'єкт навчання (рівень розумової діяльності учнів, обсяг знань, умінь і навичок, необхідних для навчання за даним змістом).
1. Загальна характеристика методів наукового дослідження
Розрізняють традиційні та сучасні методи навчання. Традиційні методи спрямовані на навчання готовим знанням і навчальна діяльність учнів носить репродуктивний характер, і не сприяє ефективному розвитку. Зовні традиційний метод проявляється у добре відомій формі, коли вчитель викладає навчальний матеріал з залученням різних засобів наочності, а учні сприймають навчальну інформацію, заучують і відтворюють її на вимогу вчителя. Навчальна діяльність учня репродуктивна, а головний результат навчання - засвоєння суми фактів. Розвиваючий ефект досить низький, тому що немає активної діяльності учнів.
Сучасні методи, які не протиставляються традиційним, орієнтовані на навчання діяльності з самостійного придбання нових знань, на навчання пізнавальної діяльності, що включає наступні компоненти: 1) загальні логічні прийоми мислення (індукція, дедукція, аналіз, синтез, аналогія, узагальнення, абстрагування, конкретизація, класифікація), 2) спеціальні прийоми розумової діяльності, що становлять основу математичних методів пізнання (метод побудови математичних моделей процесів; способів абстрагування, властивих математики; аксіоматичний метод); 3) система знань.
Засвоєння математичних знань і рівень математичного розвитку учнів завжди перевіряється через уміння вирішувати завдання. Методи навчання, орієнтовані на розвиток активної пізнавальної діяльності учнів, вимагають навчити їх відшукувати і описувати загальні методи (алгоритми) рішення класів задач однотипних через аналіз і узагальнення способів вирішення приватних завдань, що належать цим класам.
2. Класифікація методів навчання у дидактиці
Методи навчання, які виділяються за джерелом знань:
Словесні методи навчання: розповідь, бесіда, лекція, які проводяться для всього класу.
Ознаки оповідання:
передбачає усне оповідальний виклад навчального матеріалу;
застосовується при викладі навчального матеріалу ознайомчого характеру;
не переривається питаннями до учнів;
дозволяє при мінімальних витратах часу повідомити максимум знань;
передбачає використання таких методичних прийомів, як виклад інформації, активізація уваги, прискорення запам'ятовування; логічних прийомів зіставлення, порівняння, виділення неявного, резюмування;
характеризується недостатньою часткою самостійного пізнання учнів, обмеженістю елементів пошукової діяльності;
ускладнює зворотний зв'язок (учитель не отримує достатньої інформації про якість засвоєння знань, не може врахувати індивідуальних особливостей всіх учнів).
Види розповіді: розповідь-вступ, розповідь-виклад, розповідь-висновок.
Ефективність досягається при наявності продуманого плану, вибору найбільш раціональної послідовності розкриття теми, вдалого підбору прикладів і ілюстрацій, підтримку належного емоційного тону викладу.
Ефективність бесіди залежить від підібраних питань, якими керується бесіда. При розбитті матеріалу на смислові частини спрощується сам процес постановки питань, які допомагають учням перейти від однієї частини до іншої, прикладом може служити аналіз і рішення текстовій завдання.
Наочні методи навчання:
а) метод ілюстрацій - передбачає показ учням різних ілюстративних посібників (карти, креслення, схеми, картини, фотографії, графіки, таблиці, моделі);
б) метод демонстрацій - передбачає показ динамічних посібників, натуральних об'єктів, кінофільмів, діафільмів, відеозаписів, слайдів, різних приладів та обладнання в дії.
Зокрема, до методу ілюстрацій можна віднести «опорні сигнали Шаталова».
Ефективність досягається при: 1) хорошому огляді наочного посібника; 2) постановка навчальної мети, чіткого виділення головного при демонстрації допомоги; 3) вмілого поєднання слова і показу засоби наочності, здійснення орієнтації дій учнів на досягнення навчальної мети за допомогою засобів наочності; 4) залучення учнів до пошуку бажаної інформації.
Практичні методи навчання:
в математиці пов'язані з побудовами, вимірами, обчисленнями, виготовленням наочних посібників, виконанням креслень фігур, найбільш повно відповідають умові задачі; письмові вправи (тренувальні та коментовані), лабораторно-практичні роботи, робота на ЕОМ за навчальним програмам; робота в групах.
Методи навчання, які визначаються рівнем пізнавальної діяльності учнів.
До них відносяться:
1) репродуктивні: методи навчання, основу якого складають словесний, наочний і практичний методи;
2) проблемно-пошуковий метод навчання: проблемний виклад навчального матеріалу, евристична бесіда, дослідницький метод.
3) методи самостійної роботи:
а) робота з підручником та іншою літературою;
б) самостійні письмові роботи (проводяться майже на кожному уроці по 7-15 хвилин; перші - по темі - навчає характеру і коригуючого, що дозволяють встановити оперативний зворотний зв'язок, у журнал виставляються тільки хороші оцінки, а задовільні оцінки - за бажанням; наступні - контролюючого характеру з виставленням всіх оцінок у журнал);
в) самостійне рішення завдань;
г) самостійна робота з приладами;
д) самостійне спостереження;
е) самостійне виконання довільних завдань.
Методи наукового пізнання в навчанні математики.
До них відносяться:
1) логічні методи пізнання: індукція, дедукція, аналіз, синтез, порівняння, аналогія, узагальнення, конкретизація, моделювання, класифікація, доказ.;
2) емпіричні методи пізнання.
Спостереження, опис, вимірювання та експеримент, які не є характерними для математики. Історія розвитку математики свідчить про те, що емпіричні методи відіграли неоціненну роль у зародженні математичних знань, становленні математики як науки, самостійної теоретичної дисципліни. Шкільне навчання математики в певній мірі повторює її історичний шлях розвитку. Використання засобів наочності і ТЗН передбачає застосування різних емпіричних методів, що допомагають уникнути пасивної споглядальності, активізувати дії учнів, залучити їх до цілеспрямовану роботу.
Завдання. Знайти всі такі натуральні числа, квадрат яких закінчується цифрою 7.
Пошук рішення даної задачі передбачає невеликий числовий експеримент і формулювання гіпотези в процесі узагальнення отриманих даних.
Метод вимірювання для пошуку рішення планіметричних задач, коли виробляємо інструментальне дослідження креслення даної фігури. Вимірювання: висновок про суму внутрішніх кутів у довільному трикутнику, для чого учням пропонується вирізати з паперу гострокутий, тупокутний трикутники, транспортиром виміряти величини їх кутів і знайти їх суму:
а)
Спостереження: прості і складені числа; сформулювати визначення. Просте чи число 1?
3) математичні методи пізнання:
а) метод математичних моделей. Математична модель - опис якого-небудь класу явищ реального світу на мові математики. Метод моделювання дає можливість застосовувати математичний апарат до вирішення практичних завдань. Поняття числа, геометричної фігури, рівняння, нерівності, функції, похідної є прикладами математичних моделей.
До методу математичного моделювання в навчальному процесі доводиться вдаватися при вирішенні будь-якої задачі з практичним змістом. Щоб вирішити таке завдання математичними засобами, її необхідно спочатку перевести на мову математики (побудувати модель), використовуючи абстракції ототожнення, ідеалізації, узагальнення.
Завдання. 6 корів за 3 дні з'їдають траву на ділянці 0,2 га, 8 корів за 4 дні з'їдають траву на ділянці 0,3 га. Скільки днів зможуть пастися 12 корів на ділянці площею 0,6 га? (Приріст трави на ділянці пропорційний його площі і часу).
x - кількість трави, що з'їдається однією коровою на день;
y - початкова кількість трави на 1 га;
z - приріст трави на 1 га на день;
6 корів за 3 дні з'їдають траву на ділянці 0,2 га:
6 * х * 3 = у * 0,2 +3 * z * 0,3.
8 корів за 4 дні з'їдають траву на ділянці 0,3 га:
8 * х * 4 = у * 0,3 +4 * z * 0,3
Вирішимо цю систему:
Визначимо первинна кількість трави на одному га:
12 корів за t днів з'їдають траву на ділянці 0,6 га:
Відповідь: 12 днів.
