Дослідження кривих і поверхонь другого порядку

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Кафедра вищої математики
Курсова робота
з лінійної алгебри та аналітичної геометрії
на тему:
Дослідження кривих і поверхонь другого порядку
Дубна, 2002

Зміст
ВСТУП
ДОСЛІДЖЕННЯ КРИВИЙ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
Теоретична частина
Практична частина
ВИСНОВОК
ДОСЛІДЖЕННЯ ФОРМИ ПОВЕРХНІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
Теоретична частина
Практична частина
ВИСНОВОК
Список використаної літератури

Введення

Мета
1. Метою даної курсової роботи є дослідження кривої та форми поверхні другого порядку. Закріплення отриманих теоретичних знань і практичних навичок з вивчення та аналізу властивостей кривих і поверхонь другого порядку.
2. Ознайомлення з пакетами програм Microsoft ® Word і Microsoft ® Excel.
Постановка завдання
I. Для даного рівняння кривої другого порядку:
1. Визначити тип даної кривої за допомогою інваріантів.
2. Привести рівняння кривої до канонічного виду, застосовуючи перетворення паралельного перенесення і повороту координатних осей.
3. Знайти фокуси, директорку і ассімптоти даної кривої (якщо вони є).
4. Побудувати канонічну систему координат і дану криву в загальній системі координат.
II. Для даного канонічного рівняння поверхні другого порядку:
1. Дослідити форму поверхні методом перерізів площинами, побудувати лінії, отримані в перерізах;
2. Побудувати поверхню в канонічній системі координат.

Дослідження кривої другого порядку

Теоретична частина

Нехай крива Г задана в декартовій прямокутній системі координат xOy рівнянням:
. (1.1)
Якщо хоча б один з коефіцієнтів відмінний від нуля, то криву Г називають кривою другого порядку.
Теорема 1. Для довільної кривої другого порядку Г існує така декартова прямокутна система координат XO ¢ Y, що в цій системі крива Г має рівняння одного з таких канонічних видів:
1) , А ³ b > 0 - еліпс,
2) - Уявний еліпс,
3) - Дві уявні пересічні прямі
(Крапка),
4) - Гіпербола,
5) - Дві пересічні прямі,
6) - Парабола,
7) - Дві паралельні прямі,
8) - Дві уявні паралельні прямі,
9) - Дві збіжні прямі.
У цих рівняннях a, b, p - позитивні параметри.
Систему координат XO ¢ Y назвемо канонічної системою координат, а систему координат xOy - загальною системою координат.
Класифікація кривих другого порядку
У залежності від значення інваріанту прийнята наступна класифікація кривих другого порядку:
· Якщо крива другого порядку Г називається кривою еліптичного типу.
· Якщо крива другого порядку Г називається кривою параболічного типу.
· Якщо крива другого порядку Г називається кривою гіперболічного типу.
Крива другого порядку Г називається центральною, якщо . Криві еліптичного і гіперболічного типу є центральними кривими.
Центром кривої другого порядку Г називається така точка площини, по відношенню до якої точки цієї кривої розташовані симетрично парами. Точка є центром кривої другого порядку, що визначається рівнянням (1.1), в тому і тільки в тому випадку, коли її координати задовольняють рівнянням:
(2.1)
(2.1)
Визначник цієї системи дорівнює . Якщо , То система має єдиний розв'язок. У цьому випадку координати центру можуть бути визначені за формулами:
, . (2.2)
З теорем 1 і 2 утворюється наступна класифікація кривих другого порядку за допомогою інваріантів:
1) еліпс
2) уявний еліпс
3) дві уявні пересічні прямі (точка)
4) гіпербола
5) дві пересічні прямі (2.3)
6) парабола
7) дві паралельні прямі
8) дві уявні паралельні прямі
9) дві збіжні прямі

Практична частина

Дано:
Визначити тип кривої за допомогою інваріантів в залежності від β:

Обчислимо інваріанти:



1. Якщо , То маємо лінії еліптичного типу
Цих β буде еліпс
При
При
2. Якщо то пишемо лінії параболічного типу, при цьому, щоб була парабола

3. Якщо , То отримуємо лінії гіперболічного типу.
При гіпербола
При коренів немає, тобто таких двох пересічних прямих, не існує.
Значення





Тип кривої
Уявна точка
Точка
Еліпс
Парабола
Гіпербола
Досліджуємо криву при β = 0, тоді отримаємо:

Спершу повернемо на кут φ:


Знайдемо кут φ, такий щоб коефіцієнт при дорівнював 0:


Нехай


Згрупуємо члени рівняння і доповнимо до квадрата:


Зробимо перенесення системи координат:
координати нового центру O системи координат

тобто ми правильно визначили канонічне рівняння


Визначимо фокус еліпс.
Відстань між знайдемо за:

У системі координат

Ексцентричний еліпс
Директриси
Висновок
Дослідивши загальне рівняння кривої другого порядку і привівши його до канонічного вигляду, ми встановили, що дана крива - еліпс. Ми отримали канонічне рівняння гіперболи за допомогою перетворень паралельного перенесення і повороту координатних осей.

