Дзета функція Рімана

Міністерство освіти Російської Федерації
Ставропольський Державний університет
Кафедра математичного аналізу
Курсова робота на тему:
«Дзета-функція Рімана»
Виконав: студент 2 ^го курсу ФМФ групи «Б» Симонян Сергій Олегович
Ставрополь, 2004 р.
Введення.
Функція - одне з основних понять у всіх природничих дисциплінах. Не випадково ще в середній школі діти отримують інтуїтивне уявлення про це поняття. Зі шкільної лави наш багаж знань поповнюється відомостями про такі функції як лінійна, квадратична, статечна, показова, тригонометричні та інших. У курсі вищої математики коло відомих функцій значно розширюється. Сюди додаються інтегральні і гіперболічні функції, Ейлерови інтеграли (гамма-і бета-функції), тета-функції, функції Якобі і багато інших.
Що ж таке функція? Точного визначення для неї не існує. Це поняття є в математиці первинним, аксіоматізіруется. Однак, під функцією розуміють закон, правило, за яким кожному елементу якогось безлічі X ставиться у відповідність один або кілька елементів множини Y. Елементи множини X називаються аргументами, а безлічі Y - значеннями функції. Якщо кожному аргументу відповідає одне значення, функція називається однозначною, якщо більше одного - то багатозначною. Синонімом функції є термін «відображення». У найпростішому випадку безліч X може бути підмножиною поля дійсних R або комплексних C чисел. Тоді функція називається числовою. Нам будуть зустрічатися тільки такі відображення.
Функції можуть бути задані багатьма різними способами: словесним, графічним, за допомогою формули. Функція, яку ми будемо розглядати в цій роботі, задається через нескінченний ряд. Але, незважаючи на таке нестандартне визначення, за своїм поданням у вигляді ряду вона може бути добре вивчена методами теорії рядів і плідно застосована до різних теоретичних і прикладних питань математики та суміжних з нею наук.
Звичайно ж, мова йде про знамениту дзета-функції Рімана, що має найширші застосування в теорії чисел. Вперше ввів її в науку великий швейцарський математик і механік Леонард Ейлер і отримав багато її властивості. Далі активно займався вивченням дзета-функції німецький математик Бернгард Ріман. На честь нього вона отримала свою назву, так як він опублікував кілька виключно видатних робіт, присвячених цій функції. У них він розповсюдив дзета-функцію на область комплексних чисел, знайшов її аналітичне продовження, досліджував кількість простих чисел, менших заданого числа, дав точну формулу для знаходження цього числа за участю функції і висловив свою гіпотезу про нулях дзета-функції, над доказом або спростуванням якої безрезультатно б'ються кращі уми людства вже майже 150 років.
Наукова громадськість вважала і вважає рішення цієї проблеми одним з пріоритетних завдань. Так Давид Гільберт, що виступав на Міжнародній Паризької математичної конференції 1900 з підбиттям підсумків розвитку науки і розглядом планів на майбутнє, включив гіпотезу Рімана в список 23 проблем, які підлягають вирішенню в новому столітті і здатних просунути науку далеко вперед. А на рубежі століть, в 2000 році американський The Clay Mathematics Institute назвав сім завдань, за рішення кожної з яких буде виплачений 1 мільйон доларів. У їх число також потрапила гіпотеза Рімана.
Таким чином, навіть би поверхневе знайомство з дзета-функцією буде і цікавим, і корисним.
Глава 1.
Отже, приступимо до вивчення цієї важливої ​​і цікавої дзета-функції Рімана. У цьому розділі ми отримаємо деякі властивості функції у речовій області, виходячи з її визначення за допомогою ряду.
Визначення. Дзета-функцією Рімана ζ (s) називають функцію, яка будь-якому дійсному числу s ставить у відповідність суму ряду
(1)
якщо вона існує.
Основною характеристикою будь-якої функції є область визначення. Знайдемо її для нашої функції.