б) аксіоматичний метод:
Методична схема: 1) скласти набір математичних тверджень (це може бути виконано учнями на основі математизації емпіричного матеріалу або запропоновано вчителем у готовому вигляді); отримані таким чином математичні пропозиції поки логічно не пов'язані один з одним, тому необхідно логічно організувати наявний математичний матеріал, 2 ) знайти вихідні твердження, на основі яких можуть бути доведені інші; 3) провести доказ тверджень, не віднесених до числа вихідних; 4) сформулювати аксіоми, визначення, теореми.
Завдання.
a
c b
Виділити з цього переліку тверджень, на основі яких можна довести інші.
Методи стимулювання і мотивації.
Формування пізнавального інтересу: цікавість, новизна, наближеність до відкриттів науки, пізнавальні ігри, проблемність, успіх, аналіз життєвих ситуацій (застосовуються словесним, наочним і практичним методам).
Стимулювання обов'язку і відповідальності: суспільна значущість навчання; особистісна значимість навчання; пред'явлення навчальних вимог, заохочення; осуд.
Методи контролю і самоконтролю.
«Повторення - мати навчання» говорить народне прислів'я, тому кожен новий факт повинен бути закріплений, зрозумілий і засвоєний учнем. Наскільки міцні знання вчитель судить за відповідями учнів. Окрім добре відомого методу усного опитування існують і такі: письмовий, лабораторний, машинний контроль (контролюючі програми на ЕОМ), взаємоконтроль, самоконтроль, залік.
Найбільш швидку зворотний зв'язок дає усне опитування, забирає великий проміжок часу, повну інформацію дає письмовий контроль, проте він запізнюється за часом. Математичний диктант дозволяє вчителю отримати найбільш своєчасну і повну інформацію про підготовленість учнів. Методика проведення математичного диктанту: кілька питань, що включають основні питання теми, або основні навчальні вміння і навички; після кожного питання учням дається час на запис відповіді. Наприклад, в 9-від класі після вивчення теми «Арифметичний корінь» може бути запропоновано диктант такого змісту:
Записати визначення арифметичного кореня з числа а.
Записати властивість, пов'язане з витяганням кореня:
а) з твору; б) з кореня.
3. Спростити такі вирази:
Крім перерахованих форм контролю кожен з них може носити поточний, проміжний, підсумковий характер.
Основна «ідея» роботи вчителя Романа Григоровича Хозанкіна (СШ № 14, м. Бєлорєцьк, Башкирія) складається в структурі навчання, при якому учні самі творять урок. Неодмінна умова успішного оволодіння знаннями - логічне мислення, яке формується не раптом і для кожного учня індивідуально. Біда наших уроків у тому, що слід виконувати все, що «намічено», відповіді повинні бути «гарячими»; на роздуми часу немає, а отже створюється підбір типових завдань і стандартних відповідей, результат якого - «натаскування» школярів. Розвиток логічного мислення вимагає час на його розвиток через вирішення завдань на узагальнення та аналізування; учень повинен мати час на вивчення варіантів побудови контрприкладів, складання завдань не тільки за подобою, а й таких, які виникають при вивченні якої-небудь теореми, правила. (М. в школі, № 4, 1987 р.).
Заліковий урок - урок індивідуальної роботи; можливість організувати шефство старших класів над молодшими. Зокрема, після повторення старшокласниками залікової тему для молодшого класу, вони готують залікову картку для прийому заліку. На залік відводиться 2 уроки: на першому - підготовка, на другому - відповідь (залік).
3. Загальні методи навчання математики
Порівняння і аналогія.
Порівняння - виявлення подібності та відмінності порівнюваних предметів. Наприклад, 1) трикутник і чотирикутник загальним мають відповідність числа сторін числа кутів; відмінність у їх кількості; 2) алгебраїчні і звичайні дроби: загальне - не мають сенсу при нульовому знаменнику; наявність чисельника і знаменника; відмінність - в природі числителей і знаменників.
Порівняння призводить до правильного висновку, якщо виконуються наступні умови: 1) порівнювані поняття однорідні; 2) порівняння здійснюється за такими ознаками, які мають для них суттєве значення. Інакше кажучи, основні вимоги до порівняння: мати сенс; планомірно; повно.
Порівняння - грунт для аналогії (грецьке - відповідність, схожість), яка здійснюється за схемою:
А має властивості a, b, c, d
У володіє властивостями a, b, c
Ймовірно В має і властивістю d.
Висновок за аналогією правдоподібно, але не достовірно, тому аналогія не є доказовим міркуванням.
Часто та чи інша послідовність у вивченні навчального матеріалу обгрунтовується можливістю використання аналогій у навчанні: 1) натуральні числа і десяткові дроби; 2) якщо a | | b і a ^ b, то b ^ c - теорема на площині і в просторі. Коли буде вірним зворотне твердження: a ^ b і b ^ c Þ a | | b
Недолік у нашій практиці навчання - ми не вчимо хлопців спростуванню. В якості спростування зворотному твердженням просторі може бути приклад (див. малюнок).
Пошук схожості - шлях до плідним міркувань за аналогією. Наприклад, трикутник і тетраедр мають схожість мінімальності ліній на площині і площин у просторі; бісектриси трикутника перетинаються в центрі вписаною в нього кола та биссекторной площині двогранних кутів тетраедра перетинаються в центрі вписаного в нього кулі.
Слід розрізняти корисну і шкідливу аналогії.
Корисна аналогія: прямокутник - прямокутний паралелепіпед;
окружність - сфера;
пряма на площині - площина в просторі.
Шкідлива аналоги я:
Узагальнення і спеціалізація, абстрагування і конкретизація.
Узагальнення - уявне виділення, фіксування яких-небудь загальних істотних властивостей, що належать тільки даному класу предметів або відносин.
Абстрагування - це уявне відволікання, відділення загальних, істотних властивостей, виділених в результаті узагальнення, від інших несуттєвих (з математичної точки зору) або не загальних властивостей розглянутих предметів або відносин і відкидання.
Установа освіти
«Гомельський державний університет
ім. Ф. Скорини »
Математичний факультет
Кафедра МПМ
Методи навчання математики: загальна характеристика та класифікація
Реферат
Виконавець:
Студентка групи М-31
____________ Коровіна А.Ю.
Науковий керівник:
Канд. фіз-мат. наук, доцент
____________ Лебедєва М.Т.
Гомель 2007
Зміст
Введення
1 Загальна характеристика методів наукового дослідження
2 Класифікація методів навчання у дидактиці
3 Загальні методи навчання математики
Висновок
Література
Введення
Оперуючи «ідеальними» об'єктами, що відображають властивості математичних прийомів і закони матеріального світу у поєднанні з відволіканням від несуттєвих властивостей аналізованих об'єктів, математики у своїх поняттях і положеннях виражає найбільш глибокі і загальні властивості реальної дійсності.
Процес пізнання і процес навчання учнів висловлює самостійне відкриття математичних фактів істин, тому наукові методи математичного дослідження одночасно служать і методами навчальної роботи учнів.
Проблема методів навчання виражається в питанні «як учити?», Для чого необхідно: 1) з'ясувати, для чого це вивчається, які знання, вміння і навички повинні набути учні в результаті вивчення; 2) провести логіко-дидактичний аналіз того, що вивчається ( структура й особливості змісту навчання; виклад у шкільному підручнику); 3) знати об'єкт навчання (рівень розумової діяльності учнів, обсяг знань, умінь і навичок, необхідних для навчання за даним змістом).
1. Загальна характеристика методів наукового дослідження
Розрізняють традиційні та сучасні методи навчання. Традиційні методи спрямовані на навчання готовим знанням і навчальна діяльність учнів носить репродуктивний характер, і не сприяє ефективному розвитку. Зовні традиційний метод проявляється у добре відомій формі, коли вчитель викладає навчальний матеріал з залученням різних засобів наочності, а учні сприймають навчальну інформацію, заучують і відтворюють її на вимогу вчителя. Навчальна діяльність учня репродуктивна, а головний результат навчання - засвоєння суми фактів. Розвиваючий ефект досить низький, тому що немає активної діяльності учнів.
Сучасні методи, які не протиставляються традиційним, орієнтовані на навчання діяльності з самостійного придбання нових знань, на навчання пізнавальної діяльності, що включає наступні компоненти: 1) загальні логічні прийоми мислення (індукція, дедукція, аналіз, синтез, аналогія, узагальнення, абстрагування, конкретизація, класифікація), 2) спеціальні прийоми розумової діяльності, що становлять основу математичних методів пізнання (метод побудови математичних моделей процесів; способів абстрагування, властивих математики; аксіоматичний метод); 3) система знань.
