Дисципліна: Вища математика
Тема:
Геометричні вектори
1. Геометричні вектори. Основні визначення
У математиці, фізиці, теоретичної механіки доводиться
мати справу з величинами двох типів: одні мають чисто числовий
характер, інші ж мають не тільки числову характеристику, а й пов'язані з
поняттям про направлення в просторі. Розглянемо, наприклад, температуру, масу, енергію, швидкість, прискорення, силу. Відмінність останніх трьох величин від перших трьох полягає в тому, що з ними має бути пов'язане
поняття про направлення. Перші три величини, не пов'язані з поняттям про напрям, називаються скалярами. Інші три величини, що мають певний напрям, називаються векторами.
Так, при вимірюванні температури, ми отримаємо позитивне чи негативне число, яке
характеризує її величину в градусах. Точно так само можна виміряти масу, енергію.
Визначення 1. Скаляром називається величина, що характеризується тільки числом.
Отже, скаляри - це звичайні числа, і відмінність між двома однаковими числами може полягати лише в їх розмірності (м і см, м и кг).
Якщо необхідно виміряти таку величину, як швидкість точки, то для цього знати два числа (шлях і час) недостатньо. Необхідно ще знати, куди рухається точка, тобто її напрямок руху.
Визначення 2.
Вектором називається величина, що характеризується не тільки чисельним значенням, але і напрямком у просторі.
Отже, стверджувати, що якщо обидві точки рухаються зі швидкістю 2
, То їх швидкості рівні, немає жодної підстави. Необхідно знати в які сторони вони рухаються.
Зі сказаного випливає, що для опису скаляра достатньо написати число і вказати його розмірність. Для опису векторної величини використовують спрямовані відрізки, довжина яких при вибраному масштабі
відповідає величині вектора, а напрям - збігається з напрямком векторної величини. Надалі ці відрізки і будемо називати геометричними векторами.
При зображенні вектора одна точка, яка обмежує вектор, називається початком, а друга - кінцем вектора. У кінці вектора ставиться стрілка. Для короткої записи вектор можна позначити за допомогою двох букв
(Перша відповідає початку, друга - кінця) або ж однієї букви
(Тут початок і кінець не позначені).
Визначення 3. Відстань між початком і кінцем вектора називається його довжиною або модулем і позначається
або
.
Визначення 4. Вектор, у якого кінець збігається з початком, називається нуль
вектором і позначається
.
Визначення 5.
Вектори називаються колінеарними, якщо вони розташовані на одній прямій або паралельних прямих. Вектори називаються колінеарними, якщо вони розташовані в одній площині або в паралельних площинах.
Визначення 6. Два вектора
і
називаються рівними, якщо вони колінеарні, однаково спрямовані і рівні по довжині.
Записується це так
.
З визначення 6 треба, що вектор можна переносити паралельно самому собі, розміщуючи його початок у будь-яку точку простору. При цьому кожен новий вектор буде дорівнює початковому.
Однак слід зазначити, що все сказане вище пов'язано з так званими вільними векторами. Крім них існують ще пересувні й певні вектори. У вільних
векторів точку програми можна вибирати де завгодно. У пересувних - точку програми можна переміщати уздовж самого
вектора (наприклад, сила, прикладена до твердого тіла). У певних векторів точка докладання повинна бути зафіксована (наприклад, сила, що діє на рідину). Але вивчення усіх векторів можна, в кінцевому рахунку, звести до вивчення вільних векторів, тому надалі ми будемо займатися тільки ними.
2. Найпростіші операції над векторами
До
найпростіших операцій над векторами належить складання і віднімання векторів і множення вектора на скаляр. Всі ці операції називаються лінійними.
1) Складання векторів.
Визначення 1. Щоб знайти суму двох векторів
і
, Необхідно кінець вектора
поєднати з початком
. Вектор
, Що з'єднує точки
і
, Буде їхньою сумою.
Позначається сума наступним чином:
. Величину її можна знайти і в інший спосіб. Почала векторів
і
поєднуються і на них як на сторонах будується паралелограм. Діагональ паралелограма і буде сумою векторів.
З правила паралелограма видно, що сума векторів має переместительное властивістю
.
Якщо доданків більше, наприклад, три:
, Надходять у
такий спосіб. Будують спочатку суму
, А потім, додаючи
, Отримують вектор
.