Нехай спочатку s ≤ 0, тоді s =- t, де t належить безлічі невід'ємних дійсних чисел R ₊ {0}. У цьому випадку і ряд (1) звертається до низки , Який, очевидно, розходиться як при t> 0, так і при t = 0. Тобто значення s ≤ 0 не входять в область визначення функції.
Тепер нехай s> 0. Для дослідження збіжності ряду (1) скористаємося інтегральним ознакою Коші. При кожному s розглянемо функцію , Де , Яка є на проміжку безперервної, позитивної і монотонно спадною. Виникає три різних можливості:
1) 0 <s <1. Тоді , Тому ряд (1) розходиться і проміжок (0; 1) не входить в область визначення дзета-функції;
2) s = 1. Отримуємо , Тобто при s = 1 дзета-функція Рімана також не визначена;
3) s> 1. У цьому випадку
. Ряд (1) сходиться.
Узагальнивши результати, знаходимо, що область визначення дзета-функції є проміжок . На цьому проміжку функція виявляється безперервної і диференційовною нескінченне число разів.
Доведемо безперервність функції ζ (s) на області визначення. Візьмемо довільне число s _0> 1. Перепишемо ряд (1) у вигляді . Як було вище показано, ряд сходиться, а функції при s> s ₀ монотонно зменшуються і всі разом обмежені одиницею. Значить, за ознакою Абеля для s> s ₀ ряд (1) сходиться рівномірно. Використовуючи теорему про неперервність суми функціонального ряду, отримуємо, що в будь-якій точці s> s ₀ дзета-функція неперервна. Зважаючи на довільності s ₀ ζ (s) неперервна на всій області визначення.
Тепер почленно диференціюванням ряду (1), поки формально, знайдемо похідну дзета-функції Рімана:
(2).
Щоб виправдати цей результат, досить упевнитися в тому, що ряд (2) рівномірно сходиться на проміжку і скористатися теоремою про диференціюванні рядів. Використовуємо той самий прийом. Зафіксуємо будь s _0> 1 і представимо ряд (2) у вигляді для s> s _0. Множники , Починаючи з n = 2, монотонно зменшуються, залишаючись обмеженими числом ln 2. Тому за ознакою Абеля ряд (2) сходиться рівномірно при s> s _0, а значить і при будь-якому s> 1. Яке б значення s> 1 ні взяти його можна укласти між і , Де , А ; До проміжку застосовна вищевказана теорема.
Таким же шляхом можна переконатися в існуванні для дзета-функції похідних всіх порядків і отримати їх вираження у вигляді рядів:
.
Спробуємо побудувати наочне зображення функції у вигляді графіка. Для цього вивчимо спочатку її поведінку на нескінченності та в околиці точки s = 1.
У першому випадку, зважаючи на рівномірної збіжності ряду (1), по теоремі про почленно переході до межі, маємо . При n = 1 межа дорівнює одиниці, решта межі дорівнюють нулю. Тому .
Щоб дослідити випадок , Доведемо деякі допоміжні оцінки.
По-перше, відомо, що якщо для ряду існує безперервна, позитивна, монотонно спадна функція , Визначена на множині , Така, що , І має первісну , То залишок ряду оцінюється так: , Де . Застосовуючи вищесказане до ряду (1), знайдемо, що необхідна функція
, А і . Звідси, підставляючи в подвійне нерівність, маємо
(3). У лівому нерівності покладемо n = 0, тоді , Тобто . У правому ж візьмемо n = 1 і отримаємо , Далі , і, нарешті, . Переходячи в нерівностях до межі при , Знаходимо .
Звідси, зокрема, випливає, що . Дійсно, покладемо . Тоді , Тобто . Тому . З того, що , А , Випливає доказуване твердження.