Засвоєння математичних знань і рівень математичного розвитку учнів завжди перевіряється через уміння вирішувати завдання. Методи навчання, орієнтовані на розвиток активної пізнавальної діяльності учнів, вимагають навчити їх відшукувати і описувати загальні методи (алгоритми) рішення класів задач однотипних через аналіз і узагальнення способів вирішення приватних завдань, що належать цим класам.
2. Класифікація методів навчання у дидактиці
Методи навчання, які виділяються за джерелом знань:
Словесні методи навчання: розповідь, бесіда, лекція, які проводяться для всього класу.
Ознаки оповідання:
передбачає усне оповідальний виклад навчального матеріалу;
застосовується при викладі навчального матеріалу ознайомчого характеру;
не переривається питаннями до учнів;
дозволяє при мінімальних витратах часу повідомити максимум знань;
передбачає використання таких методичних прийомів, як виклад інформації, активізація уваги, прискорення запам'ятовування; логічних прийомів зіставлення, порівняння, виділення неявного, резюмування;
характеризується недостатньою часткою самостійного пізнання учнів, обмеженістю елементів пошукової діяльності;
ускладнює зворотний зв'язок (учитель не отримує достатньої інформації про якість засвоєння знань, не може врахувати індивідуальних особливостей всіх учнів).
Види розповіді: розповідь-вступ, розповідь-виклад, розповідь-висновок.
Ефективність досягається при наявності продуманого плану, вибору найбільш раціональної послідовності розкриття теми, вдалого підбору прикладів і ілюстрацій, підтримку належного емоційного тону викладу.
Ефективність бесіди залежить від підібраних питань, якими керується бесіда. При розбитті матеріалу на смислові частини спрощується сам процес постановки питань, які допомагають учням перейти від однієї частини до іншої, прикладом може служити аналіз і рішення текстовій завдання.
Наочні методи навчання:
а) метод ілюстрацій - передбачає показ учням різних ілюстративних посібників (карти, креслення, схеми, картини, фотографії, графіки, таблиці, моделі);
б) метод демонстрацій - передбачає показ динамічних посібників, натуральних об'єктів, кінофільмів, діафільмів, відеозаписів, слайдів, різних приладів та обладнання в дії.
Зокрема, до методу ілюстрацій можна віднести «опорні сигнали Шаталова».
Ефективність досягається при: 1) хорошому огляді наочного посібника; 2) постановка навчальної мети, чіткого виділення головного при демонстрації допомоги; 3) вмілого поєднання слова і показу засоби наочності, здійснення орієнтації дій учнів на досягнення навчальної мети за допомогою засобів наочності; 4) залучення учнів до пошуку бажаної інформації.
Практичні методи навчання:
в математиці пов'язані з побудовами, вимірами, обчисленнями, виготовленням наочних посібників, виконанням креслень фігур, найбільш повно відповідають умові задачі; письмові вправи (тренувальні та коментовані), лабораторно-практичні роботи, робота на ЕОМ за навчальним програмам; робота в групах.
Методи навчання, які визначаються рівнем пізнавальної діяльності учнів.
До них відносяться:
1) репродуктивні: методи навчання, основу якого складають словесний, наочний і практичний методи;
2) проблемно-пошуковий метод навчання: проблемний виклад навчального матеріалу, евристична бесіда, дослідницький метод.
3) методи самостійної роботи:
а) робота з підручником та іншою літературою;
б) самостійні письмові роботи (проводяться майже на кожному уроці по 7-15 хвилин; перші - по темі - навчає характеру і коригуючого, що дозволяють встановити оперативний зворотний зв'язок, у журнал виставляються тільки хороші оцінки, а задовільні оцінки - за бажанням; наступні - контролюючого характеру з виставленням всіх оцінок у журнал);
в) самостійне рішення завдань;
г) самостійна робота з приладами;
д) самостійне спостереження;
е) самостійне виконання довільних завдань.
Методи наукового пізнання в навчанні математики.
До них відносяться:
1) логічні методи пізнання: індукція, дедукція, аналіз, синтез, порівняння, аналогія, узагальнення, конкретизація, моделювання, класифікація, доказ.;
2) емпіричні методи пізнання.
Спостереження, опис, вимірювання та експеримент, які не є характерними для математики. Історія розвитку математики свідчить про те, що емпіричні методи відіграли неоціненну роль у зародженні математичних знань, становленні математики як науки, самостійної теоретичної дисципліни. Шкільне навчання математики в певній мірі повторює її історичний шлях розвитку. Використання засобів наочності і ТЗН передбачає застосування різних емпіричних методів, що допомагають уникнути пасивної споглядальності, активізувати дії учнів, залучити їх до цілеспрямовану роботу.
Завдання. Знайти всі такі натуральні числа, квадрат яких закінчується цифрою 7.
Пошук рішення даної задачі передбачає невеликий числовий експеримент і формулювання гіпотези в процесі узагальнення отриманих даних.
Метод вимірювання для пошуку рішення планіметричних задач, коли виробляємо інструментальне дослідження креслення даної фігури. Вимірювання: висновок про суму внутрішніх кутів у довільному трикутнику, для чого учням пропонується вирізати з паперу гострокутий, тупокутний трикутники, транспортиром виміряти величини їх кутів і знайти їх суму:
а)
Спостереження: прості і складені числа; сформулювати визначення. Просте чи число 1?
3) математичні методи пізнання:
а) метод математичних моделей. Математична модель - опис якого-небудь класу явищ реального світу на мові математики. Метод моделювання дає можливість застосовувати математичний апарат до вирішення практичних завдань. Поняття числа, геометричної фігури, рівняння, нерівності, функції, похідної є прикладами математичних моделей.
До методу математичного моделювання в навчальному процесі доводиться вдаватися при вирішенні будь-якої задачі з практичним змістом. Щоб вирішити таке завдання математичними засобами, її необхідно спочатку перевести на мову математики (побудувати модель), використовуючи абстракції ототожнення, ідеалізації, узагальнення.
Завдання. 6 корів за 3 дні з'їдають траву на ділянці 0,2 га, 8 корів за 4 дні з'їдають траву на ділянці 0,3 га. Скільки днів зможуть пастися 12 корів на ділянці площею 0,6 га? (Приріст трави на ділянці пропорційний його площі і часу).
x - кількість трави, що з'їдається однією коровою на день;
y - початкова кількість трави на 1 га;
z - приріст трави на 1 га на день;
6 корів за 3 дні з'їдають траву на ділянці 0,2 га:
6 * х * 3 = у * 0,2 +3 * z * 0,3.
8 корів за 4 дні з'їдають траву на ділянці 0,3 га:
8 * х * 4 = у * 0,3 +4 * z * 0,3
Вирішимо цю систему:
Визначимо первинна кількість трави на одному га:
12 корів за t днів з'їдають траву на ділянці 0,6 га:
Відповідь: 12 днів.
б) аксіоматичний метод:
Методична схема: 1) скласти набір математичних тверджень (це може бути виконано учнями на основі математизації емпіричного матеріалу або запропоновано вчителем у готовому вигляді); отримані таким чином математичні пропозиції поки логічно не пов'язані один з одним, тому необхідно логічно організувати наявний математичний матеріал, 2 ) знайти вихідні твердження, на основі яких можуть бути доведені інші; 3) провести доказ тверджень, не віднесених до числа вихідних; 4) сформулювати аксіоми, визначення, теореми.
Завдання.
Виділити з цього переліку тверджень, на основі яких можна довести інші.
Методи стимулювання і мотивації.
Формування пізнавального інтересу: цікавість, новизна, наближеність до відкриттів науки, пізнавальні ігри, проблемність, успіх, аналіз життєвих ситуацій (застосовуються словесним, наочним і практичним методам).
Стимулювання обов'язку і відповідальності: суспільна значущість навчання; особистісна значимість навчання; пред'явлення навчальних вимог, заохочення; осуд.
Методи контролю і самоконтролю.
«Повторення - мати навчання» говорить народне прислів'я, тому кожен новий факт повинен бути закріплений, зрозумілий і засвоєний учнем. Наскільки міцні знання вчитель судить за відповідями учнів. Окрім добре відомого методу усного опитування існують і такі: письмовий, лабораторний, машинний контроль (контролюючі програми на ЕОМ), взаємоконтроль, самоконтроль, залік.
