Геометричні вектори

Дисципліна: Вища математика
Тема: Геометричні вектори

1. Геометричні вектори. Основні визначення

У математиці, фізиці, теоретичної механіки доводиться мати справу з величинами двох типів: одні мають чисто числовий характер, інші ж мають не тільки числову характеристику, а й пов'язані з поняттям про направлення в просторі. Розглянемо, наприклад, температуру, масу, енергію, швидкість, прискорення, силу. Відмінність останніх трьох величин від перших трьох полягає в тому, що з ними має бути пов'язане поняття про направлення. Перші три величини, не пов'язані з поняттям про напрям, називаються скалярами. Інші три величини, що мають певний напрям, називаються векторами.
Так, при вимірюванні температури, ми отримаємо позитивне чи негативне число, яке характеризує її величину в градусах. Точно так само можна виміряти масу, енергію.
Визначення 1. Скаляром називається величина, що характеризується тільки числом.
Отже, скаляри - це звичайні числа, і відмінність між двома однаковими числами може полягати лише в їх розмірності (м і см, м и кг).
Якщо необхідно виміряти таку величину, як швидкість точки, то для цього знати два числа (шлях і час) недостатньо. Необхідно ще знати, куди рухається точка, тобто її напрямок руху.
Визначення 2. Вектором називається величина, що характеризується не тільки чисельним значенням, але і напрямком у просторі.
Отже, стверджувати, що якщо обидві точки рухаються зі швидкістю 2 , То їх швидкості рівні, немає жодної підстави. Необхідно знати в які сторони вони рухаються.
Зі сказаного випливає, що для опису скаляра достатньо написати число і вказати його розмірність. Для опису векторної величини використовують спрямовані відрізки, довжина яких при вибраному масштабі відповідає величині вектора, а напрям - збігається з напрямком векторної величини. Надалі ці відрізки і будемо називати геометричними векторами.
При зображенні вектора одна точка, яка обмежує вектор, називається початком, а друга - кінцем вектора. У кінці вектора ставиться стрілка. Для короткої записи вектор можна позначити за допомогою двох букв (Перша відповідає початку, друга - кінця) або ж однієї букви (Тут початок і кінець не позначені).

A

B

Визначення 3. Відстань між початком і кінцем вектора називається його довжиною або модулем і позначається або .
Визначення 4. Вектор, у якого кінець збігається з початком, називається нуль вектором і позначається .
Визначення 5. Вектори називаються колінеарними, якщо вони розташовані на одній прямій або паралельних прямих. Вектори називаються колінеарними, якщо вони розташовані в одній площині або в паралельних площинах.
Визначення 6. Два вектора і називаються рівними, якщо вони колінеарні, однаково спрямовані і рівні по довжині.
Записується це так .
З визначення 6 треба, що вектор можна переносити паралельно самому собі, розміщуючи його початок у будь-яку точку простору. При цьому кожен новий вектор буде дорівнює початковому.
Однак слід зазначити, що все сказане вище пов'язано з так званими вільними векторами. Крім них існують ще пересувні й певні вектори. У вільних векторів точку програми можна вибирати де завгодно. У пересувних - точку програми можна переміщати уздовж самого вектора (наприклад, сила, прикладена до твердого тіла). У певних векторів точка докладання повинна бути зафіксована (наприклад, сила, що діє на рідину). Але вивчення усіх векторів можна, в кінцевому рахунку, звести до вивчення вільних векторів, тому надалі ми будемо займатися тільки ними.

2. Найпростіші операції над векторами

До найпростіших операцій над векторами належить складання і віднімання векторів і множення вектора на скаляр. Всі ці операції називаються лінійними.
1) Складання векторів.
Визначення 1. Щоб знайти суму двох векторів і , Необхідно кінець вектора поєднати з початком . Вектор , Що з'єднує точки і , Буде їхньою сумою.

A

B

C

D

C

D

Позначається сума наступним чином: . Величину її можна знайти і в інший спосіб. Почала векторів і поєднуються і на них як на сторонах будується паралелограм. Діагональ паралелограма і буде сумою векторів.

A

B

D

C

D

C

D

A

B

D

C

D

C

D

З правила паралелограма видно, що сума векторів має переместительное властивістю
.
Якщо доданків більше, наприклад, три: , Надходять у такий спосіб. Будують спочатку суму , А потім, додаючи , Отримують вектор .