Можна, однак, отримати ще більш точний результат для оцінки поведінки дзета-функції в околиці одиниці, ніж наведені вище, належить Діріхле. Будемо відштовхуватися від очевидного при довільному n рівності . Додамо до всіх частин нерівностей (3) суму і віднімемо . Маємо . Нехай тут s прагне до одиниці. За правилом Лопіталя легко обчислити і . Ми поки не знаємо, чи існує межа вираження при , Тому, скориставшись найбільшим і найменшим межами, напишемо нерівності так:
. Зважаючи на довільності n візьмемо . Перше і останнє висловлювання прагнуть до Ейлера постійної C (C 0,577). Значить , А, отже, існує і звичайний межа і .
Знайдені вище межі дозволяють отримати лише приблизне уявлення про вигляд графіка дзета-функції. Зараз ми виведемо формулу, яка дасть можливість нанести на координатну площину конкретні точки, а саме, визначимо значення , Де k - натуральне число.
Візьмемо відоме розкладання , Де - Знамениті числа Бернуллі (по суті, через нього ці числа і визначаються). Перенесемо доданок в ліву частину рівності. Зліва отримуємо cth , А в правій частині - , Тобто cth . Замінюємо на , Отримуємо cth .
З іншого боку, існує рівність cth , З якого cth . Підстановкою замість знаходимо cth . Якщо , То для будь-якого N і по теоремі про складання нескінченної кількості статечних рядів cth .
Прирівняємо отримані розкладання:
, Отже . Звідси негайно слід шукана формула
(4), де - K-е число Бернуллі. Вона зручна тим, що ці числа добре вивчені і для них складено великі таблиці.
Тепер, виходячи з отриманих результатів, можна побудувати ескіз графіка дзета-функції Рімана, досить добре відображає її поведінка на всій області визначення.

Леонард Ейлер, вперше розглянув дзета-функцію, отримав чудове розкладання її в нескінченне твір, який іноді теж беруть за визначення:
, Де p _i - i-е просте число (4).
Доведемо тотожність ряду (1) і твори (4). Згадавши формулу суми геометричної прогресії, отримуємо рівність
Якщо перемножити кінцеве число таких рядів, що відповідають всім простим числам, не переважаючим заданого натурального числа N, то вийшло часткове твір виявиться рівним , Де символ * означає, що підсумовування поширюється не на всі натуральні числа, а лише на ті з них (не рахуючи одиниці), які у своєму розкладанні містять тільки прості числа менші N. Так як перші N натуральних чисел цією властивістю володіють, то
(5).
Сума містить не всі числа, більші N +1, тому, очевидно, . З (5) отримуємо
(6).
Зважаючи збіжності ряду (1), вираз праворуч, представляє його залишок після N-го члена, прагне до нуля при N прагнуть до нескінченності, а є твір (4). Значить з нерівності при , Що й потрібно було довести.
Формула (4) важлива тому, що вона пов'язує натуральний ряд, представлений безліччю значень аргументу дзета-функції, з кількістю простих чисел. Ще один крок у цьому напрямку ми зробимо, оцінивши , А саме показавши, що , Де залишається обмеженим при .
З (4) випливає, що , Де N, а при . Візьмемо логарифм від обох частин рівності, тоді . Натуральні логарифми під знаком суми розкладаються в ряд: . Підставивши отримані розкладання в рівність і спрямувавши N до нескінченності, маємо . Залишається довести обмеженість останнього доданка. Ясно, що . Остання рівність справедливо, так як . Далі, очевидно, , Що і завершує доказ.
На цьому закінчимо виклад властивостей дзета-функції Рімана для дійсного аргументу, так як найбільший теоретичний і прикладний інтерес представляє випадок викладений у другому розділі.
Глава 2.
Всі результати першого розділу, що стосуються дзета-функції Рімана, були отримані в припущенні, що її аргумент s - дійсне число. Однак, найвидатніші дослідження та численні важливі програми стали можливі лише після включення в область визначення функції комплексних чисел. Вперше розглянув дзета-функцію як функцію уявного аргументу німецький математик Бернгард Ріман, глибоко вивчив її властивості і широко застосовувати її в теорії чисел. На честь нього функція отримала свою назву.