Найбільш швидку зворотний зв'язок дає усне опитування, забирає великий проміжок часу, повну інформацію дає письмовий контроль, проте він запізнюється за часом. Математичний диктант дозволяє вчителю отримати найбільш своєчасну і повну інформацію про підготовленість учнів. Методика проведення математичного диктанту: кілька питань, що включають основні питання теми, або основні навчальні вміння і навички; після кожного питання учням дається час на запис відповіді. Наприклад, в 9-від класі після вивчення теми «Арифметичний корінь» може бути запропоновано диктант такого змісту:
Записати визначення арифметичного кореня з числа а.
Записати властивість, пов'язане з витяганням кореня:
а) з твору; б) з кореня.
3. Спростити такі вирази:
Крім перерахованих форм контролю кожен з них може носити поточний, проміжний, підсумковий характер.
Основна «ідея» роботи вчителя Романа Григоровича Хозанкіна (СШ № 14, м. Бєлорєцьк, Башкирія) складається в структурі навчання, при якому учні самі творять урок. Неодмінна умова успішного оволодіння знаннями - логічне мислення, яке формується не раптом і для кожного учня індивідуально. Біда наших уроків у тому, що слід виконувати все, що «намічено», відповіді повинні бути «гарячими»; на роздуми часу немає, а отже створюється підбір типових завдань і стандартних відповідей, результат якого - «натаскування» школярів. Розвиток логічного мислення вимагає час на його розвиток через вирішення завдань на узагальнення та аналізування; учень повинен мати час на вивчення варіантів побудови контрприкладів, складання завдань не тільки за подобою, а й таких, які виникають при вивченні якої-небудь теореми, правила. (М. в школі, № 4, 1987 р.).
Заліковий урок - урок індивідуальної роботи; можливість організувати шефство старших класів над молодшими. Зокрема, після повторення старшокласниками залікової тему для молодшого класу, вони готують залікову картку для прийому заліку. На залік відводиться 2 уроки: на першому - підготовка, на другому - відповідь (залік).
3. Загальні методи навчання математики
Порівняння і аналогія.
Порівняння - виявлення подібності та відмінності порівнюваних предметів. Наприклад, 1) трикутник і чотирикутник загальним мають відповідність числа сторін числа кутів; відмінність у їх кількості; 2) алгебраїчні і звичайні дроби: загальне - не мають сенсу при нульовому знаменнику; наявність чисельника і знаменника; відмінність - в природі числителей і знаменників.
Порівняння призводить до правильного висновку, якщо виконуються наступні умови: 1) порівнювані поняття однорідні; 2) порівняння здійснюється за такими ознаками, які мають для них суттєве значення. Інакше кажучи, основні вимоги до порівняння: мати сенс; планомірно; повно.
Порівняння - грунт для аналогії (грецьке - відповідність, схожість), яка здійснюється за схемою:
А має властивості a, b, c, d
У володіє властивостями a, b, c
Ймовірно В має і властивістю d.
Висновок за аналогією правдоподібно, але не достовірно, тому аналогія не є доказовим міркуванням.
Часто та чи інша послідовність у вивченні навчального матеріалу обгрунтовується можливістю використання аналогій у навчанні: 1) натуральні числа і десяткові дроби; 2) якщо a | | b і a ^ b, то b ^ c - теорема на площині і в просторі. Коли буде вірним зворотне твердження: a ^ b і b ^ c Þ a | | b
Недолік у нашій практиці навчання - ми не вчимо хлопців спростуванню. В якості спростування зворотному твердженням просторі може бути приклад (див. малюнок).
ca b |
Пошук схожості - шлях до плідним міркувань за аналогією. Наприклад, трикутник і тетраедр мають схожість мінімальності ліній на площині і площин у просторі; бісектриси трикутника перетинаються в центрі вписаною в нього кола та биссекторной площині двогранних кутів тетраедра перетинаються в центрі вписаного в нього кулі.
Слід розрізняти корисну і шкідливу аналогії.
Корисна аналогія: прямокутник - прямокутний паралелепіпед;
окружність - сфера;
пряма на площині - площина в просторі.
Шкідлива аналоги я:
Узагальнення і спеціалізація, абстрагування і конкретизація.
Узагальнення - уявне виділення, фіксування яких-небудь загальних істотних властивостей, що належать тільки даному класу предметів або відносин.
Абстрагування - це уявне відволікання, відділення загальних, істотних властивостей, виділених в результаті узагальнення, від інших несуттєвих (з математичної точки зору) або не загальних властивостей розглянутих предметів або відносин і відкидання.
Абстрагування не може здійснюватися без узагальнення, без виділення того загального, суттєвого, що підлягає абстрагування. Абстрагування та узагальнення незмінно застосовуються в процесі формування понять, при переході від уявлень до понять і, разом з індукцією, як евристичний метод.
Під узагальненням розуміють також перехід від одиничного до загального, від менш загального до більш загального.
Приклади: узагальнення. 1) Вивчення формули n-го члена арифметичної прогресії починається з розгляду конкретних прикладів на обчислення різних членів арифметичної прогресії в заданому першу її члену і різниці. При проведенні цих обчислень учні використовують рівності:
NÌZÌQÌRÌC.
При узагальненні а) заміні постійної на змінну, б) зняття обмежень:
1)
2)
3)
Абстрагування: 1) паралельні прямі (лінії електричних передач; лінії тротуару; кромка проїзної частини);
число 3 (у чуттєвому пізнанні і в реальному пізнанні).
Під конкретизацією розуміють зворотний перехід - від більш загального до менш загального, від загального до одиничного. Якщо узагальнення використовується при формуванні понять, то конкретизація використовується при описі конкретних ситуацій за допомогою сформованих раніше понять.
Приклад: а) наочна ілюстрація, б) підтвердження абстрактних понять, в) застосування до конкретних теоремам = характеристика конкретизації.
б) 1)
в) 2)
мимобіжні прямі (визначення та пошук їх в оточуючій нас дійсності).
Процес спеціалізації - уявне виділення деякого властивості з множини властивостей досліджуваного об'єкта.
Наприклад: виділяючи їх багатьох ромбів ромби з рівними діагоналями, ми отримуємо квадрат.
Спеціалізація виступає як перехід від даної множини до розгляду множини, що міститься в даному. Спеціалізація досягається при: а) заміні змінної на постійну
б) при введенні обмеження: паралелограм ® паралелограм з прямим кутом.
Наведу приклад спільного застосування спостереження, досвіду, порівняння, узагальнення, абстрагування і спеціалізації - висновок ознаки подільності на 3. за схемою: число - сума цифр - подільність суми на 3
Аналіз і синтез
Аналіз - логічний прийом, метод дослідження, який полягає в тому, що об'єкт, що вивчається подумки розчленовується на складові елементи, кожен з яких досліджується окремо як частина розчленованого цілого. Аналіз - це міркування від невідомого до відомого (аналітичне міркування). Ведучий питання: що треба знати, щоб відповісти на поставлене запитання?
Синтез - логічний прийом, за допомогою якого окремі елементи з'єднуються в ціле. Синтетичні міркування - це шлях від даного до шуканого. Ведучий питання: що можна дізнатися за даними умовами?
Аналіз і синтез виступають у найрізноманітніших формах: як методи вирішення завдань, докази теорем, вивчення властивостей математичних понять і т.д.
Спочатку аналіз і синтез сприймали як методи мислення: аналіз - від цілого до частин цілого; синтез - від частин до цілого; потім як прийом мислення: аналіз - від слідства приходять до причини, яка породила це слідство; синтез - від причини переходять до слідства, породженому цією причиною. Це ілюструє арифметичне і алгебраїчне вирішення завдання: «Маші і Тані разом 12 років. Тані - 5 років. Скільки років Маші? »
аналіз: 12-5 = 7
синтез: х +5 = 12, х = 12-5; х = 7.
З точки зору психології, процес мислення - це перш за все аналізування і синтезування того, що виділено аналізом.
Форми аналізу:
а) типу «фільтр» - хаотичний спосіб вирішення даної задачі. Наприклад, потрібно з 6 сірників скласти 4 рівносторонніх трикутника (просторове рішення).