З малюнка видно, що той же результат буде, якщо скласти спочатку , А потім додати , Тобто сума векторів має сполучним властивістю:
.
Якщо при додаванні декількох векторів кінець останнього збігається з початком першого, то сума дорівнює нуль вектору . Очевидно, .
2) Різниця векторів.
Визначення 2. Різницею двох векторів і називається такий вектор , Сума якого з віднімаються дає вектор .
Значить, якщо , То .
З визначення суми двох векторів випливає правило побудови різниці. Відкладаємо із загальної точки вектори і . Вектор з'єднує кінці векторів і і спрямований від від'ємника до зменшуваного.

Видно, що якщо на векторах і побудувати паралелограм, то одна його діагональ відповідає їх сумі, а друга - різниці.
3) Множення вектора на число.
Визначення 3. Твором вектора на число називається вектор , Визначений наступними умовами:
1) ;
2) вектор коллінеарен вектору ;
3) вектори і спрямовані однаково, якщо , І протилежно, якщо .
Очевидно, що операція множення вектора на число призводить до його розтягування або стиснення. Протилежний вектор можна розглядати як результат множення вектора на . Звідси,
.
З визначення 3 випливає, що якщо , То вектори і колінеарні. Звідси випливає визначення колінеарності векторів.
Визначення 4. Будь-які два вектори і колінеарні, якщо пов'язані співвідношенням , Де - Деяке число.
Величину можна визначити з відносини . Воно позитивно, якщо вектори направлені в один бік, і навпаки негативно, якщо напрямок векторів протилежно.
З побудови паралелограма легко переконатися, що множення вектора на число має розподільчим властивістю:
;
і сполучним властивістю
.
Визначення 5. Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним вектором або ортом.
Позначаються одиничні вектори символами або .
Використовуючи поняття одиничного вектора, будь-який вектор можна представити наступним чином: .

3. Проекція вектора на вісь

У процесі виконання найпростіших операцій іноді доводиться стикатися з таким поняттям, як проекція вектора на будь-яку вісь. Введемо спочатку поняття кута між векторами.
Визначення 1. Кутом між векторами і називається найменший кут , На який треба повернути один з векторів до сполучення з другим.



Позитивним вважається відлік кута проти годинникової стрілки.
Нехай необхідно знайти проекцію вектора на вісь . Виберемо на осі початок відліку 0 і масштаб. Сумісний з початком відліку одиничний вектор . Тоді кут між і віссю буде дорівнює куту між і . Спроектуємо початок і кінець вектора на вісь . Тоді довжина відрізка , А . Довжина ж проекції вектора :
.

O

a

b

l

A

B

Рис. 1
Визначення 2. Проекцією вектора на вісь називається різниця між координатами проекцій кінця і початку вектора на вісь .
Очевидно, що якщо - Гострий кут, проекція позитивна; якщо - Тупий кут, то негативна; якщо , То проекція дорівнює нулю.
Теорема 1. Проекція вектора на вісь дорівнює добутку модуля цього вектора на косинус кута між ними:
.
Доказ теореми випливає з Рис. 1.
Теорема 2. Проекція суми двох векторів на вісь дорівнює сумі проекцій доданків векторів на ту ж вісь.
Доказ. Нехай . Позначимо проекцію точки через , Точки - Через , Точки - Через .

O

l

A

B

C

Тоді
; ; .
Але
.
Теорема 3. Якщо вектор помножити на число , То його проекція на вісь примножиться на те ж число.
Доведемо для випадку :
.
Якщо , То
.

Література

1. Артамонов В'ячеслав Введення у вищу алгебру та аналітичну геометрію. Вид-во: Факторіал, Факторіал Прес, 2007. - 128с.
2. Єфімов М.В. Вища геометрія. Видавництво: Фізматліт ®, 2003. - 584c.
3. Клейн Ф. Вища геометрія. вид. - 2. Видавництво: Едіторіал УРСС, 2004. - 400c.
4. Клейн Ф., Фелікс Християн Клейн Вища геометрія: Пер. з нім. Изд.3. ЛІБРОКОМ, 2009. - 400c.