Для комплексної дзета-функції залишається в силі ухвалу, дане в розділі 1, з тією лише зміною, що тепер там буде C. Виникає необхідність знайти нову область визначення. З цією метою доведемо наступне твердження: у півплощині ( дійсна частина числа x) ряд
                                                                                                                (1) сходиться абсолютно.
Нехай . Підрахуємо абсолютні величини членів ряду (1), . Перший множник містить тільки дійсні числа і , Так як . До другого ж множнику застосуємо знамениту формулу Ейлера, одержимо . Значить, . Зважаючи збіжності ряду при α> 1, маємо абсолютну збіжність ряду (1).
На своїй області визначення дзета-функція аналітичне. Дійсно, при кожній q> 0 і фіксованому α> 1 + q, числовий ряд мажорірует ряд з абсолютних величин , Де , Звідки, по теоремі Вейєрштрасса, слід рівномірна збіжність ряду у півплощині . Сума ж рівномірно сходиться ряду з аналітичних функцій сама є аналітичною функцією.
Неважко показати, що всі отримані для дзета-функції формули без змін переносяться на випадок комплексного аргументу. Докази зазнають незначні перетворення, пов'язані з переходом до абсолютних величин.
У зв'язку з цим зауваженням стає можливим використовувати розкладання дзета-функції у твір , Де s тепер будь-яке комплексне число, таке, що . Застосуємо його до доказу відсутності у функції коренів.
Оцінимо величину , Використовуючи властивість модуля : , Де як завжди . Так як , То , А , Отже, дзета-функція в нуль не звертається.
Питання про нулях дзета-функції, а також інші прикладні питання отримують нові широкі можливості для дослідження, якщо поширити її на всю комплексну площину. Тому, зараз ми одним з багатьох можливих способів знайдемо аналітичне продовження дзета-функції і виведемо її функціональне рівняння, що характеризує і однозначно визначає .
Для цього нам знадобиться формула
(2), яка виводиться наступним чином. Використовуючи властивості інтегралів можна записати . Для будь-якого d при , Значить і , А . . Отже, . Інтеграл можна знайти інтегруванням по частинам, приймаючи , ; Тоді , А . У результаті . Віднімемо з цього інтеграла попередній і отримаємо , Звідси легко слід рівність (2).
Тепер покладемо в (2) , , A і b - цілі позитивні числа. Тоді . Нехай спочатку , Приймемо a = 1, а b спрямував до нескінченності. Отримаємо . Додамо по одиниці в обидві частини рівностей:
(3).

Вираз є обмеженим, так як , А функція абсолютно інтегровна на проміжку при , Тобто при , . Значить, інтеграл абсолютно сходиться при , Причому рівномірно в будь-якій кінцевій області, що лежить в комплексній площині праворуч від прямої . Тим самим він визначає аналітичну функцію змінної s, регулярну при . Тому права частина рівності (3) представляє собою аналітичне продовження дзета-функції на полуплоскость і має там лише один простий полюс у точці з вирахуванням, рівним одиниці.
Для можна перетворити вираз (3) дзета-функції. При маємо , Значить, і . Тепер при (3) може бути записано у вигляді .
Трохи більш складними міркуваннями можна встановити, що в дійсності (3) дає аналітичне продовження дзета-функції на полуплоскость . Покладемо , А , Тобто первообразная для . обмежена, так як , А інтеграл і обмежений через те, що . Розглянемо інтеграл при x _1> x ₂ і . Проінтегруємо його по частинах, прийнявши , , Тоді , А за вказаною вище твердженням . Отримуємо . Візьмемо , А . Маємо , , Тому що є обмеженою функцією. Значить,
(4).
Користуючись абсолютною збіжністю інтеграла , Якщо , І обмеженістю функції , Робимо висновок, що в лівій частині рівності (4) інтеграл теж сходиться при . Значить формулою (3) можна продовжити дзета-функцію і на полуплоскость правіше прямий .
Неважко встановити, що для негативних , Тому з (3) маємо
(5) при .
З теорії рядів Фур'є відомо, що для нецілих значень x справедливо розкладання в ряд
(6).