Завдання: «Поверхность ставка поступово заростає ряскою. Площа поверхні займана ряскою, з кожним днем збільшується в два рази. Весь ставок заростає ряскою протягом 100 днів. За скільки днів заростає ряскою половина поверхні ставка? »
б) аналіз через синтез - об'єкт у процесі мислення включається у все нові зв'язки і в силу цього виступає в усе нових якостях, які фіксуються в нових поняттях; з об'єкта, таким чином, як би вичерпують всі нові змісти. Наприклад, довести, що периметр рівностороннього трикутника, описаного близько окружності, вдвічі більше периметра рівностороннього трикутника, вписаного в це коло.
AO = R; OK = r;
Розглянемо аналіз і синтез як методи вивчення математики.
I а) Аналітичні та синтетичні методи доказу теорем і нерівностей.
Аналітичний метод докази: вихідним пунктом для обгрунтування необхідного затвердження є саме це твердження, яке шляхом логічно обгрунтованих кроків зводиться до твердження, відомому, як справжнє.
Синтетичний метод докази: знаходяться такі щирі твердження, які можна було б шляхом логічно обгрунтованих кроків перетворити на дане твердження. Для нього характерним є опис того, що робиться, але не пояснюється, чому береться в якості вихідного те чи інше твердження. Ось чому доказ більшості теорем у геометрії не зрозумілі учня, тому що вони є синтетичним міркуванням. Подолати це складне становище можливо при попередньому аналізі умов і укладання теореми, тобто теорему слід сприймати як звичайну задачу.
Приклад: Довести, що сума внутрішніх кутів в трикутнику дорівнює 180 0.
Аналітичний шлях: 180 0-величина розгорнутого кута, значить, досить показати, що при куті будь-якого трикутника «вкладуться» в розгорнутий кут: будуємо розгорнутий кут при вершині M:
2-є; 5 = 1; 4 = 3; тому 5 + 2 + 4 = 180 0
Синтетичний шлях: проводимо CK | | AB;
5 = 1; 4 = 3
Приклад: Довести нерівність:
Використовуючи аналітичний метод, учень діє свідомо і переконано, тому що він знає з чого почати. Але аналітичний метод докази не завжди правомірна. Покажемо це на прикладі простого софізму.
Приклад: Довести, що 3 = -3.
Док-во: Нехай 3 =- 3
II. б) Висхідний аналіз:
Дано: Окружність; CD, AB - хорди, AB
Довести: AM ∙ MB = CM ∙ MD.
Док-во: не відомо, чи вірно доказуване рівність, але якщо отримаємо пропорцію:
1 = 2, тобто BCD = BAD - як вписані;
3 = 4, тобто ADC = ABC - як вписані.
Висхідний аналіз проілюстрував процес зведення задачі до підзадач.
Ідея цього методу: для того щоб А було вірно, достатньо, щоб було вірно В і так далі.
Перевага цього методу в процесі вивчення математики: а) висхідний аналіз забезпечує свідоме і самостійне відшукання методу доказу теореми самими учнями; б) Сприяє розвитку логічного мислення; в) забезпечує усвідомленість, цілеспрямованість дій на кожному етапі докази; г) схема методу проста: що потрібно довести? Що для цього достатньо довести?
III. в) Спадний аналіз.
Завдання. Довести, що квадрат медіани, проведеної до катети прямокутного трикутника, складений з потрійним квадратом половини цього катета, дорівнює квадрату гіпотенузи.
Дано:
Довести:
Док-во: розглянемо
Отримали друга нерівність. Але сказати, що цим самим завдання виконане, невірно. Спадний аналіз призводить до синтетичного розумом. Для отримання логічного доказу необхідно провести всі міркування в зворотному порядку.
IV. г) Аналіз і синтез при рішенні геометричних задач на побудову.
Приклад: Побудувати прямокутний трикутник по гіпотенузі С і радіусу r вписаною в нього кола.
Аналіз. Нехай задача вирішена зробимо ескіз.
AOB = 180 0 - ( A + B) / 2 = 180 0 -45 0 = 135 0.
трикутник за даними С, AOB, h побудувати можемо.
Синтез: Будуємо
Завдання. Побудувати чотирикутник, якщо дані всі його чотири сторони і відомо, що одна з діагоналей ділить один з кутів навпіл.
Аналіз. Нехай задача вирішена, зробимо ескіз.
Пошук проведемо через синтез, тобто виходячи з того, що нам відомо: BAC = CAD
V. д) Аналіз і синтез при вирішенні текстових завдань.
Завдання. Довжина прямокутного паралелепіпеда 8м, ширина 6м, а висота 12 м. знайдіть суму площ його найбільшою і найменшою граней.
Дане завдання - арифметична. Проаналізуємо її. Що треба знати для того, щоб знайти необхідну суму? - ТК вона є прямокутником, то достатньо знати його ширину і довжину. Чи можемо ми знайти шукані площі? - Найменша грань - 6м і 8м, найбільша грань - 8м і 12 м. Синтез в задачі - її рішення: 6 ∙ 8 +8 ∙ 12 = 8 ∙ 18 = 144
Відповідь: 144 м 2.
Завдання. У двох мішках разом перебуває 140 кг борошна. Якщо з першого мішка перекласти в другій 12,5% борошна, що знаходиться в першому мішку, то в обох мішках буде однакова кількість борошна. Скільки кілограмів борошна в кожному мішку?
При вирішенні завдань алгебраїчним методом. Складання рівняння - аналіз, рішення отриманої математичної моделі - синтез.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
140-х = 60 (кг)
Відповідь: 80кг; 60кг.
Найбільш поширений метод - аналітико-синтетичний.
Індукція
Перехід від приватного до загального, від одиничних фактів, встановлених за допомогою спостереження і досвіду, до узагальнень є закономірністю пізнання. Невід'ємною логічною формою такого переходу є індукція, що представляє собою метод міркувань від приватного до загального, висновок укладення з приватних посилок (з латинського: induction - наведення).
Використання цього методу міркувань для отримання нових знань в процесі навчання називають індуктивним методом навчання.
Індукція має три значення:
вид умовиводу:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
метод дослідження: пошук формули простого числа:
метод навчання: знайомлячи учнів з поняттям про висоту трикутника, вчитель креслить на дошці гострокутий прямокутний, тупокутний трикутники і в кожному з них проводить висоту. З розгляду цих креслень учні приходять до висновку, що якщо кути прилеглі до основи трикутника, гострі то висота перетинається з основою, а якщо один з двох кутів, прилеглих до основи трикутника, тупий, то висота перетинається з продовженням цього підстави.
Розрізняють два основних види індуктивних умовиводів: неповну і повну індукції.
Повної індукцією називається умовивід, засноване на розгляді всіх одиничних і приватних суджень (випадків), що відносяться до ситуації, що розглядається.
Одиничні судження:
окружність може перетинатися з прямою не більше ніж у двох точках;
еліпс може перетинатися з прямою не більше ніж у двох точках;
парабола може перетинатися з прямою не більше ніж у двох точках.
Приватні судження:
Еліпс (зокрема, окружність), парабола представляють собою види конічних перерізів, утворюючи безліч кривих другого порядку.
На підставі цих суджень отримуємо нове: криві другого порядку можуть перетинатися з прямою не більше ніж у двох точках (істинне).
Якщо число випадків звичайно і всі вони розглянуті, то висновок, зроблений за допомогою повної індукції можна вважати обгрунтованим.
Наприклад:
від 1 до 10 чотири простих числа;
описати всі можливі рішення рівняння х 2 = а: а <0, a = 0, a> 0.
Таким чином, висновок, заснований на повній індукції, є в повніше достовірним і вона може використовуватися як метод строгого наукового доведення (теорема про величину обчисленого кута; «довести, що запис квадрата числа натурального не може закінчуватися цифрою 7»).
Неповна індукція (як метод дослідження) - індукція, при якій не вичерпуються всі окремі випадки, пов'язані з даної ситуації.
З точки зору логіки неповної індукцією називається умовивід, засноване на розгляді одного або декількох (але не всіх) поодиноких або приватних суджень, що відносяться до даного поняття (або системі понять).
У процесі навчання неповна індукція виявляється, наприклад, при вивченні переместительное закону складання, який ведеться за схемою: 5 +2 = 2 +5, означає: a + b = b + a.
