Вища математика
Криві другого порядку
Квадратичні форми
Зміст
1. Поняття квадратичної форми і способи її записи
2. Знакоопределенность квадратичних форм
3. Критерії позитивної та негативної визначеності
Література
1. Поняття квадратичної форми і способи її записи
Квадратичною формою j (х 1, х 2, ..., x n) n дійсних змінних х 1, х 2, ..., x n називається сума виду
, (1)
де a ij - деякі числа, звані коефіцієнтами. Не обмежуючи спільності, можна вважати, що a ij = a ji.
Квадратична форма називається дійсною, якщо a ij Î ГR. Матрицею квадратичної форми називається матриця, складена з її коефіцієнтів. Квадратичної формі (1) відповідає єдина симетрична матриця
тобто А Т = А. Отже, квадратична форма (1) може бути записана в матричному вигляді j (Х) = х Т Ах, де
х Т = (х 1 х 2 ... x n). (2)
І, навпаки, всякої симетричної матриці (2) відповідає єдина квадратична форма з точністю до позначення змінних.
Рангом квадратичної форми називають ранг її матриці. Квадратична форма називається невиродженої, якщо невиродженої є її матриця А. (нагадаємо, що матриця А називається невиродженої, якщо її визначник не дорівнює нулю). В іншому випадку квадратична форма є виродженою.
Приклад 1.
Записати матрицю квадратичної форми
j (х 1, х 2, x 3) = - 6х 1 х 2 - 8х 1 х 3 +
+ 4х 2 х 3 -
і знайти її ранг.
Рішення.
Þ r (A) = 3 Þ
квадратична форма невирождена.
2. Знакоопределенность квадратичних форм
Квадратична форма (1) називається позитивно визначеною (або суворо позитивної), якщо j (х)> 0, для будь-якого х = (х 1, х 2, ..., x n), крім х = (0, 0, ..., 0 ).
Матриця А позитивно певної квадратичної форми j (х) також називається позитивно визначеною. Отже, позитивно певної квадратичної формі відповідає єдина позитивно певна матриця і навпаки.
Квадратична форма (1) називається негативно певної (або суворо негативною), якщо j (х) <0, для будь-якого х = (х 1, х 2, ..., x n), крім х = (0, 0, ..., 0 ).
Аналогічно як і вище, матриця негативно певної квадратичної форми також зв и ється негативно визначеною.
Отже, позитивно (негативно) певна квадратична форма j (х) досягає мінімального (максимального) значення j (х *) = 0 при х * = (0, 0, ..., 0).
Відзначимо, що більша частина квадратичних форм не є знакоопределеннимі, тобто вони не є ні позитивних, ні негативних. Такі квадратичні форми звертаються в 0 не тільки на початку системи координат, а й в інших точках.
Приклад 2.
Визначити знакоопределенность наступних квадратичних форм.
1)
Þ
тобто квадратична форма є позитивно визначеною.
2)
Þ
тобто квадратична форма є негативно визначеною.
3)
Þ
дана квадратична форма не є знакоопределенной, так як вона дорівнює 0 у всіх точках прямої х 1 =-х 2, а не тільки на початку системи координат.
Коли n> 2 потрібні спеціальні критерії для перевірки знакоопределенності квадратичної форми. Розглянемо їх.
Головними минорами квадратичної форми називаються мінори:
тобто це мінори порядку 1, 2, ..., n матриці А, розташовані в лівому верхньому кутку, останній з них збігається з визначником матриці А.
3. Критерій позитивної та негативної визначеності
Критерій позитивної визначеності (критерій Сильвестра)
Для того щоб квадратична форма j (Х) = х Т Ах була позитивно певної, необхідно і достатньо, що всі головні мінори матриці А були позитивні, тобто:
М 1> 0, M 2> 0, ..., M n> 0.
Критерій негативною визначеності
Для того щоб квадратична форма j (Х) = х Т Ах була негативно певної, необхідно і достатньо, щоб її головні мінори парного порядку були позитивні, а непарного - негативні, тобто:
М 1 <0, M 2> 0, М 3 <0, ..., (-1) n M n> 0.
Приклад 3.
При яких значеннях а і в квадратична форма буде позитивно певної?
j (х 1, х 2, x 3) =
Рішення.
Побудуємо матрицю А і знайдемо її головні мінори.
М 1 = 1> 0,
= А - 1> 0 Þ а> 1.
= Ав - а - в> 0 Þ в>
.
Відповідь:
а> 1, в> .
Приклад 4.
При яких значеннях а і в квадратична форма буде негативно певної?
j (х 1, х 2, x 3) =
Рішення.
М 1 = -1 <0,
=-А - 1> 0 Þ а <-1.
=-Ав - а - в <0 Þ в> -
.
Відповідь
а <-1, в> - .
Приклад 5.
Довести, що квадратична форма
j (х 1, х 2, x 3) =
позитивно визначена.
Рішення.
Скористаємося критерієм Сильвестра. Побудуємо матрицю А і знайдемо головні мінори матриці А.
М 1 = 6> 0, = 26> 0, М 3 = ú А ç = 162> 0
Þ j (х 1, х 2, x 3)
позитивно певна квадратична форма.
Література
1. Гусак А. А. Аналітична геометрія та лінійна алгебра .- Мн.: Тетрасістемс, 1998.
2. Овсеец М. І., Світла Є. М. Збірник задач з вищої математики. Навчальне видання .- Мн.: ЧІУіП, 2006 .- 67 с.