Підставимо його в рівність (5) і проінтегруємо ряд почленно:
. Зробимо в отриманому інтегралі підстановку , Звідси випливає , А , І отримаємо далі . Відомо, що , Значить . З відомого співвідношення для гамма-функції , За формулою доповнення , Отже
Отже, ми отримали функціональне рівняння дзета-функції Рімана
(7),
яке саме по собі може служити засобом вивчення цієї функції, тому що цілком характеризує її, в тому сенсі, що будь-яка інша функція , Яка задовольняє рівності (7), а також ще деяким природним умовам, тотожна з .
Поки, правда, як випливає з міркувань, ми довели формулу (7) для . Однак права частина цієї рівності є аналітичною функцією s і при . Це показує, що дзета-функція може бути аналітично продовжена на всю комплексну площину, причому не має на ній ніяких особливостей, крім згадуваного полюса при .
Щоб доказ було суворим, ми повинні ще обгрунтувати почленное інтегрування. Оскільки ряд (6) сходиться майже всюди і його часткові суми залишаються обмеженими, почленное інтегрування на будь-якому кінцевому відрізку допустимо. Зважаючи на для будь-якого , Залишається довести, що при . Але інтегруючи внутрішній інтеграл по частинах маємо
. Звідси без праці виходить наше твердження.
Функціональне рівняння дзета-функції (7) може бути записано багатьма способами. Наприклад, замінимо s на 1 - s, отримуємо равносильное рівність
(8). З нього можна отримати два невеликих слідства.
Підставимо в (8) замість s число 2 m, де m - натуральне число. Маємо . За формулою (4) першого розділу , А , Тому і провівши в правій частині всі скорочення, враховуючи, що , Отримаємо .
Покажемо ще, що . Для цього прологаріфміруем рівність (8): і результат продиференціюємо . В околі точки s = 1 , , , Де С - постійна Ейлера, а k - довільна постійна. Отже, спрямовуючи s до одиниці, одержимо , Тобто . Знову з формули (4) глави 1 при k = 0 , Значить, дійсно, .
Глава 3.
Як вже було сказано, дзета-функція Рімана широко застосовується в математичному аналізі. Однак найбільш повно важливість її виявляється в теорії чисел, де вона надає неоціненну допомогу у вивченні розподілу простих чисел у натуральному ряді. На жаль, розповідь про серйозні і нетривіальних застосуваннях дзета-функції Рімана виходить за рамки цієї роботи. Але щоб хоча б трохи уявити міць цієї функції, доведемо з її допомогою кілька цікавих тверджень.
Наприклад, відомо, що простих чисел нескінченно багато. Найзнаменитіший елементарне доведення належить Евкліду. Воно полягає в наступному. Припустимо, що існує кінцеве число простих чисел, позначимо їх p _1, p _2, ..., p _n. Розглянемо число p ₁ p ₂ ... p _n +1, воно не ділиться ні на одне з простих і не збігається ні з одним з них, тобто є простим числом, відмінним від вищевказаних, що суперечить припущенню. Отже, кількість простих чисел не може бути кінцевим.
Інший доказ цього факту, що використовує дзета-функцію, було дано Ейлером. Розглянемо дане в першому розділі рівність (5) при s = 1, одержимо , Звідси і з огляду на розбіжність гармонічного ряду, маємо при
(1). Якщо б кількість простих чисел було кінцевим, то і це твір мав кінцеве значення. Однак, отриманий результат свідчить про зворотне. Доказ завершено.
Тепер перепишемо (1) у вигляді . Спираючись на теорему про збіжність нескінченного добутку, з расходимости попереднього робимо висновок, що ряд розходиться. Ця пропозиція дає деяку характеристику зростання простих чисел. Підкреслимо, що воно набагато сильніше твердження про расходимости гармонічного ряду, так як тут мова йде лише про частину його членів, тим більше що в натуральному ряді є скільки завгодно довгі проміжки без простих чисел, наприклад: , , ..., .