У процесі навчання методом неповної індукції не слід нехтувати, тому що 1) реалізується принцип навчання «від простого до складного»; 2) вивчення нових абстрактних понять і суджень проходить природним шляхом через досвід і спостереження, через сприйняття і уявлення; 3) навчає математичної діяльності.
Дедукція
Дедукція (від латинського deductio - виведення) в широкому розумінні являє собою форму мислення, яка полягає в тому, що нова пропозиція (а точніше, виражена в ньому думка) виводиться суто логічним шляхом, тобто за певними правилами логічного висновку (прямування) з деяких відомих пропозицій (думок).
Дедукція є форма умовиводу, коли він від одного загального судження і одного приватного судження отримують нове, менш загальне або приватне судження. Сутність дедукції полягає в тому, що даний приватний (індивідуальний) випадок підводиться під загальне положення.
Дедукція має три значення:
вид умовиводу: 1) умовивід від більш загального положення до менш загального (або одиничного) положенню (загальне судження: НОД (a, b) = 1, якщо a і b взаємно прості числа; приватне судження: НОД (14, 15) = 1
метод дослідження: для отримання нового знання про деякий об'єкт (понятті, властивості) знаходять найближчий до даного об'єкту (поняттю) клас об'єктів (найближче родове поняття), і застосовують до цього об'єкту (поняттю) суттєві властивості цього класу об'єктів (ознака роду). Наприклад, вивчаючи властивості квадрата, ми можемо спочатку встановити те, що квадрат є ромбом. Отже, всі властивості, що мають місце для ромба, мають місце і для квадрата (зокрема, діагоналі квадрата взаємно перпендикулярні).
метод навчання. Включає: 1) навчання дедуктивним доказам і 2) навчання розширенню дедуктивної системи включенням до неї нових пропозицій, тобто перетворенню сукупності пропозицій, отриманих дослідним шляхом, або за допомогою індукції, аналогії чи інших евристичних прийомів (методів), в систему пропозицій, упорядкованих відношенням слідування, яка розширює вже вивчений фрагмент теорії.
1) під навчанням доказу розуміється навчання розумовим процесам пошуку і побудови докази, а не відтворення і заучування готових доказів, тобто вчимо міркувати. Навчання пошуку та побудові доказів направляється трьома основними питаннями: «Що?», «Звідки?», «Як?».
а) «Що?» - що доводиться?, яке доказуване пропозицію, для якого ми шукаємо доказ?, як воно формулюється?, чи все зрозуміло в цьому формулюванні? Чи не можна інакше сформулювати доказуване пропозицію? Що «дано»?, Що «потрібна» довести? Ці питання пов'язані з вивченням доказуваного пропозиції, з можливим приведенням його до більш зручного для з'ясування умов та укладання увазі («вертикальні кути рівні» або: якщо кути вертикальні, то вони рівні).
б) «Звідки?» - звідки, з яких посилок слід (може слідувати) доказуване пропозицію? З яких же відомих істинних пропозицій даної області (аксіом, визначень, раніше доведених теорем) можна було б «вивести» цю пропозицію?
в) «Як?» - як доказуване пропозиція виходить (виводиться), з раніше відомих пропозицій (аксіом, визначень, теорем)?
У навчанні доведенню виділяються два рівні:
- (V-VIII класи) - для використання у доказах (неявно) логічні засоби виведення не виявляються, не роз'яснюються, основна увага приділяється з'ясуванню того, «що доводиться» і «з чого це випливає», але, не як це слід », тобто доказ є міркуванням за допомогою якого істинність однієї пропозиції встановлюється на основі істинності інших пропозицій.
- (В старших класах) - роз'яснюються найпростіші правила виведення і на цій основі уточнено поняття доказу.
2) у процесі навчання (дослідним шляхом або за допомогою евристичних методів) відкривали, що за умови А має місце деяка властивість В. в такому випадку доведеться довести теорему: А → В. Найбільш ефективним є наступне: нехай отримано деяке безліч властивостей B i. Виникає проблема з'ясування логічних зв'язків між реченнями B i і пропозицією А з використанням вже відомих значень. Висувається в методичній літературі теза навчання «укріпленими блоками» стосовно дедуктивно побудованому фрагменту навчального матеріалу по суті означає просування у теорію не поодинокими пропозиціями, а маленькими теоріями, що описують певні ситуації, фігури і т.п.
Ілюстрацією може служити властивість точок, рівновіддалених від кінців відрізка.
У процесі навчання математики індукція і дедукція не виступають ізольовано, вони тісно переплітаються між собою.
Наприклад: вивчення переместительное закону складання натуральних чисел учні на приватних прикладах 2 +7 = 7 +2 = 9 переконуються у справедливості властивості a + b = b
Метод досконалої індукції виражає взаємозв'язок індукції та дедукції і використовується тоді коли виникає необхідність дати логічне обгрунтування висновку, отриманому індуктивним шляхом. Він здійснюється за допомогою послідовно проведених етапів: 1) спостереження і досвід, 2) гіпотеза; 3) обгрунтування (доказ) гіпотези.
Наприклад, потрібно встановити, скількома способами можна зробити перестановку n елементів деякого кінцевого безлічі.
Висновок
Методи навчання - упорядковані способи взаємопов'язаної діяльності вчителя та учнів, спрямовані на досягнення цілей навчання як засобу освіти та виховання. Опис методу навчання включає:
Опис навчальної діяльності вчителя;
Опис навчальної (пізнавальної) діяльності учня;
Зв'язок між ними або спосіб управління пізнавальної діяльності учнів навчальною діяльністю вчителя.
Система методів навчання математики складається з: а) загальних методів навчання, розроблених дидактикою і адаптованих до навчання математики, б) приватних (спеціальних) методів навчання математики, випереджальних основні методи пізнання, використовувані в математиці. Це обумовлено тим, що:
мети навчання включають засвоєння не тільки певної сукупності наукових фактів, а й методів добування цих фактів, що використовуються в самій науці;
методи наукових досліджень - методи набуття нових знань у науці, методи навчання - методи набуття нових знань у пізнавальній діяльності;
спеціальні методи навчання, що відображають методи самої математики, сприяють формуванню та розвитку математичного мислення учнів.
Література
1. К.О. Ананченка «Загальна методика викладання математики у школі», Мн., «Унiверсiтецкае», 1997р.
2.Н.М.Рогановскій «Методика викладання в середній школі», Мн., «Вища школа», 1990р.
3.Г.Фройденталь «Математика як педагогічна завдання», М., «Просвещение», 1998р.
4.Н.Н. «Математична лабораторія», М., «Просвещение», 1997.
5.Ю.М.Колягін «Методика викладання математики в середній школі», М., «Просвещение», 1999р.
6.А.А.Столяр «Логічні проблеми викладання математики», Мн., «Вища школа», 2000р.
Під узагальненням розуміють також перехід від одиничного до загального, від менш загального до більш загального.
Приклади: узагальнення. 1) Вивчення формули n-го члена арифметичної прогресії починається з розгляду конкретних прикладів на обчислення різних членів арифметичної прогресії в заданому першу її члену і різниці. При проведенні цих обчислень учні використовують рівності:
NÌZÌQÌRÌC.
При узагальненні а) заміні постійної на змінну, б) зняття обмежень:
1)
2)
3)
Абстрагування: 1) паралельні прямі (лінії електричних передач; лінії тротуару; кромка проїзної частини);
число 3 (у чуттєвому пізнанні і в реальному пізнанні).
Під конкретизацією розуміють зворотний перехід - від більш загального до менш загального, від загального до одиничного. Якщо узагальнення використовується при формуванні понять, то конкретизація використовується при описі конкретних ситуацій за допомогою сформованих раніше понять.
Приклад: а) наочна ілюстрація, б) підтвердження абстрактних понять, в) застосування до конкретних теоремам = характеристика конкретизації.
б) 1)
в) 2)
мимобіжні прямі (визначення та пошук їх в оточуючій нас дійсності).
Процес спеціалізації - уявне виділення деякого властивості з множини властивостей досліджуваного об'єкта.
Наприклад: виділяючи їх багатьох ромбів ромби з рівними діагоналями, ми отримуємо квадрат.
Спеціалізація виступає як перехід від даної множини до розгляду множини, що міститься в даному. Спеціалізація досягається при: а) заміні змінної на постійну
б) при введенні обмеження: паралелограм ® паралелограм з прямим кутом.