Дослідження форми поверхні другого порядку

Теоретична частина

Поверхнею другого порядку S називається геометричне місце точок, декартові прямокутні координати яких задовольняють рівняння виду:
,
де принаймні один з коефіцієнтів відмінний від нуля.
Рівняння (3.1) називають загальним рівнянням поверхні другого порядку S, а систему координат Oxyz називають загальною системою координат.
Теорема: Для довільної поверхні S, заданої загальним рівнянням існує така декартова прямокутна система координат що в цій системі поверхню S має рівняння одного з наступних сімнадцяти канонічних видів.
1) - Еліпсоїд,
2) - Уявний еліпсоїд,
3) - Однополостной гіперболоїд,
4) - Двуполостной гіперболоїд,
5) - Конус,
6) - Уявний конус (точка),
7) - Еліптичний параболоїд,
8) - Гіперболічний параболоїд,
9) - Еліптичний циліндр,
10) - Уявний еліптичний циліндр,
11) - Дві уявні площини, що перетинаються (вісь
O 'Z),
12) - Гіперболічний циліндр,
13) - Дві площини, що перетинаються,
14) - Параболічний циліндр,
15) - Дві паралельні площини,
16) - Дві уявні паралельні площини,
17) - Дві збіжні площині (площина XOZ).
У вище перерахованих рівняннях a, b, c, p - позитивні параметри. Систему координат називають канонічною.
Дослідження форми поверхні другого порядку методом перетину площинами
Якщо дано канонічне рівняння поверхні S, то уявлення про поверхню можна отримати за формою ліній перетину її площинами:
Z = h - Паралельними координатної площини XO 'Y,
X = h - паралельними координатної площини YO 'Z,
Y = h - паралельними координатної площини XO 'Z.

Практична частина

Дано:
;
Це еліпсоїд в прямокутній декартовій системі координат Oxyz, де осі OX, OY, OZ - осі симетрії.
1. Розглянемо лінії площинами Z = h (h = const):
(1)
Площина Z = h паралельна площині Oxy.
Рівняння проекцій на Oxy мають вигляд:

Якщо , То , І тоді поділимо обидві частини рівняння на , Отримаємо:

Це рівняння еліпсів з півосями , ; Збільшуються зі зменшенням , Центр еліпса (0; 0; h)
При різних h маємо:


Якщо , Тоді і значить лінії задовольняють рівнянню (1) немає.
2. Розглянемо отримані в перетинах еліпсоїда площинами X = h:
(2)
Рівняння проекцій на YOZ.

Це рівняння еліпсів з півосями , ;
Якщо , То a = 3, b = 2, і
Якщо , Тоді ми отримуємо сімейство еліпсів:
, ;
, ;
Якщо , Тоді - Це рівняння точки з координатами (h; 0; 0).
Якщо , Тоді і значить лінії задовольняють рівнянню (2) немає.
3. Розглянемо отримані в перетинах еліпсоїда площинами Y = h:
(3)
Рівняння еліпсів, проекцій на YOZ і мають центри (0; h; 0).
Півосі ,
Якщо , Тоді , Рівняння точок з координатами (0; h; 0).
Якщо , Тоді ми отримуємо сімейство еліпсів:
, ;
, ;
Якщо , Тоді і значить лінії задовольняють рівнянню (3) немає.
Побудуємо однополостной гіперболоїд

в канонічній системі координат проаналізувавши рівняння поверхні і результати дослідження методом перетину її площинами.

Висновок

Проаналізувавши рівняння еліпсоїда , Отримали певні уявлення про форму еліпсоїда.
З рівняння випливає, що осі OX, OY, OZ - осі симетрії, площини XOY, YOZ, XOZ - площині симетрії.
Розсікаючи поверхню площинами y = h, z = h, x = h, в перетинах маємо еліпси, найбільші з яких виходять у площинах x = 0, y = 0, z = 0, півосі їх зменшуються зі збільшенням , Вершини еліпсів мають координати по осі X; по осі Y; по осі Z.

Список використаної літератури

1. Копилова Т. В. Конспект лекцій з лінійної алгебри;
2. Копилова Т. В. Лінійна алгебра. - Дубна: Міжнародний університет природи, суспільства і людини «Дубна», 1996;
3. Єфімова Л. В., Демидович Б. П. Лінійна алгебра та основи математичного аналізу. - М: Наука, 1993.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Курсова
55.4кб. | скачати


Схожі роботи:
Канонічні рівняння кривих другого порядку
Поверхні обертання Циліндричні та конічні поверхні Канонічні рівняння поверхонь другого порядку
Дослідження кривої й форми поверхні другого порядку
Інтегрування деяких рівнянь другого порядку шляхом пониження порядку рівняння
Криві другого порядку
Поверхні другого порядку
Криві та поверхні другого порядку
Криві другого порядку Квадратичні форми
Плани другого порядку реалізація В3-плану
© Усі права захищені
написати до нас