З малюнка видно, що той же результат буде, якщо скласти спочатку
, А потім додати
, Тобто сума векторів має сполучним властивістю:
.
Якщо при додаванні декількох векторів кінець останнього збігається з початком першого, то сума дорівнює нуль вектору
. Очевидно,
.
2) Різниця векторів.
Визначення 2. Різницею двох векторів
і
називається такий вектор
, Сума якого з віднімаються
дає вектор
.
Значить, якщо
, То
.
З визначення суми двох векторів випливає правило побудови різниці. Відкладаємо із загальної точки вектори
і
. Вектор
з'єднує кінці векторів
і
і спрямований від від'ємника до зменшуваного.
Видно, що якщо на векторах
і
побудувати паралелограм, то одна його діагональ відповідає їх сумі, а друга - різниці.
3) Множення вектора на число.
Визначення 3. Твором вектора
на число
називається вектор
, Визначений наступними умовами:
1) ; 2) вектор
коллінеарен вектору
;
3) вектори
і
спрямовані однаково, якщо
, І протилежно, якщо
.
Очевидно, що
операція множення вектора на число призводить до його розтягування або стиснення. Протилежний вектор
можна розглядати як результат множення вектора
на
. Звідси,
.
З визначення 3 випливає, що якщо
, То вектори
і
колінеарні. Звідси випливає визначення колінеарності векторів.
Визначення 4. Будь-які два вектори
і
колінеарні, якщо пов'язані співвідношенням
, Де
- Деяке число.
Величину
можна визначити з відносини
. Воно позитивно, якщо вектори направлені в один бік, і навпаки негативно, якщо напрямок векторів протилежно.
З побудови паралелограма легко переконатися, що множення вектора на число має розподільчим властивістю:
;
і сполучним властивістю
.
Визначення 5. Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним
вектором або ортом.
Позначаються одиничні вектори символами
або
.
Використовуючи поняття одиничного вектора, будь-який вектор можна представити наступним чином:
.
3. Проекція вектора на вісь
У
процесі виконання найпростіших операцій іноді доводиться стикатися з таким поняттям, як проекція вектора на будь-яку вісь. Введемо спочатку поняття кута між векторами.
Визначення 1. Кутом між векторами
і
називається найменший кут
, На який треба повернути один з векторів до сполучення з другим.
Позитивним вважається відлік кута проти
годинникової стрілки.
Нехай необхідно знайти проекцію вектора
на вісь
. Виберемо на осі початок відліку 0 і масштаб. Сумісний з початком відліку одиничний вектор
. Тоді кут між
і віссю
буде дорівнює куту
між
і
. Спроектуємо початок і кінець вектора на вісь
. Тоді довжина відрізка
, А
. Довжина ж проекції вектора
:
.
Рис. 1
Визначення 2. Проекцією вектора
на вісь
називається різниця між координатами проекцій кінця і початку вектора
на вісь
.
Очевидно, що якщо
- Гострий кут, проекція позитивна; якщо
- Тупий кут, то негативна; якщо
, То проекція дорівнює нулю.
Теорема 1. Проекція вектора
на вісь
дорівнює добутку модуля цього вектора на косинус кута між ними:
.
Доказ теореми випливає з Рис. 1.
Теорема 2. Проекція суми двох векторів на вісь дорівнює сумі проекцій доданків векторів на ту ж вісь.
Доказ. Нехай
. Позначимо проекцію точки
через
, Точки
- Через
, Точки
- Через
.
Тоді
;
;
.
Але
.
Теорема 3. Якщо вектор
помножити на число
, То його проекція на вісь примножиться на те ж число.
Доведемо для випадку
:
.
Якщо
, То
.
Література
1. Артамонов В'ячеслав Введення у вищу алгебру та аналітичну геометрію. Вид-во:
Факторіал, Факторіал Прес, 2007. - 128с.
2. Єфімов М.В. Вища геометрія. Видавництво: Фізматліт ®, 2003. - 584c.
3. Клейн Ф. Вища геометрія. вид. - 2. Видавництво: Едіторіал УРСС, 2004. - 400c.
4. Клейн Ф., Фелікс Християн Клейн Вища геометрія: Пер. з нім. Изд.3. ЛІБРОКОМ, 2009. - 400c.