Наведу приклад спільного застосування спостереження, досвіду, порівняння, узагальнення, абстрагування і спеціалізації - висновок ознаки подільності на 3. за схемою: число - сума цифр - подільність суми на 3
Аналіз і синтез
Аналіз - логічний прийом, метод дослідження, який полягає в тому, що об'єкт, що вивчається подумки розчленовується на складові елементи, кожен з яких досліджується окремо як частина розчленованого цілого. Аналіз - це міркування від невідомого до відомого (аналітичне міркування). Ведучий питання: що треба знати, щоб відповісти на поставлене запитання?
Синтез - логічний прийом, за допомогою якого окремі елементи з'єднуються в ціле. Синтетичні міркування - це шлях від даного до шуканого. Ведучий питання: що можна дізнатися за даними умовами?
Аналіз і синтез виступають у найрізноманітніших формах: як методи вирішення завдань, докази теорем, вивчення властивостей математичних понять і т.д.
Спочатку аналіз і синтез сприймали як методи мислення: аналіз - від цілого до частин цілого; синтез - від частин до цілого; потім як прийом мислення: аналіз - від слідства приходять до причини, яка породила це слідство; синтез - від причини переходять до слідства, породженому цією причиною. Це ілюструє арифметичне і алгебраїчне вирішення завдання: «Маші і Тані разом 12 років. Тані - 5 років. Скільки років Маші? »
аналіз: 12-5 = 7
синтез: х +5 = 12, х = 12-5; х = 7.
З точки зору психології, процес мислення - це перш за все аналізування і синтезування того, що виділено аналізом.
Форми аналізу:
а) типу «фільтр» - хаотичний спосіб вирішення даної задачі. Наприклад, потрібно з 6 сірників скласти 4 рівносторонніх трикутника (просторове рішення).
Завдання: «Поверхность ставка поступово заростає ряскою. Площа поверхні займана ряскою, з кожним днем збільшується в два рази. Весь ставок заростає ряскою протягом 100 днів. За скільки днів заростає ряскою половина поверхні ставка? »
б) аналіз через синтез - об'єкт у процесі мислення включається у все нові зв'язки і в силу цього виступає в усе нових якостях, які фіксуються в нових поняттях; з об'єкта, таким чином, як би вичерпують всі нові змісти. Наприклад, довести, що периметр рівностороннього трикутника, описаного близько окружності, вдвічі більше периметра рівностороннього трикутника, вписаного в це коло.
A |
C 1 |
B |
A 1 |
B 1 |
C |
Про |
AO = R; OK = r;
Розглянемо аналіз і синтез як методи вивчення математики.
I а) Аналітичні та синтетичні методи доказу теорем і нерівностей.
Аналітичний метод докази: вихідним пунктом для обгрунтування необхідного затвердження є саме це твердження, яке шляхом логічно обгрунтованих кроків зводиться до твердження, відомому, як справжнє.
Синтетичний метод докази: знаходяться такі щирі твердження, які можна було б шляхом логічно обгрунтованих кроків перетворити на дане твердження. Для нього характерним є опис того, що робиться, але не пояснюється, чому береться в якості вихідного те чи інше твердження. Ось чому доказ більшості теорем у геометрії не зрозумілі учня, тому що вони є синтетичним міркуванням. Подолати це складне становище можливо при попередньому аналізі умов і укладання теореми, тобто теорему слід сприймати як звичайну задачу.
Приклад: Довести, що сума внутрішніх кутів в трикутнику дорівнює 180 0.
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
м |
з |
до |
а |
Bе |
Аналітичний шлях: 180 0-величина розгорнутого кута, значить, досить показати, що при куті будь-якого трикутника «вкладуться» в розгорнутий кут: будуємо розгорнутий кут при вершині M:
Синтетичний шлях: проводимо CK | | AB;
Приклад: Довести нерівність:
| Аналітичний | Синтетичний |
Приклад: Довести, що 3 = -3.
Док-во: Нехай 3 =- 3
II. б) Висхідний аналіз:
Дано: Окружність; CD, AB - хорди, AB
Довести: AM ∙ MB = CM ∙ MD.
Док-во: не відомо, чи вірно доказуване рівність, але якщо отримаємо пропорцію:
A |
B |
C |
D |
M |
2 |
1 |
3 |
4 |
Висхідний аналіз проілюстрував процес зведення задачі до підзадач.
Ідея цього методу: для того щоб А було вірно, достатньо, щоб було вірно В і так далі.
Перевага цього методу в процесі вивчення математики: а) висхідний аналіз забезпечує свідоме і самостійне відшукання методу доказу теореми самими учнями; б) Сприяє розвитку логічного мислення; в) забезпечує усвідомленість, цілеспрямованість дій на кожному етапі докази; г) схема методу проста: що потрібно довести? Що для цього достатньо довести?
III. в) Спадний аналіз.
Завдання. Довести, що квадрат медіани, проведеної до катети прямокутного трикутника, складений з потрійним квадратом половини цього катета, дорівнює квадрату гіпотенузи.
C |
a |
B |
A |
M |
b |
mb |
Дано:
Довести:
Док-во: розглянемо
Отримали друга нерівність. Але сказати, що цим самим завдання виконане, невірно. Спадний аналіз призводить до синтетичного розумом. Для отримання логічного доказу необхідно провести всі міркування в зворотному порядку.
IV. г) Аналіз і синтез при рішенні геометричних задач на побудову.
Приклад: Побудувати прямокутний трикутник по гіпотенузі С і радіусу r вписаною в нього кола.
K |
A |
r |
C |
B |
Аналіз. Нехай задача вирішена зробимо ескіз.
трикутник за даними С,
Синтез: Будуємо
Завдання. Побудувати чотирикутник, якщо дані всі його чотири сторони і відомо, що одна з діагоналей ділить один з кутів навпіл.
Аналіз. Нехай задача вирішена, зробимо ескіз.
C |
D |
B |
D 1 |
A |
Пошук проведемо через синтез, тобто виходячи з того, що нам відомо:
V. д) Аналіз і синтез при вирішенні текстових завдань.
Завдання. Довжина прямокутного паралелепіпеда 8м, ширина 6м, а висота 12 м. знайдіть суму площ його найбільшою і найменшою граней.
Дане завдання - арифметична. Проаналізуємо її. Що треба знати для того, щоб знайти необхідну суму? - ТК вона є прямокутником, то достатньо знати його ширину і довжину. Чи можемо ми знайти шукані площі? - Найменша грань - 6м і 8м, найбільша грань - 8м і 12 м. Синтез в задачі - її рішення: 6 ∙ 8 +8 ∙ 12 = 8 ∙ 18 = 144
Відповідь: 144 м 2.
Завдання. У двох мішках разом перебуває 140 кг борошна. Якщо з першого мішка перекласти в другій 12,5% борошна, що знаходиться в першому мішку, то в обох мішках буде однакова кількість борошна. Скільки кілограмів борошна в кожному мішку?
При вирішенні завдань алгебраїчним методом. Складання рівняння - аналіз, рішення отриманої математичної моделі - синтез.
|
X кг |
140-х = 60 (кг)
Відповідь: 80кг; 60кг.
Найбільш поширений метод - аналітико-синтетичний.
Індукція
Перехід від приватного до загального, від одиничних фактів, встановлених за допомогою спостереження і досвіду, до узагальнень є закономірністю пізнання. Невід'ємною логічною формою такого переходу є індукція, що представляє собою метод міркувань від приватного до загального, висновок укладення з приватних посилок (з латинського: induction - наведення).
Використання цього методу міркувань для отримання нових знань в процесі навчання називають індуктивним методом навчання.
Індукція має три значення:
вид умовиводу:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
A |
B |
D |
C |
A |
C |
B |
D |
A |
B |
C |
метод дослідження: пошук формули простого числа:
метод навчання: знайомлячи учнів з поняттям про висоту трикутника, вчитель креслить на дошці гострокутий прямокутний, тупокутний трикутники і в кожному з них проводить висоту. З розгляду цих креслень учні приходять до висновку, що якщо кути прилеглі до основи трикутника, гострі то висота перетинається з основою, а якщо один з двох кутів, прилеглих до основи трикутника, тупий, то висота перетинається з продовженням цього підстави.
Розрізняють два основних види індуктивних умовиводів: неповну і повну індукції.
Повної індукцією називається умовивід, засноване на розгляді всіх одиничних і приватних суджень (випадків), що відносяться до ситуації, що розглядається.