Незважаючи на свою простоту наведені вище пропозиції важливі в концептуальному плані, так як вони починають низку досліджень все більш і більш глибоких властивостей ряду простих чисел, яка триває донині. Спочатку, основною метою вивчення дзета-функції як раз і було дослідження функції , Тобто кількості простих чисел не переважаючих x. Як приклад формули, що зв'язує і , Ми зараз отримаємо рівність
(2).
Спочатку скористаємося розкладанням дзета-функції у твір: . З логарифмічного ряду , Враховуючи, що , Приходимо до низки . Значить, .
Тепер обчислимо інтеграл у правій частині (2). Так як при , То . У внутрішньому інтегралі покладемо , Тоді і , Звідси . У проміжку інтегрування , Тому вірно розкладання і . Отримуємо . Тепер . Якщо порівняти отримане значення інтеграла з рядом для , То побачимо, що вони тотожні і рівність (2) доведено.
Використовуємо формулу (2) для докази однієї дуже серйозної і важливої ​​теореми, а саме отримаємо асимптотичний закон розподілу простих чисел, тобто покажемо, що .
В якості історичної довідки зазначу, що великий німецький математик Карл Фрідріх Гаусс емпірично встановив цю закономірність ще в п'ятнадцятирічному віці, коли йому подарували збірку математичних таблиць, що містить таблицю простих чисел і таблицю натуральних логарифмів.
Для доказу візьмемо формулу (2) і спробуємо вирішити це рівняння відносно , Тобто звернути інтеграл. Зробимо це за допомогою формули звернення Мелліна наступним чином. Нехай . Тоді
(3). Цей інтеграл має потрібну форму, а не вплине на асимптотики . Дійсно, так як , Інтеграл для сходиться рівномірно у півплощині , Що легко виявляється порівнянням з інтегралом . Отже, регулярна і обмежена у півплощині . Те ж саме справедливо і щодо , Так як .
Ми могли б вже застосувати формулу Мелліна, але тоді було б досить важко виконати інтегрування. Тому перш перетворимо рівність (3) наступним чином. Диференціюючи по s, отримуємо . Позначимо ліву частину через і покладемо , , ( , і вважаємо рівними нулю при ). Тоді, інтегруючи по частинах, знаходимо при , Або .
Але неперервна і має обмежену варіацію на будь-якому кінцевому інтервалі, а так як , То ( ) І ( ). Отже, абсолютно інтегровна на при . Тому при , Або при . Інтеграл у правій частині абсолютно сходиться, так як обмежена при , Поза деякому околі точки . У околиці і можна покласти , Де обмежена при , і має логарифмічний порядок при . Далі, . Перший член дорівнює сумі відрахувань в особливих точках, розташованих ліворуч від прямої , Тобто . У другому члені можна покласти , Так як має при лише логарифмічну особливість. Отже, . Останній інтеграл прямує до нуля при . Значить,
(4).
Щоб перейти назад до , Використовуємо таку лему.
Нехай позитивна і не убуває і нехай при . Тоді .
Дійсно, якщо - Дане позитивне число, то ( ). Звідси отримуємо для будь-якого . Але так як не убуває, то . Отже, . Вважаючи, наприклад, , Отримуємо .
Аналогічно, розглядаючи , Отримуємо , Значить , Що й потрібно було довести.
Застосовуючи лему, з (4) маємо, що , , Тому і теорема доведена.
Для ознайомлення з більш глибокими результатами теорії дзета-функції Рімана можу відіслати зацікавленого читача до списку, що додається використаної літератури.
Список використаної літератури.
1. Титчмарш Є.К. Теорія дзета-функції Рімана. Череповець, 2000 р.
2. Фіхтенгольц Г.М. Курс диференціального й інтегрального числення, том II. М., 1970 р.
3. Привалов І.І. Вступ до теорії функцій комплексного змінного. М., 1999 р.
4. Айерленд К., Роузен М. Класичне введення в сучасну теорію чисел. М., 1987 р.
5. Шафаревич З.А. Теорія чисел. М., 1986.