Одиничні судження:
окружність може перетинатися з прямою не більше ніж у двох точках;
еліпс може перетинатися з прямою не більше ніж у двох точках;
парабола може перетинатися з прямою не більше ніж у двох точках.
Приватні судження:
Еліпс (зокрема, окружність), парабола представляють собою види конічних перерізів, утворюючи безліч кривих другого порядку.
На підставі цих суджень отримуємо нове: криві другого порядку можуть перетинатися з прямою не більше ніж у двох точках (істинне).
Якщо число випадків звичайно і всі вони розглянуті, то висновок, зроблений за допомогою повної індукції можна вважати обгрунтованим.
Наприклад:
від 1 до 10 чотири простих числа;
описати всі можливі рішення рівняння х 2 = а: а <0, a = 0, a> 0.
Таким чином, висновок, заснований на повній індукції, є в повніше достовірним і вона може використовуватися як метод строгого наукового доведення (теорема про величину обчисленого кута; «довести, що запис квадрата числа натурального не може закінчуватися цифрою 7»).
Неповна індукція (як метод дослідження) - індукція, при якій не вичерпуються всі окремі випадки, пов'язані з даної ситуації.
З точки зору логіки неповної індукцією називається умовивід, засноване на розгляді одного або декількох (але не всіх) поодиноких або приватних суджень, що відносяться до даного поняття (або системі понять).
У процесі навчання неповна індукція виявляється, наприклад, при вивченні переместительное закону складання, який ведеться за схемою: 5 +2 = 2 +5, означає: a + b = b + a.
У процесі навчання методом неповної індукції не слід нехтувати, тому що 1) реалізується принцип навчання «від простого до складного»; 2) вивчення нових абстрактних понять і суджень проходить природним шляхом через досвід і спостереження, через сприйняття і уявлення; 3) навчає математичної діяльності.
Дедукція
Дедукція (від латинського deductio - виведення) в широкому розумінні являє собою форму мислення, яка полягає в тому, що нова пропозиція (а точніше, виражена в ньому думка) виводиться суто логічним шляхом, тобто за певними правилами логічного висновку (прямування) з деяких відомих пропозицій (думок).
Дедукція є форма умовиводу, коли він від одного загального судження і одного приватного судження отримують нове, менш загальне або приватне судження. Сутність дедукції полягає в тому, що даний приватний (індивідуальний) випадок підводиться під загальне положення.
Дедукція має три значення:
вид умовиводу: 1) умовивід від більш загального положення до менш загального (або одиничного) положенню (загальне судження: НОД (a, b) = 1, якщо a і b взаємно прості числа; приватне судження: НОД (14, 15) = 1
метод дослідження: для отримання нового знання про деякий об'єкт (понятті, властивості) знаходять найближчий до даного об'єкту (поняттю) клас об'єктів (найближче родове поняття), і застосовують до цього об'єкту (поняттю) суттєві властивості цього класу об'єктів (ознака роду). Наприклад, вивчаючи властивості квадрата, ми можемо спочатку встановити те, що квадрат є ромбом. Отже, всі властивості, що мають місце для ромба, мають місце і для квадрата (зокрема, діагоналі квадрата взаємно перпендикулярні).
метод навчання. Включає: 1) навчання дедуктивним доказам і 2) навчання розширенню дедуктивної системи включенням до неї нових пропозицій, тобто перетворенню сукупності пропозицій, отриманих дослідним шляхом, або за допомогою індукції, аналогії чи інших евристичних прийомів (методів), в систему пропозицій, упорядкованих відношенням слідування, яка розширює вже вивчений фрагмент теорії.
1) під навчанням доказу розуміється навчання розумовим процесам пошуку і побудови докази, а не відтворення і заучування готових доказів, тобто вчимо міркувати. Навчання пошуку та побудові доказів направляється трьома основними питаннями: «Що?», «Звідки?», «Як?».
а) «Що?» - що доводиться?, яке доказуване пропозицію, для якого ми шукаємо доказ?, як воно формулюється?, чи все зрозуміло в цьому формулюванні? Чи не можна інакше сформулювати доказуване пропозицію? Що «дано»?, Що «потрібна» довести? Ці питання пов'язані з вивченням доказуваного пропозиції, з можливим приведенням його до більш зручного для з'ясування умов та укладання увазі («вертикальні кути рівні» або: якщо кути вертикальні, то вони рівні).
б) «Звідки?» - звідки, з яких посилок слід (може слідувати) доказуване пропозицію? З яких же відомих істинних пропозицій даної області (аксіом, визначень, раніше доведених теорем) можна було б «вивести» цю пропозицію?
в) «Як?» - як доказуване пропозиція виходить (виводиться), з раніше відомих пропозицій (аксіом, визначень, теорем)?
У навчанні доведенню виділяються два рівні:
- (V-VIII класи) - для використання у доказах (неявно) логічні засоби виведення не виявляються, не роз'яснюються, основна увага приділяється з'ясуванню того, «що доводиться» і «з чого це випливає», але, не як це слід », тобто доказ є міркуванням за допомогою якого істинність однієї пропозиції встановлюється на основі істинності інших пропозицій.
- (В старших класах) - роз'яснюються найпростіші правила виведення і на цій основі уточнено поняття доказу.
2) у процесі навчання (дослідним шляхом або за допомогою евристичних методів) відкривали, що за умови А має місце деяка властивість В. в такому випадку доведеться довести теорему: А → В. Найбільш ефективним є наступне: нехай отримано деяке безліч властивостей B i. Виникає проблема з'ясування логічних зв'язків між реченнями B i і пропозицією А з використанням вже відомих значень. Висувається в методичній літературі теза навчання «укріпленими блоками» стосовно дедуктивно побудованому фрагменту навчального матеріалу по суті означає просування у теорію не поодинокими пропозиціями, а маленькими теоріями, що описують певні ситуації, фігури і т.п.
Ілюстрацією може служити властивість точок, рівновіддалених від кінців відрізка.
У процесі навчання математики індукція і дедукція не виступають ізольовано, вони тісно переплітаються між собою.
Наприклад: вивчення переместительное закону складання натуральних чисел учні на приватних прикладах 2 +7 = 7 +2 = 9 переконуються у справедливості властивості a + b = b
Метод досконалої індукції виражає взаємозв'язок індукції та дедукції і використовується тоді коли виникає необхідність дати логічне обгрунтування висновку, отриманому індуктивним шляхом. Він здійснюється за допомогою послідовно проведених етапів: 1) спостереження і досвід, 2) гіпотеза; 3) обгрунтування (доказ) гіпотези.
Наприклад, потрібно встановити, скількома способами можна зробити перестановку n елементів деякого кінцевого безлічі.
Висновок
Методи навчання - упорядковані способи взаємопов'язаної діяльності вчителя та учнів, спрямовані на досягнення цілей навчання як засобу освіти та виховання. Опис методу навчання включає:
Опис навчальної діяльності вчителя;
Опис навчальної (пізнавальної) діяльності учня;
Зв'язок між ними або спосіб управління пізнавальної діяльності учнів навчальною діяльністю вчителя.
Система методів навчання математики складається з: а) загальних методів навчання, розроблених дидактикою і адаптованих до навчання математики, б) приватних (спеціальних) методів навчання математики, випереджальних основні методи пізнання, використовувані в математиці. Це обумовлено тим, що:
мети навчання включають засвоєння не тільки певної сукупності наукових фактів, а й методів добування цих фактів, що використовуються в самій науці;
методи наукових досліджень - методи набуття нових знань у науці, методи навчання - методи набуття нових знань у пізнавальній діяльності;
спеціальні методи навчання, що відображають методи самої математики, сприяють формуванню та розвитку математичного мислення учнів.
Література
1. К.О. Ананченка «Загальна методика викладання математики у школі», Мн., «Унiверсiтецкае», 1997р.
2.Н.М.Рогановскій «Методика викладання в середній школі», Мн., «Вища школа», 1990р.
3.Г.Фройденталь «Математика як педагогічна завдання», М., «Просвещение», 1998р.
4.Н.Н. «Математична лабораторія», М., «Просвещение», 1997.
5.Ю.М.Колягін «Методика викладання математики в середній школі», М., «Просвещение», 1999р.
6.А.А.Столяр «Логічні проблеми викладання математики», Мн., «Вища школа», 2000р.